广义Lyapunov函数与函数生成交易

（添加剂生成）。对于正则函数G:W→ R和（7）中给出的过程，交易策略Д（·）和组件Дi（·）=θi（·）- Qθ（·）+C，i∈ {1，···，d}，以（2）和（1）的方式，且实数常数=GΛ(0), u(0)-dXj=1uj（0）DjGΛ(0), u(0), （14） 被称为由正则函数G相加生成。命题1。交易策略Д（·），由正则函数G:W相加生成→ R、 具有元件Дi（·）=DiGΛ(·), u(·)+ ΓG（·）+GΛ(·), u(·)-dXj=1uj（·）DjGΛ(·), u(·),（15） 就我而言∈ {1，···，d}。此外，财富过程φ（·）由vφ（·）=G给出Λ(·), u(·)+ ΓG（·）。（16） 证明。该命题与卡拉萨斯和联阵（2017）中的命题4.3完全相同。4.2. 乘法生成定义6。（乘法生成）。对于正则函数G:W→ (0, ∞), 让过程θ（·）在（7）中给出，并假设1/GΛ(·), u(·)是局部有界的。考虑流程θ（·）∈ L（u），含组分seθi（·）=θi（·）×expZ·dΓG（t）G∧（t），u（t）!, 我∈ {1，···，d}。（17） 然后是交易策略ψ（·），其分量ψi（·）=eθi（·）- Qeθ（·）+C，i∈ {1，···，d}，以（2）和（1）的方式，用（14）中给出的C，被称为由正则函数G生成的乘法。命题2。由正则函数g乘生成的交易策略ψ（·）：W→ (0, ∞) 含1/GΛ(·), u(·)局部有界，分量ψi（·）=Vψ（·）1+DiGΛ(·), u(·)-Pdj=1uj（·）DjGΛ(·), u(·)GΛ(·), u(·)!, （18） 就我而言∈ {1，···，d}，其中ψ（·）的财富过程由vψ（·）=G给出Λ(·), u(·)expZ·dΓG（t）G∧（t），u（t）!> 0.（19）证明。卡拉萨斯和联阵（2017）中4.7号提案中的相同论点适用。4.3.

Karatzas和Ruf（2017）中，定理5.1和定理5.2给出了充足的条件，分别针对加法和乘法生成的投资组合，存在相对于市场的强套利。这些结果仍然适用于正则/李雅普诺夫函数g:W→ [0, ∞) 在特定条件下。为了符合（3）中相对于市场的套利条件，我们将GΛ(0), u(0)= 1使得（16）和（19）中的财富过程都具有初始值1。通过将G替换为G+1，可以保证正常化Λ(0), u(0)= 0，或带G/GΛ(0), u(0)当GΛ(0), u(0)> 0、定理3。修正Lyapunov函数G:W→ [0, ∞) 带GΛ(0), u(0)= 1、对于某些实数T*> 0，假设PΓG（T*) > 1.= 1、那么，定义5的额外生成的交易策略Д（·）在每个时间范围内都与市场具有很强的套利相关性[0，T]，且T≥ T*.证据使用与Karatzas和Ruf（2017）中定理5.1的证明相同的推理。定理4。假设∧（·）|是一致有界的。固定正则函数G:W→[0, ∞) 带GΛ(0), u(0)= 1、对于一些实数T*> 0，假设我们可以得到ε=ε（T*) > 0此类PΓG（T*) > 1 + ε= 那么存在一个常数c=c（T*, ε） >0，使得由定义6中的正则函数G（c）=G+c1+cas乘法生成的交易策略ψ（c）（·）在时间范围内相对于市场具有较强的套利性[0，T*].此外，如果G是一个Lyapunov函数，那么ψ（c）（·）也是一个强相对套利，在时间范围[0，T]上，T≥ T*.证据参见Karatzas和Ruf（2017）中定理5.2的证明。请注意，GΛ(·), u(·)由于这些假设，是一致有界的。5.

