离散时间市场模型不确定性下的效用最大化

上半连续性意味着，如果b∈ R、 然后limx→b+U（x）=U（b）（其中后者可能是有限的或-∞).在存在不确定性的情况下，投资者的目标是选择一个可接受的投资组合，在资产价格最可能具体化的情况下，从终端财富中最大化其预期效用，其中，S中的每个价格过程都具有相同的合理性。最优投资组合问题的模型不确定性版本定义如下。定义2.4（稳健最优投资组合）。A投资组合φ*∈ 对于具有初始财富wifu（w）B sup^1的投资者，在模型不确定性下，A（w）是最优的∈A（w）infS∈塞布WST（w，Д）i=infS∈塞布WST公司w、 φ*i、 （2.4）在这里，我们采用通常的惯例，即如果随机变量的正负部分都有明确的预期，那么其预期定义为-∞ （即+∞ - ∞ B-∞).备注2.5。这是微不足道的∈塞布WST（w，0）i=所有w的U（w）∈ dom（U），其中0≡（d，…，0d）表示将所有财富分配给安全资产的安全投资组合。因此，u（w）>-∞ 前提是安全投资组合是可接受的。下一节将展示（2.4）在两种情况下的优化因素：最初，投资者遵守通常的无破产要求；随后，我们通过在整个实线上处理有限效用的情况来放宽这一限制。备注2.6。（i） 我们在假设2.1下建立了我们的结果，这意味着至少有一个模型S*∈ 经典意义上的无套利；换句话说，NA（S*) 对应于价格过程S的经典无套利机会*.

顺便说一句，该条件与Davis和Hobson的传统“弱无套利”概念相对应【16】（本身是Burzoni、Fritelli和Maggis中提出的“无R套利”财产的特例【9，定义5.1】）。（ii）另一个相关比较是与Bouchard和Nutz【7，定义1.1】引入的标准“稳健无套利条件”进行的，在本框架中，其内容为：对于所有∈ S，WST（0，φ）≥ 每年0个。=> 对于所有S∈ S，WST（0，φ）=0 P-a.S。。（NA（S））6 M.R'asonyi和A.Meireles Rodrigue在多重先验设置中，Blanchard和Carassus【6，定理3.8】表明（NA（S）的多重先验等价性意味着弱无套利，但反向失败；参考Blanchard和Carassus【6，引理3.7的陈述（5）】。此外，Blanchard和Carassus【6】的定理3.30指出（假设2.1的多重先验等价物）实际上等价于Bouchard和Nutz【7】的robustno套利条件，因此这似乎是一个相当自然的要求。然而，请注意，多优先级框架与当前框架不同，因此不可能直接将结果从一个转移到另一个。回到我们的框架，假设2.1比条件NA更强。要看到这个，让φ∈ A（w）这样，对于所有∈ S，它保持P-a.S.，即WST（0，φ）≥ 0。那么，对于所有t∈{1，…，T}，weget WS*t（0，φ）=0 P-a.s.，这反过来意味着φt（ω）属于正交的ds补码*t（ω）表示P-a.e.ω∈ Ohm. 因此，φt也与DSt正交 DS公司*t对于所有S∈ 我们得出的结论是，ST（0，φ）=0 P-a.S。然而，与多先验情况不同，在目前的框架中，NA（S）一般并不意味着假设2.1成立，甚至NA（S）*) 对于一些S*. 实际上，考虑一个具有一项风险资产（即。

