可行的内部市场

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英文标题：
《Viable Insider Markets》
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作者：
Olfa Draouil, Bernt {\\O}ksendal
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the problem of optimal inside portfolio $\\pi(t)$ in a financial market with a corresponding wealth process $X(t)=X^{\\pi}(t)$ modelled by \\begin{align}\\label{eq0.1} \\begin{cases} dX(t)&=\\pi(t)X(t)[\\alpha(t)dt+\\beta(t)dB(t)]; \\quad t\\in[0, T] X(0)&=x_0>0, \\end{cases} \\end{align} where $B(\\cdot)$ is a Brownian motion. We assume that the insider at time $t$ has access to market information $\\varepsilon_t>0$ units ahead of time, in addition to the history of the market up to time $t$. The problem is to find an insider portfolio $\\pi^{*}$ which maximizes the expected logarithmic utility $J(\\pi)$ of the terminal wealth, i.e. such that $$\\sup_{\\pi}J(\\pi)= J(\\pi^{*}), \\text {where } J(\\pi)= \\mathbb{E}[\\log(X^{\\pi}(T))].$$ The insider market is called \\emph{viable} if this value is finite. We study under what inside information flow $\\mathbb{H}$ the insider market is viable or not. For example, assume that for all $t<T$ the insider knows the value of $B(t+\\epsilon_t)$, where $t + \\epsilon_t \\geq T$ converges monotonically to $T$ from above as $t$ goes to $T$ from below. Then (assuming that the insider has a perfect memory) at time $t$ she has the inside information $\\mathcal{H}_t$, consisting of the history $\\mathcal{F}_t$ of $B(s); 0 \\leq s \\leq t$ plus all the values of Brownian motion in the interval $[t+\\epsilon_t, \\epsilon_0]$, i.e. we have the enlarged filtration \\begin{equation}\\label{eq0.2} \\mathbb{H}=\\{\\mathcal{H}_t\\}_{t\\in[0.T]},\\quad \\mathcal{H}_t=\\mathcal{F}_t\\vee\\sigma(B(t+\\epsilon_t+r),0\\leq r \\leq \\epsilon_0-t-\\epsilon_t), \\forall t\\in [0,T]. \\end{equation} Using forward integrals, Hida-Malliavin calculus and Donsker delta functionals we show that if $$\\int_0^T\\frac{1}{\\varepsilon_t}dt=\\infty,$$ then the insider market is not viable.
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中文摘要：
我们考虑金融市场中的最优内部投资组合$\\pi（t）$问题，其相应的财富过程$X（t）=X ^{\\pi}（t）$由\\ begin{align}\\ label{eq0.1}\\ begin{cases}dX（t）&=\\ pi（t）X（t）[\\ alpha（t）dt+\\ beta（t）dB（t）]建模；\\四元t在[0，t]X（0）&=X\\u 0>0中，{cases}\\ end{align}，其中$B（\\cdot）$是布朗运动。我们假设，除了截至时间$t$的市场历史记录外，时间$t$的内幕人士还可以提前获得市场信息$varepsilon\\u t>0$。问题是找到一个内部投资组合$\\pi ^{*}$，它最大化了终端财富的预期对数效用$\\J（\\pi）$，即$\\sup{\\pi}J（\\pi）=J（\\pi ^{*}），\\text{其中}J（\\pi）=\\mathbb{e}[\\log（X ^{\\pi}（T））]。$$如果该值是有限的，则内幕市场称为“可行的”。我们研究在什么样的内幕信息流下，内幕市场是否可行。例如，假设对于所有的$t<t$，内幕人士知道$B（t+\\εt）$的值，其中$t+\\εt\\geq t$从上面单调收敛到$t$，因为$t$从下面收敛到$t$。然后（假设知情者拥有完美的记忆）在时间$t$时，她拥有内幕信息$\\mathcal{H}U t$，由历史$\\mathcal{F}U t$组成$B（s）；0\\leq s\\leq t$加上区间$[t+\\epsilon\\u t，\\epsilon\\u 0]$中布朗运动的所有值，即我们有扩大的过滤\\begin{等式}\\label{eq0.2}\\mathbb{H}\\u t}\\u{t\\in[0.t]，\\quad\\mathcal{H}\\u t=\\mathca{F}\\u t\\vee\\sigma（B（t+\\epsilon\\u t+r），0\\leq r\\leq\\epsilon\\u 0-t-\\epsilon\\u t），对于所有t\\in[0，t]。\\结束{方程}使用前向积分、Hida Malliavin微积分和Donsker delta泛函，我们表明，如果$$\\int\\u 0 ^ T\\frac{1}{\\varepsilon\\u T}dt=\\infty，$$，则内部市场不可行。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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关键词：information logarithmic Informatio formation Portfolio