数据源和处理我们从描述下一节中使用的数据开始这一节，在下一节中实施了几种交易策略。然后讨论了数据处理的方法。5.1. 数据来源和说明我们将考虑一个由标准普尔500指数所有股票组成的市场。我们对这些股票的日初和日终市场权重感兴趣。为了准确计算这些市场权重（根据第5.2小节中的方法），我们使用了两个时间序列：标准普尔500指数中相应组成股票的每日市值（市值，不包括所有股息支付）和每日回报指数（用于考虑股息支付再投资的影响）。这两个时间序列在每个交易日结束时都可用。市场价值和回报指数的数据从DataStream下载。第一天是1989年9月29日，数据可在DataStream上获得。自那时以来，共有1140种成分属于标准普尔500指数。标准普尔500指数的股票列表也可以在DataStream上获得。特别是，对于每个月，我们都会导出本月最后一天的指数成分列表。对于当月从指数中退市的成分股，我们将其保留在我们的投资组合中，前提是该成分股在该月底之前仍留在市场上。然而，通常由于合并和收购、破产等原因，在该成分股不再存在于市场的同一天，我们将其从我们的投资组合中剔除。对于当月新加入指数的成分股，我们从下个月的第一天起将其放入我们的投资组合中。5.2. 数据处理理论上，交易策略在时间上不断变化，而在实证分析中使用的是每日交易频率。

以下程序说明了我们如何检查投资组合相对于市场投资组合的损益。我们将时间范围离散为0=t<t<···<tN-1=T，其中N是总交易日数。otl日的交易，对于所有l∈ {1，···，N- 1} ，在一天的开始（tl）进行，将一天的开始tl市场权重u（tl）作为输入。这些市场权重u（tl）通过ui（tl）=MVi（tl）∑（tl），i计算∈ {1，···，d}，其中MVi（tl）是股票i在第tl天开始时的市场价值，它被假定为等于在最后一个交易日tl结束时可达到的市场价值-1，∑（tl）=Pdj=1MVj（tl）表示第tl天开始时的总市值。o整个tl的理论（非自我融资）交易策略，由θ（tl）表示，基于（7）或（17）计算，以u（tl）为输入。用φ（tl）表示θ（tl）对应的已实施（自融资）交易策略。然后Vφ（tl），对应于φ（tl）的投资组合的日初tlwealth，由Vφ（t）=Vφ（tl）给出-1） ∑（tl-1） ∑（t）。（20） 汤森路透（Thomson Reuters）运营的数据流是一个金融时间序列数据库；参见https://fifinancial。汤森路透。com/en/products/tools-applications/trading-investment-tools/datastream宏观经济分析。html。这是基于实际投资组合财富不会在一夜之间发生变化的假设。In（20），Vφ（tl-1） 和∑（tl-1） 是一天的结束时间-1分别按tl计算的投资组合财富和总市值-1（因此已经知道tl）。o为了推导与θ（tl）对应的已实施（自我融资）交易策略φ（tl），我们计算了数字rc（tl）=dXj=1θj（tl）uj（tl）- Vφ（tl）。（21）那么φ（tl）由φi（tl）=θi（tl）导出- C（tl），i∈ {1，···，d}。

（22）这保证Vφ（tl）=Pdi=1φi（tl）ui（tl）。o在tl日结束时，TLA股票的回报指数可用，通过将tl的回报指数除以tl的回报指数来计算总回报TR（tl）-然后，将股息支付考虑在内的一天结束时的tl隐含市场价值MV（tl）由MVi（tl）=MVi（tl）TRi（tl），i给出∈ {1，···，d}。期末tl修改后的总市值∑（tl）和市场权重u（tl）的计算方法与∑（tl）和u（tl）类似，MV（tl）替换为MV（tl）然后通过vφ（tl）=dXj=1φj（tl）uj（tl）计算一天结束时的tlportfolio财富。注意，我们有Vφ（tl）=Vφ（tl）+dXj=1θj（tl）uj（tl）- uj（tl）. （23）特别是在第t天开始时，上述所有步骤仍然适用，但由于定义2.6，我们将Vφ（t）=1而不是（20）。实例与实证结果在本节中，对投资组合生成函数的几个实例进行了实证研究。示例4。定义广义熵函数g（λ，x）=λdXi=1xilogxi, λ ∈ R+，x∈ d+，值为（0，λlog d），固定λ>0。假设u（·）取而∧（·）是（0，∞)-宝贵的。从（9）中，我们得到ΓG（·）=dXi=1Z··ui（t）logui（t）d∧（t）+dXi=1Z·∧（t）dhui，uii（t）ui（t）。（24）那么G是∧（·）和u（·）的李雅普诺夫函数，前提是ΓG（·）是非递减的。保持这一点的一个充分条件是∧（·）是非递增的。从（15）可以看出，由G额外生成的交易策略Д（·）包含元件Дi（·）=ΓG（·）- ∧（·）logui（·），i∈ {1，···，d}。（25）使用（16），相应的财富过程VД（·）=GΛ(·), u(·)+ 如果G是广义Lyapunov函数，则ΓG（·）是严格正的。对于乘法生成，G需要有界远离零。

