渐近增长的遍历鲁棒最大化

继续g，注意对于（A.14）中的^X，渐近增长的遍历鲁棒最大化，我们有，使用（A.25）^φ（^XT）=^φ（^X）+ZT^φ′c^φ（^Xt）dt+ZT^φ′σ（^Xu）dWu+ZTTrcD^φ（^Xt）dt=^φ（^X）+ZT^φ′c^φ（^Xt）dt+ZT^φ′σ（^Xu）dWu+ZTp · （pcl) - ^φ′cl（^Xt）dt=^φ（^X）+ZT^φ′c^φ -l′cl +^φ - l′c^φ - l+2p级 · （pcl)（^Xu）du+ZT^φ′σ（^Xt）dWt。所以，我们看到，根据布朗运动的强定律，Dambis-Dubins-Schwarz定理和给定的假设，我们几乎可以确定↑∞T^φ（^XT）=ZE^φ′c^φ - l′cl +^φ - l′c^φ - lp+Z · （pcl);=ZE公司^φ′c^φ - l′cl +^φ - l′c^φ - lp、 其中最后一个不等式后面是引理A.5。现在，如果上面的右手边不是零，它将违反^X的正复发^φ′c^φp=ZEl′clp-ZE公司^φ - l′c^φ - lp、 （A.28），鉴于（A.27），在（1.12）中确立了第二个等式。最后要显示的是G（V^θ，P）=λ表示所有P∈ Π. 为此，根据It^o公式和（A.25）weknowTlog V^φT=Tlog V+2T^φ（XT）-2T^φ（X）-8TZT2TrCD^φ+ ^φ′c^φ（Xt）dt=Tlog V+2T^φ（XT）-2T^φ（X）-4TZTp · （pcl) （Xt）dt+8TZTl′cl（Xt）dt-8TZT^φ - l′c^φ - l（Xt）dt。（A.29）取T↑ ∞ givesGV^φ，P= -ZE公司 · （pcl) +ZE公司l′clp-ZE公司^φ - l′c^φ - lp=ZE公司l′clp-ZE公司^φ - l′c^φ - lp、 =λ、 其中第二个等式来自引理A.5，第三个等式来自引理（1.12），（A.28）。这就是证明。26 CONSTANTINOS KARDARAS和ScottRobertsonAppendix B.第3节的证明我们保留了第3节的所有符号。此外，我们将T表示为{1，…，d}的所有置换τ的s集。对于τ∈ T和x∈ d-1+，我们定义xτ∈ d-1+乘以xiτ=x（τi），i=1，d、 B.1。命题3.5的证明。在证明过程中，我们将使用setsRτ：=nx∈ d-1+| xτ∈ d-1+,≤o、 τ∈ T注意{Rτ|τ∈ T}可能不是不相交的，但它们的拓扑内部是不相交的。我们首先证明（1.11）中的^u是置换不变的。

为此，回想一下^u=exp（^φ/2），其中^φ解决引理A.1中的变分问题，并从（A.5）中调用函数J（φ）。对于给定τ∈ T和函数φ，写φτ（x）：=φ（xτ），x∈ d-1+. 我们认为（B.1）J（φ）=J（φτ）；τ ∈ T承认（B.1），即^φ（x）=^φ（xτ）（因此^u（x）=^u（xτ））f或所有τ∈ T很容易显示。实际上，由于函数J（φ）明显是凸的，我们看到了jd！Xτφτ！≤dXτJ（φτ）=J（φ），其中最后一个等式后跟（B.1）。因此，如果^φ是一个极小值，那么它也是（1/d！）Pτφτ和byLemma A.1我们可以写出φ=d！Xτ^φτ+c，对于某些常数c。但是，由于上面的右手侧是置换不变的，所以左手侧也是置换不变的。还有待证明（B.1），这将通过直接计算进行，并使用τ的下列恒等式∈ T:f（x）=g（xτ）==> 如果（x）=τ-1（i）g（xτ）；p（x）=p（xτ），（B.2）和cij（x）=cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）；jcij（x）=τ-1（j）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）。（B.3）显示（B.2）是向前的。对于（B.3）中的第一个等式，我们有cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）=κr（x（τ）（τ-1（i）））r（x（τ（τ）-1（j）））（x（））；=κr（xi）r（xj）（x（））；=cij（x）。渐近增长的遍历稳健最大化27（B.3）中的第二个等式源自第一个等式和（B.2）。现在，插入l 从（1.8）我们得到j（φ）-Zd-1+pl′cl =Zd-1+pφ′cφ - 2Zd-1+p′cφ - 2Zd-1+pφ′div（c）；：=A（φ）+B（φ）+C（φ）。我们分别处理这三个术语，并重复使用（B.2），（B.3）。此外，我们将省略《夏天》。对于A，假设x∈ Rτ，因此x（）=xτ。ThenZ公司d-1+p（x）i（φτ）（x）cij（x）j（φτ）（x）dx=Zd-1+p（xτ）τ-1（i）φ（xτ）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）τ-1（j）φ（xτ）dx=Zd-1+p（y）aφ（y）驾驶室（y）bφ（y）dy，（b.4）为了得到最后一个等式，我们让y=xτ，并指出dy=dx；并设置a=τ-1（i），b=τ-1（j）。这表示A（φτ）=A（φ）。至于B:Zd-1+i（p）（x）cij（x）j（φτ）（x）dx=Zd-1+τ-1（i）p（xτ）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）τ-1（j）φ（xτ）dx=Zd-1+ap（y）驾驶室（y）因此，b（φτ）=b（φ）。

