可行的内部市场

（2.23）对于[AaOU]中的相同符号a s，我们用a=-2（t+（1）t），ψ=1[0，t]。我们有2 | a | kψk=tt+（1）t<1，然后使用[AaOU]中的推论3.6，我们得到[δY（Y）| Ft]=（2π）-1exp(-（y）- y） 2（（2）t- （1）t）s（1）t（2）t- （1）t）exp(-2（1）t（y- B（t）））。（2.24）现在我们要计算E[DtδY（Y）| Ft]。我们有DtδY（Y）=Dt[（2π）-1pdet（A）扩展-t+（2）t2（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t+（1）t））2+（2）t- （1）t（y- B（t+（1）t）） （y）- B（t+（2）t））-2（（2）t- （1）t）（y- B（t+（2）t））2]]= (2π)-1pdet（A）扩展-t+（2）t2（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t+（1）t））2（2.25）+（2）t- （1）t（y- B（t+（1）t）） （y）- B（t+（2）t））-2（（2）t- （1）t）（y- B（t+（2）t））2](2.26) {t+（2）t（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t+（1）t））（2.27）-（2）t- （1）t（y- B（t+（1）t）+y- B（t+（2）t））+（2）t- （1）t（y- B（t+（2）t））}。（2.28）ThenE[DtδY（Y）| Ft]=（2π）-1pdet（A）E[实验-t+（2）t2（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t+（1）t））2+（2）t- （1）t（y- B（t+（1）t）） （y）- B（t+（2）t））-2（（2）t- （1）t）（y- B（t+（2）t））2]|英尺]（2.29） E[t+（2）t（t+（1）t）（（2）t- （1）t）（y- B（t+（1）t））（2.30）-（2）t- （1）t（y- B（t+（1）t）+y- B（t+（2）t））+（2）t- （1）t（y- B（t+（2）t））| Ft]=（2π）-1s（t+（1）t）（（2）t）- （1）t）exp(-（y）- y） 2（（2）t- （1）t）exp(--（（2）t- （1）t）2（（2）t- （1）t）（t+（1）t）（y- B（t））2) {y- B（t）t+（1）t}。（2.31）引理3.8 in[AaOU]qt+（1）texp(-2（t+（1）t）（y- B（t））2) y- B（t）t+（1）t（2.32）=q（1）texp(-（y）- B（t））2（1）t）y- B（t）（1）t.（2.33）ThenE[DtδY（Y）| Ft]=（2π）-1exp(-（y）- y） 2（（2）t- （1）t）s（1）t（2）t- （1）t）exp(-（y）- B（t））2（1）t）y- B（t）（1）t.（2.34）3主要结果我们首先回顾了如何用Yt=（Yt，Yt）找到最佳港口对账单的一般表达式。这在【DO1】中首次得到证实。另见[OR]。现在我们回到问题1。1.

我们没有rmalizexto为1，因此我们有（dX（t）=π（t，Yt）X（t）[α（t）dt+β（t）dB（t）]X（0）=1，其中Yt=（Yt，Yt）。该随机微分方程的解由以下公式得出：X（t）=exp[Ztπ（s，Ys）β（s）dB（s）+Zt（π（s，Ys）α（s）-π（s，Ys）β（s））ds]。（3.1）因此，性能函数（1.6）由以下公式得出：J（π）=E[对数Xπ（T）]=E[ZTπ（T，Yt）β（T）dB（T）+ZT（π（T，Yt）α（T）-π（t，Yt）β（t））dt]。（3.2）{eq0.2}{eq0.2}我们现在使用δYt（y）的Donsker delta泛函的定义，我们得到：ZTπ（t，Yt）β（t）dB（t）+ZT（π（t，Yt）α（t）-π（t，Yt）β（t））dt=ZRZTπ（t，y）β（t）δYt（y）dB（t）dy+ZRZT（π（t，y）α（t）-π（t，y）β（t））δYt（y）dtdy，（3.3）然后使用下面的正积分一般对偶公式：E[ZTφ（t）dB（t）]=E[ZTE[Dt+φ（t）| Ft]Dt]，（3.4）然后我们得到：E[log Xπ（t）]=E[ZR（ZTπ（t，y）β（t）E[Dt+δYt（y）| Ft]dy]+E[ZR（ZT（π（t，y）α（t）-π（t，y）β（t））E[δYt（y）| Ft]dt）dy]=ZRE[ZT{π（t，y）β（t）E[dt+δYt（y）| Ft]+π（t，y）α（t）E[δYt（y）| Ft]-π（t，y）β（t）E[δYt（y）| Ft]}dt]dy.（3.5）{eq0.5}{eq0.5}映射π7→ πβ（t）E[Dt+δYt（y）| Ft]+πα（t）E[δYt（y）| Ft]-πβ（t）E[δYt（y）| Ft]（3.6）在β（t）E[Dt+δYt（y）| Ft]+α（t）E[δYt（y）| Ft]时最大- ^π（t，y）β（t）E[δYt（y）| Ft]=0，（3.7），即当π=^π（t，y）=α（t）β（t）+E[Dt+δYt（y）| Ft]β（t）E[δYt（y）| Ft]。（3.8）{eq0.8}{eq0.8}我们将我们所证明的总结如下：定理3.1[DO1]，[R]最优内部人投资组合π*问题1.1的*（t，Yt）=α（t）β（t）+E[Dt+δYt（y）| Ft]y=Ytβ（t）E[δYt（y）| Ft]y=Yt。（3.9）3.1特殊情况我们现在将上述情况应用于市场，当时间t的额外内幕信息由yt=（B（t+ε（1）t），B（t+ε（2）t））；t型∈ （0，T）。（3.10）{eq4.4}{eq4.4}对于（1）t<（2）t。我们有，y=（y，y），E[δy（y）| Ft]=（2π）-1exp(-（y）- y） 2（（2）t- （1）t）s（1）t（2）t- （1）t）exp(-2（1）t（y- B（t）），（3.11）{eq0.9}{eq0.9}和[DtδY（Y）| Ft]=（2π）-1exp(-（y）- y） 2（（2）t- （1）t）s（1）t（2）t- （1）t）exp(-（y）- B（t））2（1）t）y- B（t）（1）t。