以T=1和d=1）为例，其中S由两个过程组成：\'S=0o=Pn\'S=1o=1/2，且▄S使得PnS=0o=PnS=-1o=1/2；然后，尽管NA（S）成立，但NA（S）和NA（S）都不成立（还请注意，D（S）=D（S）=R）。我们之所以在“弱无套利”假设下工作，而不是在“鲁棒无套利”条件下工作，是因为前者根据Dalang Morton-Willinger定理为我们提供了一个等价的鞅测度[15]；获得与NA（S）相关的资产定价基本定理的版本是一个值得在当前环境下进一步研究的项目（如准sure框架中的alreadydone；参见Bouchard和Nutz【7】；Blanchard和Carassus【6】）。（iii）与Blanchard和Carassus[5]进行比较，其中正半实线上定义的上述无边界公用设施在每个模型的（强化的）无套利条件下处理∈ S（见其中的定义2.4）。我们指出，对于整个实数线上的无界效用，在所有可能的价格过程类似（强）无套利假设的情况下，我们得到了下面的存在定理3.11。这微不足道地暗示了Blanchard和Carassus[6，引理3.7（4）]在多先验条件下观察到的稳健无套利条件NA（S）；此外，参见同一篇论文中的定理3.8，建立了稳健无套利与某些无套利的先验子家族（与原始子家族具有相同的“相关”事件）的存在之间的等价性。目前尚不清楚，在解决无界稳健最优投资组合问题时，无套利的合适概念应该是什么。回想一下，在效用最大化“确定性下”，没有套利是存在乐观者的必要条件，如byRásonyi和Stettner所示【34，命题3.1】。3.

主要结果本节中存在定理的证明都有一个共同的结构：首先，我们验证了优化问题（2.4）的价值函数的完整性，以确保投资者不能从市场上可用的策略中获得近乎幸福的回报。然后，我们可以得到一个最大化的投资组合序列，并通过紧性参数从中获得一个候选的优化者。最后，我们使用关于策略的最坏情况预期效用的上半连续性来检查在前一步中找到的投资组合是否确实是最优的。在风险偏好的上界假设下，适定性和上半连续性都很简单，剩下的唯一一点可以证明，一个合适的策略集合应该感谢裁判提出了这个反例。关于离散时间市场模型不确定性下的效用最大化，7满足某种形式的紧性。然而，一旦我们放弃了效用应该从上面有界的要求，我们就开始遇到一些可积性问题（即，我们不再有终端效用正部分的明显的不可积上界，从而保证某些积分的收敛），我们通过引入额外的假设来处理这些问题。当非破产约束生效时，其中一个可实现模型中的经典无套利与交易“非冗余”足以确定可接受策略的界限（由下面引理3.3中的辅助随机变量GSTF给出）。

对于上述原因，对于无界效用，我们需要这些边界也是可积的，这是通过加强无套利条件来实现的，从（3.4）的意义上来说。在允许财富以正概率呈现正值和负值的情况下，我们再次看到偏好的有界性和风险厌恶具有紧凑性；由于引理3.3的边界不再可用，因此这些论点比正实线对应的论点更冗长和复杂。最后，对于在整条实线上定义无界性的特别微妙的情况，证明变得更加复杂；事实证明，仅仅在一个模型中并没有套利是不够的，我们必须假设每个可能的模型都不存在套利机会。最重要的是，即使我们允许实用程序任意增长，我们也必须要求它以下面（3.6）所述的严格次线性方式增长。这些条件保证了证明所需的上半连续性。综上所述，如果我们考虑上面有界的效用，那么我们能够证明存在一个稳健的最优投资组合，而不必施加假设2.1以外的任何条件；相比之下，具有无限效用的稳健投资组合选择涉及到越来越多的困难，这需要更加严格的假设，不仅是对套利的假设，而且对价格动态和效用增长的假设。这些并不奇怪，参见Nutz【28】和Blanchard与Carassus【5】中的相关讨论。3.1. 正实线上的效用我们首先关注在股票价格演变的每种情况下都不允许债务的情况，因此效用函数的有效定义域等于正半线。假设3.1。

