灾难性不稳定性的特征：市场崩溃

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英文标题：
《Characterization of catastrophic instabilities: Market crashes as
  paradigm》
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作者：
Anirban Chakraborti, Kiran Sharma, Hirdesh K. Pharasi, Sourish Das,
  Rakesh Chatterjee and Thomas H. Seligman
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Catastrophic events, though rare, do occur and when they occur, they have devastating effects. It is, therefore, of utmost importance to understand the complexity of the underlying dynamics and signatures of catastrophic events, such as market crashes. For deeper understanding, we choose the US and Japanese markets from 1985 onward, and study the evolution of the cross-correlation structures of stock return matrices and their eigenspectra over different short time-intervals or \"epochs\". A slight non-linear distortion is applied to the correlation matrix computed for any epoch, leading to the emerging spectrum of eigenvalues. The statistical properties of the emerging spectrum display: (i) the shape of the emerging spectrum reflects the market instability, (ii) the smallest eigenvalue may be able to statistically distinguish the nature of a market turbulence or crisis -- internal instability or external shock, and (iii) the time-lagged smallest eigenvalue has a statistically significant correlation with the mean market cross-correlation. The smallest eigenvalue seems to indicate that the financial market has become more turbulent in a similar way as the mean does. Yet we show features of the smallest eigenvalue of the emerging spectrum that distinguish different types of market instabilities related to internal or external causes. Based on the paradigmatic character of financial time series for other complex systems, the capacity of the emerging spectrum to understand the nature of instability may be a new feature, which can be broadly applied.
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中文摘要：
灾难性事件虽然罕见，但确实会发生，一旦发生，就会产生毁灭性的影响。因此，了解市场崩盘等灾难性事件的基本动态和特征的复杂性至关重要。为了加深理解，我们从1985年起选择了美国和日本市场，研究了股票收益矩阵的互相关结构及其特征谱在不同的短时间间隔或“时代”上的演化。对任何历元计算的相关矩阵施加轻微的非线性失真，导致出现特征值谱。新兴光谱的统计特性显示：（i）新兴光谱的形状反映了市场的不稳定性，（ii）最小特征值可能能够从统计上区分市场动荡或危机的性质——内部不稳定或外部冲击，（iii）时滞最小特征值与平均市场互相关具有统计显著相关性。最小特征值似乎表明，金融市场变得更加动荡，其方式与平均值相似。然而，我们展示了新兴谱的最小特征值的特征，这些特征区分了与内部或外部原因相关的不同类型的市场不稳定性。基于其他复杂系统金融时间序列的范式特征，新兴谱理解不稳定性本质的能力可能是一个新特征，可以广泛应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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关键词：不稳定性 灾难性 稳定性 不稳定 Quantitative

灾难性不稳定性的表征：市场崩溃作为一种范式：城市查克拉博尔蒂1，*，基兰·夏尔马，Hirdesh K.Pharasi，Sourish Das，RakeshChatterjee2,4，和Thomas H.Seligman2,5计算与综合科学学院，贾瓦哈拉尔·尼赫鲁大学，新德里-110067，印度科学研究所，墨西哥国立奥诺马大学，Cuernavaca-62210，M’exicoChennai数学研究所，Chennai-603103，特拉维夫大学印度机械工程学院，以色列国际科学中心，Cuernavaca-62210，M’exico*anirban@jnu.ac.inABSTRACTimportance了解灾难性事件（如市场崩溃）的潜在动态和特征的复杂性。为了更深入的理解，我们选择了1985年以后的美国和日本市场，研究了股票收益矩阵的互相关结构及其特征谱在不同的短时间间隔或“时代”上的演化。对任何历元计算的相关矩阵施加轻微的非线性失真，导致出现奇异值谱。新兴光谱的统计特性显示：（i）新兴光谱的形状反映了市场的不稳定性，（ii）最小特征值可能能够从统计上区分市场动荡或危机的性质——内部不稳定或外部冲击，（iii）时滞最小特征值与湍流具有统计显著相关性，其方式与平均值相似。然而，我们展示了新兴谱的最小特征值的特征，这些特征区分了与内部或外部原因相关的不同类型的市场不稳定性。