（3.12）{eq0.10}{eq0.10}在（3.8）中替换（3.11）和（3.12），我们得到π*（t，y）=α（t）β（t）-B（t）- yβ（t）ε（1）t.（3.13）{eq0.11}{eq0.11}替换（3.13）in（3.5），得到zre[ZT{[α（t）β（t）-B（t）- yβ（t）ε（1）t]β（t）E[Dt+δYt（y）| Ft]+[α（t）β（t）-B（t）- yβ（t）ε（1）t]α（t）E[δYt（y）| Ft]-[α（t）β（t）-B（t）- yβ（t）ε（1）t]β（t）E[δYt（y）| Ft]}dt]dy=E[ZT{ZR（ZR（2π）-s（（2）t- （1）t）exp(-（y）- y） 2（（2）t- （1）t）dy）×（2π（1）t）-经验值(-（y）- B（t））2（1）t）[α（t）β（t）-B（t）- yβ（t）ε（1）t]β（t）y- B（t）（1）t+α（t）-β（t）[α（t）β（t）-B（t）- yβ（t）ε（1）t]dy}]=（2πε（1）t）-ZRE[ZTEP(-（B（t）- y） 2ε（1）t）（B（t）- yε（1）t-α（t）β（t））dt]dy.（3.14）{eq0.12}{eq0.12}Putb=B（t），σ=α（t）β（t）。（3.15）将上述被积函数与dywe积分得到：（2πεt）-ZREP公司(-（B（t）- y） 2ε（1）t）（B（t）- yε（1）t-α（t）β（t））dy=（2πε（1）t）-ZREP公司(-（b）- y） 2ε（1）t）（b- yε（1）t- σ） dy=（2πε（1）t）-ZREP公司(-（b）- y） 2ε（1）t）（b- yε（1）t- σ） （b）- yε（1）t- σ） dy=（2πε（1）t）-ZR{ddyexp(-（b）- y） 2ε（1）t）- σexp(-（b）- y） 2ε（1）t）}（b- yε（1）t- σ） dy=（2πε（1）t）-[ZRddyexp(-（b）- y） 2ε（1）t）（b- yε（1）t- σ） dy+σZRexp(-（b）- y） 2ε（1）t）dy]=（2πε（1）t）-[ZREP(-（b）- y） 2ε（1）t）（ε（1）t）dy+σZRexp(-（b）- y） 2ε（1）t）dy]=ε（1）t+σ=ε（1）t+（α（t）β（t））。（3.16）然后从方程（3.14）中我们得到：定理3.2内幕市场（1.4），（3.10）中问题1.1的最大预期对数效用，insi de information Yt=（B（t+t），B（t+t））isE[log Xπ*（T）]=E[ZT（ε（1）T+（α（T）β（T）））dt]。（3.17）备注3.3从该定理中，我们得出，最终财富的最大预期效用仅取决于B（t+（1）t）的值。如果我们已经知道B（T+（1）T），那么关于B（T+（2）T）值的附加信息对于优化问题是无关的。这有力地表明，如果内幕人士已经知道B（t+t）的值，那么除了知道所有r的B（t+r）值外，还知道所有r的B（t+r）值∈]t，- t] 不会增加最佳投资组合的价值。

