系统噪音：股票期权市场的微观波动

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英文标题：
《Systematic Noise: Micro-movements in Equity Options Markets》
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作者：
Adam Wu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Equity options are known to be notoriously difficult to price accurately, and even with the development of established mathematical models there are many assumptions that must be made about the underlying processes driving market movements. As such, the theoretical prices outputted by these models are often slightly different from the realized or actual market price. The choice of model traders use can create many different valuations on the same asset, which may lead to a form of systematic micro-movement or noise. The analysis in this paper demonstrates that approximately 1.7%-4.5% of market volume for options written on the SPY ETF within the last two years could potentially be due to systematic noise.
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中文摘要：
众所周知，股票期权很难准确定价，即使建立了数学模型，也必须对驱动市场运动的基本过程做出许多假设。因此，这些模型输出的理论价格通常与实际市场价格略有不同。交易员使用的模型选择可能会对同一资产产生许多不同的估值，这可能会导致一种形式的系统性微观运动或噪音。本文的分析表明，过去两年内，SPY ETF期权市场交易量的约1.7%~4.5%可能是由于系统噪音造成的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：股票期权 期权市场 Quantitative Mathematical QUANTITATIV

股票期权市场的系统性噪音波动众所周知，股票期权很难准确定价，即使建立了数学模型，也必须对驱动市场波动的基本过程做出许多假设。因此，这些模型输出的理论价格往往与实际市场价格略有不同。交易员使用的模式l的选择可能会在同一资产组合上产生许多不同的估值，这可能会导致某种形式的系统微观运动或噪音。本文的分析表明，在过去两年内，SPY ETF期权减记的市场容量中约有1.7%~4.5%可能是由于系统噪音造成的。JEL分类：G12Adam WuIndiana Universit yApril 2017特别感谢Michael Alexeev博士对研究过程的指导和支持47405adamwu@indiana.edu/+1（415）969 0380简介正如Ari stotle在《政治学》中所描述的那样，一千年前，古希腊哲学家米利都（Miletus）第一次知道期权的日期。泰雷兹预测下一个季节将迎来一次非常成功的橄榄收获，他仅仅是一个贫穷的哲学家，获得了使用橄榄压榨机的权利，这种压榨机可以将橄榄转化为油，只需少量沉淀。当季节来临，泰利斯对天气的预测变得正确时，他能够用一笔非常小的投资获得巨大的利润。泰雷兹与橄榄压榨机所有者签订的这份合同与我们今天使用的许多现代金融合同没有什么不同，统称为衍生品。本文的重点是一种特殊类型的金融衍生工具，即期权。

期权是一种合同，赋予合同持有人在特定期限内以特定价格购买或出售资产的权利（但不是义务）。为了澄清一些术语，这个指定的价格被称为期权的执行价格，合同执行的最后一天被称为到期日。此外，还有两类主要的期权。欧式期权只能在特定日期（即2019年3月25日）行使，而美式期权可以在到期日之前的任何时间行使。近年来，亚洲期权、复合期权（期权上的期权）等更为复杂的衍生工具兴起，而其他具有嵌入股权或债务证券的衍生工具更难以准确估值，超出了本文的范围。实际上，世界上几乎所有公开交易所交易的股票期权都是美国形式。从上面的轶事来看，很明显，期权可以在限制下行风险的同时获得非常丰厚的回报。然而，一个重要的问题是，由于这些选项的复杂性，它们的实际价值如何（即泰雷兹实际应向Olive e press所有者支付多少？）。20世纪70年代初，被称为Black-Scholes模型的数学家在股票期权定价方面取得了重大突破。自那时起，Black-Scholes模型被大量扩展，其许多假设受到质疑和放松，导致了许多其他模型，如分析近似、格点树方法或s上的统计模拟。然而，与任何理论模型一样，每个选项都有自己的一套假设和计算方法，这使得选项的定价实际上略有不同，具体取决于所使用的模型。