很快，对于C:Zd-1+p（x）i（φτ）（x）jcij（x）dx=Zd-1+p（xτ）τ-1（i）φ（xτ）τ-1（j）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）dx=Zd-1+p（y）aφ（y）bcab（y）dy.（B.6）因此，C（φτ）=C（φ），因此（B.1）成立。（3.9）中的第三个（最后一个）等式适用于第1.7条。接下来，我们展示第二个等式in（3.9）。为此，我们将证明三个等式，类似于（B.4），（B.5）和（B.6），它们都遵循p，c的构造，因为φ（x）=φ（xτ），和（B.2），（B.3）。继续，让τ∈ T和x∈ Rτ。我们首先有iφ（x）cij（x）jφ（x）=τ-1（i）φ（xτ）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）τ-1（j）φ（xτ）；=aφ（xτ）κab（xτ）bφ（xτ）；=aφ（x（））κab（x（））bφ（x（））。（B.7）28 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONNext，我们有iφ（x）cij（x）jp（x）p（x）+jcij（x）;= τ-1（i）φ（xτ）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）τ-1（j）p（xτ）p（xτ）+τ-1（j）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）;= aφ（xτ）驾驶室（xτ）bp（xτ）p（xτ）+bcab（xτ）;= aφ（x（））κab（x（））bq（x（））q（x（））+bκab（x（））！，（B.8）其中最后一个等式成立，因为c（xτ）=κ（xτ）=κ（x（））和p（xτ）=（1/d！）q（xτ）=（1/d！）Rτ中的q（x（））。最后，定义（B.9）l≤（x（））：=qq+κ-1div（κ）（x（））；x（）∈ d-1+,≤.然后我们得到p（x）i（pcl)i（x）=cij（x）ijp（x）p（x）+2ip（x）p（x）jcijj（x）+ijcij（x）；=cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）τ-1（i）τ-1（j）p（xτ）p（xτ）+2τ-1（i）p（xτ）p（xτ）τ-1（j）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）+τ-1（i）τ-1（j）cτ-1（i）τ-1（j）（xτ）；=驾驶室（xτ）abp（xτ）p（xτ）+2ap（xτ）p（xτ）bcab（xτ）+abcab（xτ）；=κab（x（））abq（x（））p（x（））+2aq（x（））q（x（））bκab（x（））+abκab（x（））=q（x（））a（qκl≤)a（x（））。（B.10）自（B.7）、（B.8）、（B.10）h起x∈ 任意τ的Rτ∈ T，它们实际上代表所有x∈ d-1+. 因此，我们从（B.7）中得到d-1+pφ′cφ（x） =d！Zd-1+qφ′κφ（x（））=Zd-1+,≤qφ′κφ（x（）），这是（3.9）中的第二个等式。继续，我们显示（3.10）。让P∈ Π≤.