可行内幕市场Solfa Draouil1,2和BerntOksendal1210 2018年1月SC（2010）：60H10；60H40；60J65；91B55；91B70；9 1G80；93E20关键词：随机微分方程；可行的金融市场；对数效用；内部信息；Donsker delta函数；Hida Malliavin微积分；正向积分；最佳内部控制。摘要我们考虑金融市场中的最优内部投资组合π（t）问题，相应的财富过程X（t）=Xπ（t），由（dX（t）=π（t）X（t）[α（t）dt+β（t）dB（t）]建模；t型∈ [0，T]X（0）=X>0，（0.1）{eq0.1}{eq0.1}，其中B（·）是布朗运动。我们假设，除了截至时间t的市场历史之外，时间t的内幕人士还可以提前获得市场信息εt>0个单位。问题是确定内幕人士投资组合π*最大化终端财富的预期对数效用J（π），即SUPπJ（π）=J（π*), 其中J（π）=E[对数（Xπ（T））]。如果内幕市场的价值是有限的，则称其为可行的。我们在内幕信息流下研究内幕市场是否可行。例如，假设对于所有t<t，内幕人士知道B（t+t）的值，其中t+t≥ 当T从下到下时，T从上到下单调收敛到T。然后（假设知情者拥有完美的记忆），在时间t，她拥有知情信息Ht，包括B（s）的历史；0≤ s≤ t加上区间内布朗运动的所有值，即我们有放大的滤波h={Ht}t∈[0.T]，Ht=英尺∨ σ（B（t+t+r），0≤ r≤ - t型- t），t型∈ [0，T]。（0.2）{eq0.2}{eq0.2}奥斯陆大学数学系，P.O。

挪威奥斯陆N–0316 Blindern 1053号信箱。电子邮件：oksendal@math.uio.noolfad@数学。uio。这项研究是在挪威研究委员会的支持下，在随机控制、信息和应用研究项目挑战（STOCONINF）中进行的，项目编号250768/F20。这会产生渐进的内部信息流H。不清楚B（·）在这种过滤下是否是半鞅。然而，使用正演积分、Hida Malliavincalculus和Donsker delta函数，我们表明ifZTεtdt=∞,那么内幕市场就不可行了。这扩展了[PK]中的一个结果，其中证明，如果知情者从时间0开始就知道B（T）的值（对应于εT=T- 那么市场是不可行的。1引言许多著作都研究了内幕交易问题，例如[A、AIS、AI、BO、C、DMOP2、DO1、H、IPW、PK]。这类问题与过滤的扩大有关【Ja、J、Je、M】。本文旨在研究金融市场中投资组合优化的经典默顿问题，并将其推广到交易方拥有内幕信息的情况，即获得与风险资产价格终值S（t）相关的随机变量值的信息。我们使用的框架基本上与论文[PK]中的框架相同，但具有渐进的内部信息流，而不是固定的初始内部信息。我们考虑h={Ht}t给出的内部信息∈[0.T]，Ht=英尺∨ σ（B（t+t+r），0≤ r≤ - t型- t），t型∈ [0，T]，（1.1）式中，T+T>T，当T变为T时，T+T变为T。我们证明了如果t+t≥ 当T到达T时，T收敛的速度足够快，即ztεtdt=∞,那么内幕市场就不可行了。