保持这一点的一个充分条件是∧（·）以0为界，市场以[0]为界，∞), i、 e.存在 > 0，使G∧（t），u（t）≥ ∧（t）, 对于所有t≥ 0（见Fernholz（2002）中的命题2.3.2）。然后从（18）中，由G乘生成的交易策略ψ（·），具有分量ψi（·）=-∧（·）logui（·）expZ·dΓG（t）G∧（t），u（t）!, 我∈ {1，···，d}。（19）给出了相应的财富过程Vψ（·）。现在，让我们讨论相对于市场存在套利的充分条件。对于李雅普诺夫函数G，我们考虑G=GGΛ(0), u(0)（26）归一化为初始值1，以及非递减过程ΓG（·）=ΓG（·）GΛ(0), u(0). （27）然后根据定理3，ifPΓG（T*) > 1.= PΓG（T*) > GΛ(0), u(0)= 1，然后是交易策略Д（·）/GΛ(0), u(0), 由G相加生成，是在每个时间范围[0，T]上与T的强相对比特率≥ T*.同样，根据定理4，ifPΓG（T*) > 1 + ε= PΓG（T*) > GΛ(0), u(0)(1 + ε)= 1，则交易策略ψ（c）（·），由G（c）=G+cG乘法生成Λ(0), u(0)+ c、 （28）图1。情形∧（·）=1。图2：。财富过程VД（·）具有∧（·）非决定性指数。图3：。财富过程VД（·），其中∧（·）是u（·）二次变化的指数。对于一些足够大的c>0，是在每个时间范围内的强相对套利[0，T]与T≥ T*.图1显示了（27）中给出的ΓG（·）和财富过程VД（·）和Vψ（0）（·），有限变化过程∧（·）=1。从图中我们可以观察到，自2000年以来，VД（·）和Vψ（0）（·）都在增加。图2和图3显示了与∧（·）的两个不同组相对应的财富过程VД（·）。

也就是说，对于所有l∈ {1，···，N}，在图2中，财富过程VД（·）对应∧（tl）=exp（10-4l）和∧（tl）=exp(-10-4l）绘制；在图3中，与∧（tl）=expdXj=1huj，uji（tl）相对应的财富过程V（·）！和∧（tl）=exp-100dXj=1huj，uji（tl）！已绘制。常数10-4和100的选择应确保，通过这些形式，G和Λ(·), u(·)和ΓG（·）大致处于相同的量级。因此，在（16）中，右侧的任何一部分都不能支配另一部分。从图中可以看出，选择∧（·）递增似乎比选择∧（·）常数带来更好的性能，而选择∧（·）常数似乎又比选择图4更好。集成过程E（·）与（30）中给出的组件。图5：。ProcessPdi=1（ui∧ 0.002）（·）衡量标准普尔500指数市场的市场多元化程度。∧（·）递减。我们将这一观察结果背后的原因归因于市场多元化的状态，如下所示。观察（23）yieldsVД（tl）=VД（tl）+GΛ(0), u(0)∧（tl）D（tl），l∈ {0，···，N}，（29），其中D（tl）由D（tl）=dXj=1给出- 对数uj（tl）uj（tl）- uj（tl）. （30）值D（tl）可被视为从日期tl开始到结束的市场权重变化方向的指标。值D（tl）将为正（负），如果市场权重从具有大（小）日起市场权重的公司转移到具有小（大）日起市场权重的公司，直到日期tl。我们考虑一个简单的例子来更好地理解为什么会出现这种情况。固定d=2，并假设u（tl）>u（tl）。ThenD（tl）=- 对数u（tl）u（tl）- u（tl）- 对数u（tl）u（tl）- u（tl）= (- 对数u（tl）+对数u（tl））u（tl）- u（tl）由于以下事实而持有u（tl）- u（tl）= -u（tl）- u（tl）.