It^o公式，（3.3）和（3.6）给出了logV^θT=Tlog^u（XT）^u（X）-2TZT^u（Xt）dXi，j=1ij^u（Xt）κr（Xit）r（Xjt）X（）tdt=Tlog^u（XT）^u（X）-TZTLc^u^u（Xt）dt。渐近增长的遍历鲁棒最大化29From（A.25）和^u=e（1/2）^φwe obtainTlogV^θT=2T^φ（XT）-2T^φ（X）-4TZTp · （pcl) （Xt）dt-8TZT^φ′cφ（Xt）dt+4TZT^φ′cpp+分区（c）（Xt）dt=2T^φ（XT）-2T^φ（X）-4TZTq · （qκl≤) （X（）t）dt-8TZT^φ′κφ（X（）t）dt+4TZT^φ′κqq+div（κ）（X（）t）dt=2T^φ（XT）-2T^φ（X）-4TZTq · （qκl≤) （X（）t）dt-8TZT^φ - l≤′κ^φ - l≤（X（）t）dt+8TZTl′≤κl≤（X（）t）dt，其中倒数第二个等式从（B.4）、（B.5）、（B.6）开始。这些等式，结合假设1.4的可积性假设，以及P∈ Π≤请允许我们推断V^θ，P=Zd-1+,≤ · （qκl≤) （x（））-Zd-1+,≤^φ - l≤′κ^φ - l≤q（x（））+Zd-1+,≤l′≤κl≤q（x（））=Zd-1+,≤ · （qκl≤) （x（））-Zd-1+,≤^φ′κ^φq（x（））+Zd-1+,≤^φ′(κq+qdiv（κ））（x（））=Zd-1+ · （pcl) （十）-Zd-1+^φ′c^φp（x） +Zd-1+^φ′（cp+pdiv（c））（x） =Zd-1+ · （pcl) （十）-Zd-1+^φ - l′c^φ - lp（x） +Zd-1+l′clp（x） =Zd-1+^φ′c^φp（x） 。如上所述，由于（B.7）、（B.8）、（B.10），第三个等式再次成立。由于定理1.7证明中的引理A.5和（A.28），第五个不等式紧随其后。这一点，以及我们已经改进了（3.9）中的第二个和第三个等式的事实，产生了（3.10），因为^u=e（1/2）^φ。30 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONIt留下来证明λ≤= λ、 这将建立（3.9）中的所有等式。回想一下λ≤≤ λ从（3.8）开始。此外，使用（3.10）和（3.9）中的最后一个等式λ≤≥ infP公司∈Π≤GV^θ，P=Zd-1+^u^u′c^u^up=λ。因此，λ=λ≤证明已经完成。B、 2。命题3.7的证明。我们首先构造一个特殊的矩阵值函数，该函数在假设3.3下运行良好。说明以下辅助结果，定义（B.11）x：=maxnx，xdo，x：=minnx。

，xdo；x个∈ d-1+.引理B.1。让A、B、C∈ R应确保1）C≥ 0，2）B≤ A<2B和3）A+C≥ 2、Forx∈ d-1+通过（B.12）θij（x）定义矩阵θ：=1i=j（xi）AdYl=1（xl）C！+1i6=j（xi）B（xj）BdYl=1（xl）A+C-Bi、 j=1，d、 然后：（1）对于任何τ∈ T，我们有θτ-1（i）τ-1（j）（xτ）=θij（x）。（2） 对于每ξ∈ Rdwe有ξ′θ（x）ξ≥ k（x）ξ′ξ；k（x）：=dYl=1（xl）C！1.-x2B型-A.最小值1，xA.（3） θ在d-1+和diffusiondxt=div（θ）（Xt）dt+pθ（Xt）dWt，不会分解为+.（4） R+| · （div（θ））|<∞.（5） R+div（θ）′θ-1div（θ）<∞.(6) θ-1div（θ）=H，其中H（x）=（A+C）对数Qdl=1xl.证据我们处理下面的每一点。（1） 我们有θτ-1（i）τ-1（j）（xτ）=1i=jxτ（τ-1（i））AdYl=1xτ（l）C！+1i6=jxτ（τ-1（i））Bxτ（τ-1（j））BdYl=1xτ（l）A+C-B！；=1i=j（xi）AdYl=1（xl）C！+1i6=j（xi）B（xj）BdYl=1（xl）A+C-B！；=θij（x）。渐近增长的遍历鲁棒最大化31（2）我们有ξ′θ（x）ξ=dXi=1ξ（i）（xi）AdYl=1（xl）C+dXi，j=1，i6=jξ（i）ξ（j）（xi）B（xj）BdYl=1（xl）A+C-B=dXi=1ξ（i）（xi）AdYl=1（xl）C- （xi）2BdYl=1（xl）A+C-B+dYl=1（xl）A+C-BdXi=1ξ（i）（xi）B！；≥dXi=1ξ（i）（xi）AdYl=1（xl）C- （xi）2BdYl=1（xl）A+C-B=dYl=1（xl）C！dXi=1ξ（i）（xi）A1- （xi）2B-AdYl=1（xl）A-B自A≥ B我们有QDL=1（xl）A-B≤ 1、自2B起- A>0我们有（xi）2B-A.≤x2B型-A<1。最后，我们有（xi）A≥ 最小值1，xA. 把这些放在一起就可以得出结论。（3） 我们有θijj=1i=j（A+C）（xi）A+C-1Yl6=i（xl）C+ 1i6=j（xi）A+C（A+C）（xj）A+C-1Yl6=i，j（xl）A+C-B.因此，我们看到div（θ）i=Xjθijj=（A+C）（xi）A+C-1Yl6=i（xl）C+（xi）A+CXj6=i（xj）A+C-1Yl6=i，j（xl）A+C-B;= xiYi，其中yi：=（A+C）（xi）A+C-2.Yl6=i（xl）C+xiXj6=i（xj）A+C-1Yl6=i，j（xl）A+C-B.自C起≥ 0和A+C≥ 2我们看到了0≤ 易≤ d（A+C）。以类似的方式，我们得到θii（x）=（xi）Zi；Zi：=（xi）（A+C-2） /2Yl6=i（xl）C/2。同样，给定的假设得出0≤ Zi公司≤ 现在，设X（t）为局部解（即紧包含在d-以上SDE为1+。

