要素禀赋——三要素中的商品产出关系，

(2):* *,   1,  2.i ij i jw p j  （6） 从等式（6）的两侧减去1*pF：11*0i i iw,21*，，i i i i i W P i T K L   ,                                                                                        （7） 其中1 2 1 1 1 1**，***，/i i iP p w w p w w p    ;Pis——商品相对价格的变化；WI1是由商品1的价格衡量的实际要素价格。完全微分方程（3）以获得**、、、、1、2、ijij h h h h h w i T K L j   （8） 其中/。ij ijh ij h hj hloga日志w     （9） ijh公司是第j个行业中第i个和第h个因素之间的AES（或艾伦部分替代弹性）。有关这些符号的其他定义，请参见佐藤和小泉（1973，第47-9页），BC（第24页）。AES在某种意义上是对称的。ij hjhi公司（10） 根据BC（第33页），\'假设生产函数是严格拟凹且线性齐次的，\'0。iji公司（11） 因为AIJI在所有投入价格中都是零度齐次的，所以我们有0，，，，，1，2。ij IHH hj hi T K L j       （12） 等式（8）至（12）等同于BC（第24页，n.6）中的表达式。另见JE（第74页，等式（12）-（13））。由此，我们得出**。ijij h haw公司（13） 将（4）中的公式（13）替换为11******，，（，.）ijijj h h h ij j h h h j ij j iw X g w X V i T K L          （14） 其中。ijih j ij hg i h T K L  （15） 这是JE（第75页）定义的因子i和h之间的EWS（或经济范围内的替代）。ihgis是JH的集合. JE（第。

75）指出，“很明显，这两个行业的替代条款总是平均在一起。考虑到这一点，我们定义术语表示在假设每个行业的产出保持不变的情况下，当第k个系数变得更昂贵时，整个经济体对系数i的替代或远离系数i的使用。”我们可以很容易地证明，、0ihhg i T K L,                                                                                                  （16） （/），，ih h i higgi h T K L ,                                                                                    （17） 其中andj公司分别为因子i、i T K L的份额, 好的j，1，2j在国民收入中。也就是说，/j j jp X I,/i i iw V i,  其中j j j j p X=iiiwV公司.  见BC（第25页，等式（16））。因此，我们得到（/）ij j ij   （见JE（第72页，第9条））。注意1，j j 1i i .ihgis不对称。具体而言，ih hig i h一般来说关于公式（17），另见JE（第85页）。从（9）、（11）和（15）中，我们可以显示0IIG.                     （18） 根据等式（16）和（18），我们得出0kT KL KKg g ,0TK TL TTg g g g   ,0.LK升/克   （19） 从（17）和（19）中，我们可以很容易地显示（，）LK LT KTg g g=       ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   .           （20） 最多，其中一个EWS（，）LK LT KTg g g g可以为负值。将等式（14）和（7）组合起来，形成一个线性方程组。使用5 x 5矩阵，我们得到AX=P，（21），其中a=12121112 2 221 0000T K LT K LTT TK TLKT KK KLLT LK LLTTKKLG gg g gg g g g  , X=11112****TKLwwwXX, P=0***TKLPVVV.A是一个5 x 5的系数矩阵，x，P是列向量。2.2.

因子强度等级在本文中，我们假设 .                                                                                                            （22）这意味着1 12 2 t L KT L K     .                                                                                                            （23）这是“因子强度排名”（见JE（第69页），也见BC（第26-7页），铃木（1983，第142页））。这意味着部门1相对土地密集，部门2相对资本密集，劳动力是中间因素，土地和资本是极端因素（另见Ruffin（1981，第180页））。如果（23）成立，我们有11221，LLLL或（24）11221LLL  （25）请注意，我们不假设12LL持有。JE（第70页）将等式（24）和（25）称为“因子强度等级为中间因子”这意味着中间因素在部门1中的使用相对集中。定义它 2 11 1 2（，），LK LT T KABE      （26）这是分配份额的部门间差异。召回（5）（1 i ij）), 这意味着0。A、B、E  （27）根据式（27），我们有（，）（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）A B E                  .                      （28）然而，等式（23）暗示   ,   ,   ,   ,   ? .A、B、E  （29）根据等式（28）和（29），我们有（，）（，），（，）A B E      .                                                                                      （30）例如，从等式（27）中，我们得到（）E A B  ,( ).B、A、E  （31）如果我们假设公式（24）成立，我们得出   ,   ,   ,   ,   .A、B、E   （32）另一方面，如果我们假设。

