离散时间市场模型不确定性下的效用最大化

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英文标题：
《On Utility Maximisation Under Model Uncertainty in Discrete-Time Markets》
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作者：
Mikl\\\'os R\\\'asonyi and Andrea Meireles-Rodrigues
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We study the problem of maximising terminal utility for an agent facing model uncertainty, in a frictionless discrete-time market with one safe asset and finitely many risky assets. We show that an optimal investment strategy exists if the utility function, defined either over the positive real line or over the whole real line, is bounded from above. We further find that the boundedness assumption can be dropped provided that we impose suitable integrability conditions, related to some strengthened form of no-arbitrage. These results are obtained in an alternative framework for model uncertainty, where all possible dynamics of the stock prices are represented by a collection of stochastic processes on the same filtered probability space, rather than by a family of probability measures.
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中文摘要：
我们研究了在一个具有一个安全资产和有限多个风险资产的无摩擦离散时间市场中，面对模型不确定性的代理的终端效用最大化问题。我们证明，如果效用函数（定义在正实线或整个实线上）从上方有界，则存在最优投资策略。我们进一步发现，如果我们施加适当的可积条件，与无套利的某种强化形式相关，则可以放弃有界性假设。这些结果是在模型不确定性的另一个框架中获得的，其中所有可能的股票价格动态都由同一过滤概率空间上的随机过程集合表示，而不是由一系列概率测度表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_Utility_Maximisation_Under_Model_Uncertainty_in_Discrete-Time_Markets.pdf (223.1 KB)

2022-6-6 17:30:29 上传

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关键词：效用最大化 离散时间 不确定性 最大化 不确定

离散时间市场模型不确定性下的效用最大化*Mikl\'os R\'asonyiAndrea Meireles Rodrigues§2020年7月10日摘要我们研究了在一个无摩擦的离散时间市场中，面对模型不确定性的代理人终端效用最大化的问题，该市场有一个安全资产和许多风险资产。我们表明，如果在正实线或整个实线上定义的效用函数从上方有界，则存在最优投资策略。我们进一步发现，如果我们施加适当的可积性条件，与一些强化的无套利形式相关，则有界性假设可以被推翻。这些结果是在模型不确定性的另一个框架中获得的，在该框架中，所有可能的股价动态都由同一过滤概率空间上的随机过程集合表示，而不是由一系列概率测度表示。凝胶分类：G11。AMS数学学科分类（2010）：49K35、91B16、91G10、93E20。关键词：离散时间；模型不确定性；最优投资组合；效用最大化。*拉索尼获得了匈牙利科学院“Lendület”基金LP2015-6和匈牙利国家研究、发展和创新办公室（NationalResearch，Development and Innovation Office，Hungary）KH 126505的资助。这项研究的一部分是在MeirelesRodrigues与爱尔兰都柏林城市大学数学科学学院合作期间进行的；在参观阿尔弗雷德·雷尼数学研究所时，我们对该研究所的热情好客和支持表示衷心感谢。

作者要感谢一位著名的裁判，感谢他敏锐的阅读和宝贵的评论，这使得本手稿得到了改进。他们还感谢劳伦斯·卡拉萨斯（LaurenceCarassus）提请他们注意布兰查德（Blanchard）和卡拉萨斯（Carassus）[6]中某些密切相关的结果阿尔弗雷德·雷尼数学研究所，匈牙利布达佩斯1053号雷阿尔塔诺达乌特卡13-15，电子邮件rasonyi@renyi.hu§英国约克大学数学系，约克Heslington，YO10 5DD，电子邮件：andrea。meirelesrodrigues@york.ac.uk1232 M.R'asonyi和A.Meirelis-Rodrigue1。引言解决模型不确定性已成为数学金融的一个热门研究领域，尤其是在过去十年中，这在很大程度上是因为它提供了对金融市场和行为更真实的描述。文献中的经典范式是，经济主体对支配市场演化的概率定律有着客观而明确的先验知识，这通常是通过筛选概率空间来建模的，该空间支持描述基础资产价格的自适应随机过程（经典“模型确定性”理论中关于预期效用最大化的代表性论文包括但远不限于默顿（Merton）[26]；普利斯卡（Pliska）[29]；卡拉萨斯（Karatzas）、莱霍茨基（Lehoczky）和什里夫（Shreve）[23]；考克斯（Cox）和黄（Huang）[13]; Karatzas、Lehoczky、Shreve和Xu【24】；Cvitani\'c和Karatzas【14】；Zariphopoulou【40】；Kramkov和Schachermayer【25】）。然而，在实践中，通常没有足够的可用信息来构建完全准确的模型。对这种不确定性或模糊性进行建模的主要框架是考虑一个非空的优先级族P，它代表了在一些规范空间中被认为是可能的所有概率度量，其中讨论了套期保值、定价和最优投资的问题。

