渐近增长的遍历鲁棒最大化

这导致了一个最优策略，即i=K/Xi+（1- Kd），i=1，d、 当X（）接近时d-1+,≤. 从质量上讲，投资者持有市场和等权重投资组合的组合。当然，这与setinclusion完全一致Xi=Xj {i=j}对于i，j=1，备注3.6的d。渐近增长遍历稳健最大化15附录A.定理1.7的证明我们首先从变量问题（1.11）开始，简要介绍如何证明定理1.7。考虑φ的u=e（1/2）φ时∈ C∞c（E）。很明显，u∈ D、 从（1.5）我们可以推导出，对于所有的P∈ ∏GVθu，P= -ZE公司φ′cφ+2TrcDφp、 Asφ∈ C∞c（E），部件集成yieldsGVθu，P= -ZE公司φ′cφ - 2.φ′cpp+c-1div（c）p=ZE公司l′clp-ZE公司(φ - l)′c类(φ - l) p、 在哪里l 来自（1.8）。因此，我们推测（1.11）中的^u是通过求解（A.1）infφZE找到的(φ - l)′c类(φ - l) p、 如果存在极小值，则设置^u=e（1/2）^φ。当然，因为我们实际上需要最小值，所以我们不能取C的最小值∞c（E）。相反，我们使用W1,2Loc（E），弱可微函数的空间φ|φ|是局部可积的。我们将提供的第一个结果，引理A.1和第A.1节，确定了一个唯一的（直到加性常数）最小值^φ∈ W1,2Loc（E），它实际上是两次连续可微分的H¨older二阶导数。给定一个极小值^φ，最小化问题（a.1）的一阶最优性条件表明（a.2） ·pc机^φ - l= 这在引理A.1中确实被证明了。因此，[22，推论4.9.4]意味着，如果（1.7）中的^X没有爆炸，那么它是遍历的，p是不变度量。因此，第二个结果，引理A.2是子节A.2，将确定^X fr om（1.7）不会爆炸的事实。鉴于前面的两个辅助结果，第A.3小节将总结定理1.7的证明。A、 1。

变分问题。我们首先考虑（A.1）中的最小化问题，得到以下结果。引理A.1。假设1.1和假设1.4（i）成立，并回顾l 从（1.8）开始。然后，存在一个唯一的（直到一个加法常数）φ∈ W1,2Loc（E），求解（A.3）infφ∈W1,2Loc（E）ZE(φ - l)′c类(φ - l) p、 此外，^φ∈ C2，γ′（E）对于一些0<γ′的≤ γ满足二阶线性椭圆方程（A.4） ·pc机^φ - l= 0; x个∈ E、 16 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONProof。使符号更清晰setJ（φ）：=ZE(φ - l)′c(φ - l)p、 （A.5）使（A.3）变成^J：=infφ∈W1,2Loc（E）J（φ）。注意，假设1.4（i）给出了^J<∞. 在w中，K是一个常数，它会随着行的变化而变化。此外，在适当的情况下，KNW将是一个常数，它仅取决于Enan和En的模型系数。设{φm}m∈N W1,2Loc（E）应使limm↑∞J（φm）=^J.假设1.4（i）和CauchySchwarz不等式，然后实现UPMZEφ′mcφmp≤ K、 因此对于所有的nsupmZEnφ′mcφmp≤ K、 下一步，因为p≥ cn>0和c≥ λn>0，我们有（A.6）supmZEnφ′mφm≤ 千牛。用ψnm表示：=φm-IEnφm，作为φmless，它是En的平均值。从经典的庞加莱不等式[10，第5.8章]和（A.6）可以看出（ψnm）+(ψnm）′ψnm≤ 千牛。Rellich-Kondrachov定理【10，第5.7章】以及ψnmis范数有界inL（En，Rd）意味着ηn的存在∈ W1,2（En），对于某些子序列m（n）：ψnm（n）→ ηnstrongly in L（En），ψnm（n）→ ηn在L（En，Rd）中很弱。因此，通过【2，定理13.1.1】，它表明（A.7）L（En；Rd） 第7节→禅宗（v- l)′c（v- l)p、 是弱下半连续的，因此（A.8）ZEn(ηn- l)′c类(ηn- l) p≤ lim infm（n）→∞禅宗(φm- l)′c类(φm-l) p、 现在，fix n<n′。