基于其他复杂系统的金融时间序列的范式特征，新兴谱理解不稳定性本质的能力可能是一个新特征，可以广泛应用。简介股票市场是复杂系统的一个迷人的例子1-3，在这个复杂系统中，经济主体的一致集体行为及其重复的非线性相互作用往往会导致丰富的相关性和时间依赖性结构4-6。市场价格的变动往往受到新闻或外部冲击的影响，这可能导致股市中大部分股票价格意外快速下跌，被称为市场崩盘！相反，金融市场中泡沫的普遍存在和收益序列的极端变动往往是宏观经济之间不稳定关系的结果8，9强调了有限理性作为观察到的资产收益波动与基本面变动之间脱节的重要因果因素所起的作用，或“过度波动之谜”9、12。最近的一篇论文提出了另一种观点，即金融资产的共同变动取决于相应的宏观经济基础。回报共同变动的共同演变仍然与总规模变量有关，如市值、收入或员工人数。已经存在使用网络理论14、15与经济波动相关的论文，但要了解市场的波动和波动还有很多。更好地科学理解股市、断裂或地震等复杂系统的基础16、17。理论和复杂的金融市场。随机矩阵理论（RMT）、自组织临界性、网络等工具。

已被广泛用于对此类复杂系统进行建模。分析复杂系统时间演化的标准工具，尤其是金融市场22、23。对于这种类型，使用n对高度奇异的相关矩阵进行分析- M+1零特征值，这导致统计结果不佳。在一个时期内计算的这24–26互相关矩阵，产生了与新兴谱最小特征值很好分离的特征值的“新兴谱”，可以从统计上区分市场动荡的主要性质。时滞最小特征值的函数表明，这两个变量具有统计上显著的相关性。对于p，qe估计时间序列的波动性。方法和结果Rici j（t）=（hrirji- hrihrji）/σiσji，j=1，。。。，NtMM=20T=8067T=7997返回矩阵CCC（t）的结构和不同重叠时间段的本征谱（偏移t=1天）。aM=200N=194在相对平静的时期（30-10-2000），平均u（t）b整个时期的长时间收益序列ofT=8067天，显示了市场上正常λmax=55.42bλmin=0.22λmaxcorrelation（u）的最大特征值，这是一个有趣的结构，混合了相关性和反相关性。与使用长时间序列来确定N=194个股票的相关矩阵不同，M=20个谱将具有（N- M+1）=175个零特征值（见图1（c-d））。M=20在一个历元内对每个互相关矩阵进行非线性失真：Ci j→ （符号Ci j）| Ci j | 1+ε，其中ε=0.01。这进一步观察到，新兴光谱的统计特性受到市场动荡的影响——新兴光谱强相关性。a-de-hr（t）u（t）λminλmin（t- 1） u（t）p，qλmin（t- 1） 2σ市场。

这一特性可以在设计市场战略等方面有所启发和利用。只有在这一时期，2/17图1。美国市场相关性和本征谱。（a） 示意图显示了M=200天的不同时间段（截至2000年10月30日、2002年6月10日、2009年8月3日和2011年12月16日）的四个样本相关矩阵；相关性结构随时间而变化——随着时间的推移，市场具有不同程度的平均相关性。有时，人们可以看到某些部门内部存在着强烈的相关性，而其他部门则存在着反相关性；其他时候，所有部门都是相关的，平均市场相关性非常高（关键时期）。行业缩写如下：CD——消费者自由支配；CS——消费主食；EG——能源；FN–财务；HC–医疗保健；ID–工业；ITMTTCUTbT=8067正态光谱的特征值λmax=55.42。插图显示了经验的Marcenko Pastur分布，正态光谱的最小值λmin=0.216。（c） 相关矩阵的非临界（正态）周期特征谱，在M=20天的时间窗内，以1985年7月8日结束的短时间收益序列进行评估，正态谱的最大值λmax=29.63。插图：使用功率图技术（ε=0.01）形成的新兴光谱为半圆形，新兴光谱的最小特征值λmin=-0.011. （d） 相关矩阵的临界（崩溃）周期特征谱，在2008年9月15日发送的时间窗口M=20天的短时间收益序列中进行评估，正态谱的最大特征值λmax=94.49。插图：使用功率图技术的新兴光谱（ε=0.01）是洛伦兹的，新兴光谱的最小特征值λmin=-0.014.3/17图2。指数收益率、平均市场相关性和特征谱特性的比较。