多个可能的相互奇异概率度量的存在以一种智力上令人满意的方式表明，我们正在寻找无论真实模型规格是什么（在给定的模型类别中）都能起作用的解决方案。相关的数学难题很诱人，就像与诸如最优运输等成熟理论的联系一样（我们提到了Beiglb"ock、Henry Labordère和Penkner的工作；Dolinsky和Soner等人的工作）。Gilboand Schmeidler的开创性论文[20]更仔细地研究了不确定性条件下的最优投资问题，扩展了冯·诺依曼（Vonneumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）[39]提出的公理化特征化对无不确定性条件下标准预期效用的稳健偏好。大量文献在假设集合P占主导地位的情况下研究了这个问题，即存在一个所有先验都是绝对连续的引用度量（读者可以参考，例如，F"ollmer、Schied和Weber【19】；Bartl、Cheridito和Kupper【3】）中引用的引用）。相反，如果情景度量集是非支配的，则对于定义在正实线上的有界上方效用函数，Nutz[28]证明了离散时间内存在鲁棒效用最大化器；Neufeld和Siki'c【27】，同样适用于从上方有界但存在摩擦的市场中的效用函数；Bartl【2】，其中针对指数效用导出了对偶表示；Blanchard和Carassus【5】，他们的工作似乎是第一次处理正半线上一般无界效用的情况；Bartl等人。

[3] ，他们依靠ZFC集合论的公理和Martin公理（一个比连续体假设弱的基数原则）来解决整条实线上有界以上效用的问题。本文讨论了在替代框架中存在不确定性时的效用最大化问题，我们认为该框架同样充分，并允许证明目前在主流环境中不可用的结果：代理人将一系列随机过程视为价格的可能情景类别，在相同的固定随机基础上定义，所有这些都被认为是平等的。换言之，虽然在我们的背景下，投资者知道结果的真实可能性（特别是什么是无效和确定事件），但他们不确定价格所遵循的动态，因此真实模型的错误描述由一系列需要考虑的过程来表示。简而言之，目前的设置与通常的设置不同，它不是在可测量的空间上定义流程(Ohm, F） （在大多数情况下，S由方便路径空间上的坐标映射组成）并考虑(Ohm, F） ，我们确定随机基础（即可用信息和事件发生的真实机会），并改变过程∈ S模型的参数类通常属于我们的设置范围，这些模型包含价格演变的特定规范，具有一些共同的驱动因素结构和一组（未知或未指定）参数，这些参数决定价格动态。关于离散时间市场模型不确定性下的效用最大化3在标准设置中，稳健的效用会导致所有（适当可积）随机变量之间的偏好关系（参见。

Gilboa和Schmeidler[20]中的公理化处理，尤其是针对每种可能的投资组合终端财富定义了优先权。另一方面，在我们的环境中，偏好实际上是根据代理人的决策（特别是可接受的控制/投资政策/投资组合策略）来定义的，其中决策的效用（投资组合策略）是其预期效用相对于可能模型家族的最大值。显然，没有办法将这些偏好扩展到所有随机变量。这两种方法之间没有明显的关系。我们强调，存在一类模型（例如，对应于参数化），投资者不确定哪一种是正确的，并倾向于具有更高最坏情况效用的策略。在标准方法中，概率空间的选择已经存在不确定性，这在理论统计中很常见，并且可以比较任意两个随机结果，无论是否为投资组合终值。需要注意的一个重要方面是，这种替代的不确定性建模方法并不排除这些过程的规律，例如相互奇异。我们工作的核心一个明显的比较优势是，我们仍然能够使用经典概率论的结果；也就是说，我们能够避免非支配准确定性框架中出现的微妙的可测量性问题（我们指出，我们不会将任何特定的结构强加给我们的模型族S），并应用KomlóS类型的参数来构建最优策略的候选者。通过这种方式，我们可以覆盖标准设置无法覆盖的某些情况。还有一些模型规格无法使用我们目前的方法，但可以使用现有工具方便地处理。因此，我们的贡献补充了（不包括）目前流行的方法。

Nutz【28】；巴特尔[2]；Blanchard和Carassus【5】；Neufeld和Siki\'c【27】；详见第4节。本文的目的是研究离散时间金融市场中风险厌恶投资者终端财富的稳健效用最大化问题允许解决的条件。代理人在评估给定报酬时采用最坏情况方法，首先最小化每个投资组合在所有可能实现的股票价格上的福利表现，然后选择最坏情况效用中最好的投资策略。在上述论文中，非主导准肯定设置是证明最优策略存在性的主要数学工具，动态规划允许将多期稳健投资组合选择问题简化为一系列单期决策问题，但会导致难以测量和分析的问题（例如，在每个时间步，有必要考虑一系列合适的可能转移概率度量，然后将其串联起来；这在Bartl等人的术语中称为“时间一致性”）。在目前的工作中，我们使用一种直接处理原始问题的方法，通过优化序列构建最优投资组合（即，其最坏情况下的预期效用在所有策略中任意接近上确界）。我们既不需要时间一致性假设（存在于除Bartl等人[3]以外的所有相关论文中），也不需要额外的理论假设（presentin Bartl等人。

