阿隆索与城市轮廓的缩放

在这种情况下，住宅选择仅取决于距离CBD的距离r。冯·诺依曼和摩根斯坦（1944，另见迈尔森，1997）认为家庭是理性的，他们的效用函数U isU（z，s）=（1-β） ln公司z（r）+ βlns（r）, （3） 式中，z（r）是在距离CBD距离r处消费的综合货物（包括除房屋表面以外的所有消费品）的数量，s（r）是距离r和β相同的房屋表面∈ ]0,1[是表示用于住房的收入份额（扣除交通费用）或住房相关支出的参数。请注意，假设β在不同规模的城市中保持不变，这是经验性支持的（Davis和Ortalo Magn\'e，2011）。方程式（3）是对数线性效用函数，即传统Cobb-Douglas效用函数的对数变换（来自Cobb和Douglas，1928），并且在当前情况下给出了相同的结果，因为我们使用的是序数效用。我们之所以选择它，有几个原因，这也解释了为什么在城市经济文献中，它是最常用的效用函数形式。首先，它与表现良好的效用函数的假设相匹配（Fujita，1989，第12页），该函数在基本单中心模型中居于中心位置，并确保U（z，s）仅为z和s的正值定义。其次，它只包含一个单参数β，可以通过经验进行讨论。第三，β与价格无关，如经验文献所示（Davis和Ortalo Magn\'e，2011）。

将其推广到更一般的偏好表示，如具有恒定替代弹性（CES）的效用函数，有待进一步研究。我们选择复合商品（z）作为计价单位（单价），每个家庭的预算约束是有约束力的，因为家庭的效用函数是单调的，不包括任何其他消费动机。距离CBD距离r的预算约束为Z+r（r）s（r）=YN- TN（r），（4）其中r（r）是距离r的住房租金，yn是家庭工资，TN（r）是距离r的通勤成本。我们引入了重要的新比例假设：假设工资和交通成本取决于城市总人口N。它们随城市规模的变化将努力再现大小城市的经验半径。通过年龄和运输成本的弹性来衡量集聚经济和成本的方法在经验经济学文献中得到了很好的证实（Rosenthal和Strange，2004；Combes等人，2010、2011、2012）。这意味着幂律函数，这也是城市比例律文献中最常用的函数（Bettencourt et al.，2007；Shalizi，2011；Bettencourt，2013；Leit▄ao et al.，2016）。根据这两条线，我们引入幂律，例如YN=NφY，其中yi是一个城市的工资，φ是工资相对于城市人口的弹性。

同样，我们假设运输成本函数TN（r）是T（r）的标度变换（不一定是同质的），即单一城市中的运输成本函数（假设在r中不断增加和不同）。这种变换的确切形式将从同位旋缩放的条件中推导出来，下一小节将对此进行说明（方程式8）。家庭的问题在于使其效用最大化（3），从而使预算约束（4）保持不变。城市内均衡考虑人口为N的封闭城市区域。解决住户收益最大化问题的出价租金函数ψ（r，u）（见附录a.1），这是每单位住房表面的最大租金。他们愿意在距离r居住时享受效用水平u（外生）。通过将效用水平u与人口规模N联系起来来关闭模型，会产生两个附加条件。首先，每个通勤距离r处的土地数量L（r）是确定的。然后，将整个（有限）城市范围内的人口密度加起来，直至边缘fN，必须得出总人口N。其次，该边缘由城市（即住房）和农业（默认）土地使用之间的竞争决定。我们假设租金由缺席的土地所有者承担，农业租金为零，以便于数学计算（见附录A.2）。这种假设在城市经济理论中很常见（Fujita，1989），并且在经验上得到了农业租金相对于住房租金的低值的支持（Chicoine，1981）。因此，城市边缘fN是家庭花费全部时间通勤（并支付零租金）的距离：fN=T-1N（YN）<=> YN=TN（fN）。（5） 在平衡人口密度函数ρN（r）（附录A.2）中找到唯一的平衡效用和满足平衡条件的城市边缘区。