由于这些估值可能构成交易策略和决策的关键因素，模型的选择及其各自的错误定价可能会在股票期权市场中形成一种系统的微观运动形式。请注意，欧洲和美国的术语与大陆没有任何关系。诺贝尔奖获得者保罗·萨缪尔森（PaulSamuelson）在1965年的一篇文章中创造了这些标签，因为据推测，由于选项的复杂性，他的欧洲同事不鼓励他研究选项，因此他将简单的选项命名为“欧洲”。衍生工具定价模型概述布莱克-斯科尔斯-默顿期权模型1973年，数学家菲舍尔·布莱克（Fischer Black）、迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）开发了一个随机微分方程，该方程模拟了期权随时间变化的公平价格，并于1997年获得诺贝尔经济学奖。

作为最早的期权估值正式数学模型之一，这一突破甚至在今天也对交易员如何定价这些资产或对冲其投资组合产生了巨大影响。本节将简要解释Black-Scholes模型背后的主要思想，以及其关键假设和局限性。允许=      =    首先，假设股票价格的变化在短时间内近似正态分布。~ (, )其中S是时间t的股价，N（x，y）是均值为x的正态分布，方差为，则基本价格运动的随机过程遵循几何布朗运动。=   +   注意，μ和σ是常数，因此可以显示（应用it^o引理）：ln~ [ln+ , ]因此，这意味着股票价格大致呈对数正态分布，至少在很短的时间内是如此。现在假设f是一种金融衍生产品的价格（任何资产的价值来源于基础股价）。因为f是S和t的函数，所以通过它的l emma：=  +++ () 通过构建一个投资组合，使一个衍生工具做空（-1 f）和做多f/标的股票的S股：=   +如果π被定义为完整推导的投资组合价值，请参见作者的原著《期权和公司负债的定价》或John C。

赫尔的综合文本“期权、期货和其他衍生品”这一表述被广泛用于建模股票价格行为，但其实际适用性仍存在争议，因此服务于布莱克-斯科尔斯模型背后的一个主要假设。该投资组合在短时间内的变化是：=   +我们已经定义了df和dS，因此将它们替换为上面的内容可以得到：= 需要注意的是，维纳过程组成部分dz被取消，这表明该投资组合在小时期内是无风险的。=  = +通过重新安排条款，++= 这是一个完整的Black-Scholes-Merton微分方程，它模拟了金融衍生品的价格与时间和基础股价的关系。请注意，这有无穷多个解对应于从S中导出其值的任何资产。要求解特定导数，我们可以用边界条件定义fw。在欧式看涨期权的情况下，如果S下降到执行价K以下，行使期权将导致损失，因此更合理的做法是让它毫无价值地到期。= 最大值(, 0)     此外，值得注意的是，术语u从BS微分方程中去掉。由于该术语代表年度预期回报，它受到投资者个人风险偏好的影响，这使得无法实际求解微分方程。但由于BS模型独立于风险偏好，我们可以强加风险中性假设（即。

u=r）。因此，非股息股票的欧洲看涨期权和看跌期权微分方程的解：=   ()()()=  ()() ()哪里=()=    ()=或者CDF对于导言中提到的标准正态分布，欧式看涨期权只能在特定时间T行使，而美式看涨期权可以在该时间之前的任何时间行使。可以看出，虽然BSM模型不能直接应用于美式期权，但其估值可以分解为理论上的欧洲价格加上早期行使溢价。因此，BSM模型通过充当近似值的下限，甚至可以用于更复杂的导数。请参见Black近似值。模型假设概述了用于推导BSM微分方程的主要假设：o基础股票价格遵循几何布朗运动，μ和σ已知且恒定。o市场允许卖空证券，无交易成本或资本收益税。o价格是连续的，交易也是连续的，建议证券完全分割（即有可能购买1.0592849…数量的股票）o无风险利率是恒定的，所有衍生工具的无风险利率都是相同的，期限不同欧洲期权定价PDE解决方案的主要假设：o标的股票不支付股息o风险中性概率度量（即随机过程是鞅）原始BSM模型的许多假设都受到质疑，可以放宽。即使是关于基本价格变动的最基本的因素也受到了质疑，研究表明，回报的分布实际上是轻薄的、倾斜的，甚至倾向于盘状的连续波动（s ee Ande rson，et al.“股票回报波动率的分布”）。

