渐近增长的遍历鲁棒最大化

因为这适用于所有u∈ D和P∈ π，由（1.3）得到（1.6）λ≥ supu公司∈DinfP公司∈πG（Vθu，P）=supu∈D-泽尔库普= 一、 现在，让σ表示c的唯一正定对称平方根，并假设，对于某些^u∈ D和适当的初始条件X∈ E、 与动力学的差异（1.7）d^Xt=c^u^u（^Xt）dt+σ（^Xt）d^Wt是具有不变密度p的遍历。这意味着由∏中的^Xis定律导出的概率测度^p。财富过程^V由^θ·=(^u/^u）（X·）在Θ中，是模型^P的最佳生长。因此，（1.3）给出λ≤ supθ∈ΘG（Vθ，^P）=G（Vθ，^P）=-ZELc^u^up≤ supu公司∈D-泽尔库普= 一、 渐近增长的遍历鲁棒最大化7注意，如果本段的讨论有效，则后验概率^u必须是d的最小值 u 7→RE（Lcu/u）p。我们还将^p视为“最坏情况”模型，因为最大增长率在^p之下∈ π为λ。从上述讨论中，我们可以推测λ=I。作为I≤ λ从（1.6）中得出，困难在于确定极小值^u的存在性∈ 映射D的D u 7→ -RE（Lcu/u）p，并表明（1.7）中的相应差异是遍历的，具有不变测度p.1.3。主要结果。为了执行第1.2子节中概述的计划，我们必须对（E、c、p）如何相互作用做出额外的假设。要简化演示，请设置（1.8）l :=pp+c-1div（c），其中div（c）i=Xjjcij，i=1，d、 假设1.4。以下持有：（i）REl′clp<∞.（二）RE( · （pcl)))+< ∞.（iii）对于对称二阶线性算子（1.9）LR：= · （c）) +pp′c =Tr公司cD光盘+cl′,LRon E鞅问题存在一个（非爆炸性）解。备注1.5。回想一下，σ表示c的唯一正有限对称平方根。

与LRhas dynamics（1.10）dXRt相关的影响XRS=cpp+分区（c）（XRt）dt+σ（XRt）dWt。对于任何布朗运动W（在某些概率空间上），假设1.1和假设1.4（iii）的组合意味着对于任何初始条件XR都存在唯一的强解∈ E、 此外，由于正常情况下p是XR的候选不变密度，假设1.4（iii）也暗示了XRis与不变密度p遍历的似乎更强的结果：参见【22，推论4.9.4】。考虑到第1.2小节中的讨论，人们可能会认为（1.10）会产生“最坏情况模型”^P，从而导致动力学（1.7），这就是为什么我们需要它是非爆炸的。这不是案例一般备注1.8，§2.2将明确指出（1.10）是最坏情况模型，当且仅当ifc-1div（c）是一个梯度。尽管如此，我们有很好的理由执行假设1.4（iii）。如【22，Th eorem 6.6.2（ii）】所示，如果假设1.4（iii）失败，则不存在规律为∏的时间均匀差异。因此，更进一步地说，（1.7）的“最坏情况模型”不属于∏，因此无法证明下面的定理1.7。事实上，如果假设1.4（iii）不成立，则不清楚∏类是否包含任何元素，即使它包含任何元素，也不清楚鲁棒问题是否适定。为了加强这些观点，下面的命题1.9将对一维情况有更多的揭示。8 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT Robertson备注1.6。假设1.4中的条件（i）和（iii）均不表示其他条件。（i）并不意味着（iii）后面是E=（0，1），p（x）=c（x）=1。为了证明（iii）并不意味着（i），设E=（0，∞), p（x）=Be-Bx，c（x）=B的ξx，ξ>0。