（25）保持，我们推导   ,   ,   ,   ,   .A、B、E   （33）在本文中，我们假设等式（23）和（24）成立，因此，（32）成立。2.3. EWS比率向量边界在本节中，我们推导了EWS比率之间的重要关系，并在图中绘制了EWS比率向量边界。这对我们的分析很有用。在所有投入价格中，每个Hija函数都是零度齐次函数（见等式（3））。根据BC（第33页），“假设生产函数严格准凹且线性齐次”，0iji（见等式（11））。这意味着（见附录A中的等式（A17））0。KK TT TK KTg g g g g g（34）回顾等式（19）。也就是说，   KK KT KLg g g  和   TT TK TLg g  .  将这些方程替换为从公式（34）的L.H.S.中删除kkgandttgf。接下来，回忆等式（17），即，（/）ih h i higg.使用此等式可消除、、KL TLGG和TKG。也就是说，仅使用三个EWS表示，即，LK LTggandKTg:L.H.S.of（34）=[（）]LLKT TL KL TK KL TL KT LT LK LK LTTKg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g    ( > 0).  （35）根据公式（19），0。LK LTLLgg g公司   使用该公式，变换公式（35）以获得LK LTKTK LK LTggggg.                                                                                                  （36）定义为便于记谱，   ,   ,   , .LK LT KTS T U g g g g（37）如果我们使用公式（37），公式（36）reducesLKSTUST,                                                     （38）将（38）的两边除以T，我们得到了\'\'01，LKSU TSif;\'\'\' 01，LKSU TSif,                                    （39）其中     ’,   ’ / ,   / / , /LK LT KT LTS U S T U T g g g g g g g,                       （40）我们称之为EWS比率向量。S’表示因子L和K之间EWS相对于因子L和T之间EWS的相对大小。

U’表示因子K和T之间的EWS相对于因子L和T之间的EWS的相对大小。变换\'1\'\'1\'1L L LK K KSUSS        ,                                                                          （41）表示矩形双曲线。我们称之为EWS比率向量边界方程。它通过O（0，0）的原点。渐近线为“1”/LKSU  ，. 我们可以在图中画出这个边界（见图1）。S’沿横轴写入，U’沿纵轴写入。EWS比率向量边界为EWS比率向量标定区域边界。这意味着EWS比率向量不是soarbitrary，而是存在于这些范围内。注意：EWS比率向量（S’，U’）存在于EWS比率向量边界的右上区域，如果T>0，则EWS比率向量存在于EWS比率向量边界的左下区域（如果T<0）。（42）EWS比率向量的符号模式是，在每个象限中（在这一点上，也可参见等式（20））：四元。一： （S’，U’）=（+，+）<-> （S，T，U）=（+，+，+）；方庭。二： （S’，U’）=（-，+）<-> （S，T，U）=（-，+，+）；方庭。三： （S\'，U’）=（-，）<-> （S，T，U）=（+，-，+）；方庭。四： （S’，U’）=（+，-）<-> （S，T，U）=（+，+，-）。（43）因此，其中一个EWS最多可以为负值。请注意，T>0，如果（S\'，U\'）存在于象限I、II或IV中，T<0，如果（S\'，U\'）存在于象限III，（44）中，我们回忆等式（37）和（40），即，        , ’,   ’     / ,   /     / ,   / ,   ,   ,     ,  LK LT KT LT LK LT gKTS U S T U g g g S T U g g g g  . 我们定义（对于i≠h） ，系数i和h是经济范围内的替代品，if0ihg,因素i和h是经济范围内的补充，if0ihg.                                      (45)2.4.

解利用Cramer规则解X*的（21），我们导出了25*/，X  （46）其中 = det（A），= det（A）=111 1 12122000***T K LT K LTT TK TL TKT KK KL KLT LK LTLKL LPg g Vg g V    . 是矩阵A的行列式。我们可以证明 < 关于这一点，见附录B。将矩阵A的第5列替换为列向量P，我们导出矩阵A。是矩阵A5的行列式。对第3列中的第1列和第2列求和，并从第1行中减去第2行。我们有15212100100*0*0*TKTT tkkt KK KLT L LKLA B PPg Vg Vg Vg V,我们可以回顾式（26），即， 11 2 1 2 2,  ,   , ( , ).T T K LLEAB公司   将上述内容表示为沿第三列的系数展开式：  1235110***11TT TK TKT KK KLT LK LTKLA B Pg g Vg Vg V  .将上述内容表示为沿第四列的辅因子展开式：         2 3 1 4 2 4 3 4 4 5 2 2 2 21 1*1*1，P T T K K L LP C V C V C V C C V C C            （47）其中CP2=111TT TKKT KTKLKLT LKgggggg, CT2=110KKT KKL LT LKABGGG, CK2=110TTT TKL LT LKABGGG, CL2=110TTT TKK KT KKABGGG.（48）根据等式（46）和（47），我们有52*X= 22221）**（）*]1[（PTKLT K LP C C CV V    .             （49）另一方面，求解（21）X*：X*=/,                                                                                                                        （50）其中= det（A）=1 1 122222200***T K LT K LTT TK TL TKT KK KL KLT LK LLTLPG g Vg g Vg V    .将矩阵A的第4列替换为列向量P，得到矩阵A。是矩阵A的行列式。求第3列中第1列和第2列的和，然后从第1行中减去第2行。

