阿隆索与城市轮廓的缩放

因此，我们可以认为我们的阿隆索-卢模式非常成功。我们要注意的是，我们没有确定一个城市的收入和单位距离运输成本c的值，因为它们没有出现在人口密度的表达式中（14）。我们的校准仅在土地利用和人口密度上进行。我们将进一步进行更全面的校准，包括地价或租金。Alonso-LU模型输出的租金收益率在水平方向上以1/3的功率和垂直方向上以功率（1/3+θ）进行非同质缩放（参见附录A.3，与Duranton和Puga的比较，2015）。由于密度中的（指数）HN（r）因子在租金方程中消失（A.18），因此该系数比密度系数更高。这张照片看起来很现实。然而，我们还没有欧洲城市租金的径向数据。结论城市内部结构与总人口呈同质标度关系，对其进行建模和解释，对于架起城市内部和城市间研究的桥梁，最终为城市规划提供新的规范提示，具有重要意义。在本文中，我们表明，交通和住房成本之间的基本权衡是对城市内部结构的一个很好的行为解释，并适用于所有城市规模。我们提出了阿隆索单中心模型（Alonso LU）的原始扩充版本，该模型异乎寻常地引入了城市土地收益以及该收益的比例、工资和运输成本。该模型成功再现了Nordbeck（1971）提出的欧洲人口密度模型的三维同位旋标度，最近Lemoy和Caruso（2017）发现了该模型。

此外，该模型推断出1/3的经验标度能力，并与城市间的观点一致，即不同规模的城市共存。阿隆索LU模型的可操作版本在生成两个经验平均值方面的表现优于原始阿隆索模型。这不仅是好事，而且在参数（城市边缘、住房支出和指数住房土地收益的衰减）方面也非常节约。此外，与各个城市的数据相比，结果令人惊讶地好，因为使用了一个参数（人口）来调整模型以适应不同的城市。我们的分析带来了这些重要的新发现，但也提出了三个新挑战。首先，土地利用文件的推断标度力明显小于Lemoyand Caruso（2017）的经验值。其次，我们仍然错过了对这一土地使用文件的解释，即Exogenousher。第三，提出的模型挑战了当前对工资和运输成本随人口变化的实证理解。进一步的研究应该解决这些问题。特别是，住房用地开发的内生模型对于解释非住房用地随距离的存在和增加以及住房用地比例的扩大至关重要。这种解释的潜在候选者是跳跃式土地开发模型，如Cavailh\'es等人（2004b）；特纳（2005）；Caruso等人（2007年）；Peeters等人（2014年），其引用了与农业用地的相互作用，或具有不确定性的动态模型，如Capozza和Helsley（1990年）；Irwin和Bockstael（2002年）。根据Muth（1969）的精神，还应解决城市土地内住房开发（包括垂直开发）的强度问题，以便更好地从垂直维度描述城市。

最后，需要解决使用非线性运输成本的影响，以便阐明城市群经济和不同规模的成本。注：在本文中，标度特性将隐含地指城市人口N的标度。因此，指数“N”用于表示假定随N变化的外部变量或函数。相应地，指数“1”用于表示人口1的抽象单一城市的这些变量的值。在阿隆索模型中，没有将土地开发成住房商品（Muth于1969年将土地开发引入单中心理论）。因此，住房市场与土地市场没有区别。通过这篇论文，它被称为住房市场，以强调阿隆索对家庭选择的关注。还要注意的是，“住房”一词是在广义上使用的，没有区分花园和建筑空间等。形式上，U必须是两次连续可微的，严格准凹的，边际替代率递减，边际效用为正，所有商品都必须是必需品。见Fujita（1989，第311页）。实际上，对数线性效用也是一个齐次函数，因为它是柯布-道格拉斯效用的对数变换，而柯布-道格拉斯效用本身是齐次的。这对应于同感偏好的表示（例如，参见Varian，2011）。有关平衡条件、存在性和唯一性的更多信息，请参见Fujita（1989）。根据Dixit（1973），城市规模主要取决于生产规模经济和运输不经济之间的平衡。