然后，ZEl′clp=Z∞Bξxe-Bx公司x个- B= ∞,但XRhas dynamics dXRt=（1/2）ξ- BXRt公司根据CI R工艺的众所周知的特性，dt+ξpxrtdw和h是非爆炸性的。下面是我们的主要结果，其证明是附录A定理1.7的目的。假设1.1和1.4成立。然后，存在一个唯一的（直到乘法常数）^u∈ D使得（1.11）^u=arg minu∈泽尔库普。此外，它认为（1.12）λ=I=ZE^u^u′c^u^up、 以及交易策略（1.13）=^u^u（X·）是GV^θ，P= λ、 对于所有P∈ Π.备注1.8。定理1.7的证明将显示^u=exp（^φ/2），其中^φ：E 7→ R是唯一的（直到加性常数）函数，使得^φ=arg minφ∈C（E）ZE(φ - l)′c类(φ - l) p、 这个变分问题有时是一个更容易解决的问题，然后通过（1.11）的右侧识别^u。1.4. 假设1.4（iii）。我们在此通过深入研究一维案例，阐述了注释1.5中所述假设1.4（iii）的重要性。提案1.9。假设d=1，E=（α，β）对于-∞ ≤ α < β ≤ ∞. 设（c，p）满足假设1.1和假设1.4（i）和（ii）。然后，如果假设1.4（iii）失败，则其保持∏= 或λ=∞.证据假设∏6=. 让x∈ (α, β). 根据【22，定理5.1.1】，假设1.4（iii）失效等同于Rxα1/（pc）<∞ orRβx1/（pc）<∞. 我们只考虑βα1/（pc）<∞ 因为其他情况类似。为此，从（1.5）到u=√pc，则Lcuup=¨（pc）-˙（pc）4pc，渐近增长的遍历鲁棒最大化9，因此假设1.4（ii）意味着（Lcu/u）+∈ L（E，p）使u∈ D、 接下来，从（1.6）可以清楚地看到，如果（Lcu/u）-6.∈ L（E，p）则λ=∞.

If（Lcu/u）-∈ L（E，p），wh ich，连同假设1.4（ii），意味着（Lcu/u）∈ L（E，p），对于ε>0，考虑函数v（x）：=sε+Zxαpc，x∈ (α, β).直接显示LC（uv）uv=Lcuu+LRvv=Lcuu-c（pc）ε+Rxα（pc）-1..由此得出（Lc（uv）/（uv））+∈ L（E，p）使uv∈ D、 此外，-ZβαLc（uv）uvp=-ZβαLcuup+Zβαpcε+Rxα（pc）-1.;= -ZβαLcuup+-ε+Rxα（pc）-1.x=βx=α！；=-ZβαLcuup-ε+Rβα（pc）-1+8ε.因此，我们从（1.6）和（Lcu/u）中可以看出∈ L（E，p）λ≥ limε↓0-ZβαLcuup-ε+Rβα（pc）-1+8ε!= ∞,总结证据。2、示例2.1。一维情况。在一维情况下，E=（α，β）表示-∞ ≤ α < β ≤ ∞, 根据备注1.8，我们有l =˙（pc）/pc和^u=√pc.这里，使用[22，定理5.1.5]，很容易得出假设1.1和1.4成立，前提是：oRβα（˙pc）/pc<∞;o 对于某些x∈ 我们有limx↓αRxx（pc）-1= ∞ = 林克斯↑βRxx（pc）-1;oRβα（¨pc）+<∞.2.2. “梯度”情况。假设c满足特殊条件（2.1）c-1div（c）=H、 对于某些函数H∈ C1，γ（E；R）。注意，当H=log（c）时，这在一维情况下始终成立。此处，备注1.8给出了^φ=log（p）+H，即^u=√p膨胀（H/2）。此外，候选最坏情况模型下的遍历性通过假设1.4（iii）直接成立，在这种情况下，假设1.4（iii）的反向差异实际上是最坏情况模型。10 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSON2.3。强劲的增长和爆炸性增长。从（1.4）中调用操作员Lcfrom。如果与Lc相关的差异在有限时间内爆发，则所有密度p都可以实现强劲增长，从而假设1.1、1.4成立。事实上，从[18，引理3.5]和[16，Lemma 33]可以看出，对于所有密度，pONEhas0<- infu公司∈DZELcuup≤ - infu公司∈DZELcuup=I，其中▄D D包含u∈ C（E），u>0，使得Lcu/u从上方有界。因此，在p上提供了必要的可积性假设，我们知道λ=I>0.2.4。