我们有=2222200100*0*0*TKTT TKT TKT KK KLT ltkkla B PPg Vg Vg Vg V.将上述内容表示为沿第三列的辅因子展开式：= （1） （-1）2+32220***TT TK TKT KK KLT LKKLLTA B Pg g Vg g Vg V.将上述内容表示为沿第三列的辅因子展开式：         2 3 1 3 2 3 3 4 1 1 1 1 11 1*1*1，P T T K K L LP C V C V C V C C V C C            （51）其中CP1=222TT TKKT KTKLKLT LKgggggg, CT1=220KKT KKL LT LKABGGG, CK1=220TTT TKL LT LKABGGG, CL1=220TTT TKK KT KKABGGG,（52）因此，根据等式（50）和（51），我们有 41 1 1 1 1[1*   1   *   * ].（）*（）P T T K L LX PC V C V C V C      （53）综上所述，从等式（49）和（53）中，我们得到了2 2 21**（）**（）[，]P T T K K L LX PC V C V C V C C V C     (54)1 1 1 1 11* ( ) * *( ) *[].P T T K L LX P C V C V C V C C     (55)2.5. Rybczynski矩阵从上述Rybczynski矩阵 */ *弹性术语中的jiXV（使用汤普森术语（1985，第619页））是： 1 1 121 1 122222*/***/***/***1*/***/***/***T K LT K LjT K LiT K LX V X VX V X V XC C CC C CV.          （56）概述： (1/ ) 1 ,  ,   ,   ,  1,  2*/ * .Ijiji C i T K LXV j    （57）当我们计算（-1）i+j时，分别用1、2、3代替T、K、L。符号模式很有趣。我们可以证明，1*/*LXVand2*/*LXVare分别相当于BC（第32页）中的等式（26）和（27）。BC只得到了这两个方程。BC的推导方法有些复杂。这里显示的方法更简单。使用Saruss规则展开（48）和（52），我们导出了c1=A2LKKg+B2 TK Lg-（A2KLKg+BgKT2L),CK1=AgTK2L+B2T公司gLT-（A2TLKg+BgTT2L),CL1=AgTK2K+B2T公司gKT-（A2TKKg+BgTT2K);CT2=AKKg1L+B1K级LTg-（ALKg1K）+BgKT公司L1），CK2=AgTK1L+B1T型gLT-（ALKg1T+BgTT1L),CL2=AgTK1K+B1T型gKT-（AKKg1T）+BgTT1K).

（58）回顾等式（19），即，   KK KT KLg g g  和   TT TK TLg g  . 将这些方程代入式（58），以消除gKK和gTT。接下来，回忆等式（17），即，（/）ih h i higg.  使用此方程式可消除、、KL TLggandTKg。回想等式（37），即，   ,   ,   ,LK LT KTS T U g g g g.  为了便于旋转，使用这些符号变换等式（58）：CT1=E2LU-A2K（12吨)S+BK2T，CK1=（-E）KT2升U-A2TS+B2T（12K)T、 CL1=（-E）2T（12升)U+碱性2吨S+BLT2公里TCT2=EL1U-A1K（11吨)S+B1KT、 CK2=（-E）KT1升U-A1TS+B1T（11K)T、 CL2=1111（）（1）LLLTKTTKE U A S B T       ,                                                  （59）我们回顾式（31），即，（）E A B  . Cijis是S、T和U中的线性函数。回忆等式（40），即，     ’,’ / , / / , /LK LT KT LTS U S T U T g g g g g g g, 我们称之为EWS比率向量。使用此函数，将等式（59）转换为deriveCT1=E2LT【U’-fT1（S’）】，CK1=（-E）KT2升T【U’-fK1（S’），CL1=（-E）2T（12升)T【U’-fL1（S’）】；CT2=E1LT【U’-fT2（S’）】，CK2=（-E）KTL1T【U’-fK2（S’），CL2=（-E）1T（11升)T[U’-fL2（S’），（60），其中ft1（S’）=[A2K（12吨)S’-BK2]（EL2）-1，fK1（S’）=[AT2S’-B2T（12K)][（-E）KTL2]-1，fL1（S’）=[-ALKT2S’-BLTK2][（-E）2T（12升)]-1.fT2’=[A1K（11吨)S’-BK1]（EL1）-1，fK2（S’）=[A1TS’-B1T（11K)][（-E）KTL1]-1，fL2（S’）=[-ALKT1S’-BLTK1][（-E）1T（11升)]-1.（61）定义 1[\']”，ij ijjiijA S B EfS和 \' \' , , 1,’ 2.ijijC U i T K L jfS   （62）在这些表达式中，Aij、Bij和Eijare分别是与A、B和E相关的参数。