然而，我们无法证明这一点。作为定理3.2的推论，我们得出了以下生存的必要条件：定理3.4这个内部市场（1.4），（3.2），（3.10）仅在ifZTεtdt<∞. （3.18）{eq3.18}{eq3.18}备注3.5如备注3.3中所述，定理3.2支持我们的猜测，即我们事实上拥有市场是可行的，当且仅当（3.18）成立。示例3.1 1。如果t=（t- t） q对于某些q>1，则ZTtdt=ZT（t- t） qdt=∞. （3.19）且市场不活跃。特别是，对于q=1（对应于所有t的t+t=t），这是通过不同的方法首次证明的。在这种情况下，B（·）是关于h的sem i鞅：=K：={K}t≥0，其中Kt=Ft∨ σ（B（T）），t型∈ [0，T]。2、如果t=（t- t） p对于某些p<1，则ZTtdt=ZT（t- t）-pdt=T1-p1级- p<∞. （3.20）根据定理3.4，这表明市场是脆弱的。3.2当t+t≤ T表示所有tIf T+T≤ 对于所有的T，那么对于具有完美记忆的内部人员，自然对应的信息过滤isH={Ht}T≥其中，Ht=Ft+t.（3.21）{eq3.21}{eq3.21}在这种情况下，B（·）不是关于H的半鞅（见下文）。然而，我们上面的计算表明：定理3.6内幕市场（1.4）、（3.21）、（3.10）在且仅当ifZTtdt<∞. （3.22）在这种情况下≤ T- t和RTDTT-t=∞, 我们的结论是，在这种情况下，市场永远不可能存在。这也是[PK]结果的概括，但方向不同。命题3.7假设t→ 这是一个有限的变化。那么B（·）不是关于H的半鞅，其中Ht=Ft+t，t型≥ 0.证明。假设t B（·）是一个H-半鞅。然后B（t）=▄B（t）+A（t），（3.23），其中▄B（t）是一个H-mar t单声道，A（t）是一个H适应的有限变化过程。

然后，fort+ε≤ t+h≤ T，0=E[B（T+h）-B（t）| Ht]=E[B（t+h）- B（t）| Ht]- E[A（t+h）- A（t）| Ht）=E[B（t+h）- B（t）| Ft+εt]- E[A（t+h）- A（t）| Ht]=B（t+εt）- B（t）- E[A（t+h）- A（t）| Ht]。（3.24）然后我们得到b（t+εt）- B（t）=E[A（t+h）- A（t）| Ht]。（3.25）这是一个矛盾，因为a是一个有限的变化过程。参考文献[AaOPU]K.Aa se、B.Oksendal、N.Privault和J.Uboe：克拉克-豪斯曼-奥肯定理的白噪声推广及其在数学金融中的应用。FinanceStoch公司。4 (2000), 465-496.[AaOU]K.Aase、B.Oksendal和J.Uboe：使用Donsker delta函数计算对冲策略。潜力分析14（2001），35 1-374。[A] J.Amendinger：初步扩大金融市场的过滤和额外信息。柏林理工大学（博士论文），1999年。【AIS】J.Amendinger、P.Imkeller和M.Schweizer：一个侧码的附加对数效用。随机过程及其应用，75（1998），263-286。【AI】S.Ankirchner和P.Imkeller：《信息不对称的金融市场：信息漂移、附加效用和熵》。第六届立命馆国际研讨会论文集，2007年，1-21。[B] 布莱曼：概率。Addison Wesley 1968年。[BO]F.Biagini和B.Oksendal：内幕交易的一般随机演算方法。应用程序。数学（&M）Optim公司。52 ( 2005), 167-181.[C] J.M.Corcuera、P.Imkeller、A.Kohatsu Higa和D.Nualart：具有不完全动态信息的投资者的额外效用。《金融与随机》，8（2004），437-450。【DMOP1】G.Di Nunno、T.Meyer Brandis、B.Oksendal和F.Proske：Malliavin calculusand ant icipative It^o for L’evy过程的公式。Inf.尺寸。肛门。量子探针。相关信息。专题8（2005），235-258。【DMOP2】G.Di Nunno、T.Meyer Brandis、B.Oksendal和F.Proske：在利维流程驱动的市场中，选择投资组合或内幕人士。Q数量。

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