种子选择对偿付能力II比率的影响

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英文标题：
《The Influence of Seed Selection on the Solvency II Ratio》
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作者：
Quinn Culver, Dennis Heitmann, Christian Wei{\\ss}
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This article contains the first published example of a real economic balance sheet where the Solvency II ratio substantially depends on the seed selected for the random number generator (RNG) used. The theoretical background and the main quality criteria for RNGs are explained in detail. To serve as a gauge for RNGs, a definition of true randomness is given. Quality tests that RNGs should pass in order to generate stable results when used in risk management under Solvency II are described.
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中文摘要：
本文包含第一个发布的实际经济资产负债表示例，其中偿付能力II比率在很大程度上取决于为所使用的随机数生成器（RNG）选择的种子。详细说明了RNG的理论背景和主要质量标准。为了作为RNG的衡量标准，给出了真实随机性的定义。描述了RNG在Solvency II下用于风险管理时应通过的质量测试，以产生稳定的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> The_Influence_of_Seed_Selection_on_the_Solvency_II_Ratio.pdf (614.47 KB)

2022-6-2 22:26:47 上传

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关键词：偿付能力 Quantitative Applications Theoretical QUANTITATIV

种子选择对Solvency II比率的影响Culver Dennis Heitmann Christian Weiss2018年2月6日摘要本文包含第一个发布的真实经济资产负债表示例，其中Solvency II比率在很大程度上取决于为所用随机数生成器（RNG）选择的种子。详细阐述了RNG的理论背景和主要质量标准。为了作为RNG的衡量标准，给出了真实随机性的定义。描述了在SolvencyII下用于风险管理时，RNG应通过的质量测试，以产生稳定的结果。介绍大多数德国保险公司使用标准公式计算风险资本，这意味着在几乎所有情况下都使用德国保险协会（GDV）提供的模拟模型BranchenSimulationModel（BSM），以评估Solvency II框架内的最佳估计负债（BEL）、自有资金（of）和偿付能力资本要求（SCR）。一些保险公司，尤其是欧洲范围内的股本公司，使用内部模型，在本文中，我们仅考虑BSM。根据立法（见[EIO15]），计算BEL的方法必须准确。特别是对于人寿保险，BEL计算的一个非常重要的组成部分是经济情景生成器（ESG）。在此，指南55-59，【EIO15】明确规定了其质量要求。BSM（或任何其他内部模型）蒙特卡罗模拟的可靠性不仅取决于经典精算角度的模型质量，还取决于基础ESG的表现。在本文中，我们将重点放在ESG中具有数学挑战性的方面，即其中使用的随机数作为随机性的驱动因素。

准则59，【EIO15】明确要求对ESG中使用的随机数发电机进行适当测试。GDV提供的ESG在Excel中实现，并基于Wichmann和Hill的组合线性同余生成器（LCG）（参见[Wie82]），以生成基础随机数。实例为了演示随机数生成器的影响，让我们考虑一个典型的德国人寿保险公司的例子，该公司使用BSM，在其投资组合中重点关注养老业务。从监管的角度来看，需要有稳定的结果，这取决于ESG的随机数生成器。然而，我们的数据显示，ESG中的这些设置之一，即种子选择，对经济资产负债表中的相关财务报表数据以及最终的偿付能力II比率产生了重大影响。捐赠业务是德国市场的典型业务，BSM主要是为其估值而开发的。根据我们的数据，2016年的偿付能力II比率处于德国市场典型寿险公司的范围内。由于关注结果的稳定性，我们关注的是相对变化和百分比差异，而不是绝对数字。表1给出了两个种子的相关财务数据的简短比较。这两个种子是所分析的30个种子中的两个，显示出典型的差异，而不是在集合中观察到的最大值。相关财务信息Delta自有基金[%]-8.2 Delta SCR[%]7.2 Delta风险边际[%]9.9最终偿付能力II比率Delta SII比率[%]-14.2 Delta SII比率[pp]-35.0表1。