我们为t准备了≤ τthatdXt（i）=Xt（i）Yi（Xt）dt+Xt（i）Zi（Xt）dBt，32 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT Robertson对于布朗运动B。现在，由于Yi和Zi在+很明显，对于任何i，X（i）都不会达到零。这给出了结果。（4） 我们在上面有f（3）我Xjθijj= （A+C）（A+C- 1） （xi）A+C-2Yl6=i（xl）C+（A+C）（xi）A+C-1Xj6=i（xj）A+C-1Yl6=i，j（xl）A+C-B.自A+C≥ 2，C≥ 0和A≥ B我们看到了| · （div（θ））|=Xi，jθijij≤ （A+C）（d（A+C- 1） +（d- 1） （A+C）），结果如下。（5） 写入τ=θ-1div（θ），使div（θ）=θτ。插入θ，div（θ），我们看到div（θ）i=（A+C）（xi）A+C-1Yl6=i（xl）C+（xi）A+CXj6=i（xj）A+C-1Yl6=i，j（xl）A+C-B;（θτ）i=（xi）A+气缸6=i（xl）Cli+（xi）A+CXj6=i（xj）A+气缸6=i，j（xl）A+C-Blj、 从这里可以清楚地看出，τi=（A+C）/xi。因此，我们有div（θ）′θ-1div（θ）=τ′cτ=（A+c）Xi（Xi）A+C-2Yl6=i（xl）C+Xi6=j（xi）A+C-1（xj）A+C-1Yl6=i，j（xl）A+C-B;≤ d（A+C），因此结果成立。（6） 我们只是证明了（θ-1div（θ））i=τi=（A+C）/xi对于i=1。。，d、 因此，结果如下Qlxl系列i=1/xi。我们现在可以给出命题3.7的证明。命题3.7的证明。假设V是d-1+这样'V W带W开口和“W” d-1+,≤. 因此，距离（V，d-1+,≤) > δ>0，我们可能会发现C∞函数χ开启d-1+,≤使用0≤ χ ≤ 如果距离（x，d-1+,≤) ≤ 例如δ/3。对于θ，如在Lemm a B.1渐近增长的rgodic鲁棒最大化33中，我们设置κV（x）：=χ（x）κ（x）+（1- χ（x））θ（x）；qV（x）：=χ（x）q（x）+（1- χ（x））1-Rd-1+,≤χqRd-1+,≤(1 - χ).（B.13）现在，分别在（3.6）、（3.7）中创建cV和PVA。通过引理B.1中θ的构造，我们可以看到对于任何x∈ d-1+使得χ（x（））=1，τ使得x（）=xτ：cijV（x）=θr（xi）r（xj）（x（））=θτ-1（i）τ-1（j）（xτ）=θij（x），其中最后一个等式遵循fr om引理B.1。

