不完全信息博弈与近视均衡

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英文标题：
《Games of Incomplete Information and Myopic Equilibria》
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作者：
R. Simon, S. Spiez, H. Torunczyk
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A new concept of an equilibrium in games is introduced that solves an open question posed by A. Neyman.
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中文摘要：
引入了博弈均衡的新概念，解决了内曼提出的一个悬而未决的问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Games_of_Incomplete_Information_and_Myopic_Equilibria.pdf (227.86 KB)

2022-6-2 21:29:12 上传

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关键词：不完全信息博弈 不完全信息 完全信息 全信息 Quantitative

不完全信息博弈与近视均衡。Simon，S.Spie˙z，H.Toru'nczykJanua ry 8，2 019伦敦经济学院数学系霍顿街伦敦WC2A 2美国数学研究所英国科学院斯奈德克奇（Sniadeckich）8，00–656 WarszawaAbstract：将两个不完全信息的博弈合并，一个接一个，通过非常不同的方法建立其均衡；由此产生的复合博弈会有均衡吗？L etΓ是第一场游戏的游戏路径上的一组概率分布，以及在第一场游戏结束时可以掌握的每一个子集C和γ∈ 设γ| C为C上的条件概率分布，假设它已明确定义。如果第一个游戏有一个具有完美回忆的有限游戏树，并且对于每一个这样的C，第二个游戏都有一个均衡效果对应，作为γ| C的函数，它是上半连续的，并且具有非空、凸和紧的值，那么答案是肯定的。为了证明这一点，引入了短视均衡的概念，这是一个替代纳什均衡的概念。尽管存在差异，但在不完全信息和重复的背景下，这两个平衡概念之间存在着密切的关系。关键词：重复博弈和博弈树、均衡的拓扑结构、固定点、最近点收缩到simplex1简介以下遗传算法启发了这项工作。大自然根据某种概率分布p从有限集合k中选择状态k∈ （K） 。有两名球员，一号球员和二号球员。玩家一（而不是玩家二）知道大自然的选择。

玩家同时选择通常在这些选择之后可以直接观察到的动作，这种情况会重复无数次，但大自然从一开始就对其进行了固定的选择。对这两个玩家的回报既取决于两个玩家的行为，也取决于自然的选择。如果对玩家的支付是由平均支付的极限行为决定的，那么Aumann和Maschler（1995）已经描述了一个在一方不完全信息的独立未贴现博弈，Simon、Spie˙z和Toru˙nczyk（1995）已经确定了他们均衡的存在。我们将介绍以下游戏变体。对于两个参与者i=1，2，都有明确的manynon负值λi，λi，λin0<λi+····+λin=λi<1，因此对于玩家i，第j阶段根据λij进行加权，而未贴现的完全重复博弈根据1进行加权- λi.这样的博弈是否具有纳什均衡？上述问题是A.Neyman（私人通信，2016）向我们提出的，我们对他的问题的最初回答是“肯定不是！”通过Nash（1950）中Nash均衡的原始证明和Kuhn定理（1953）的应用，具有有限树结构和完美回忆的游戏均衡存在性的证明使用了定点理论。然而，未贴现的不完全重复博弈均衡存在的证明使用了一个覆盖定理，该定理与BorsukUlam定理相似（但既不暗示也不暗示Bo r suk UlamTheorem）。为什么要综合这两种截然不同的证明？我们以肯定的方式回答A.Neyman的问题。我们没有综合这两个证明，而是将有限重生成博弈的平衡性质应用于有限阶段博弈。

为了回答这个问题，我们引入了一个新的平衡概念，称为近视平衡。理解许多初始阶段的战略方面，然后是最终阶段的游戏，主要问题是什么？让我们简化问题，使λ=λ=λ=，这意味着第一阶段对支付起作用，剩下的所有阶段对支付起作用。由于玩家二在第一阶段只知道自然状态，他必须选择一些与状态无关的混合策略τ。由于不同的状态可能有非常不同的支付结构，人们会通过依赖于自然状态的行为来体验玩家一的初始支付优势。但这样做，玩家就不能透露太多关于国家的信息，因为回报来自以下几个阶段。博思太多地使用她的信息，而对一号玩家来说根本不使用似乎是愚蠢的选择。在玩家一在不同状态的初始选择和这些选择所诱导的状态的条件概率之间，存在着微妙的取舍。第一阶段玩家一的纯策略是指根据自然状态确定初始行为，因此如果我是她的一组行为，那么第一阶段就有不同的纯策略。第一阶段玩家一的非固定策略是指这些纯策略的概率分布。让我们假设t是完全重复博弈的平衡支付的子集，它随着自然状态的条件概率分布而不断变化。