然而，在竞争激烈的劳动力市场中，劳动力的报酬来自其边际生产率，因此，工资弹性是劳动生产率的代表，它利用了城市群经济的不同影响。同样，横向重新调整的运输成本函数的弹性抓住了集聚不经济。附录A数学附录A。1家庭消费问题根据正文中给出的所有假设和符号，人口城市中的家庭消费问题N ismax（U（z，s）=（1- β） ln公司z（r）+ βlns（r）)（A.1）s.t.z+R（R）s（R）=YN- TN（r）。（A.2）根据效用函数，计算边际替代率U（z，s）zU（z，s）s-1=s（1- β） zβ，（A.3）可与价格比相等，以获得最优选择方程，即iss（1- β） zβ=R（R）。（A.4）通过适当替代同时求解最优选择方程（A.4）和预算约束（A.2），得出家庭消费问题的解，z（r）=（1- β） hYN公司- TN（r）i，（A.5）s（r）=βhYN- TN（r）iR（r）。（A.6）将最优消耗量（A.5）和（A.6）代入效用函数（A.1），得到间接效用，可将其设置为任意水平u，以表示投标租金函数ψ（r，u）=e-u/ββ（1- β)1/β-1hYN公司- TN（r）i1/β，（A.7）最后将投标租金（A.7）替换为最优住房消费（A.6），得出投标最大批量（r，u）=eu/β“（1- β） hYN公司- TN（r）i#1-1/β. （A.8）A.2均衡问题现在转到城市均衡，让u表示均衡效用水平，让n（r）表示距离CBD r的人口分布（居住在r和r+dr之间的人口），这是一个连续且连续可微分的函数。

然后，以下平衡关系表明，城市内给定通勤距离r处的可供住房的土地是有限的，并且全部被住户占用：L（r）HN（r）=n（r）s（r，u），（a.9），其中HN（r）遵循水平比例（2）。由此得出该模型中人口密度ρN（r）的定义：ρN（r）=N（r）/L（r）=HN（r）/s（r，u）。（A.10）我们现在表示两个平衡条件。第一个是边界租金条件ψ（fN，u）=a，（a.11），其中a是外生农业土地租金。按照城市经济理论的传统，农业用地只不过是一种默认的土地使用，这就是为什么农业部门被简化为最简单的形式，以恒定的租金为代表，尽管从经验上看并非如此（Chicoine，1981；Colwelland Dilmore，1999；Cavailh\'es等人，2003）。第二个平衡条件是布居条件fnzn（r）dr=N。（A.12）一方面，将出价租金函数（A.7）代入边界租金条件（A.11），使均衡城市边缘fn=T-1NYN公司- (1 - β)β-1β-βaβeu. （A.13）另一方面，将最优住房消费（A.8）连续代入方程（A.9），并将人口分布的结果值代入人口条件（A.12）中-u/β（1- β)1/β-1FZL（右）HN（右）hYN- TN（r）i1/β-1dr=N。（A.14）一般来说，将平衡城市边缘区（A.13）代入总人口（A.14）的表达式中，无法获得平衡效用u的解析解。然而，在农业地租为零（a=0）的假设下，平衡城市边缘区变为Fn=T-1N（YN）<=> YN=TN（fN），（A.15），这意味着城市边缘是家庭将全部工资用于通勤的距离。

方程（A.15）非常强大，因为它使我们能够表达关于城市边缘fn或工资Y的结果。它还在缩放特性方面将这两个量联系起来。现在，将（A.15）的右侧方程代入人口约束，得到平衡多重数u/β=N-1(1 - β)1/β-1FZL（r）HN（r）hTN（fN）- TN（r）i1/β-1dr，（A.16），可连续替换为最优住房消费（A.8）和方程（A.10），以表示人口密度函数ρN（r）=NHN（r）hTN（fN）- TN（r）i1/β-1.fNZL（r）HN（r）hTN（fN）- TN（r）i1/β-1dr-1.（A.17）我们还注意到，投标租金ψN（r）由ψN（r）=β（TN（fN）给出- TN（r））ρN（r）/HN（r），即ψN（r）=NβhTN（fN）- TN（r）i1/βfNZL（r）HN（r）hTN（fN）- TN（r）i1/β-1dr-1.（A.18）A.3同感标度的条件为了得出种群密度函数（A.17）尊重同感标度（1）的条件，首先相应地重新标度距离。形式上，在以下变量r=rNα的变化下，（A.19），总体密度函数（A.17）重写ρN（r）=N1-αHNrNαhTN公司fNα- 田纳西州rNαi1/β-1fRLrNαHN公司rNαhTN公司fNα- 田纳西州rNαi1/β-1dr，（A.20），其中我们注意到城市边缘fn也必须重新缩放，如下f=fNNα。（A.21）由于方程（A.15），这对yn和TN的标度特性有重要影响。最后，假设L（r）是线性齐次的，γ（方程2），HN的标度幂与α（方程1）相同，ρN的标度幂，TN（r）至少是水平标度。正式地λ ∈ R：L（λR）=λL（R），（A.22）γ=α，（A.23）θ ∈ R:TN（R）=NθTrNα.

