离散时间市场模型不确定性下的效用最大化

，T}，（3.7），其中βSt，κ表示命题2.2给出的随机变量，W如（3.3）所示。此后，对于所有x，U±（x）B max{±U（x），0}∈ dom（U），分别表示U（·）的正部分和负部分。我们感谢裁判提请我们注意这一点。离散时间市场模型不确定性下效用最大化的研究*∈ A（w）使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。备注3.12。在这一点上，让我们简要地看看“无模型”效用最大化的情况；参见例如Acciaio、Beiglb"ock、Penkner和Schachermayer【1】，其中S由所有适应的价格过程组成（或仅由满足无套利的过程组成）。矩反射表明，在这些情况下，在正实轴上的U（·）情况下，仅允许使用相同的0策略。在全行定义U（·）的情况下，除0以外的所有策略都会产生效用-∞. 换句话说，问题变得微不足道。Burzoni等人【9】概述了另一种无模型方法。然而，它集中了唯一套利，概率并不是以自然的方式出现的（即，它们的集合S并不确定一组概率）。在特殊情况下，S={Ohm}, 所有概率的集合都是自然出现的，我们已经在上一段中讨论过这种情况。对于Burzoni等人[9]的所有其他案例，我们甚至看不到如何正确表述效用最大化问题。4、示例示例4.1。当价格被假定为连续时间It^o过程时，漂移和波动的不确定性是模型稳健性的经典设置。这一点已经得到了热烈的研究，我们参考了Epstein和Ji的最终论文【18】。我们在下面绘制了一个简单的离散时间模拟。考虑t倍笛卡尔积OhmtB{-1，1}t对于所有t∈{0，1，…，T}，并用2表示Ohmt动力装置Ohmt、 同时设置Ohm BOhmT

定义映射∏t：Ohm → Ohmtas∏t（ω）B（ω，…，ωt），对于所有ω=（ω，…，ωt，…，ωt）∈ Ohm,过滤F为FtB∏-1吨Ohmt型. 修复p∈（0，1），并配备可测量空间Ohm, 2.Ohm概率测度由p（{ω}）BTYt=1定义pδ项目（ω）+(1 - p） δ-1.项目（ω）, 对于所有ω∈ Ohm, （4.1）其中δxis是x处的狄拉克量度∈ R、 projt是来自Ohm 至{-1, 1}.此外，让我们∈ R，并引入参数空间ΘBσ, σ对于某些0<\'σ<\'σ，T×Rt。对于每个θ=（σ，u）∈ 定义实值过程Sθ=nSθtot∈{0,1，…，T}asSθT（ω）B s+tXs=1σprojs（ω）+u, 对于所有ω∈ Ohm, t型∈{0，1，…，T}。给定x∈ R、 x处的狄拉克测度是概率测度δx:B（R）→{0，1}由δx（B）B（1，如果x）定义∈ B、 0，否则。给定笛卡尔积X×。×X与k∈{1，…，n}，第k个投影图projk:X×。×Xn→ XKI由Projk（x，…，xn）B xk定义，适用于所有（x，…，xn）∈ X×。×Xn。12 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodrigue当p=1/2时，该模型可能是连续时间Bachelier模型的离散时间模拟。尽管某些价格过程存在套利机会，但很容易看出每个Sθ∈ Swith |u|<σ允许qθ（{ω}）B 2给出唯一的等价鞅测度-TTYt=11.- 项目（ω）uσ, 对于所有ω∈ Ohm.此外，Sθ对每个θ都有独立的增量∈ 如Rásonyi和Stettner所观察到的，这意味着条件（3.4）成立，并且（3.7）被S中的任何无套利过程所满足[34，命题7.1]。还请注意，S可能包含定律相互单一的价格过程。现在考虑P{定律：S∈ S} ，它是（R，B（R））上所有概率测度空间的子集。这个简单的模型类是模型误判的典型例子，其中“波动性”参数σ和漂移参数u未知。它可以在我们的框架内处理。

然而，它不满足Nutz【28，第3节】或Bartl【2，第2节】中概率测度集Pt（ω）的条件；也就是说，给定时间t时的状态ω，时间t+1时股票价格的可能模型族不是凸的（因为这里的凸性意味着在混合概率下是闭合的）。我们可以考虑这个例子的各种推广：utandσt可以是时间相关的，甚至ft-1-可测量；拿Ohm := RT，我们可以考虑可能具有连续律等更一般的噪声过程。示例4.2。标准多先验框架中的大多数论文（如Nutz[28]；Bouchard and Nutz[7]；Bartl[2]）都假定“时间一致性”属性。可以构造一个例子，其中对应的P不能满足这个属性，但可以在我们的框架中处理。还记得Bartl等人[3]，他们可以使用额外的集合理论公理来降低时间一致性。固定T B 2和d=1（即，考虑单个风险资产）。拿Ohm= R和Ohm BOhm= R、 设εi，i∈{1，2}是两个独立且分布相同的随机变量，P{εi=±1}=1/2，并定义F，使得Fis是P-零集的σ-代数FBσ（ε）和FBσ（ε，ε）。设s=0，对于每个θ=（u，u）∈ 确定实值价格过程Sθ=nSθtot∈{0,1,2}asSθtB s+tXs=1（us+εs），对于所有t∈{0，1，2}，进一步假设只有两种可能的价格模型；即S=nSθ：θ∈ Θo，其中Θ={θ=（0.1，0.3），θ=（0.2，0.5）}。请注意，S=S*.