根据λ=λ的思想，如果i=1，2，我们可以定义一个游戏，在第一阶段，玩家一为自己选择一个混合策略，玩家二为自己选择一个混合策略（必然独立于状态），然后是由初始阶段确定的支付和与自然状态的诱导条件概率相关的均衡支付。对于玩家二的任何固定混合策略，玩家一的收益通常不会因其混合策略而呈凹形。由于当支付函数相对于相关参与者的行为不是凹的时，有许多博弈没有任何均衡（见后面的例子），我们推测内曼问题的组合博弈将没有均衡。通过进一步研究，我们发现，用同一玩家的另一个混合策略取代第一玩家的混合策略，并不是这些游戏中战略偏差的正确模型。假设玩家在第一阶段致力于某种混合策略，其中在某种自然状态下，每个动作都以较大的正概率进行。无论玩家在第一阶段做什么，都不会出现星体分类偏差。除非玩家一演示了一个不应该发生的动作，否则玩家二将继续根据对该混合策略的假定承诺来解释玩家一的未来动作，而不是解释玩家一可能选择的不同策略。为了达到一种平衡，一个行动的任何好处都必须适当地由随后在以下阶段的缺点所决定，这对所有自然状态都是同时成立的。

我们将看到，所需的平衡性质直接导致了微观平衡的定义。近视平衡概念是为了解决内曼问题而提出的，如上所述。然而，本文中它的主要应用范围更广，适用于信息不完整的博弈树。有趣的是，为了证明某一博弈具有纳什均衡，有必要构建一个与纳什均衡概念截然不同的新均衡概念。我们渴望抽象和独立地呈现概念，这就更加突出了这种内在性。我们这样做是因为我们不知道近视平衡概念在其他什么情况下可以应用。为了突出近视和纳什均衡之间的关系，考虑一个同时行动的三人博弈。让我成为玩家行动的整体。分析该博弈的一种方法是确定每个分布p∈ （一） 第二个和第三个玩家所玩的游戏Γ（p），基于他们的假设，p是第一个玩家作为反恐执行官的分布。对于每一个这样的p∈ （一） ，将为第二和第三个玩家制定一套均衡策略，并为游戏中的所有三个玩家提供相应的支付（p）。如果我们回到第一个玩家的可能选择，由集合表示（一） ，我们认识到玩家一的对应支付，由p∈ （一） 以及其他两个参与者的诱导平衡。我们可以将其重新组合为一人游戏，让玩家一成为唯一的玩家。作为p的函数，第一个参与者的相应支付不会是一个函数；一般来说，他们会确定相应的答案。我们可以将此游戏视为一个优化问题–自然的解决方案是，第一个玩家应该选择相应支付金额最大的p。

通过这种方法，给出了p∈ （一） ，可以将这种优化视为一种单方博弈的纳什均衡。但这种优化方法通常与原始三人博弈的纳什均衡无关！在由多元线性函数定义的标准博弈的纳什均衡中，以正概率选择的每个行动应在所有可能采取的行动中共享一个共同的最大回报。但总的来说，这对p来说是失败的∈ （一） 在这场单人游戏中优化玩家一的报酬；给予正概率的不同行动可能会导致非常不同的回报（并且lso可能会被给予零概率的行动的回报所矮化）。相反，与原始三人博弈的Na-sh均衡直接相关的一人博弈的解决方案概念是近视均衡。本文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将介绍近视均衡的形式概念，并证明当支付函数作为策略空间的函数连续时，近视均衡的存在性。在第三节中，我们定义了一个截断对策树，并证明了具有特定结构的截断对策树的所有组合对策都具有均衡。在本节中，我们回答了A.Neyman的问题，并推测了密切相关的应用。在第五节和最后一节中，我们将介绍一些示例和未来可能的研究方向。2近视平衡根据最符合自身的策略来理解平衡。最好的回答是一个玩家的策略，可以取代该玩家现有的策略，并最大化该玩家的回报。