（A.24）第一个假设将添加一个“-人口密度函数中N的幂的α“项（A.20）。第二个假设假设意味着住房使用功能的横向比例（2）平衡了总人口的影响。第三个假设，相当于TN（rNα）=NθT（r），将使我们能够分解N（1/β-1） θ同时存在于分子和分母中，因此它们相互抵消。总的来说，这会产生ρN（r）=N1-2αH（r）hT（f）- T（r）i1/β-1.fZL（r）H（r）hT（f）- T（r）i1/β-1dr-1，（A.25）是N的幂函数。为了最终得到人口密度函数的同态标度（1），必须假设1- 2α=α保持不变，导致α=。（A.26）投标租金可以相应地表示为ψN（r）=N1/3+θβhT（f）- T（r）i1/βfZL（r）H（r）hT（f）- T（r）i1/β-1dr-1.（A.27）A.4与城市间方法的一致性将工资比例代入右侧关系方程（A.15）yieldsYNφ=TN（fN）=TN（fNα）=NθT（f）=NθY，（A.28），其中我们还使用了城市边缘（A.21）和交通成本函数（A.24）的比例。这意味着φ=θ。（A.29）第二步，依次将变量（A.19）和（A.21）的两个变化应用于平衡效用（A.16），并替换同相标度（A.22）和（A.23）的条件yieldseu/β=N（1/β-1)θ-(1-2α)(1 - β)1/β-1fZL（r）H（r）hT（f）- T（r）i1/β-1dr。（A.30）由于处于平衡状态的家庭没有动机迁移到另一个城市，平衡效用（A.30）不应随N而变化。因此，将等式（A.30）中N的幂等于零（其余与N无关），并替换α=1/3的值（等式A.26），得出θ=β3（1- β). （A.31）最后，同时求解方程（A.29）和（A.31）得到φ=θ=β3（1- β).

（A.32）A.5功能性运输成本函数考虑以下形式的运输成本函数Tn（r）=cNurσ，（A.33），其中u，σ∈ R+。然后，缩放条件（A.24）要求θ=ασ+u，（A.34），其中运输成本函数的弹性θ已分为两部分。一方面，由于水平标度，距离的非线性效应由ασ对弹性θ作出贡献。另一方面，u的贡献代表了城市人口效应。进一步将（10）和α=1/3代入（A.34）得到u=β- σ(1 - β)3(1 - β). （A.35）一方面，假设σ=1，得到函数形式（13）中的线性情况。另一方面，假设β=1/3，则生成u=1/6- σ/3，σ=1/2时为零。A、 6函数单中心模型将函数形式方程（11）-（13）代入α=1/3的平衡人口密度函数（9），得到ρN（r）=N1/32πe-研发部（f- r） β-1.fZre公司-研发部（f- r） 1/β-1dr-1，（A.36），r=r/N1/3Now，在变量y=f的变化下- R方程式（A.36）中的积分为-f/dfZey/dy1/β-1年- e-f/dfZey/dy1/βdy，（A.37）变量x=y/d的第二次变化变为-f/dd1/βf/dZexx1/β-1dx- e-f/dd1/β+1f/DZEX1/βdx。（A.38）（A.38）中的第一个积分可通过使用x1/β的部件进行积分-1=（βx1/β）x、 （A.39）经过代数简化后，得出βf1/β+1- （βf+d）e-f/dd1/βf/dzex1/βdx，（A.40），最终可替换为方程（A.36）的积分，得出ρN（r）=N1/32πe-研发部（f- r） β-1.βf1/β+1- （βf+d）e-f/dd1/βf/DZEX1/βdx-1，（A.41），对于投标租金ψN（r）=N1/3+θ2πβ（f- r） ββf1/β+1- （βf+d）e-f/dd1/βf/DZEX1/βdx-1.（A.42）A.7参考城市的人口从方程式（2）和（12）来看，这里考虑的住房使用模型是一个具有标度特征距离的负指数。

