评估广告支出对销售的影响：贝叶斯模型

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Assessing the effect of advertising expenditures upon sales: a Bayesian
  structural time series model》
---
作者：
V\\\'ictor Gallego, Pablo Su\\\'arez-Garc\\\'ia, Pablo Angulo, David
  G\\\'omez-Ullate
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  We propose a robust implementation of the Nerlove--Arrow model using a Bayesian structural time series model to explain the relationship between advertising expenditures of a country-wide fast-food franchise network with its weekly sales. Thanks to the flexibility and modularity of the model, it is well suited to generalization to other markets or situations. Its Bayesian nature facilitates incorporating \\emph{a priori} information (the manager\'s views), which can be updated with relevant data. This aspect of the model will be used to present a strategy of budget scheduling across time and channels.
---
中文摘要：
我们提出了一个Nerlove-Arrow模型的稳健实现，该模型使用贝叶斯结构时间序列模型来解释全国范围的快餐连锁网络的广告支出与其每周销售额之间的关系。由于模型的灵活性和模块性，它非常适合推广到其他市场或情况。它的贝叶斯性质有助于合并先验信息（管理者的视图），这些信息可以用相关数据更新。该模型的这一方面将用于呈现跨时间和渠道的预算调度策略。
---
分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
--
一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

---
PDF下载：
--> Assessing_the_effect_of_advertising_expenditures_upon_sales:_a_Bayesian_structur.pdf (538.12 KB)

2022-6-2 21:57:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：贝叶斯 econometrics Applications Expenditures Quantitative

《游戏与决策的可靠性与风险》特刊，GDRR 2017。评估广告支出对销售的影响：aBayesian structural time series modelV'ctor Gallego，Pablo Su'arez Garc'a，Pablo Anguloand DavidG'omez-Ullate1,2,4数学科学研究所，ICMAT CSICFacultad de Ciencias F'sicas，Universidad Complutense de MadridETSIN，Universidad Politic'ecnica de MadrideDepartment of Computer Science，School of Engineering，卡迪泽梅尔斯大学：维克托。gallego@icmat.es, pasuarez@ucm.es，巴勃罗。angulo@upm.es，大卫。戈麦斯-ullate@icmat.esAbstractWe提出Nerlove–Arrow模型的稳健实施方案，使用Bayesian结构时间序列模型来解释全国性快餐特许经营网络的广告支出与其每周销售额之间的关系。由于模型的灵活性和模块性，它非常适合推广到其他市场或情况。其贝叶斯性质有助于纳入反映经理观点的先验信息，这些信息可以用相关数据更新。该模型的这一方面将用于支持经理就广告公司跨时间和渠道的预算安排作出决策。关键词：贝叶斯结构时间序列、销售预测、风险管理、预算分配1简介众所周知，企业广告支出对销售有积极影响[1、2、3、4]。然而，他们之间的确切关系仍然没有定论，见。g、 【5】进行广泛调查。自Dorfman和Steiner的开创性工作（最优垄断广告的第一范式理论之一）以来，已经提出了几种模型来说明这种关系，尽管尚未就最佳方法达成共识。

两种不同的模型构建学派似乎主导了营销文献[7]：一种先验模型，它严重依赖直觉，并源自一般原则，尽管通常在脑海中有一个实际的实现（[8]或[9]和[10]），以及统计或计量经济模型，通常从要建模的特定数据集开始（参见[1]）。在这项工作中，我们将主要依赖第一类模型，即。Nerlove Arrow[8]将Dorfman和Steiner扩展到动态设置[11]，并无缝适应状态空间或结构时间序列方法。反过来，贝叶斯结构时间序列模型[12]在过去几年中将自己定位为非常有效的工具，不仅可以分析营销时间序列，还可以揭示更不确定的情况，如因果影响，将先验信息纳入模型，适应多个变化源或支持可变选择。虽然这种形式主义的起源可以追溯到20世纪50年代的滤波、平滑和预测工程问题，首先是维纳（Wiener）[13]，特别是卡尔曼（Kalman）[14]，但也可以从估计的角度来理解这些问题，其中向量值时间序列{X，X，X，…}我们希望通过一系列噪声测量{Y，Y，Y，…}来观察（最新的隐藏状态）。这意味着，在贝叶斯意义上，我们想要计算给定所有测量值的所有状态的联合后验分布【15】。在过去几年中，不断增长的计算能力和几个编程库的发布（如[16，17]）在一定程度上缓解了这种形式主义在数学基础和计算机实现方面的困难，使这些方法广为人知并得到广泛使用。