比较两个种子的相关财务数据。由于我们可以假设BSM模型工作正常，因此有两种解释可以解释为什么示例中的结果相差如此之大：要么是蒙特卡罗模拟的收敛速度，要么是其中一个种子产生的随机序列比另一个种子产生的随机序列更多。随机性意味着什么？“随机”一词描述了缺乏模式和可预测性。例如，可以正确地说，如果x是根据单位区间[0，1]的均匀分布随机选择的，那么（根据强大的数字定律），它满足以下特性：P1。数字0-9中的每一个都以x的十进制展开形式显示，并以频率显示；e、 g.limn公司→∞xn=的前n位中的7个数。P1是随机性属性的一个示例，但其满足度肯定不足以保证随机性；有些数字，如0.0123456789，直观上是非随机的，但满足P1。因此，除了只满足P1之外，还可能要求它满足另一个（几乎可以肯定的）属性P2。但是，可以展示一个直觉上非随机满足P1和P2的例子。然后，很自然地尝试通过只考虑满足所有随机性属性的x来定义随机性。这种方法的问题是有太多的随机性属性，因为“不等于x”的属性几乎肯定成立，因此是随机性属性。如果需要一个随机数来满足每个x的该属性，那么就没有什么可以调用random了。计算理论为限制随机性提供了一种自然的方法；只有那些可以由计算机有效检查的属性。

（对于非常复杂的x，计算机无法检查“不等于x”。）定义1通过利用外部规律性抽象出随机性的概念；任何概率为零的事件都可以被任意小概率的开放集所覆盖。任何几乎可以确定的性质，一个人想要真正的随机x∈ [0，1]满足可以表示为所谓的Martin-L"oftest。定义1（【Nie09】）。随机性的（Martin-L"of）检验是一个序列U，U。[0，1]的开子集，对于有理数an，k，bn，k，oPr（Un），具有以下性质oUn=Sk（an，k，bn，k）≤ 2.-n、 o有一个（抽象）计算机程序，给定输入n和k，输出an，kand bn，k.A数字x∈ 如果x，则[0，1]通过测试/∈如果TUnand x通过了每一个这样的测试，则称之为（Martin-L"of）random。此外，定义1给出了一个本质上不实用的定义；给定x的整数位数∈ [0，1]不确定其随机性。然而，从实践者的角度来看，只有有限的样本具有相关性。正如约翰·冯·诺依曼所说，“任何一个考虑产生随机数字的算术方法的人，当然都处于罪恶的状态。”（参见[VNWiki]）随机数生成器。在我们解释如何进行实际测试之前，如果手头的序列是随机的，我们必须更好地了解计算机是如何产生随机数的，以及什么是种子选择。在每个蒙特卡罗模拟的核心，都有一系列随机变量X，X。。。它（i）均匀分布在区间[0，1]和（ii）满足夏尔相互独立的性质。随机数生成器是产生这种序列的机制。经济情景生成器由这些数字提供数据。Mersenne Twister是最常见的随机数生成器之一。

与大多数其他常用的随机数生成器一样，它基于同余计算。由于我们只想让读者熟悉其背后的思想，而不是全面概括该主题（参见[Gla03]、第2章[Nie92]、第7章，以及最重要的[PTVF07]、第7章，了解更多细节），因此我们在此仅解释Lehmer在[Leh51]中引入的简单线性同余生成器，这有助于全面理解。首先，我们选择一个大整数m，称为模数，一个整数a，称为乘数，0<a<m，一个数字c，称为增量，GCD（c，m）=1，一个起始值Y，0≤ Y<m。通过递归yn+1=（aYn+c）mod m，n获得一系列数字≥ 由此，可通过取Xn+1=Yn+1m，得出[0，1]中的序列。事实上，对数字a、c、m、Y的复杂选择对于获得一个好的随机序列至关重要。这个过程称为种子选择。请注意，在重复应用一定次数后，序列yn将重复。重复的周期称为周期。当然，这段时间尽可能长是一个可取的特性。有一个众所周知的定理指出，周期最多为m，在这种情况下，它也可以精确描述。属性（i）不是一个限制，因为有许多方法可以将均匀分布在[0，1]上的随机变量转换为任意分布的随机变量，请比较[Gla03]，第2.2章。这些方法由保险公司使用的经济情景生成器应用。不依赖同余的随机数生成器的一个例子是约翰·冯·纽曼（JohnVonneumann）的中间平方法，由于几个原因，该方法在实践中不是一种好方法。对于某些种子，如m=10，Y=a=c=7，得到的序列Xnis显然不是随机的，请参见[Knu98]。定理1。

（见[Knu98]，第1章，定理A）由m、A、c和Y定义的线性同余序列的周期长度为m，当且仅当（i）c相对于m是素数，（ii）b=A- 对于每个素数p除以m，1是p的倍数，（iii）如果m是4的倍数，b是4的倍数。随机数生成器的质量标准。由于工业上常用的随机数生成器基于确定性算法，该算法类似于线性同余方法，因此它们继承了周期性，不会产生数学意义上的独立随机变量。因此，在这种情况下谈论伪随机数更合适。本文其余部分的主要问题是，我们是否以及如何区分伪随机数和随机数。换句话说：给定一个伪随机数序列和一个随机数序列，我们能从统计学上确定哪一个是由计算机组成的吗？检测计算机创建的数字序列的可能性越小，随机数字生成器（或