考虑到Lemoy和Caruso（2017）的经验指数，住房使用的最佳模型是n（r）=b exp-rgN1/2, （A.43）而近似模型isHN（r）=b exp-rdN1/3. （A.44）最佳模型（A.43）和近似模型（A.44）之间的绝对误差由B exp给出-rdN1/3- b扩展-rgN1/2= b扩展-rgN1/2经验值-rdN1/3--rgN1/2- 1., （A.45）其中，相对误差是大括号之间的术语。根据定义，“N”是任意选择的总体规模，两个特征距离相等，从而消除了相对误差。也就是说，d=g'N1/6，（A.46），因此相对误差重写了SExp“N'N1/6- 1#-rgN1/2！- 1.（A.47）从（A.47）中可以看出，对于任何N＞N的欧洲城市，住房份额被低估，反之亦然（图3）。相对误差越大，N和'N之间的差异越大。Hencea的第一个理想特性是，最小城市的相对误差与最大城市的相对误差相同。这相当于最小化最大相对误差。然而，这对于r的任何值来说都不可能是真的，因为r中的相对误差在增加。相反，绝对误差（A.45）的最大值在r=-gN1/2ln'NN！\"N'N1/6- 1#-1，（A.48），在该距离处，相对误差为'NN！- 1.（A.49）最后，选择临界人口N作为数据库中最小城市德里（英国，1.03 10hab）和最大城市伦敦临界距离r处相对误差的绝对值相同的值。这将产生'N=(1.03 10)-1/6+ (1.21 10)-1/6\' 7.03 10. （A.50）B进一步的示例城市我们在图7中说明了阿隆索-卢氏模型在四个其他欧洲城市的结果，以补充图。

6： 巴黎（N=1.14 10），数据库中的第二大城市，弗罗茨瓦夫（波兰，N=1.03 10），佛罗伦萨（意大利费伦泽，N=6.81 10）和瓦尔纳（保加利亚，N=3.48 10）。参考ACCardo、J’er^ome和Fanny Bugeja（2009）《记录文件》（Le Poids des D’epenses de loguement depuis ving tans），法国巴黎联合会征集：INSEE，第33-47页。Ahlfeldt，Gabriel M.（2008）“如果阿隆索是对的：剩余地价、可达性和城市牵引力”，SSRN学术论文ID 1305446，纽约罗切斯特社会科学研究网络。威廉·阿隆索（1964）《位置与土地利用》，美国剑桥：哈佛大学出版社。阿纳斯、亚历克斯、理查德·阿诺特和肯尼斯·斯莫尔（1998）“城市空间结构”，《经济文献杂志》，第36卷，第1426页。（2000）“泛指数单中心模型”，《城市经济学杂志》，第47卷，第165-179页。Arthur，W.Brian，Steven N.Durlauf和David Lane eds.（1997）《经济作为一个不断发展的复杂系统II》，美国马萨诸塞州雷丁市：Addison Wesley。Batty，Michael（2007）《城市与复杂性：用细胞自动机、基于代理的模型和分形理解城市：麻省理工学院出版社》。（2013）《城市新科学》，美国剑桥：麻省理工学院出版社。Batty、Michael和Paul Longley（1994）《分形城市》。《形式与功能的几何学》，英国伦敦：学术出版社。Bettencourt，L.M.A.（2013）“城市规模的起源”，《科学》，第340卷，第1438-1441页。Bettencourt，Lu's M.A.和Jos'e Lobo（2016），“欧洲的城市规模”，皇家社会界面杂志，第13卷，第20160005页。Bettencourt、Lu's M A、Jos'e Lobo、Dirk Helbing、Christian K¨uhnert和Geo Offrey B West（2007）《城市的增长、创新、规模和生活节奏》，《美国国家科学院院刊》，第104卷，第7301-7306页。布鲁克纳，K.1。