因此，我们看到c在d-1+. 假设1.1、1.4中的其余条件很容易遵循F rom引理B.1，作为靠近d-1+,≤. 参考文献[1]P.H.Algoet和T.M.Cover，对数最优投资的渐近最优性和渐近均分性质，n.Probab。，16（1988），第876-898页。[2] H.Attouch、G.Buttazzo和G.Michaille，《Sobolev和BV空间中的变分分析》，MPS/SIAM优化系列第6卷，工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城；数学规划学会（MPS），宾夕法尼亚州费城，2006年。PDE和优化的应用。[3] A.D.Banner和R.Ghomrasni，《排序连续半鞅的局部时间》，随机过程。应用程序。，118（2008），第1244-1253页。[4] E.Bayraktar和Y.-J.Huang，协方差不确定性下渐近增长的鲁棒最大化，Ann。应用程序。概率。，23（2013），第1817-1840页。[5] C.Cuchiero、W.Schachermayer和T.-K.L.Wong，《封面的通用投资组合、随机投资组合理论和数字再投资组合》，arXiv预印本arXiv:1611.09631，（2016）。[6] J.-D.Deuschel和D.W.Stroock，《大偏差》，第137卷《纯数学和应用数学》，AcademicPress Inc.，马萨诸塞州波士顿，1989年。[7] M.D.Donsker和S.R.S.Varadhan，《largetime中某些马尔可夫过程期望的渐近估计》。一、 II，Comm.Pure应用程序。数学28（1975），第1-47页；同上。28 (1975), 279–301.[8] ，一类马氏过程大时间期望的渐近估计。三、 普通纯应用程序。数学29（1976），第389-461页。[9] ，一类马氏过程大时间期望的渐近估计。四、 普通纯应用程序。数学36（1983），第183-212页。[10] L.C.Evans，《偏微分方程》，第19卷《数学研究生研究》，美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮社，1998年。[11] D.Fernholz和I。

Karatzas，《论最佳套利》，安。应用程序。概率。，20（2010），第1179-1204页。[12] ，套利的概率方面，《当代定量金融》，施普林格，柏林，2010年，第1-17页。[13] E.R.Fernholz，《随机投资组合理论》，第48卷《数学应用》（纽约），Springer Verlag，纽约，2002年。随机建模和应用概率。[14] R.Fernholz，《由排名市场权重函数生成的股票投资组合》，金融斯托克出版社。，5（2001），第469–486.34页CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSON【15】D.Gilbarg和N.S.Trudinger，《二阶椭圆偏微分方程》，数学经典，Springer Verlag，柏林，2001年。1998年版的再版。[16] P.Guasoni和S.Robertson，《长期投资组合和风险溢价》，Ann。应用程序。概率。，22（2012），第239-284页。[17] T.Ichiba，S.Pal和M.Shkolnikov，《基于秩的模型的收敛速度及其在投资组合理论中的应用》，Probab。《理论相关领域》，156（2013），第415-448页。[18] H.Kaise和S.-J.Sheu，关于与风险敏感性控制相关的遍历型Bellman方程解的结构，Ann。概率。，34（2006），第284-320页。[19] C.Kardaras和S.Robertson，《渐近增长的鲁棒最大化》，Ann。应用程序。概率。，22（2012），第1576-1610页。[20] S.Pal和J.Pitman，具有秩相关漂移的一维布朗粒子系统，人工神经网络。应用程序。概率。，18（2008），第2179-2207页。[21]Y.Pinchover，非对称椭圆算子热核的大时间行为和临界附近格林函数的行为，J.Funct。分析。，104（1992），第54-70页。[22]R.G.Pinsky，《正调和函数与微分》，剑桥高级数学研究第45卷，剑桥大学出版社，剑桥，1995年。[23]T.-K.L。

Wong，《随机投资组合理论中的通用投资组合》，arXiv预印本arXiv:1510.02808，（2015）。Constantinos Kardaras，伦敦经济学院统计系，伦敦霍顿街10号，WC2A 2AE，UKE邮箱：k。kardaras@lse.ac.ukScott罗伯逊，波士顿大学奎斯特伦商学院，美国马萨诸塞州波士顿联邦大道595号，邮编02215。电子邮件地址：scottrob@bu.edu