存在一个公共子q m（n，n′），使得φm（n，n′）-IEnφm（n，n′）→ ηn；s-L（En），w-W1,2（En），φm（n，n′）-IEn′φm（n，n′）→ ηn′；s-L（En′）、w-W1,2（En′）、遍历鲁棒渐近增长最大化17（我们使用“s”和“w”表示强收敛和弱收敛）。我们现在要求ηn=ηn′a.e.单位：En。事实上，我们有所有的v∈ L（En；Rd）thatZEnηn- ηn′′v=limm（n，n′）→∞禅宗φm（n，n′）- φm（n，n′）′v=0，然后取v=ηn- ηn′。因此，由于埃尼斯连通，我们知道【10，第5章】对于某些常数C（n，n′）ηn′=ηn+C（n，n′）；a、 e.在英语中，ηn′=ηn；a、 e.英语。（A.9）现在，使用双子序列技巧，我们可以找到一个单子序列（我们将其标记为m），这样上述收敛适用于所有n∈ N、 对于该子序列（以及所得ηN）定义（对于a.e.x∈ E） v乘（A.10）v（x）：=ηn（x）；x个∈ En；n=1，2。请注意，v定义得很好：实际上，我们有v（x）=η（x）=η（x）=；x个∈ E、 v（x）=η（x）=η（x）=；x个∈ E接下来，定义（对于a.e.x∈ E） η乘以（A.11）η（x）：=ηn（x）-n-1Xk=1c（k，k+1）；x个∈ En；n=1，2。同样，η定义良好。这是因为对于任何n=1，2。q=0，1，2。我们有ηn+q（x）的焓-n+q-1Xk=1c（k，k+1）=ηn+q-1（x）+c（n+q- 1，n+q）-n+q-1Xk=1c（k，k+1），=ηn+1-q（x）-n+q-2Xk=1c（k，k+1），…=ηn（x）-n-1Xk=1c（k，k+1）。18 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONWe现在声称η∈ W1,2Loc（E）。第一η=v。要看到这一点，让θ∈ C∞c（E）。选择n，使η∈ C∞c（英语）。对于i∈ 1.d写Dias，即xi的导数。我们有ZeηDiθ=ZEnηDiθ=ZEnηn-n-1Xk=1c（k，k+1）！Diθ；=-ZEnDiηnθ=-ZEnviθ。鉴于此η=vη∈ W1,2Loc（E）立即生效。

从（A.8）中，我们得到了(η - l)′c类(η -l) p≤ lim信息→∞禅宗(φm- l)′c类(φm- l) p≤ lim信息→∞ZE公司(φm- l)′c类(φm- l) p=^J.取n↑ ∞ 利用单调收敛定理，我们可以看到thatZE(η - l)′c类(η -l) p≤^J，因此^φ：=η使J在W1,2Loc（E）上最小。加性常数的唯一性遵循(φ - l)′c(φ - l)p英寸φ.现在我们来讨论^φ的正则性，它本质上是一个标准参数，因此给出了国外的概述。Letθ∈ Cc（英语） W1,2Loc（E）。通过在^φ±εθ处改变J并取ε↓ 0 wesee that（A.12）0=禅θ′c^φ - lp、 因此[15，第8章，第178页]，u=^φ是偏微分方程的弱解 · （pcu- pc机l) = 0; x个∈ Enu=^φ；x个∈ 恩。（A.13）这里，边界条件被解释为意味着u-^φ ∈ W1,2（En）。在给定的正则性和椭圆性假设下，Enit中的[15，定理8.22]遵循u=^φ在某个指数0<γ′上是局部Holder连续的≤ γ. 接下来，考虑为相同的偏微分方程找到经典解的问题-1： 即。 · （pcu- pc机l) = 0; x个∈ 恩-1.u=^φ；x个∈ 恩-1、由于^φ是保持架的延续-1从[15，定理6.13]可以看出，有一个唯一的解u∈ C2，γ′（En-1)∩C（(R)En-1） 至上述PDE。但是，这意味着u也是上述PDE的弱解。通过弱解的唯一性（这也适用于当前的设置-s ee【15，定理8.3】，以及^φ也是En中的弱解这一事实-1） 因此，^φ=u a.e.in En-1.渐近增长的遍历鲁棒最大化19由于我们已经知道^φ是holder连续的，这实际上证明了^φ∈ C2，γ（En-1） 并在En中求解（A.4）中的微分表达式-1、由于这适用于任何n，结果如下。A、 2。遍历性差异。