（a-d）美国和（e-h）日本：（i）市场收益率r（t），（ii）平均市场相关性u（t），（iii）新兴谱的最小特征值λminλmin（t- 1） 市场相关性u（t）（在方法部分中描述）。相关系数的平均值和新兴光谱中的最小特征值在很大程度上是相关的。值得注意的是，当平均市场相关性非常高（崩盘）时，最小特征值表现不同（急剧上升或下降）。垂直虚线对应于由内部市场反应导致的主要崩溃（如图3中的离群值检验所证实，并在表1中列出）。骚乱的同样，日本的市场性质自1990年以来也发生了变化。λmin（t- 1） 新兴频谱可以有效地用于描述市场崩溃，并作为市场动荡的信号。垂直于临界周期，新兴光谱的形状（分布）从扭曲的半圆（或类似的托马尔岑科牧场）变为洛伦兹。此外，使用Silverman方法（方法部分概述），无论λminoutlier与否，新兴光谱的最小特征值（λmin）似乎都是一个异常值。我们发现，最近美国orJPN的大部分重大崩溃都是由于内部市场反应造成的。表1给出了主要碰撞列表，图2也显示了相应的碰撞。黑色星期一车祸是发生的最大车祸之一，从λmin的行为来看，这似乎是由于美国的内部反应和JPN的外部冲击造成的。市场中的λmineffect之间显然存在延迟。表1：。

崩溃列表及其特征受危机影响的地区1987年全球美国黑色星期一2007-09年全球美国，JPNSubprime全球金融危机2010-11欧洲美国，JPNeuromian主权债务危机2011年亚洲JPN福岛灾难2013-14欧洲JPN俄罗斯卢布危机2015年亚洲JPN，美国中国股市危机2016年亚洲JPN日本银行政策危机4/17图3。灾难事件附近的本征谱和特征描述。（a） 1987年10月19日黑色星期一崩盘前后，美国和日本的特征谱形状比较。（b-c）异常值测试的结果作为对数图（p值），因此，如果p值小于0.001（在0.1%水平下显著），则我们仅拒绝无效假设，即新兴光谱的最小特征值（λmin）不是异常值。结果显示为美国（b）和日本（c）。值得注意的是，在0.1%的水平上，λMin在美国成为黑色星期一崩盘、全球次贷崩盘、欧洲主权债务危机和中国股市危机的局外人。在黑色星期一崩盘期间，p值不会变为0.1%的显著水平。另一方面，在福岛灾难期间，λmin成为JPN的一个异常值，但在同一天对美国不是。通过λmin.5/17的行为可以检验全球范围内的崩盘存在明显的超前滞后效应。总结和讨论我们运行了一个线性回归模型，将平均市场互相关作为滞后最小特征值的函数，我们发现这两个变量具有统计上的显著相关性。我们发现，令人惊讶且影响深远的结果是平均相关，但在某些不稳定性中，反相关变成正相关。

这种变化可能是不稳定的。方法数据描述如下：美国1985年1月2日至2016年12月30日（T=8068天）；库存数量N=194；oJPN-1985年1月4日至2016年12月30日（T=7998天）；补充信息中的表2和表3给出了两个市场的股票数量（N=165，部门）。互相关矩阵Returns序列构造为ri（t）=ln Pi（t）- ln Pi（t- 1） ，其中Pi（t）是股票在第t天的调整收盘价。ThenijCi j（t）=（hrirji- hrihrji）/σiσjh。。。Ire表示在sizeMand和ont结束的一天的时间段内计算的期望值，σkre表示在t结束的标准KCCC（t）时间段。OutliersSilverman检验提出了一种使用核密度估计来调查总体中模式数的技术。该异常值生成的是一个独立的（且不同的）次要模式，而不是主要模式，并且该分布将具有更多的样本。所有样本将从单峰分布生成。λminλminλminaλmind给定中值特征值λ（m）的λ分布，即f（λ|λ<λ（m））。因此，等效零假设可以表示为f（λ|λ<λ（m））具有单模。从数学上讲，H:f（λ|λ<λ（m））正好有一个模式。替代假设isHA:f（λ|λ<λ（m））至少有两种模式。0.1%水平。也就是说，如果p值小于0.001，那么只有我们拒绝了无效假设。6/17滞后最小Eig值市场相关性的线性回归模型我们考虑u（平均市场相关性）的线性回归模型：u（t）=β+βλmin（t- 1） +βλmin（t- 2) + ... + βpλmin（t- p） +ε（t），其中β是要估计的系数，ε~ N（0，σ），t=0，1,2。。。，t白噪声，u（t）是平均市场tλmin（t- 1） λmin（t- 2） λmin（t- p） 是lag-p最小特征值。