该模型族已成功用于建模金融时间序列数据【18】，推断营销活动的因果影响【19】，选择变量和即时消费者情绪【20】，或预测失业等其他经济时间序列模型【12】。在本文中，我们使用贝叶斯结构时间序列模型的形式来建立一个稳健的模型，将广告支出与每周销售额联系起来。由于模型的灵活性和模块性，它非常适合推广到各种市场或情况。它的贝叶斯性质也能顺利地适应引入先验信息的问题，先验信息可以更新为估计参数的后验分布。该模型的公式允许过程的非高斯创新，这将考虑销售增量分布的重尾性。我们还讨论了该模型生成的预测如何帮助管理者分配广告预算。对于预测分布的两个矩：期望回报和方差，将决策空间简化为帕累托最优策略的一维曲线。本文的组织结构如下：在简要回顾了第2节中最常用的市场模型和结构时间序列的形式之后，我们定义了用于拟合数据的模型。第3节将详细介绍实验装置。第4节讨论了将比较的替代模型，以及该模型在行业中的可能用途。第5.2节理论背景和模型定义2.1 Nerlove-Arrow模型对进一步研究的简要总结和想法进行了详细说明。市场营销文献中存在许多聚合广告响应模型的公式，例如[7]。

Nerlove和Arrow的模型[8]扩展了Dorfman Steiner模型，以涵盖当前广告支出影响未来产品需求的情况；它很节俭，被认为是定量营销界的标准。我们以此为出发点。在该模型中，广告支出在许多方面与耐用厂房和设备的投资类似，因为广告支出影响产出的当前和未来特征，从而影响投资公司当前和未来的净收入。其目的是定义一种称为商誉A（t）的“广告存量”，它似乎总结了当前和过去广告支出对需求的影响。然后，确定goodwilldAdt=qu（t）的以下动力学- δA（t），（1）其中u（t）是广告支出率（例如，欧元或每周总评分），q是反映广告质量的参数（有效系数），δ是衰减或遗忘率。商誉随广告支出线性增加，但也因遗忘而线性减少。对这个简单的模型提出了一些扩展和修改：它可以包括潜在客户的限制[9]，广告支出的非线性响应函数[10]，广告的磨损和磨损效应[21]，不同广告渠道之间的相互作用[22]，等等。尽管如此，对于大多数任务，Nerlove Arrow模型仍然是一个简单而坚实的起点。2.2贝叶斯结构时间序列模型结构时间序列模型或状态空间模型提供了一个通用公式，允许通过卡尔曼滤波器和相关平滑器的通用算法对几乎任何线性时间序列模型进行统一处理。

有几本手册【23、24、15、25】深入讨论了这一主题，因此我们不会发展相应的理论。然而，我们将介绍与建模问题有关的最显著特征。读者可查阅上述手册了解更多详情。时间序列的状态空间公式由两个不同的方程组成：状态或演化方程，将系统状态的动力学确定为一阶马尔可夫过程（通常通过状态变量参数化），以及将潜在状态与观测状态联系起来的观测或测量方程。这两个方程也会受到噪声的影响。用θt表示描述系统内部状态的m×1状态向量，用GTM×m矩阵表示生成动力学，用Htam×g矩阵表示，用a g×1序列不相关扰动向量，平均值为零，协方差矩阵为Wt，系统将按照方程θt=Gtθt演化-1+Htt型t型~ N（0，重量）。（2） 状态（θt）通常不可观测，但通过观测方程与观测变量Yt相连：Yt=Ftθt+t型t型~ N（0，Vt），（3）式中，Yt∈ R是时间步t的观测值，fti是将内部状态与可观测值联系起来的1×m矩阵，Vt∈ R+是t、 观测值的随机扰动。通过假设初始状态向量θ具有平均值u和协方差矩阵∑，且与噪声不相关，完成状态空间系统的规范。然后问题包括估计状态序列{θ，θ，…}对于agiven观测序列{y，y，…}以及过渡矩阵和观测矩阵的任何其他结构参数。通过卡尔曼滤波器可以很容易地进行状态估计；然而，当结构参数未知时，会出现不同的替代方案。

在经典设置中，这些是使用最大似然估计的。在贝叶斯方法中，通过贝叶斯定理更新未知参数的概率分布。如果无法通过共轭先验进行精确计算，则通过马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）等近似程序更新每次测量前的概率分布【12】。与经典方法相比，贝叶斯方法有几个优点。例如，通过先验分布合并外部信息是很自然的。特别是，这将在第2.4.1节中具体化，在此节中，专家信息可以通过之前的道钉和板合并。另一个有用的优点是，由于模型的贝叶斯性质，可以通过预测分布直接获得预测区间（见第2.5节）。2.3模型规范2.3.1状态空间公式连续时间Nerlove-Arrow模型必须首先在离散时间中进行转换，以便在状态空间中公式化我们的模型。从方程（1）中，我们得到：At=（1- δ） 在-1+数量-1+ t是商誉存量，utis是广告支出率，q是有效性和随机干扰t接受影响商誉但无法明确建模的变量的净影响。NerloveArrow的离散对应物是一种具有几何递减权重的分布式滞后结构，即Koyck模型【26，27】。由于在我们的设置中，模型包括亲善中k个不同渠道的影响，我们将根据：At=（1- δ） 在-1+kXi=1qiui（t-1)+ t现在，按照（2）和（3）中的符号，状态空间形式中的离散时间Nerlove-Arrow模型将如下所示：演化方程：θt=Gtθt-1+Htt型t型~ N（0，Wt），（4），其中θt=Atq。。。qk公司, 燃气轮机=(1 - δ） u1（t-1). . . 英国（t-1)0 1 . . .