最后，介绍符号P B{定律：S∈ S} 。时间一致性意味着存在一组概率Pon R和一个从R到R上概率测度集的集值映射Pf，使得P由所有概率测度P组成，分解P（a）=ZRZRA（ω，ω）P（ω，dω）P（dω∈ BR（P=P Pin缩写形式），对于某些P∈ 泛优化P（ω）∈ P（ω）表示所有ω∈ R参见Bouchard和Nutz【7】。接下来，观察每个θ=（u，u）∈ R、 股票价格Sθ和Sθ中的每一个都有支持度为{S+u的离散规律- 1，s+u+1}和{s+u+u- 2，s+u+u，s+u+u+2}；这里，BR表示R的Borelσ-代数（即，包含R的所有开子集的最小σ-代数）。关于离散时间市场模型不确定性下的效用最大化13此外，PnSθ=s+u±1o=，PnSθ=s+u+u±2o=，PnSθ=s+u+uo=。为了解决矛盾，假设时间一致性成立。用Sθi的概率定律表示∈{1，2}，直接计算yieldP=P P、 P=P P、 其中P∈ P{0.1±1}=1/2的离散分布；P（0.1±1）∈ P（0.1±1）是离散分布，其中P（0.1+1，{0.1+0.3+2}）=P（0.1+1，{0.1+0.3}）=1/2，P（0.1- 1,{0.1 + 0.3 - 2} ）=P（0.1- 1,{0.1 + 0.3})= 1/2;P∈ P{0.2±1}=1/2的离散分布；和Pis，使得P（0.2±1）∈ P（0.2±1）是离散分布，其中P（0.2+1，{0.2+0.5+2}）=P（0.2+1，{0.2+0.5}）=1/2，P（0.2- 1,{0.2 + 0.5 - 2} ）=P（0.2- 1,{0.2 + 0.5})= 1/2.但是，\'P B P P不是P的元素，而是矛盾。Riedel【36，附录D，示例3】中有一个不同的示例。示例4.3。这是Bartl[2]示例2.7的简化版本。让我们来看看∈ 对于所有ω，R和σ>0，设置t（ω）B s+σtXs=1projs（ω）∈ Ohm, t型∈{0，1，…，T}，定义P B{Pp:P∈（0，1）}其中每个PPI的形式为（4.1）。

虽然P满足了Nutz[28]的条件，但我们无法以自然的方式将此示例纳入我们的框架。事实上，我们需要一个信息过滤F={Ft}t∈{0,1，…，T}使得价格增量（可以是具有任意参数的常数倍伯努利）是可测量的。只有当F由连续随机变量生成时，这才可行。然而，这是不自然的，因为t+1时的投资决策应该可以测量到t之前的价格变动，这是离散值随机变量。因此，无法以有意义的方式将此示例合并到我们的框架中。示例4.1和4.3表明，虽然通常的方法能够在过程的“概率骨架”级别捕获不确定性（例如树上的概率），但当过滤（信息结构）保持固定时，我们的方法可以成功用于各种参数化。下面是我们的方法可以涵盖的另一个“非参数”示例。示例4.4。关于固定概率空间(Ohm, F，P），考虑独立和标准均匀随机变量的集合{ε，…，εT}。对于所有t，将过滤F定义为FtBσ（ε，…，εt）∈{0，1，…，T}，let∈ R可以给定，并用Ft的T元组集表示-1. B（[0，1]）-可测函数θt：Ohm ×[0, 1]→ R、 t型∈{1，…，T}，它们的第二个变量是非递减的。14 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodrigues，每θ=（θ，…，θT）∈ Θ，设Sθ={Sθt}t∈{0,1，…，T}是所有ω的实值过程，由θT（ω）B s+tXs=1θs（ω，εs（ω）），给出∈ Ohm, t型∈{0，1，…，T}。现在让我们nSθ：θ∈ Θo.如果S包含Sθ*对于某些θ*这样θ*t（ω，·）具有正值和负值，所有t和ω的勒贝格测度均为正值，然后是Sθ*显然满足了无套利假设以及（2.1）。