不确定性条件下的Cox-Ingersoll-Ross模型。设E=（0，∞) 当ξ>0时，c（x）=ξx。对于A>1和B>0集（2.2），p（x）=BAΓ（A）xA-1e级-Bx；Γ（A）=Z∞是的-1e级-伊迪。假设1.1和1.4成立，并使用^u进行s追踪计算=√pc（c.f.第2.1小节）显示λ=λ（A，B）=ξAB8（A- 1).在[19]中，我们考虑了一类更广泛的模型，其中区域E和协变函数c已知，但没有对极限密度p作出假设（甚至不知道是否存在这种密度）。在本例中，由于肢体↓0λ（A，B）=0，在【19】的设置中不可能实现严格的正增长。然而，一旦规定了衡量标准，就有可能实现严格的正增长。2.5. 最终实现强劲增长。我们继续上一小节的模型，这里我们假设e为A=1，所以p从（2.2）是p（x）=Be-Bx。如备注1.6所示，假设1.4（i）不成立。然而，假设1.4（iii）确实成立，这意味着∏6= （c.f.[21]用于验证具有无界函数的第（3）项）。如我们现在所示，在该模型中，有可能获得有限的强劲增长。根据第2.1小节，我们设置u（x）=√pc（x）=ξ√Bx扩展(-Bx/2）。计算显示Lcu/u=-（1/8）ξ（1/x+2B- Bx）以便（Lcu/u）+∈ L（E，p），因此u∈ D、 但是，很明显（Lcu/u）-6.∈ L（E，p）和（1.5）表示所有p∈ ∏对于θu=(u/u）（X·），GVθu，P= ∞ 因此λ=∞.2.6. 零强劲增长。设E=R。L et c为任何正光滑函数，使得rr（1/c）=1，并设置p=1/c。从[22，Ch.5]中，我们推导出动力学dXt=pc（Xt）dwtis的微分与不变测度p的正递归，因此我们可以取u≡ 1英寸（1.7）。因此，交易策略=^u/^u≡ 0在^P下达到最大增长∈ Π. 但是，不是琐碎的交易导致GV^θ，^P= 0; 因此，λ=0。渐近增长的遍历鲁棒最大化113。

基于排名的模型3.1中的应用程序。相对市场资本化。为了激发该部分的结果，从代表d股市值的过程集合s=（Si；i=1，…，d）开始，setM=Pdi=1表示该特定（子）市场的总资本。然后，用Xi：=Si/M，i=1，d、 过程X=（Xi；i=1，…，d）表示相对市场资本化。我们假设没有股票资本化消失，因此X取开放单纯形中的值（3.1）d-1+：=（x∈ 研发部mini=1，。。。，dxi>0，dxi=1xi=1）。如第1节所述，投资财富（以及增长率）不是绝对的，而是相对于市场资本化的。事实上，投资是根据相对资本化X来定义的，而不是通过通常的纳米技术变化来定义原始价格S。正如直接计算所示，对于任何d维可预测过程π，Pdi=1πi=1，dUtUt=dXi=1πitdSitSit<==>d（U/M）t（U/M）t=dXi=1πidxit。也就是说，如果投资组合权重为π=（πi；i=1，…，d）的策略完全投资于股票，则应用于相对资本化的相同策略会产生相对于总市值的财富。还要注意的是，由于向量值过程X是退化的（其分量之和等于1），因此在假设导致（1.1）的策略θ为PDI=1Xiθi=1时，不会失去一般性。事实上，对于任何可预测的策略θ，如果通过ηi=θi+（1）定义策略η-Pdj=1Xjθj）对于i=1，d、 然后我们得到Pdi=1Xiηi=1，dXi=1ηitdXit=dXi=1θitdXit+1.-dXj=1XjθjtdXi=1dXit=dXi=1θitdXit，意味着Vθ=Vη。3.2. 排名资本化。正如【13，第5节】所观察到的，经验时间序列数据表明，资本分配曲线（即。