因此，只有当u（tl）<u（tl）时，D（tl）>0，即日市场权重开始较大的公司的市场权重减少，而日市场权重开始较小的公司的市场权重增加。因此，正的D（·）表示市场多元化的增强，而负的D（·）实际上意味着市场多元化的减少。图4绘制了累积过程E（·）=P·tl=tD（tl）。当D（·）为正（负）时，过程E（·）增加（减少）。从图4可以看出，从1991年到1995年，E（·）略有增加，直到2000年，E一直在下降。从2000年到现在，E（·）长期上升。过程E（·）的行为与市场多元化的另一个衡量标准一致。更准确地说，让我们考虑processPdi=1（ui∧ 0.002)(·). 请注意，值0.002=1/500，这大致是投资组合中的成分数量。这一过程是对市场多元化的衡量，因为当小公司的市场权重变大时，即市场多元化加强时，市场多元化就会上升。图5描绘了从1991年到1995年第一次增长的过程。从1995年到2000年，这一进程迅速下降。这表明在此期间，市场多元化减弱。相反，随着这一进程的推进，市场多元化在2008年之前一直在加强。然后，市场多元化水平保持在相对较小的范围内。因此，根据（29），如果市场呈现多元化增加的趋势，则正∧（·）的增加有助于增强这种效应，并进一步有助于拉升VД（·），而正∧（·）的减少则起反作用。

另一方面，如果市场呈现多元化减少的趋势，则正∧（·）的减少有助于降低VД（·）的下降速度，而正∧（·）的增加将使速度更快。图2和图3证实了这一点，从1991年到1995年，以及从2000年到现在，正∧（·）的增加使V k（·）表现更好，而从1995年到2000年，与正∧（·）的增加相对应的V k（·）稍大。尽管每当市场多元化加强时，增加的正∧（·）会对投资组合绩效产生积极影响，但我们不允许选择∧（·）任意快速增加。原因是，如果∧（·）中的增量足够大，则ΓG（·）将变为负值并迅速减小，这将导致（25）中给出的负ψ（·）。对于乘法世代，有限变异过程的不同选择不会显著改变财富过程。事实上，根据（24），增加∧（·）可能会减慢Γ（·）的增长速度，甚至会将Γ（·）变成一个递减的增长速度。当应用（17）中的（22）toeθ（·）时，我们有vψ（c）（tl）=expZtldΓG（t）G∧（t），u（t）+ c∧（tl）GΛ(0), u(0)+ cD（tl）+Vψ（c）（tl），对于所有l∈ {0，···，N}，其中D（·）在（30）中给出。在本例中，根据上述等式，正∧（·）增加对Vψ（c）（·）的正效应或多或少被相同∧（·）对指数部分的相反影响抵消。类似的分析也适用于递减的正∧（·）。

因此，在上述情况下（市场多元化普遍增加），单调∧（·）的不同选择对Vψ（c）（·）的影响不如对VД（·）的影响大。请注意，我们的过程D（·）是相关的，但与布雷格曼分歧B，G不同u（tl）|u（tl）= ∧（tl）D（tl）-G∧（tl），u（tl）- G∧（tl），u（tl）,定义见Wong（2017）的定义3.6。关于其与最佳交通的联系，我们参考Wong（2017）。以下示例由Schied等人（2016）提出。示例5。考虑函数g（λ，x）=dXi=1（αxi+（1- α） λi）p！p、 λ∈ Rd+，x∈ d+，常数为α，p∈ (0, 1). 那么G是凹的。对于固定常数δ>0，通过∧i（·）=（δR··ui（t）dt+δR定义Rd+-值移动平均过程∧（·）·-[0，δ）δR上的δui（0）dt··-δui（t）dt on[δ，∞),就我而言∈ {1，···，d}。写入u（·）=αu（·）+（1- α)Λ(·). 然后乘以（9），ΓG（·）=-(1 - α） dXi=1Z·G∧（t），u（t）ui（t）！1.-pd∧i（t）-α(1 - p） dXi，j=1Z·G∧（t），u（t）ui（t）uj（t）！1.-pPdv=1（uv（t））pdhui，uji（t）+α（1- p） dXi=1Z·G∧（t），u（t）ui（t）！1.-pui（t）dhui，uii（t）。注意，G一般不是Lyapunov。交易策略Д（·）和ψ（·），分别由G加法和乘法生成，由Дi（·）=G给出Λ(·), u(·)α（ui（·））pui（·）Pdv=1（uv（·））p-dXj=1αuj（·）uj（·）puj（·）Pdv=1（uv（·））p+1！+ΓG（·）和ψi（·）=^1i（·）- ΓG（·）expZ·dΓG（t）G∧（t），u（t）!,就我而言∈ {1，···，d}。相应的财富过程Vν（·）和Vψ（·）可分别从（16）和（19）推导得出。考虑（26）中给出的归一化正则函数G和（27）中给出的相应过程ΓG（·）。