在实践中，Black-Scholes仍然被广泛使用，尽管由于其易于计算而存在局限性，但实践者（尤其是定量对冲基金或交易平台的实践者）通常会略微调整模型。这可以从通过自回归模型简单地将波动率和无风险参数视为非常数，到构建复杂的随机波动率跳跃扩散模型作为BS的替代方案。然而，BS模型在其作为市场基准（以及潜在的估值界限）的作用方面仍然非常重要，而且有相当多的实践者仍然高度依赖BS，因为它的实用性无法超过更复杂模型在精确度方面的微小改善，这也不是不合理的。然后，本文重点讨论了相对简单的定价模型，Black-Scholes和Barone Adesi and Whaley（BAW）分析近似法。因此，虽然肯定有其他模式L用于期权定价，但这两种模式应在它们之间的任何系统性市场运动中占有很大一部分，因为即使是更复杂的模式，在实践中也只是略为精确。Barone Adesi和W haley模型发表于1987年，距离Black-Scholes模型只有14年的时间，研究人员Giovanni Barone Adesi andRobert Whaley开发了一种简单的分析近似方法来定价美式期权（BAW）。当时，传统的美式期权定价方法在计算上极为低效且困难，正如BS模型所证明的那样，没有封闭的形式分析解决方案（其中一种方法包括在离散时间内使用二叉树，见Cox-Ross-Rubinstein）。

另一个优点是，BAW模型可以扩展到股息支付股票的价格期权。首先，BAW对基础价格变动做出了与BS相同的假设。假设这些运动可以用几何布朗运动来建模，Whaley声称，偏微分方程也可以应用于美国期权的早期溢价。换言之，美式选项只是欧洲选项，添加了一个允许一个人提前锻炼的组件。将提前行权溢价定义为(, )= (, )(, )其中，C（S，T）是同一个rican option的值，C（S，T）是等效的欧洲option通过一些简化、分解和重新安排，可以显示：(, )= ()(, )+2.2.(1 )2.= 这描述了早期运动的价值。在非常短的到期时间内，当（T-T）接近0时，f/X也接近0。在很长一段时间内到期，（T-T）接近∞, X方法1。

因此，作为近似值，删除最后一项~+2.2.= 0请注意，这将成为一个常微分方程，f=asq，参数a，q。+2.2.= 0微分方程的通解为=   +  因此，可以表明，美式看涨期权的价格大约为：(, )= (, )+ ()当S<S时*(, )=     当S≥ S*何处=(1 ()()[()]) > 0=[1.+1.+] > 0b是结转成本（对于无股息股票，b=r，否则b=r–d，其中d为dividend d yiel d）S*，S**是可以迭代相似地确定的临界点，以得出美式看跌期权的价格：(, )= (, )+ ()当S>S时**(, )=     当S≥ S*何处=   (1 ()()[()]) > 0=[1.1.+] < 0临界点S*、S**可以通过作者在其原著《美式期权价值的有效分析近似》（1987）中提出的算法来确定。与任何金融市场一样，期权价格的变动将主要由对未来的预期驱动。因此，当前市场价格基本上可以被视为未来预期的集体加权平均值。然而，对于市场是否有效、是否存在过度的风险调整回报、价格是否真的遵循随机游走等问题，金融经济学家之间的分歧越来越大。这可能导致了近年来金融业的日益分裂，例如，市场效率的坚定信徒可能会采取更加被动、基于指数的市场方法，而积极的管理者可能会试图利用短期的市场效率低下。