对于所有S∈ S，L（w，S）Bnφ∈ L：t型∈{0，1，…，T}，WSt（w，φ）≥ 0 P-a.s.o.（3.1）此外，int（dom（U））=（0+∞).备注3.2。由于单调性，U（·）以自然的方式扩展到[0+∞)通过设置U（）B limx→0+U（x），这可能是-∞. 进一步假设，在不丧失一般性的情况下，U(+∞)B极限→+∞U（x）>0。最后注意，除了非空且凸外，A（w）相对于L上乘积拓扑的子拓扑τ是闭合的。当前小节的两个存在性定理都依赖于以下关键引理，其证明沿着Rásonyi和Stettner[35，引理2.1]的思路进行。这个结果在构造最优投资组合时发挥了作用，因为它暗示了可容许集A（w）的有界性，因此可以使用紧性参数来提取（2.4）的候选解。引理3.3。假设w>0，假设2.1成立。此外，假设3.1成立。那么，对于每个人∈ S*和t∈{1，…，T}，存在一个Ft-1-可测量的随机变量GSt>0 P-a.s.，因此ESS supφ∈L（w，S）^φSt研发部≤ GSt<+∞ P-a.s.，（3.2），其中^φSt（ω）表示所有ω在DSt（ω）上的正交投影∈ Ohm.证据见附录A。8 M.R'asonyi和A.Meirelis RodriguesRemark 3.4。对于所有φ∈ L（w，S）和t∈{1，…，T}，我们有^φSt∈ L英尺-1.研发部以及D^φSt，StERd=hφt，StiRdP-a.s.（参考Carassus和Rásonyi[11，备注3.4]），因此用正交投影代替投资组合不会改变其价值。更重要的是，假设2.1成立，S*∈ S*那么，对于所有S∈ S，我们有d^φS*t，StERd=hφt，Stird自DS以来几乎可以肯定 DS公司*.我们的第一个主要结果表明，每当投资者的效用从上方有界时，不仅可靠的效用最大化问题（2.4）非常适定（即u（w）<+∞ 对于每个初始资本w），但始终存在最优策略。定理3.5。

假设w>0，假设2.1、2.3和3.1成立。如果U(+∞)< +∞, 那么就存在φ*∈ A（w）使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。或者，假设随着财富的增长，投资者可以获得任意高水平的满意度。为了仍然能够从上方控制终端财富的稳健预期效用，从而获得（2.4）的解决方案，我们对所有可能价格的动态进行了额外假设（3.4），并结合至少一个模型中无套利的更强版本。定理3.6。设w>0，假设2.1、2.3和3.1有效。此外，定义新的BnX∈ L（FT；R）： p>0，EP|X | p< +∞o、 （3.3）进一步假设k标准：S∈ S W和βS*t型∈ W代表所有t∈{1，…，T}（3.4）适用于某些S*∈ S*, 其中每个βS*这是命题2.2给出的随机变量。那么就存在φ*∈ A（w）使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。备注3.7。我们可能想知道，如果我们在所有中间时间放松破产禁令，强制规定每个价格过程的可接受策略∈ S只在最后时刻产生非负财富。换言之，我们可以考虑更大的集合A（w）B\\S，而不是A（w）∈S▄L（w，S），其中▄L（w，S）Bnφ∈ L:WST（w，φ）≥ 0 P-a.s.o.（3.5）明确表示，对于所有w>0，~u（w）B supД∈A（w）infS∈塞布WST（w，Д）我≥ u（w），那么就产生了上述不等式是否可以严格的问题。不难看出，在假设2.1下，对于所有的S，L（w，S）=L（w，S∈ S*.

的确，如果我们让φ∈ L带WST（w，φ）≥ 0 P-a.s.，那么我们通过Dalang Morton-Willinger定理【15】结合Jacod和Shiryaev的定理2【22】知道财富过程*t（w，φ）ot∈{0,1，…，T}是离散时间市场中模型不确定性下的trueOn效用最大化，在某些等价鞅测度下为9鞅。期望的结论来自于具有非负终值的鞅是非负的。此外，如果我们在定理3.5和3.6中将A（w）替换为▄A（w），我们可以很容易地检查到，在相同的证明下，结果仍然有效（关键事实是，对于所有无套利价格模型，两组可行投资组合实际上是一致的，如上所示）。然而，这两个领域的鲁棒效用最大化问题的价值可能会有所不同；下面我们提供一个发生这种情况的示例。这与多重先验设置形成鲜明对比，在多重先验设置中，允许集的这种放松不会影响优化问题，因为在稳健无套利下，准肯定非负的终端财富意味着财富在所有中间时间的准肯定非负性（参见Blanchard和Carassus[5，引理4.3]）。设T B 2，X为标准高斯分布。考虑随机变量εi，i∈{1，2}这样p{ε=-1/2}=P{ε=4}=1/2，P{ε=-1/2}=P{ε=1/2}=1/2，X，ε，ε是独立的。此外，通过将Fto设置为P-nullset族FB F来定义过滤F∨ σ（X，ε）和FB F∨ σ(ε).我们考虑一种风险资产，即d=1。