其同质性取决于以下三个条件（附录A.3）。λ ∈ R：L（λR）=λL（R），（6）γ=α，（7）θ ∈ R:TN（R）=NθTrNα. （8） 条件（6）只是L的线性，这在二维圆形框架中明显满足（其中L（r）=2πr）。条件（7）规定，方程式（1）和（2）中住房用地份额和人口密度的水平比例指数必须相同。最后，条件（8）通过规定运输成本函数至少（因为θ可以为零）与幂α水平缩放，实际定义了运输成本函数的幂律形式。如果这三个假设成立，则平衡总体密度函数写出ρN（r）=N1-2αH（r）hT（f）- T（r）i1/β-1.fZL（r）H（r）hT（f）- T（r）i1/β-1dr-1，（9）式中，r=r/Nα，f=fN/Nα。我们发现，当且仅当α=1/3时，该人口密度曲线遵循三维同质标度（1），这与Lemoy和Caruso（2017）的经验证据一致。这意味着阿隆索在交通和住房之间的基本权衡能够解释这样一个观察结果：如果土地价格、工资和交通成本与总人口成比例的话，城市在大小上是相似的。换言之，可以从阿隆索路确定单一密度，以匹配任何欧洲城市。阿隆索路的主要缺点是上述条件（7），这要求住房比例指数为1/3，而不是观察值的1/2（Lemoy和Caruso，2017）。城际分析到目前为止，已经考虑了规模为N的封闭城市。然而，城市属于城市体系，家庭可以从一个城市搬到另一个城市。这种观点有两种含义。首先，由于不同人口规模的城市在真实的城市系统中共存，模型的均衡应该能够产生这一事实。

因此，当人口规模发生变化时，城市群的收益和成本应该同时发生变化，以便无论城市规模如何，都能相互补偿。如果一种力量支配另一种力量，城市体系要么崩溃为一个巨大的城市，要么被注入无数单一的城市。其次，由于从定义上看，家庭的区位决策在均衡状态下是相互一致的，因此无论城市人口多少，均衡效用水平都必须相同。否则，家庭将有动机搬到更大或更小的城市。为了确定城市间均衡是否成立，我们将工资和运输成本函数的幂律表达式替换为边界租金和总人口条件。考虑不同规模城市间平衡公用设施的相等性，则得出以下两个等式（见附录A.4）φ=θ=β3（1- β). （10） 方程式（10）中的左侧等式意味着相对于城市人口的工资弹性（φ）等于θ，这是运输成本函数在水平调整后的弹性。因此，按照Dixit（1973）的方法，φ是城市群经济的代表，而θ是由集聚成本产生的。因此，满足了几个人口不同的城市在平衡状态下共存的条件。我们注意到，最近关于集聚成本的经验文献非常有限（Combes et al.，2012），这一观点得到了支持。等式（10）中的右侧等式提供了运输成本θ（或工资的人口弹性φ）值的垂直标度指数与家庭住房相对支出β之间的关系。

这种关系正在增加，表明相对支出β=1/3，在经验支持值范围内（Accardo和Bugeja，2009；Davis和Ortalo Magn\'e，2011），与指数φ=θ=1/6相关（图2）。该值与Bettencourt（2013）中讨论的社会经济产出的超线性相同；Bettencourt和Lobo（2016）。因此，Alonso LU推断的城市间视角与之前的一些理论和实证研究完全一致。然而，它与其他认为这种弹性在2%到5%之间的作者不同（Combes等人，2010年，2011年）。此外，继其他不仅基于工资的集聚经济衡量指标之后，生产率相对于城市人口的弹性被认为最大为3%-8%（Rosenthal and Strange，2004）。阿隆索·卢并没有解决这些经验相容性。需要进行更多的研究，特别是挖掘运输成本函数的函数形式，如下一小节所述。功能表我们现在通过为土地分配L（r）、住房规划HN（r）和交通成本函数TN（r）选择适当的功能表，提出了先前模型的操作版本。讨论了这些形式的理论含义及其经验支持。简而言之，函数模型由l（r）=2πr，（11）HN（r）=b exp指定-rdN1/3, （12） TN（r）=cNθ-αr，（13），其中θ=β/（1）- β） /3（方程式10），α=1/3，b是中央商务区的住宅用地份额，d是单一城市中住宅用地比例的特征距离，c是单一城市中每单位距离的交通成本。我们可以很容易地检查函数形式（11）-（13）是否符合同质性（6）-（8）的条件，以及是否与城市间方法（10）一致。

土地分布（11）只是通常的二维圆形框架，而住房用地比例的指数形式（12）因其简单性和优越性而被选择，这将在下一节中讨论。我们选择线性形式（13）作为运输成本函数，因为城市经济学家主要采用这种形式。单一运输成本对城市人口的弹性θ-α = (2β -1)/(1-β） /3然后由同质比例（8）和城市同质效用（10）的条件内生确定。这表明，对于β<1/2（经验支持），单一运输成本应随着城市人口的增加而降低（图2）。这与Dixit（1973）和单一运输成本因拥挤而随着城市人口的增加而增加的预期相矛盾。这表明线性交通与城市交通的规模不一致。我们将非线性运输成本的完整研究留给了进一步的研究，但在附录中显示，使用凹形运输成本函数（直观上更现实），住房支出的实际值会出现单一运输成本的正弹性，例如β=1/3（附录a.5）。特别是，将（13）更改为TN（r）=c√r（即，不随种群大小N进行缩放）将符合我们的条件（8）和（10）。最后，利用函数形式（11）-（13），平衡种群密度函数（9）变为（附录A.6）ρN（r）=N1/32πe-研发部（f- r） β-1.βf1/β+1- （βf+d）e-f/dd1/βf/DZEX1/βdx-1，（14）式中，r=r/N1/3。该表达式取决于三个参数：单一城市边缘区f=Y/c、住房支出β和单一城市住房用地比例的特征距离d。该密度模型适用于经验校准。