美国股市排名相对资本化的对数-对数图（按降序排列）是稳定的。这导致金融市场引入了所谓的基于排名的模型。在这里，我们将不深入讨论基于rankedbased模型的细节；有关治疗方法，请参见【13，第4、5节】。相反，我们引入了关于排名资本化的假设，而不是实际资本化，并考虑了稳健增长的问题。定义有序单纯形（3.2）d-1+,≤:=nx公司∈ d-1+| x≤ x个≤ . . . ≤ xdo。12 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONFor x∈ d-1+，我们写x（）=（x（1）。。。，x（d）），用于d-1+,≤; 同样，对于i=1，d、 设r（xi）表示xiamongst x的秩，xd，在词典编纂顺序中解决了关系。如上所述，假设向量X（）=（X（i）；i=1，d） 排名相对较高的资本化率，其中d-1+,≤, 从长远来看是稳定的。因此，我们都将输入视为一对（κ，q），其中κ：d-1+,≤7.→ Sd++和q：d-1+,≤7.→ (0, ∞) 带Rd-1+,≤q=1。与定义1.2类似，我们认为度量的类别∏≤在C上（[0，∞), d-1+，配有Borelσ-代数F，因此对于P∈ Π≤:（1） Xt公司∈ d-1+，对于所有t≥ 0，P-a.s.（2）X是P-半鞅，对于i=1，d和j=1，d： （3.3）[Xi，Xj]=Z·κr（Xit）r（Xjt）X（）tdt；P-a.s.（3）对于所有Borel可测函数hd-1+,≤带Rd-1+,≤h+q<∞, 这是老生常谈↑∞TZTh公司X（）tdt=Zd-1+,≤总部；P-a.s.（4）{Xt；t的法则≥ P下的0}是紧集，其中紧集是紧包含在d-1+.备注3.1。我们在这里停下来讨论两个由d-1+. 首先，请注意，我们可以识别d-1+带区域E 研发部-1通过替换1满足假设1.1（1）-x个-. . . -除息的-1.

然而，自d-1+是一层（d-1） -量纲流形，为了便于记法，我们将不使用E，p直接使用d-1+.第二，鉴于（d- 1） -尺寸d-1+，我们必须正确理解我们的假设，即κ（x（））∈ Sd++for x（）∈ d-1+,≤. 实际上，z′κ（x（））z≥ l（x（））z′z表示一些有趣的动作l : d-1+,≤7.→ (0, ∞) 不需要保留整个Rd，而需要保留（d-1） -维子空间（z∈ 研发部dXi=1zi=0），它（直到a ffine translation）与每个点x相切∈ d-1+. 尽管旋转有明显的滥用，但我们更喜欢写κ（x）∈ Sd++，了解它只需要保持相切空格d-1+.备注3.2。关于上述（3.3），要求（3.4）[X（），X（）]·=Z··κ（X（）t）dt似乎更为自然。事实上，从[3，定理2.3]可以推断，（3.4）意味着X具有瞬时协变量d[Xi，Xj]tdt=κr（Xit）r（Xjt）（X（）t）；i=1，d、 j=1，d、 t型≥ 0，当X（）在d-1+,≤. 然而，如果没有额外的假设（例如，几乎可以肯定秩重合的Lebesgue测度为零），在e上不能假设κ是非退化的，或甚至是恢复的（d[X，X]t/dt；t≥ 0）从边界上的κ开始d-1+,≤. 因此，我们定义∏≤使用（3.3）而不是（3.4）。在道德上，我们认为这两个定义是等效的。3.3. 排名模型的增长。根据定义1.3，让≤是一类可预测的p过程θ，它对每个p都是X-可积的∈ Π≤. 增长率GVθ，P对于θ∈ Θ≤定义见（1.2），我们设置（3.5）λ≤:= supθ∈Θ≤infP公司∈Π≤GVθ，P.我们希望在当前设置中使用第1节的结果。当然，一个人真正投资的是相对资本化X，而不是排名相对的X（）；因此，从d-1+,≤至（c，p）英寸d-1+正常。