0............0 0 . . . 1., Ht公司=...注意，qiare常数随时间变化，矩阵GT取决于时间t的已知版本级别- 1和根据数据估计的未知参数（δ）。观测方程：Yt=Ftθt+t型t型~ N（0，Vt）（5），其中y是时间t和Ft的观察销售额=1, 0, . . . , 0.2.4模块化和附加结构上述模型非常灵活，可以模块化定义，因为不同的隐藏状态独立于其他隐藏状态演化（即演化矩阵可以以块对角形式转换）。这大大简化了它们的实现，并允许使用具有特征行为的简单构建块。典型区块指定趋势和季节性成分（这有助于发现时间序列中的其他模式）或解释性变量，可以添加这些变量以进一步减少模型中的不确定性，缩小时间序列和回归模型之间的差距。通过叠加原理【24，第3章】，我们可以在我们的模型中包括额外的块：Yt=YNA，t+YR，t+Yt，t+YS，twhere YNA，t与（4）和（5）中定义的离散化Nerlove-Arrow方程相关；YR，是一个回归分量；包含外部解释变量x t的影响；YT是一个趋势成分或更简单的地方层面成分；YS是季节性成分。2.4.1回归组件。尖峰和板变量选择为了考虑外部解释变量的影响，静态回归分量可以通过HYR，t=Xtβ+t、 其中，状态β随时间保持不变，以利于节约。静态回归分量使用尖峰和板先验[28]，因为它可以包含先验信息，也有助于变量选择。

这特别适用于具有大量回归器的模型，这是业务场景中遇到的典型设置。设γ表示二元向量，表示回归中是否包含回归器。具体而言，γi=1当且仅当βi6=0。γi=1的β子集将表示为βγ。Letσ是回归部分的剩余方差。之前的spike和Slab[29]可以表示为asp（β，γ，σ) = p（βγ|γ，σ)p（σ|γ） p（γ）。γ先验的通常选择是伯努利分布的乘积：γ~ πiπγii（1- πi）1-γi.公司经理可以通过各种方式得出这些πiI。当没有详细的先验信息时，一个合理的选择是设置所有πi=π。然后，我们可以通过设置π=k/p来指定非零系数的预期数量，其中p是回归系数的总数。另一种可能性是，如果经理认为-回归器对模型至关重要。2.5模型估计和预测模型参数可使用马尔可夫链蒙特卡罗模拟进行估计，如【24】或【12】第4章所述。我们遵循同样的计划。设Θ为除β和σ以外的模型参数集. 可使用以下吉布斯取样器模拟后验分布：1。模拟θ~ p（θ| y，Θ，β，σ).2、模拟Θ~ p（Θ| y，θ，β，σ).3、模拟β、σ~ p（β，σ|y、 θ，Θ）。反复迭代上述步骤，得到一系列绘图ρ（1）、ρ（2）。

，ρ（K）~ p（Θ，β，σ, θ).在我们的实验中，我们将K=4000，并丢弃前2000张图纸，以避免老化问题。为了从预测分布中取样，我们遵循通常的贝叶斯方法，该方法由以下预测方程总结，其中y1:t表示观察值的序列，y表示预测值集p（\'y | y1:t）=Zp（\'y |ρ）p（ρ| y1:t）dρ。因此，有必要从p（\'y |ρ（i））中取样，这可以通过迭代方程（3）和（2）来实现。利用这些预测样本y（i），我们可以计算有关预测分布p（\'y | y1:t）的相关统计信息，例如平均值或方差（分别为e[\'y | y1:t]和V ar[\'y | y1:t]的MC估计）或相关分位数。2.5.1稳健性我们可以用观测方程中的student-t误差代替高斯误差的假设，从而得出模型Yt=Ftθt+t型t型~ Tν（0，τ）。通常，在这些设置中，我们将ν>1设置为方差定义，并且可以使用经验贝叶斯方法从数据中估计该方差参数。通过这种方式，我们允许模型预测偶尔出现的较大偏差，这在预测销售额时是合理的。例如，未通过预测变量考虑的特殊事件可能会导致该周的销售额增加。3案例研究。数据和参数估计3.1数据分析本案例研究中分析的时间序列包含2011年1月至2015年6月期间全国快餐连锁店的每周总销售额，图1：每周总销售额。2011年1月至2015年6月，共有234次观测。