在确定了极小值^φ的存在性后，我们现在考虑（1.7）中的扩散，其中^u=e（1/2）^φ：即（A.14）d^Xt=c^u^u（^Xt）dt+σ（^Xt）d^Wt=c^φ（^Xt）dt+σ（^Xt）dWt，我们的目标是证明^X是具有不变测度p的遍历。更精确地说，我们让^p=（^Px）X∈E上与X相关的二阶线性算子^L的广义鞅问题的解：即（A.15）^L：=TrcD光盘+^φ′c.然后我们有下面的证明了^P∈~Π.引理A.2。假设1.1和假设1.4（i）和（ii i）成立。设^φ为Lemma。1、将^P设为（A.15）中算子^L的基因化鞅问题的解。然后，^P解决了^L的鞅问题，事实上，^P∈ Π.本小节的其余部分致力于引理A.2的证明。我们保留（1.8），（A.5）的符号。自^φ起∈ C2，γ′（E）并求出（A.4），它如下 ·pc^φ= · （c）p+pdiv（c）），因此p是^X的不变密度。SinceREp=1，如果可以证明^X在E中是循环的，则可以得出^X是遍历的，具有不变测度p：参见【22，定理4.9.5】。为此，我们使用了【22，第6.6节】的结果，该结果为^X在当前设置中的重复出现提供了必要和有效的条件。我们首先陈述假设1.4（iii）的结果。用En表示- E： =与假设1.4（iii）相关的二阶线性椭圆算子：即。

I收敛表（A.16）LR= · （c）) +pp′c.由于XRs假设具有不变密度p且通过构造反转的遍历性，因此从[22，定理6.4.1]可以得出（A.17）limn↑∞禅宗-E类(un）′cunp=0，其中un∈ C2，γ（En- E） 是唯一的（在En中严格为正- E） （A.18）LRu=0，x的解决方案∈ 恩- Eu=1，x∈ Eu=0，x∈ 恩。20 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONIn事实上，一个有（A.19）un（x）=PRx[τE<τEn]，其中PRx公司x个∈Eis是LRon E鞅问题的解，τEI是工程安装。请注意，这意味着0≤ 乌尔≤ 为了证明X是递归的，我们使用以下结果，如【22，定理6.6.1】：定理A.3。假设1.1–1.4（i）成立，并将^φ设为引理A.1。让^L与（A.14）中的^X关联。对于每个n定义凸面集扫描：=g级∈ W1,2（En- E） ：g=√p打开E、 g=0开En，距离（x，英语）-1g（x）∈ L∞（英语- E）;Bn：=h类∈ W1,2（En- E、 g）：h=登录（p）E.现在，定义un：=infg∈安苏普∈BnZEn公司-如gg公司-^φ - c-1div（c）′cgg公司-^φ - c-1div（c）-禅宗-如h类-^φ - c-1div（c）′ch类-^φ - c-1div（c）.那么，^L是递归的当且仅当limn↑∞un=0。备注A.4。以上，W1,2（En- E、 g）弱可微函数的s步h是否满足-如h+h′型h类< ∞.此外，边界条件被解释为在轨迹意义上保持不变。最后，如上文所示【22，定理6.6.1】，un表示更简单的形式（A.20）un=ZEn-E▄vnvnv′ncvn，其中Vnsolved^Lv=0 in En-(R)打开v=0时Enand v=1开E并且，其中▄L表示^L的形式伴随，其中▄vn在En上解出▄L▄v=0-？Ewith？v=0开Enand 1开启E、 因此，ifn^Pxox∈Edente给出了E th envn（x）=^Px[τE<τEn]上的广义鞅问题的解，其中τei是工程安装。因此，如果un→ 第0个en vn→ 1所以，^L是n on-爆炸性的，因此是正复发的，因为p在不变概率密度中。