我们的模型系列有3个元素，S=nS*,因此，定义如下：，S*= ε, S*= ε,S=X，S=3- 十、\'S=3，\'S=0。很明显，DS*= DS公司*= R、 因此，假设2.1由S*∈ S*.取有界效用U（x）B min{√x、 2}，对于所有x∈(0, +∞), 并将初始资本设置为w=1。每个投资组合策略φ=（φ，φ）由一个确定性数字φ组成∈ R、 和一个F-可测实值随机变量φ。注意φ∈ A（）表示φ=0，因为X从上到下都是无界的。因此，通过\'S的构造，u（）=supφ∈A（）输入∈塞布WST（1，φ）我≤ supφ∈A（）EPhUW'ST（1，φ）i=U（）=1。另一方面，选择策略▄φ，其中▄φ=▄φ=1给出WST1,~φ≥ 所有S为0∈ S，因此|φ∈A（）\\ A（）。此外，我们可以直接检查∈ S，EPhUWST公司1,~φ我≥,这反过来会导致▄u（）=supφ∈A（）infS∈塞布WST（1，φ）i> 1。我们感谢裁判提出了这个有趣的问题，并指出了这两个框架之间的另一个根本区别。这里，G∨ H表示由两个σ-代数G和H的并集生成的σ-代数。10 M.R'asonyi和A.Meirelis-Rodrigues3.2。整体实线上的效用现在考虑财富可能变为负值的可能性，这意味着效用函数在实线上的任何地方都具有有限的值。换句话说，投资组合选择不受任何限制，因此任何自我融资的投资策略都是可以接受的。假设3.8。对于所有S∈ S，L（w，S）B L。此外，dom（U）=R。下一个结果将我们的定理3.5扩展到整个实数线，并表明在此设置中也存在最优投资组合。定理3.9。让w∈ R、 假设2.1、2.3和3.8成立。如果U(+∞)< +∞, 那么就存在φ*∈ L使得u（w）=infS∈塞布WST公司w、 φ*i<+∞.证据见附录A。在我们的最后一个定理中，我们从上面去掉了U（·）有界的假设。

这是以假设每个∈ 在强烈的意义上，S应该是无套利的；我们进一步指出，（3.7）与上述定理3.6的条件以及Blanchard和Carassus[5，定理3.6]的条件非常相似。同样，处理由U(+∞)= +∞对于财富的大正值，需要一个效用的补充增长条件，即函数显示严格的亚线性增长。尽管如此，（3.6）仍然相当温和；事实上，它甚至比+∞ （见Kramkov和Schachermayer【25】）。据我们所知，这是文献中第一个在稳健环境下处理整条实线上定义的无界函数的结果。备注3.10。下面定理3.11证明的一个简单但重要的观察结果是u（w）>-∞ （回顾备注2.5）以及公约+∞ - ∞ B-∞ 导致等式u（w）=sup^1∈\'\'A（w）infS∈塞布WST（w，Д）i、 其中A（w）B\\S∈Snφ∈ L：EPhU-WST（w，φ）i<+∞o、，.这意味着，任何导致至少一个可能模型最终失望的投资都会自动从稳健投资组合问题中排除，因为它永远不会是最优的，从而有效地将可接受的控制集从L限制到“A（w）”。定理3.11。让w∈ R、 假设2.1、2.3和3.8成立。进一步假设以下三个条件均满足。（i）S=S*.（ii）存在C>0和α∈[0，1）使得u（x）≤ Cxα+1对于所有x≥ 0.（3.6）（iii）对于所有S∈ S，βSt，κSt，kStkRd公司∈ W代表所有t∈{1, . . .