即，，，（）ij ij ijABE=（A2K（12吨), -BK2，EL2），对于ij=T1，=（AT2，-B2T（12K), （-E）千吨L2），对于ij=K1，=（-ALKT2，-BLTK2，（-E）2T（12升) ), 对于i j=L1；=（A1K（11吨), -BK1，EL1），对于ij=T2，=（AT1，-B1T（11K), （-E）千吨L1），对于i j=K2，=（-ALKT1，-BLTK1，（-E）1T（11升) ), 对于ij=L2。（63）“ijCis是S和U中的线性函数”。一般快递：，，1\'，2。ij ij ij T K L jC E T C(64)2.6. 将Rybczynski符号模式的边界线从等式（57）、（64）和（62）中画出来，我们得出 1 1 1*/*（1）（1）（1“[”）]ij ij ij j IJIIJJXV C E T C T SUEf       .      （65）根据公式（65），我们推导出*/*0 0’0j i ij ijX V C C     1\' [ \' ] , , 1,\' 2.ij ij IJJFSU A S B E i T K L j     （66）该方程表示二维直线。我们称之为线ij的方程，它表示Rybczynski符号模式变化的边界线。线ij的梯度和截距分别为1ij ijAEand1ij ijBE.使用等式（66）和（41），建立方程组： 1“[”]，2“，，1，ij ij IJFU A S B E i T K L jS    ,                                                  （67）“1LKSUS”.                                                                                                          （68）根据这些，我们为每个i，j获得了一个S’中的二次方程。求解该方程可得出两个解。每个解表示ij线与EWS比率矢量边界交点的S坐标值。解决方案是，对于线T1、K1、L1；T2、K2、L2分别为：22、\'1KTBAS,22（1），\'KTBSA,22，\'KTASB;11，\'1KTBAS,11（1），\'KTBSA,11，\'KTBAS.                                              （69）总之，共有七个交点。

每条线ij都经过同一点，我们称之为点Q。点Q的笛卡尔坐标为 ()’,   ’   , .LKBBASEU公司（70）我们称除点Q以外的六个交点为点、、1,2iji T K jR L. 对于直线T1、K1、L1，这些点的笛卡尔坐标为；T2、K2、L2分别为： ’,   ’SU=（22221，K K LT L K    ), （2222（1）1，KKTL斯里兰卡), （2222,1Ktl斯里兰卡);（1111,1Ktl斯里兰卡), （1111（1）1，KKTL斯里兰卡),（1111,1Ktl斯里兰卡).                            （71）根据等式（23）和（24），我们推导出等式（32），即，     ,   ,       ,   ,  A、B、E   . 将其代入式（70）中，得出点Q的符号模式，即，    ’,   ’     ,   .符号S U  （72）这意味着Q点属于象限III。Rijare点的符号模式分别，              ’,   ’     ,   ,   ,  ,   ,   ;  ,   ,   ,  ,   ,   .符号S U            （73）因此，点RT1和点RT2位于象限II中；点RK1和K2位于象限III中；点RL1和L2位于象限IV中。接下来，我们研究Rijand点Q的相对位置。从公式（23）中，我们可以证明RK1点和RK2:2121（1）（1）KKTT点的S值   .                                                                                              （74）方程式（74）解释了两点（RK1和RK2）的相对位置。类似地，从式（23）中，我们可以证明点RT1、RT2、O原点、点RL2和RL1:2 1 1 22 1 1 2011K K K KT T T T的S值      .                                                                          （75）方程式（75）解释了这五个点的相对位置。我们可以证明点RK2和Q的S值：11（1）KTBA.