这扩展了[PK]中的结果，其中显示，如果交易者从一开始就知道B（T）的值（对应于T=T的情况- t表示所有t），则该值为有限值。我们推测反之亦然，即当且仅当εtdt=∞. 在第3节中，我们证明了一个支持这个猜想的结果。我们现在更详细地描述这一点：考虑一个金融市场，其中无风险资产的单价S（t）isS（t）=1，t≥ 0（1.2）{eq1.1}{eq1.1}，风险资产的单价过程S（t）没有跳跃，由（dS（t）=S（t）[α（t，Yt）dt+β（t，Yt）dB（t）]给出；t型≥ 0S（0）>0。（1.3）{eq1.2}{eq1.2}这里B（t）是给定过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F={Ft}0≤t型≤T、 P），其中fti是由B（s）生成的σ-代数；0≤ s≤ t、 对于每个t∈ [0，T]我们定义一个常数εT>0，我们让y成为一个给定的σ（B（T+T））-可测量的随机变量，表示控制器可获得的内部信息。我们假设知情者有一个完美的记忆，因此她在t时知道fta，并且能够记住所有之前的ys值；0≤ s≤ t、 因此，我们认为扩大的过滤G={Gt}t≥0给定值：gt=Ft∨ σ（Ys；0≤ s≤ t） 。此外，我们假设对于每个t，随机变量yth是一个Donsker delta泛函δYt（y）。不清楚B（t）是否是关于G的半鞅。因此我们定义了B- 方程（1.3）中的积分为正积分。

见第2节。现在，假设我们将一个自我融资的Gt适应投资组合π（t）=π（t，Yt）应用于该市场，其中π（t）是t时投资于风险资产的相应财富的分数。相应的财富过程X（t）=Xπ（t）满足方程（dX（t）=π（t，Yt）X（t）[α（t）dt+β（t）dB（t）；t∈ [0，T]X（0）=X>0。（1.4）{eq1.3}{eq1.3}设A为G的集合-调整、自我融资投资组合π（t，Yt），使forwardequation（1.4）具有唯一的解决方案。我们研究了以下内部最优投资组合问题：问题1.1发现π*∈ A这样的j（π*) = supπ∈AJ（π），（1.5）{eq17}{eq17}，其中j（π）：=E[对数（Xπ（T））]。（1.6）{eq18}{eq18}定义1.2市场（1.2）-（1.4）充满了可行的ifsupπ∈AJ（π）<∞. （1.7）{eq via}{eq via}在本文后面，我们将处理Yt=B（t+t）的特殊情况。然后，我们不考虑一般过滤G，而是考虑过滤H={Ht}t∈[0.T]，其中Ht=Ft∨ σ（B（t+t+r），0≤ r≤ - t型- t）t型∈ [0，T]，处理问题（1.2）-（1.7）。请注意，在这种情况下，A是一组H自适应、自融资的投资组合sπ（t，B（t+t）），因此方程（1.4）中的Yt=B（t+t）具有唯一的解。本文的目的是研究在什么样的内幕信息流下，内幕市场是可行的还是不可行的。特别是，我们证明，如果f或所有t内幕人士知道B（t+εt）的值，对于某些εt>0，那么内幕市场是不可行的，如果ztεtdt=∞.这扩展了[PK]中的一个结果，其中证明，如果知情者从时间0开始就知道B（T）的值（对应于εT=T的情况- 那么市场是不可行的。这类问题在论文【DOPP】（具体见第6.3节）中进行了研究，但方法不同，结果不如我们的论文那么明确。Corcuera等人。

[C] 处理了这类问题，但使用了另一种称为动态扩大过滤的过滤方法。这种过滤包括通过一个独立的噪声过程（倾向于0 asT方法）对底层变形函数的了解。这类信息与我们在本文中考虑的信息不同。解决问题的方法也不同于[C]。本文的结构如下：在第二节中，我们简要回顾了正积分、Donsker delta泛函和Hida Malliavin微积分。在第3节中，我们假设Yt=（Y（1）t，Y（2）t）。在定理3.1中，我们根据Donskerof Yt及其Hida Malliavin导数的条件期望给出了最优投资组合的显式表示。然后，我们考虑了Y（1）t=B（t+ε（1）t）和Y（2）t=B（t+ε（2）t）表示ε（1）t<ε（2）t的情况。在定理3.2中，我们证明了终端财富过程的最大期望对数效用仅取决于B（t+ε（1）t）的知识。因此，我们推导出，给定信息σ（B（t+t+r），0≤ r≤ -t型-t），t型∈ [0，T]对于内幕人士，B（T+T）的信息是相关的。在定理3.4中，我们给出了获得可行市场的条件。然后，我们给出了一些描述生存能力的例子。最后，在第3.2小节中，我们处理了t+t<t且Ht=Ft+t的情况。我们表明，当且仅当ifRTtdt<∞. 因此，在这种情况下，市场是不可维护的。2正积分和d onsker delta泛函2.1关于布朗运动的正积分由于我们不确定B（t）是否是H下的半鞅，我们将方程（1.3）和（1.4）解释为正积分。关于布朗运动的前向积分在开创性论文【RV】中首次定义，并在【RV1】、【RV2】中进一步研究。