此外，我们必须确保（c，p）满足假设1.1和1.4的正则性和可积性要求。鉴于（3.3），我们首先从d-1+,≤到d-1+定义（3.6）c（x）=cij（x）di，j=1；cij（x）：=κr（xi）r（xj）（x（））；x个∈ d-1+.q from的扩展fromd-1+,≤到d-通过定义（3.7）p（x）：=d，以“对称”方式执行1+！q（x（））；x个∈ d-1+.我们作出以下假设（见关于假设1.1第（2）部分的备注3.1）：假设3.3。对（κ，q）是这样的，E=d-（3.6）中的1+、c和（3.7）中的p满足假设1.1和1.4。备注3.4。我们强调，从（κ，q）到（c，p）的传递只是为了在假设3.3的有效性下使用第1节的结果。特别是，我们不要求模型限制X的稳定分布p，因为所有排名的可能性都是相等的，每个排名的概率都是1/d！。然而，请注意，最坏情况下的模型将具有此结构。在假设3.3对（κ，q）的作用力下，分别按照（3.6）和（3.7）构建（c，p），以及根据定义1.2和1.3构建∏，Θ。立即∏ Π≤; Θ≤ Θ.因此，我们总是有（3.8）λ≤= supθ∈Θ≤infP公司∈Π≤GVθ，P≤ supθ∈ΘinfP∈∏GVθ，P= λ.从定理1.7中，我们知道，对于（1.11）中定义的^u解和（1.13）中定义的^u解，我们对所有P∈ Π. 以下结果（其证明可在附录B中找到）表明，14 CONSTANTINOS KARDARAS和SCOTT ROBERTSONportfolio生成函数^u仅取决于其输入坐标的顺序（这与说它是置换不变的相同），同时给出λ≤= λ.提案3.5。对于这对（κ，q），假设3.3成立。对于上面构造的相关（c，p），根据定理1.7，设^u如（1.11）所示。那么，对于所有x，^u（x）=^u（x（））∈ d-1+.

此外，（3.9）λ≤=Zd-1+,≤q^u^u′κ^u^u=Zd-1+p^u^u′c^u^u= λ、 以及交易策略^θ·=(^u/^u）（X·）∈ Θ≤为（3.10）GV^θ，P= λ≤,  P∈ Π≤.备注3.6。^u作为排名权重的函数的重要性在于，它意味着最优策略是排名生成的，在【13，第4.2节】的意义上。因为^u是置换不变性的，并且是两次连续可微的，所以[13，定理4.2.1]中的局部时间项消失了。实际上，我们有Xi=Xj {i=j}对于所有i=1，d和j=1，在我们的结果中，这是一个令人满意的特性。事实上，如果当两支股票的排名相同时，最佳仓位不同，那么，在排名市场资本化发生冲突时，就需要更换频率非常高的大额仓位。这不仅实际上是不可行的，还将导致不可持续的交易成本（诚然，我们在这里没有建模）。我们用一个重要的观察来结束这一部分。不难看出假设3.3仅涉及（κ，q）附近d-1+,≤. 然而，特别是考虑到XRinAssumption 1.4（iii）的非爆炸性，人们很自然会想，是否有办法修改d-1+,≤所以假设3.3成立。为此，我们得出以下结果。提案3.7。Letκ：d-1+,≤7.→ Sd++和q：d-1+,≤7.→ (0, ∞) 对于所有开放式子系统V d-1+,≤我们有κ∈ C2、γ（(R)V；Sd++）和q∈ C1，γ（(R)V；（0，∞)). 然后，对于任何开子集V d-1+,≤有（κV，qV）使得（i）qVis在d-1+,≤带Rd-1+,≤qV（x）dx=1；（ii）κ=κV，q=qVon V；（iii）（κV，qV）满足假设3.3。事实上，第3.7条中的（κV，qV）允许（B.13）中的显式公式。检查LemmaB后。1，修正对（κV，qV）是这样的，对于某些常数K>0，优化器^u（x）=Qdi=1xiKfor x（）位于附近d-1+,≤.