请注意，R上的任意概率定律可以由随机变量表示，该随机变量是标准均匀随机变量的非递减函数。我们现在展示了这个例子包含了Bartl[2]的例子2.8，除了我们更喜欢使用加法动力学而不是Bartl[2]的乘法动力学之外。每t∈{1，…，T}，fix Ft-1-可测实值随机变量ut≤ ut和正Ft-1-可测随机变量σt，t、 现在我们可以将S定义为一组价格模型S={St}t∈满足SB s的{0,1，…，T}∈ R和St=St-1+ut+Yt，适用于所有t∈{1，…，T}，其中uT超过huT，uti值Ft-1-可测随机变量，且YT范围在其条件定律关于Ft的随机变量上-1ist（ω）-对于几乎每个ω，在适当的距离内，接近高斯定律，平均值为0，方差σt（ω）。我们不提供进一步的技术细节。示例4.5（期权交易）。让Zt，t∈{1，…，T}是某些概率空间上的Rm值随机变量(Ohm, F，P），表示m个股票的价格，让Z∈ Rmbe确定性。设Fbe为p-zero集的集合，且∨ σ（Zs，s∈t的{1，…，t}）∈{1，…，T}。我们假设NA（Z）成立，因此至少有一个概率，等价于P，在此概率下Z是鞅。用Q表示所有这些概率的集合。设G是一个Rd值的ftmable随机变量，表示这些股票上的d个期权的终值，并且∈ Rdbe表示时间0时这些期权的（已知）价格的向量。假设Q（g）BnQ∈ Q:EQ[G]=开始，, 并固定一些非空R Q（g）。定义BnEQ【G | Ft】，t∈{0, . . .

，T}：Q∈ Ro，各种风险中性概率Q下可能的期权价格过程的集合∈ R、 本文的结果适用于上述情况，即定价措施存在不确定性，且具有最坏情况下稳健偏好的投资者试图以最佳方式交易这些期权。结论本文在模型不确定性的替代框架下，对最坏情况下鲁棒效用最大化问题的解的存在性问题提供了肯定的答案。在存在比例交易成本的市场中，希望将这项工作的论点扩展到连续时间模型，正如Chau和Rásonyi[12]的配套论文所做的那样。是否存在价格过程也值得研究∈ 标准效用最大化问题等效于稳健效用最大化问题（与Schied[38]中的最不利措施类似）。在存在多重先验的情况下，套利和超边际的基本问题已得到深入研究，见上文备注2.6，以及[1；7；9；8]和其中的参考文献。这些问题在当前工作的背景下尚未解决，将成为未来研究的主题。离散时间市场模型不确定性下的效用最大化15A。附录：证明本附录包含第3节中给出的结果证明。引理3.3的证明。让我们*∈ S*,  被给予。我们构造了随机变量GS*, . . . , GS公司*t大致如下。（i） 定义GS*B w/βS*, 其中βS*由命题2.2给出，设φ∈ L（w，S*). 很明显，GS*在P-full setnβS上均为严格阳性和明确*> 0度。它遵循w+D^φS*, S*ERd=w+Dφ，S*ERd=WS*（w，φ）≥ 每年0个。

（回忆备注3.4）thatPn^φS*Rd>GS*o∩nD^φS*, S*ERd公司≤ -βS*^φS*Rdo公司≤ PnD^φS*, S*ERd<-wo=0。该不等式与（2.2）以及两个φS的F-可测性*和GS*产量SepκS*n^φS*Rd>GS*o≤ Pn^φS*Rd>GS*o∩nD^φS*, S*ERd公司≤ -βS*^φS*Rdo公司= 每年0次。。考虑到κS*> 0 P-a.s.，我们得出Pn^φS*Rd>GS*o=0。（ii）假设∈{1，…，T}，我们得到了GS*, . . . , GS公司*t满足LEMA 3.3的条件。设置GS*t+1Bw+Pts=1GS*sS*s研发部/βS*t+1，其可测量性，P-a.s.严格的正性和完整性属性很简单。此外，给定任意φ∈ L（w，S*), 我们可以使用CauchySchwarz不等式（再加上备注3.4）得到0≤ WS系列*t+1（w，φ）≤ w+tXs=1^φS*s研发部S*sRd+D^φS*t+1，S*t+1第≤ βS*t+1GS*t+1+D^φS*t+1，S*t+1ERdP-a.s。。因此，Pn^φS*t+1Rd>GS*t+1 O∩nD^φS*t+1，S*t+1第≤ -βS*t+1^φS*t+1Rdo公司≤ PnD^φS*t+1，S*t+1第<-βS*t+1GS*t+1o=0，与上一步类似的参数导致^φS*t+1研发部≤ GS公司*t+1P-a.s。。定理3.5的证明。优化问题（2.4）的适定性是微不足道的+WST（w，Д）我≤ U型(+∞)适用于所有^1∈ A（w）和S∈ S最优投资组合存在性的证明分为三个部分。（i） 我们声称∈ S，函数ΞS:A（w）→ R∪{-∞}由ΞS（Ξ）B EPhU定义WST（w，Д）i、 适用于所有^1∈ A（w），这里，11A:X→{0，1}是集合A的指示符函数 十、 定义asA（X）B（1，如果X∈ A、 0，否则。16 M.R'asonyi和A.Meirelis Rodriguesis依次为上半连续。要看到这一点，让我们∈ A（w）并考虑序列{νn}n∈N A（w）相对于τ收敛到Д。然后^1ntn∈nConverge in probability toДt for all t∈{1, . . .