该积分在[BO]中的内幕交易建模中引入，然后被几位作者应用于与内幕交易和具有高级信息的随机控制相关的问题（参见，例如[DMOP2]）。在[DMOP1]中，正积分后来扩展到泊松r和om度量积分。定义2.1我们说随机过程φ=φ（t），t∈ 如果存在一个过程I=I（T），T，则[0，T]可（在弱意义上）对B在区间l[0，T]上进行ward积∈ [0，T]，这样支持∈[0，T]| Ztφ（s）B（s+）- B（s）ds- I（t）|→ 0,  → 概率为0+，（2.1）。在这种情况下，我们写下ei（t）：=Ztφ（s）d-B（s），t∈ [0，T]，（2.2），并调用I（T）φ相对于B在[0，T]上的正积分。以下结果更直观地解释了作为黎曼和极限的前向积分：引理2.2假设φ是c\'agl\'ad且前向可积。THNZTφ（s）d-B（s）=lim△t型→0JnXj=1φ（tj-1） （B（tj）- B（tj-1） ），（2.3），概率收敛。此处，限值在分区s0=t<t<…<tJn=T到f T∈ [0，T]带△t：=最大值=1，。。。，Jn（tj- tj公司-1) → 0，n→ ∞.备注2.3从前面的引理中我们可以看到，如果被积函数φ是F适应的，那么黎曼和也是φ关于布朗运动的It^o积分的近似。因此，在这种情况下，前向积分和It^o积分重合。在这种情况下，我们可以将前向积分视为It^o积分到非单调分布的扩展。现在我们给出了正积分的一些有用性质。以下结果是定义的间接结果。引理2.4假设φ是一个前向可积随机过程，G是一个随机变量。那么乘积Gφ是正积随机过程，ztgφ（t）d-B（t）=GZTφ（t）d-B（t）。

（2.4）下一个结果表明，for-ward积分是该积分相对于半鞅的推广：引理2.5，设G：={Gt，t∈ [0，T]}（T>0）是一种过滤。假设是1。B是关于过滤G.2的半成品啤酒。φ是G-可预测的，积分ztφ（t）dB（t），（2.5）关于B，exi s ts。然后φ是前向可积的，ztφ（t）d-B（t）=ZTφ（t）dB（t），（2.6）我们现在转向正积分的It^o公式。在这方面，引入一种类似于it^o过程的经典符号的符号是很方便的。定义2.6正向过程（相对于B）是一个fo rmX（t）=x+Ztu（s）ds+Ztv（s）d的随机过程-B（s），t∈ [0，T]，（2.7）{前向形式1}{前向形式1}（x常数），其中rt | u（s）| ds<∞, P-a。s、 v i是一个前向可积随机过程。（2.7）的简写符号是thatd-X（t）=u（t）dt+v（t）d-B（t）。（2.8）定理2.7正向积分的一维It^o公式。出租人-X（t）=u（t）dt+v（t）d-B（t），（2.9）是一个正向过程。让f∈ C1,2（[0，T]×R）和定义（T）=f（T，X（T）），T∈ [0，T]。（2.10）然后Y（t），t∈ [0，T]也是一个正向过程，D-Y（t）=ft（t，X（t））dt+fx（t，x（t））d-X（t）+fx（t，x（t））v（t）dt。（2.11）我们还需要以下正向积分结果，这是通过对[DOP]中定理8.18的证明进行改编而得到的：命题2.8设ν为c ` agl ` ad，且在L（λ×P）中为正向积分过程。ThenE[Ds+Д（s）| Fs]：=lim→0+Zss-E[DsИ（t）| Fs]dt，存在于L（λ×P）和dE[ZTИ（s）d中-B（s）]=E[中兴通讯[Ds+Д（s）| Fs]Ds]。（2.12）{eq2.12}{eq2.12}，其中Dsν是ν对布朗运动B的Hida-Malliavin导数。在泊松随机测度情况下，可以获得类似的定义和结果。