这里，我们选择p=3作为我们的模型。λmin（t- 1） 相关性u（t）；因此，无效假设和替代假设可以在数学上表述为：H：β=0 vs HA：β6=0。估算^β的t值计算为ast=^β- 0se（^β），其中sei是统计中的标准误差。如果| t |>2的值，我们可以说最后一天的SEV（λmin（t-1） ）具有随时间变化的统计u（t）测试^β，如图2所示。GARCH（p，q）ARCH（p）过程由方程σt=α+αxt定义-1+ ... + αpxt-p、 （1）{α，α，…αp}xtσtft（x）方差σt由参数p确定。广义ARCH过程GARCH（p，q）由Bollerslev27，31引入，由方程σt=α+αxt定义-1+ ... + αqxt-q+βσt-1+ ... + βpσt-p、 （2）其中{β，…，βp}是附加控制参数。最简单的GARCH过程是GARCH（1,1）过程，具有高斯条件概率分布函数，σt=α+αxt-1+βσt-1.（3）xtσtxt≡ ηtσtηtand单位方差。可以将等式3改写为随机乘法过程σt=α+（αηt-1+β）σt-1.（4）三个变量的GARCH（1,1）模型结果如图4所示。参考文献1。Vemuri，V.《复杂系统建模：导论》（学术出版社，纽约，1978年）。Gell Mann，M.什么是复杂性？复杂性1，16–19（1995）。3.Bar-Yam，Y.复杂系统的一般特征。（生命支持系统百科全书，EOLSS UNESCO出版社，英国牛津，2014年）。4、剑桥大学出版社，2007年）。5、《管理》（剑桥大学出版社，剑桥，2003年）。7/17图4。使用GARCH（1,1）模型对美国（左）和日本央行（右）的波动率进行估计。（顶部）使用市场指数收益率，（中部）使用市场相关性平均值，（底部）使用最小特征值。6.2010).Shiller，R.J.股票价格变动是否太大，以至于无法通过随后的股息变化来调整？《美国经济评论》71421–436（1981）。8、布坎南，M。

《无处不在：灾难为何发生》（三河出版社，纽约，2000年）。9.10.Sorkin，A.R.《太大而不能倒：华尔街和华盛顿如何努力拯救金融系统以及他们自己的内幕》（Viking，纽约，2009）。11、Acemoglu，D.、Ozdaglar，A.和Tahbaz Salehi，A.金融网络的系统性风险和稳定性。《美国经济评论》105564–608（2015）。Gabaix，X.《可变罕见灾害：宏观金融十大谜题的精确解决框架》。《经济学季刊》127645–700（2012）。13.基础：介观网络方法。《科学报告》78055（2017年）。14、Acemoglu，D.、Carvalho，V.M.、Ozdaglar，A.和Tahbaz Salehi，A.总经济波动的网络起源。《计量经济学》801977-2016（2012）。15、Acemoglu，D.、Akcigit，U.&Kerr，W.《网络与宏观经济：实证探索》。NBER宏观经济年鉴30，273–335（2016）。8/1716.地震。修订版。摩登派青年物理。84, 839–884 (2012).17.城市。《自然》326783–785（1987）。Mehta，M.L.《随机矩阵》（学术出版社，2004年）。Bak，P.《自然如何运作：自组织临界性的科学》（哥白尼出版社，纽约，1996）。Albert，R.&Barab\'asi，A.-L.《复杂网络的统计力学》。《现代物理学评论》74，47–97（2002）。21、Goldenfeld，N.&Kadanoff，L.P.《复杂性的简单教训》。《科学》284，87–89（1999）。Onnela，J.-P.、Chakraborti，A.、Kaski，K.、Kert\'esz，J.&Kanto，A.《市场相关性动力学：分类学和投资组合分析》。《物理评论》E 68056110（2003）。23、金融市场。科学报告2644（2012年）。24.《数学与通则》363009–3032（2003）。25、Sch¨afer，R.、Nilsson，N.F.、Guhr，T.《用于改进投资组合优化的动态调整功率映射》。量化金融10，107–119（2010）。26.¨变形。《物理评论》E 88，032115（2013）。27、Tsay，R.S。