，T}，它与连续映射定理相结合，给出了随机变量序列snu±的概率收敛性WST（w，Дn）在…上∈Nto U±WST（w，Д）. 因此，lim supn→+∞ΞS^1n≤ lim支持→+∞EPhU公司+WST公司w、 ^1n我- lim信息→+∞EPhU公司-WST公司w、 ^1n我≤ EPhU公司+WST（w，Д）我- EPhU公司-WST（w，Д）i=ΞS（Д），其中第二个不等式是法图引理和反向法图引理的结果（其使用由U+WST（w，Дn）≤ U型(+∞)适用于所有n∈ N） 。现在请注意，L是第一个可数的，因为可度量空间的任何有限乘积都是可度量的，而每个可度量空间都是第一个可数的。但这意味着子空间A（w）也是第一可数的。此外，回想一下序列上半连续和上半连续在第一个可数空间中是等价的概念。因此，函数Ξ：A（w）→ R∪{-∞}定义为Ξ（Д）B infS∈塞布WST（w，Д）i、 适用于所有^1∈ A（w），是非空集合{S（·）}S的逐点最小值∈Sof上半连续函数，isitself上半连续。（ii）考虑序列{νn}n∈N A（w）这样，对于所有n∈ N、 Ξ^1n= infS公司∈塞布WST公司w、 ^1ni> u（w）-n、 （A.1）根据假设2.1，我们可以找到一些过程*在S中*风险资产价格。从现在起，我们将书写^1NTIN而不是投影*,nt，为了简单起见。Thenn^1非∈Nis L中的a序列F研发部带supn∈N^1n研发部≤ GS公司*< +∞ P-a.s.引理3.3，因此Schachermayer[37，引理3.2]得出结论，存在序列nθnon∈nnon尾部的Nof凸组合∈N（即θN∈ convn^1m：m≥ 不适用于所有n∈ N） 概率收敛到某个φ*∈LF研发部.接下来，表示bynθnon∈nνnon的相同凸组合的序列∈N、 请注意，SUPN∈Nθn研发部≤ GS公司*< +∞ P-a.s。

再次在Schachermayer[37]中应用引理3.2，这次是tonθnon∈N、 产生序列Nθnon∈Nof元素θn∈ convnθm:m≥ 否（因此，nИnon尾部的凸组合∈N） 概率收敛到某个φ*∈ LF研发部. 因此，lettingnθnon∈Nbe由相同的凸组合给出（ofnИnon∈N） asnθnon公司∈N（ofnИ非∈N） ，这是立即的∈n收敛到φ的可能性*, 而且θn，θn∈ convn公司Дm，Дm: m级≥ 不适用于所有n∈ N、 以这种方式递归进行，我们在有限的步骤中构造一个过程φ*∈ L和a序列{φn}n∈确保φn∈ convnДn，Дn+1。或全部n∈ N、 和收敛概率φntn∈Ntoφ*所有t的tholds∈{1，…，T}。最后，给定任意n∈ N、 观察φNt是否属于DS*tP-a.s.适用于所有t∈{1，…，T}；此外，我们可以简单地检查WS（w，φn）∈ convnWS（宽，νm）：m≥ 不适用于所有S∈ S，前提是（2.1）成立。关于离散时间市场模型不确定性下的效用最大化17（iii）只需验证过程φ*∈ （ii）中的L是（2.4）的溶液。那个φ*A（w）的凸性和闭性使得投资组合是可容许的。此外，我们使用U（·）是凹的和不等式（A.1）来了解Ξφn= infS公司∈塞布WST公司w、 φn我≥ u（w）-对于所有n∈ N、 与（顺序）上半连续性一起产生Ξ（φ*)≥ lim支持→+∞Ξ（φn）≥u（w）。定理3.6的证明。快速检查引理3.3的证明表明，在条件（3.4）下，随机变量GS*, . . . , GS公司*塔尔索属于W。证明分三步进行。（i） 为了证明（2.4）是适定的，首先观察到，因为U（·）是凹的，所以C>0使得U（x）≤ C（| x |+1）表示所有x>0。