如果un6→ 0然后vn6→ 1，因此L是瞬态的。这就是证据背后的想法。现在，（A.20）表示un≥ 0，因此lim infn↑∞un≥ 0、以矛盾的方式假设↑∞un>0。因此，对于某些δ>0，我们有un≥ δ表示所有n。取g：=un√p（通过An中unis的渐近增长21全局Schauder估计的rgodic ROBUST MAXIMIZATION：见[22，定理3.2.8]）得到δ≤禅宗-恩恩^φ -pp+c-1div（c）-2.联合国大学′c^φ -pp+c-1div（c）- 2.联合国大学p-infh公司∈BnZEn公司-恩恩h类-^φ - c-1div（c）′ch类-^φ - c-1div（c）p=禅宗-恩恩^φ - l - 2.联合国大学′c^φ - l - 2.联合国大学p-infh公司∈BnZEn公司-恩恩h类-^φ - c-1div（c）′ch类-^φ - c-1div（c）p、 我们定义了l 在（A.5）中。下一步，对于h∈ b定义φ：=对数（p）+φ-2小时。在p，^φ的给定正则性假设下，我们通过迹算子的线性∈ Bn公司<=> φ ∈ B′n：=nφ∈ W1,2（En- E、 pun）：φ=^φ开Eo。变量h的变化=（1/2）对数（p）+φ- φ和前面不等式中的简单代数∈班赞-恩恩(φ - l)′c类(φ - l) p≤禅宗-恩恩^φ - l - 2.联合国大学′c^φ - l - 2.联合国大学p- 8δ.自^φ起∈ W1,2Loc（E）和，根据引理A.1满足性^φ′c^φ < ∞, 到公元17年，我们知道利姆↑∞禅宗-恩恩^φ - l - 2.联合国大学′c^φ - l - 2.联合国大学p=ZE-E^φ - l′c^φ - lp、 因此，对于足够大的n，我们有infφ∈班赞-恩恩(φ - l)′c类(φ - l) p≤ZE公司-E^φ - l′c^φ - lp- 4δ.现在，根据假设1.4（i），它如下所示：-El′clp<∞. 因此，如【22，定理6.5.1，pp 264】所示，存在一个a.e.唯一（直到加性常数）解φn∈ W1,2（En-E、 pun）上述最小化问题。事实上，要与其中的证明联系起来，取g=un√p、 f=φ，φ=1开Eandφ=0开最后a=c，b=l. 因此，我们有禅-恩恩(φn- l)′c类(φn- l) p≤ZE公司-E^φ - l′c^φ - lp- 4δ.接下来，扩展到E上的所有Enby设置un=1。

众所周知（见[2，命题5.1.1]），由于un=1Ethat该扩展为W1,2（En）（事实上，它是连续的，尽管由于霍普夫最大值原理，它不可连续区分）。类似地，对于φ∈ 我们有22个康斯坦丁诺斯·卡达拉斯和斯科特·罗伯逊φ=^φon因此，我们可以通过在EAN中设置φ=^φ将φ扩展到enb，它仍然保持l ∈ W1,2（英语，双关语）。这就给出了足够大的n，比如n≥ N（δ）thatZEnun(φn- l)′c类(φn- l) p≤ZE公司^φ - l′c^φ - lp- 4δ=J（^φ）- 4δ，（A.21），其中我们回顾了（A.5）中J的定义。我们现在用（A.21）推导出一个与引理的矛盾。1、为此，请x一个整数m。由于Lun=0，Harnack不等式，un≤ 1（后面是unin（A.19）的概率表示）和un（x）=1，在Eyields上存在一个常数，即un（x）≥ cmon Emfor all n≥ m+1。*因此，对于n≥ N（δ）∨ （m+1）thatJ（^φ）- 4δ ≥泽农(φn- l)′c类(φn- l) p≥泽蒙(φn- l)′c类(φn- l) p≥ cmZEm公司(φn- l)′c类(φn- l) p≥ cmZEm公司(φn- l)′(φn- l) ,（A.22）如果Cm已更改为最后一行，考虑到p，c≥ Em上的cm>0。因此，从Cauchy-Schwartz不等式我们得到了≥N（δ）∨（m+1）ZEmφ′nφn≤ 公里。在引理A.1中复制下面（A.6）的参数（注意m和n的作用已经颠倒），存在一个函数ηm∈ W1,2（Em），对于某些子序列n（m）φn-IEmφn→ ηm；s—L（Em）；φn→ ηm；w-L（Em；Rd）。此外，如果m<m′，则通过取公共子qηm′=ηm+C（m，m′）和ηm′=ηmalmost在Em中无处不在。事实上，存在一个标记为n的子序列，这样该子序列上的所有m的收敛性都成立，我们可以构造一个函数η∈ W1,2Loc（E），与L emma A.1完全相同，因此η = ηmon Emfor each m.现在，回到（A.21）。