参见【DMOP1】和【DOP】。2.2 Donsker delta函数在本节中，我们将定义随机变量Y=（Y，Y）的Do-nsker delta函数，其中值为R，因为在第3节中，我们想证明在过滤条件下，研究市场的生存能力需要了解B（t+t）的值。也就是说，如果我们知道B（t+（1）t）和B（t+（2）t）对于（1）t<（2）t的值，那么最终财富的最大预期效用仅取决于B（t+（1）t）的知识。定义2.9设Y=（Y，Y）：Ohm → Rbe也属于Hida空间的随机变量*随机分布。然后是连续函数δY（.）：R→ （S）*（2.13）{donsker}{donsker}被称为Y的donsker delta泛函，如果它的性质是Zrg（Y）δY（Y）dy=g（Y）a.s.（2.14）{donsker性质}{donsker性质}对于所有（可测）g:R→ 使得积分收敛。在这里和下面，dy=dydy表示二维勒贝格测度。命题2.10【AaOU】假设Y：Ohm → Ris是一个正态分布的随机变量，平均值m=E[Y]，协方差矩阵C=（cij）1≤i、 j≤2、假设C可逆，逆A=（aij）1≤i、 j≤那么δY（Y）是唯一的，由表达式δY（Y）=（2π）给出-1 | A | exp{-Xi，j=1aij（yi- 彝语） （yj- Yj）}，（2.15），其中| A |是在许多情况下已知的Donsker delta泛函的AExplicit公式的确定值。对于高斯情况，请参见第2.3节。有关详细信息和更一般的情况，请参见。

【AaOU】、【DiO1】、【DiO2】、【MOP】和【DO1】。在下一小节中，我们选择特定示例Y（t）=（B（t+（1）t），B（t+（2）t）），其中（1）t<（2）t，因为在第3节中，我们旨在证明需要了解B（t+（1）t）来研究市场的可行性。下面是示例2.1计算中使用的一些有用公式：设f和G∈ （S）*, 我们有：Dt（F G） =F DtG+DtF G、 （2.16）Dt（Fn） =nF（n）-1) DtF，（n=1，2…），（2.17）DtexpF=经验值F DtF，（2.18）E[经验值F | Ft]=膨胀E【F | Ft】，（2.19）Dt（ZRf（s）dB（s））=F（t）。（2.20）2.3示例2.1让Y（t）=（B（t+（1）t），B（t+（2）t）），其中（1）t<（2）t。Y的期望值由E[Y（t）]=（0，0）给出，方差矩阵为v=“t+（1）tt+（1）tt+（1）tt+（2）t#。其逆矩阵由a给出=t+（2）t（t+（1）t）（（2）t-（1）t）-1（2）吨-（1）t-1（2）吨-（1）t（2）t-（1）t.A的行列式为：det（A）=（t+（1）t）（（2）t- （1）t）>0。（2.21）那么Y（t）=（B（t+（1）t），B（t+（2）t））的Donsker delta由以下公式得出：δB（t+（1）t），B（t+（2）t）=（2π）-1pdet（A）扩展-t+（2）t2（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t+（1）t））2+（2）t- （1）t（y- B（t+（1）t）） （y）- B（t+（2）t））-2（（2）t- （1）t）（y- B（t+（2）t））2].（2.22）当采用条件期望时，利用Wick规则，并利用过程B（t+（1）t）和B（t+（2）t）的鞅性质，我们得到[δY（Y）| Ft]=（2π）-1pdet（A）扩展（E）[-t+（2）t2（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t+（1）t））2 | Ft）+E[（2）t- （1）t（y- B（t+（1）t）） （y）- B（t+（2）t））|英尺]- E[2（（2）t- （1）t）（y- B（t+（2）t））2 | Ft]）=（2π）-1pdet（A）扩展(-t+（2）t2（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t））2+（2）t- （1）t（y- B（t）） （y）- B（t））-2（（2）t- （1）t）（y- B（t））2)= (2π)-1pdet（A）扩展(-（y）- y） 2（（2）t- （1）t）exp(-2（t+（1）t）（y- B（t））2).