通常，人们会假设一个玩家的策略集是一个紧凑的凸集，并且，给定其他玩家的固定策略，对该玩家的回报在其策略集中是唯一的。如果假设Payoff函数与该玩家的策略有关，那么数学是相似的，因为最优响应（存在于策略集的紧性中）是在凸集上实现的。如果一个参与者的支付函数只对他或她的策略是连续的，那么人们就不会期望存在纳什均衡，这可以用简单的例子来证明。战略空间是紧凑且凸的概念最初来自于一个假设，即它是一组有限作用的凸跨度。在本文中，我们保留了这一假设，尽管我们对近视平衡的定义可以推广到使用支持集的一组紧凑的动作。定义。让N是一组有限的参与者，对于每个N∈ N让我们采取一系列行动。允许 =Qn公司∈N（In）成为所有玩家的战略空间。我们说That x∈  是（payoff）函数族的近视平衡{wni: → R | n∈ N、 我∈ In}如果f或全部n∈ N和i∈ 在xNi6=0的情况下，wni（x）=maxj∈Inwnj（x）。习俗以上和进一步，给定y∈Qn公司∈NRInwe用y在RIn上的自然投影下的合成像表示，用ynithe i–yn的thcoordination表示，对于i∈ 在里面使用功能w： →Qn公司∈NRInsatisfyingwni（x）=（w（x））ni，对于所有x∈ , n∈ N和i∈ 在中，我们还说x是“w”的ameopic平衡，而不是“fo r{wni | n∈ N、 我∈ 在}”中。近视均衡概念与传统的游戏定义方法和传统的纳什均衡概念相比如何？根据短视平衡概念，玩家有不同的报酬，每个玩家的行为都有一个，它们是战略空间上的函数.

从这些收益中，可以定义函数gnfrom toRfor each player n in the canonical way，by gn（x）：=π∈Inxniwni（x）。这些功能在玩家的策略中不一定是唯一的或凹的。从这些函数gn开始，这里至少有一种方法可以定义i∈ 因此，可以将上述GNA定义为，即对于每个i，wni（x）定义为gn（x∈ 在里面通过以这种方式定义WNII 是一种近视平衡，这并不有趣。近视平衡的兴趣完全在于个人行为的回报如何。我们必须至少保证，当玩家n选择动作j时∈ 可以肯定的是，wnj（x）必须等于gn（x），但除此之外，还有许多方法可以定义wnj。如果所有参与者的支付都是多线性函数，那么也可以说每个参与者n有不同的支付，但定义在较小的集合{i}×Qj上∈N \\{N}（Ij）对于每个选项i∈ Inof action in in in。在这种特殊情况下，近视均衡与纳什均衡相同。但是，当对一个参与者的报酬没有定义时，这两个平衡概念可能会有很大的不同，正如我们在§5的例子中看到的那样。有一个局部平衡的概念，一个 这样，everyn的玩家策略xnof定义了该玩家支付函数的局部最大值。参见Biasi和Monis（2013），了解不同支付函数背景下的此类替代概念。然而，本地均衡的概念仍然基于定义的功能, 无需如上所述，为每个动作定义单独的功能。我们稍后将从一个例子中看到，局部平衡和近视平衡可能非常不同。直到后来我们才讨论近视平衡的例子，并建立了它们的一些性质。

我们的研究表明，近视平衡概念是Kohlbergand Mertens（1986）的st结构定理的一个版本。定理1。设W是定义在上的连续函数的有限维向量空间 =Qn公司∈N（In）值inRI=Qn∈NRIn。假设W包含所有常量函数。设E为W×的子空间这样（w，x）在E中，如果a，并且仅当x是w的近视平衡。那么存在w到E的同胚φ，其后组合与投影到w的后组合与恒等式是适当的同伦。备注1。A同伦H:W×[0，1]→ W适当意味着∈[0,1]kH（w，t）k→ ∞ 作为kwk→ ∞. Orem 1中所断言的同胚现象必然延伸到W的一点紧固件FW嵌入W×的一点紧固件FW的n嵌入, 其与projectiontofW的组合与spherefW的恒等映射是同构的。在证明这个定理和下一个定理时，我们将使用欧几里德空间Rj到概率单纯形的标准收缩性质（J） 。引理1。设J为有限集。然后，存在一个连续函数RJ:RJ→ （J） 这样，给定x∈ （J） 和y∈ RJ，条件RJ（x+y）=x成立当且仅当yi=maxj∈JYJJfor all i∈ J满足xi6=0。证明：对于每个非空I J我们考虑（一） 作为…的脸（J） 和定义YI={y∈ RJ:yi=maxj∈Jyjif i公司∈ 一} 。观察设置Zi=（一） +形成RJ的封闭盖。因为对于任何z∈ ZIthere areunique x∈ （一） 和y∈ 如果z=x+y，我们可以定义投影πI:ZI→ （一） 由πI（x+y）=x，其中x∈ （一） 和y∈ 易。注意，对于J的任意两个非空子集I和I′，πI和πI′在ZI上重合∩ ZI′。可以检查地图rJ:rJ→ （J） 由投影定义的πIsatis证明了引理的断言。备注2。可以看出，RJ是关于欧几里德no rm的最近点收缩。