对于公共子序列{φn}n∈n这里所有的收敛都发生了，对于n的每一个m≥ m表示（类似于（A.22））（A.23）J（^φ）- 4δ ≥泽蒙(φn- l)′c类(φn- l) p≥ 侵染土(φn- l)′c类(φn-l) p*从技术上讲，哈纳克的不平等在新兴市场是成立的- Ewhere unis平滑。所有EM的扩展都遵循扩展，un=1，因为unis在E中更大- Ethan在Em中- E、 正如概率表示所示。渐近增长的遍历鲁棒最大化23我们现在声称，对于每个m（A.24）limn↑∞infEmun=1。首先，对于x∈根据构造，Ewe的un（x）=1。其次，在Em中- Ewe已打开，sinceLRun=0，un=1E、 和un≤ 1开'En- E、 根据全球Schauder估计[22，Th eorem3.2.8]，有一个常数Kmso，supn≥mkunk2，γ，Em≤ Km，其中k·k2，γ，Emis是En上的C2，γH¨oldernorm。现在，假设有一些子序列（仍然标记为n），那么limn↑∞infEmun=1-ε对于某些ε>0。根据Schauder估计，{un}n∈Nis在k·k2、γ、Emnorm中预紧，还有一个子序列（仍标记为n）和一个函数u∞∈ C2，γ（Em），所以kun- u∞k2，γ，Em→ 但是，根据假设1.4（iii）和[22，定理6.4.1]，我们先验地知道un（x）→ 1以便U∞（x） =1。但这给了0=limn↑∞supEm | un（x）- 1 |=0，这与limn↑∞infEmun（x）=1- ε. 因此，（A.24）成立。现在，回到（A.23）。从（A.24）和（A.7）中算符的下半连续性来看（其中n等于m），它遵循j（^φ）- 4δ ≥ lim信息↑∞侵染土(φn- l)′c类(φn- l) p≥ZEm公司(ηm-l)′c类(ηm- l) p=ZEm公司(η - l)′c类(η -l) p、 取m↑ ∞ yieldsJ（^φ）- 4δ ≥ZE公司(η - l)′c类(η -l) p、 矛盾引理A.1。因此，lim supn不可能↑∞un>0，因此limn↑∞un=0，证明^X的重复性。A、 3。定理1.7的证明。在证明定理1.7之前，我们先陈述等式并证明一个技术事实。对于等式，让^φ来自引理A.1。

根据（A.4），我们得到Lc^u^u=TrcD^φ+^φ′c^φ;=4p · （pcl) -^φ′cl +^φ′c^φ;=4p · （pcl) +^φ - l′c^φ - l-l′cl.（A.25）至于技术事实，我们有引理A.5。假设1.1–1.4（iii）成立。塞纳 · （pcl) = 0.24 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT Robertson引理证明A.5。如果 · （pcl) = 0表示所有x∈ 显然，结果是成立的。否则，让^φ来自引理A.1，A.2，并注意到^φ不是相同的常数，并且henceREp^φ′c^φ > 0. 根据假设1.4（iii）计算XRF并使用（A.25）：T^φ（XRT）=T^φ（XR）+TZT^φ′cl（XRt）dt+TZT^φ′σ（XRt）dWt+ZTTrcD^φ（XRt）dt=T^φ（XR）+TZTp · （pcl)（XRt）dt+TZT^φ′σ（XRt）dWt=T^φ（XR）+TZTp · （pcl)（XRt）dt+TZT^φ′c^φ（XRt）dtRT^φ′σ（XRt）dWtRT^φ′cφ（XRt）dt！。自( · （pcl))+∈ L（E，leb），代表^φ′c^φ>0时，达比-杜宾s-Schwarz定理和布朗运动的强定律几乎隐含着：极限↑∞T^φ（XRT）=ZE · （pcl).如果上面右侧的值不为零，则与XR的正复发相矛盾。定理1.7的证明。从（1.6）可以看出（A.26）λ≥ I=- infu公司∈德泽尔库普≥ -ZELc^u^up。现在，假设^u=e（1/2）^φ∈ D、 根据引理A.2，来自（1.7）的差异^X是遍历的，并且相关的^P∈ Π. 由于V^θ在^P下享有num'eraire财产，我们知道λ≤ -ZELc^u^up≤ - infu公司∈DZELc^u^up=I，与（A.26）一起建立（1.12）中的第一个等式，前提是^u∈ D、 Toshow后一个事实，回想一下（A.25）。自( · （pcl))+∈ L（E，leb），引理A.1暗示（Lc^u/u）+∈L（E，p），因此^u∈ D、 还有待证明（1.12）中的第二个等式以及GV^θ，P= λ表示所有P∈ Π.从（A.25）和引理A.5中，我们可以看到（A.27）ZELcuup=ZE^φ - l′c^φ - lp-ZE公司l′clp、 下一步，如果 · （pcl) = x为0∈ 那么，E^φ是常数，很明显，（A.27）表示（1.12）中的第二个等式。其他的^φ不等于0，andRE^φ′cφp＞0。