一个非常简单的起点是计算有限序列x的经验平均值和方差，并将其与理论上预期的值1/2和1/12进行比较。这可以通过应用Student的t检验和Levene的检验以一种统计上精确的方式来实现。事实上，由于Solvency II委托法案的要求，算法必须具有确定性【EC15】。此外，在下一步中，可以将经验分布与均匀分布进行图形化比较。最后，可以使用KolmogorovSmirnov检验、卡方检验或Anderson-Darling检验等拟合优度检验来判断经验观察和理论期望分布是否在全球范围内。请注意，只有非常糟糕的随机数生成器才能通过这些基本测试。置换试验。我们选择一个任意整数2≤ kN- 1并考虑元组（xn，xn+1，…，xn+k-1） 对于n=1，N- k、 所有的k！泛型k元组的条目之间的相对顺序应为准概率，即具有概率k！。通过计算样本中排序的经验频率并应用拟合优度检验，我们可以判断是否必须拒绝相对排序均布的无效假设。串行测试。[0，1]上的均匀分布序列在任何地方都是等密度的。连续数字的偶l元组应均匀且独立地分布在[0，1]l上。序列测试分析是否满足此特性。为此，我们首先将[0，1]的每个副本划分为等长的部分，用于一些整数d≥ 2、通过这种构造，我们获得了k：=体积的dL子立方体，因此每个子立方体都应包含λ：=有限序列的元素。系列测试测量子立方体的经验计数yjo和λ之间的差异。

相应的测试统计数据由x给出：=r-1Xj=0（Yj- λ） λ近似为卡方分布，k- 1自由度。因此，我们可以在最后应用卡方检验，看看是否在统计上保持等分布。串行测试的关键是k的选择。为了获得（良好的）近似卡方分布，通常建议使用N/k≥ 这给出了d的上限，因为从另一个角度来看，类别的数量太多，测试不够精确（见[Knu98]，3.3.2）。生日间隔测试。生日间隔测试是系列测试的一个补充。它的名字是受生日“悖论”的启发，该悖论指出，一些随机选择的23人组成的一对可能具有相同的四元组（0.8，0.1，0.2，0.05）的相对顺序（4，2，3，1）。生日是五折。对于序列测试，我们将[0，1]分解为k个细胞，并考虑序列的n个点。让我≤ 我≤ . . . ≤ Inbe这些n点所在的单元数，让Y为碰撞数。众所周知，Y近似为泊松分布，平均n/（4k）（见[ES07]）。然后可以对Y的N/N样本值进行卡方检验。图1：。伪随机数对（xk，xk+1）。光谱测试。虽然到目前为止所有的测试都是由统计数据驱动的，但我们通过一个纯粹的几何测试来完成我们的列表。图1和图2使用与Excel中实现的伪随机数序列相似的伪随机数序列生成。它们分别显示了由所有对（xk，xk+1）组成的集合三元组（xk，xk+1，xk+2）。

虽然图1乍一看似乎并不特别引人注目，但图2令人惊讶，因为所有点都位于少数平面上。在生日悖论的语言中，子序列n的长度对应于生日的数量，而细胞k的数量对应于一年中的天数。事实上，我们使用了m=2、a=4649和c=819的线性同余方法。之所以选择这个例子，是因为所描述的效果已经在低维度中可见。图2：。伪随机数的三元组（xk，xk+1，xk+2）。另一方面，随机数生成器既不期望也不希望生成任何对称的几何结构。这是所有依赖线性同余的随机数生成器的一个缺点，我们现在将对此进行解释。设1/ν为直线之间的最大距离，覆盖所有点的所有平行直线族（xk，xk+1）。1/ν越大，覆盖所有点的线就越少。换句话说，ν越大，随机数生成器生成的对称结构就越少。因此，ν是随机数生成器的二维精度。精度νdC的概念可以很容易地推广到更高的维度D，例如，在维度3中，我们用平面代替直线。对数字logνdis的另一种解释是，它们测量d元组中有多少个数字可能被认为是独立的。伪随机数和截短为1/v倍数的随机数之间的区别在于，随机数序列在所有维度上的精度大致相同。文献中建议接受随机数生成器，以便在νd时应用≥ 230/DF用于2≤ d≤ 6、光谱测试的实际实施需要一些行编程代码，但仍然可以通过合理的努力来实现（详情参见[Knu98]）。