请注意，这是一个大胆的尝试，因为欧洲所有城市都是使用这三个参数一次性校准的。它的成功将揭示同音标度的描述能力。经验在本节中，使用非线性最小二乘法将函数模型（14）校准为图1中的平均欧洲人口密度文件。校准程序分两步执行。首先，通过比较住房用地份额（12）与人口参考城市的平均比例来校准d的最佳值。其次，将d的最佳值替换为人口密度函数（14），然后通过优化fandβ的值，将其校准为平均人口密度函数，一次，只优化fw的值，固定β=1/3。四个城市的结果是可视化的。住宅用地比例我们将住宅用地份额（12）校准为参考人口的平均比例（图1）。该人口可以任意选择，但同质缩放的条件施加了1/3的缩放功率，这与经验值（1/2）不同。因此，该模型对于参考种群来说是最优的，但重新缩放到其他种群规模会产生错误。使用附录A.7中详述的误差函数，我们选择了一个参考人口N=7.03 10对于一个有该人口的城市，最好的结果表明特征距离为d=5.8km（表1）。此外，我们发现52.3%的土地专用于CBD的住房，这稍微影响了平均经验值（图。

1).在阿隆索模型中，住房份额的最佳不变值约为17%（表1），这是对数据的一个糟糕描述。选择了四个不同规模的城市作为插图，即伦敦（Ldn），2006年数据集中最大的城市区域，人口N=1.21 10，比利时首都布鲁塞尔（Bxl），人口N=1.83 10，卢森堡（Luxembourg），同名国都，人口N=4.52 10，以及比利时瓦隆尼亚首都纳穆尔（Nam），人口N=1.39 10。参考N的总体介于卢森堡和布鲁塞尔之间，误差最小。我们发现，由于标度指数错误，所考虑城市的人口N与参考人口N之间的差异越大，住房用地份额的误差就越大（图3）。对于N＞N，住房份额被低估，而对于N＜N，住房份额被高估。在考虑的四个城市中，绝对误差不超过12点（相对误差为35%，见图3）。人口密度曲线现在，我们使用前一小节中获得的最佳值d（表1）对人口密度函数（14）进行校准，以获得平均人口密度曲线（图1）。我们关注的是一个规模为N=7.03 10的城市，这一次没有失去一般性，因为模型中人口密度的比例与经验结果一致。结果表明，城市边缘区Fn的最佳值与住房相关支出β呈负相关。因此，最好的fit是具有任意小的β值和任意高的fN值的cornersolution（图4）。在下文中，我们考虑β=0.02的最佳模型。然而，这个值是不现实的（Davis和Ortalo Magn\'e，2011），因此质疑单中心模型描述真实城市的能力。

这个问题可能通过在我们的模型中加入另一个交换成本函数来解决，但代价是数学可伸缩性。在此阶段，我们的解决方案是将β=0.34’1/3的约束模型视为参考情况（图4）。我们查看了最佳人口密度图，并将重点放在图5中的伦敦案例上，我们知道较小的城市是通过同质重缩放获得的。注意，由于半对数图，相对误差被夸大了。我们观察到，阿隆索LU模型优于标准阿隆索模型，尤其是对于β的实际值。这两种模型显示的密度的对数都是凹的，因为密度在r=fN时为零。相反，经验人口密度曲线呈凸形。因此，在半对数图中，最佳fit模型几乎是线性的（因此几乎是线性轴的指数）。自Clark（1951年）以来，城市经济学对这种形式进行了长期的实证研究。Mills（1972）提供了这种指数形式的理论证明；Brueckner（1982）在阿隆索模型中加入建筑结构后，或由Anas等人（2000）使用指数单位通勤成本。我们提供了一种不同的解释，这种解释很节俭，适用于整个城市。使用四个参考城市，图6显示，阿隆索-卢模型很好地描述了欧洲城市的人口密度，无论其大小。附录B中提供了四个额外的城市，如图7所示。目视检查表明，误差主要是由于单个数据与平均数据的偏差，而较少是由于模型与平均数据的偏差（图6和图7）。