[3]).我们的结果是在假设所有可能的模型集合中至少有一些价格演变没有套利机会，并且模型在适当意义上是非退化的情况下得到的。我们将此条件与下面备注2.6中的常规稳健无套利条件进行比较。这个条件使我们能够使用一个等价的鞅测度（如果不是这样的话，它的存在在此时是未知的）；它还与其他现有的无套利概念密切相关，例如Davis和Hobson首次提出的“弱无套利”（见假设2.1和下面备注2.6中的讨论）。这项工作的一个主要贡献是，正轴上的效用函数和整个实线上的效用函数都得到了处理。此外，我们考虑了有界以上函数以及可以随出站增长的函数；在后一种情况下，我们必须用与价格过程相关的量的某些可积条件来代替效用的有界性。可以以很低的成本接受随机捐赠或负债，但目前的工作并不追求这一点。4 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodrigue本文结构如下：第2节介绍了考虑模型不确定性的效用最大化问题的模型和数学公式；第3节陈述并讨论了关于鲁棒最优策略存在性的主要结果；第4节包含一些示例，说明了当前框架与准确定框架的重要区别、优点和缺点；第5节概述了未来的研究方向和结论。为方便起见，附录中收集了所有证据。2、模型考虑由d∈ N交易风险资产加上额外的无风险资产（单位价格不变），并确定时间范围T∈ N

让(Ohm, F，F={Ft}t∈{0,1，…，T}，P）是一个离散的时间混沌基，并假设本文中的σ-代数包含所有P-空集。对于everyn∈ N和G F，用L（G；Rn）表示G-可测、Rn值随机变量的空间（通常，我们识别在P-null集外重合的随机变量），赋予概率收敛的可度量拓扑。让我们在此随机基础上成为一个非空的适应、Rd值过程族，并定义拓扑乘积空间L BTt=1L（英尺-1.Rd）。当风险资产的（贴现）价格按照过程S演变时∈ S，时间t的（贴现）财富∈自筹投资组合φ的{0，1，…，T}∈ L从首字母大写w开始∈ R由wst（w，φ）=w+tXs=1hφs给出，SsiRd。在这里机顶盒St-St公司-1是交易期t的价格变化∈{1，…，T}，whileh·，·ird表示Rd中的欧氏乘积与相应的normk·kRd。如果策略对每个特定的可能价格都是可行的，则该策略是可接受的；更准确地说，初始资本为wisA（w）BTS的可接受交易策略集∈SL（w，S）对于某些L（w，S） L待稍后指定，具体取决于效用函数的域。接下来，对于每个S∈ S和t∈{1，…，T}，设PSt | Ft-1（·，·）是ST相对于Ft-1、通过重新定义P-null集，PSt | Ft-1（·，ω）是（Rd，B（Rd））上所有ω的概率测度∈ Ohm, 我们用DSt（ω）表示包含P的支持的rds的最小a ffne子集St | Ft-1(·, ω).在本文中，假设股票价格的收集至少包含一个过程，对于这个过程，不可能从无到有地获得无风险收益。

此外，此类价格模型的交易机制中的冗余资产对于所有其他可能实现的价格过程也必须是冗余的。这些要求正式化如下。假设2.1。存在S*∈ 满足所有φ的S∈ Lw、 S*, 如果WS*T（0，φ）≥ 0 P-几乎可以肯定（a.s.），然后是WS*T（0，φ）=0 P-a.s.，（NA（s*))对于每个S∈ SDSt公司 DS公司*talmost当然，尽管如此∈{1，…，T}。（2.1）该套*将用S表示*.拉索尼（Rásonyi）和斯特特纳（Stettner）[34，提案3.3]提供了以下无套利和“非冗余”价格过程的替代特征（另见Carassus和拉索尼（Rásonyi）[10，提案2.1]）。提案2.2。让我们∈ S以下两种说法是等效的。关于离散时间市场中模型不确定性下的效用最大化5（i）NA（S）成立。（ii）对于每t∈{1，…，T}，存在Ft-1-可测随机变量βSt>0 P-a.s.和κSt>0 P-a.s.使得ESS infξ∈ΞStPnhξ，斯特德≤ -βStkξkRd英尺-1个≥ κStP-a.s.onnDSt，{d}o，（2.2），其中ΞStBnξ∈ L英尺-1.研发部: ξ(ω)∈ P-a.e.ω的DSt（ω）∈ Ohmo、 此外，我们假设投资者的风险偏好是连续的、不满足的，边际效用递减。这些是效用函数上相当弱的条件：我们要求严格的凹性或光滑性（特别是不需要满足INDA类型的条件）。假设2.3。效用函数U:R→ R∪{-∞}是非递减的、凹的和上半连续的。我们定义了om（U）B{x∈ R:U（x）>-∞}, （2.3）是形式（b+∞)或[b+∞)对于一些b∈ R∪ {±∞}.