广义Lyapunov函数与函数生成交易

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英文标题：
《Generalised Lyapunov Functions and Functionally Generated Trading
  Strategies》
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作者：
Johannes Ruf and Kangjianan Xie
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper investigates the dependence of functional portfolio generation, introduced by Fernholz (1999), on an extra finite variation process. The framework of Karatzas and Ruf (2017) is used to formulate conditions on trading strategies to be strong arbitrage relative to the market over sufficiently large time horizons. A mollification argument and Komlos theorem yield a general class of potential arbitrage strategies. These theoretical results are complemented by several empirical examples using data from the S&P 500 stocks.
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中文摘要：
本文研究了Fernholz（1999）提出的函数投资组合生成对额外有限变分过程的依赖性。Karatzas和Ruf（2017）的框架用于制定交易策略的条件，以便在足够大的时间范围内相对于市场进行强套利。一个缓和论证和Komlos定理产生了一类普遍的潜在套利策略。这些理论结果通过使用标准普尔500指数股票数据的几个实证例子加以补充。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Generalised_Lyapunov_Functions_and_Functionally_Generated_Trading_Strategies.pdf (607.98 KB)

2022-6-6 18:22:39 上传

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关键词：APU pun Nov Mathematical Quantitative

广义Lyapunov函数与函数生成交易策略*约翰内斯·鲁夫康贾南（JOHANNES RUFKANGJIANAN），伦敦经济和政治科学学院，数学系，伦敦霍顿街，WC2A 2AE，联合王国邮政：j。ruf@lse.ac.ukDepartment伦敦大学学院数学系LondonGower Street，伦敦WC1E 6BT，United KingdomE邮箱：kangjianan。谢。14@ucl.ac.ukJanuary2018年2月25日摘要。本文研究了Fernholz（1999）提出的功能性投资组合生成对额外有限变化过程的依赖性。Karatzas和Ruf（2017）的框架用于制定交易策略的条件，以便在足够大的时间范围内相对于市场进行强套利。molli fication论点和Koml\'os定理产生了一类通用的潜在套利策略。这些理论结果通过使用标准普尔500指数股票数据的几个实证例子加以补充。关键词：加性生成；李亚普诺夫函数；市场多样性；乘法生成；投资组合分析；投资组合生成函数；调节功能；标准普尔500指数；随机投资组合理论1。引言E。R、 Fernholz建立了随机投资组合理论（SPT），为股票市场的应用和分析具有受控行为的投资组合提供了理论工具；例如，见Fernholz（1999）和Fernholz and Karatzas（2009）。SPT研究所谓的功能生成投资组合。功能生成的投资组合相对于总市值的价值仅仅是市场权重的一个函数，即所谓的主公式。

该公式不涉及随机积分或漂移，这使得分析非常容易，因为减少了估计的需要。继这种构造之后，一个非常有趣的话题是研究功能生成投资组合和市场投资组合之间的相对套利机会。Fernholz（1999、2001、2002）指出了在足够大的时间范围内存在此类相对套利的条件。为了实现这种相对套利，需要通过合适的投资组合生成函数生成交易策略。Karatzas和Ruf（2017）将投资组合生成函数解释为Lyapunov函数。更准确地说，在适当改变度量之后，利用相应财富过程的超鞅性质来研究功能生成交易策略的性能。Fernholz et al.（2017）还研究了在适当条件下任意时间范围内的相对套利。*我们感谢Andrea Macrina和Daniel Schwarz的详细阅读和有益的评论。投资组合生成函数的一个后代是广义投资组合生成函数，它依赖于具有连续路径和有限变化的附加参数。这是因为在实践中，人们在构建投资组合时往往会考虑历史数据，例如股票过去的表现或统计估计。此外，这种泛化为选择投资组合生成函数提供了额外的灵活性。Fernholz（2002）第3.2节提出了与时间相关的母函数的概念，并给出了这种情况下的主公式。在同一框架中，Strong（2014）展示了由函数生成的主公式toportfolios的扩展，这些函数也依赖于某些连续路径有限变化过程的当前状态。

同样基于Fernholz的结构，Schied et al.（2016）提供了相关主公式的路径版本。他们还分析了选择附加过程作为市场权重移动平均值的示例。上述所有论文（Fernholz（2002）、Strong（2014）和Schied et al.（2016））都对投资组合生成函数在有限变化过程和市场权重方面的平滑性进行了假设。在本文中，我们削弱了这些假设，使得投资组合生成函数的选择不受限制。为此，我们使用了一个软化参数和Koml\'os定理。然后，我们利用标准普尔500指数的数据对几个例子进行了实证研究。论文概要如下。第2节规定了市场模型，并重新定义了交易策略和相对套利的定义。第3节首先给出正则函数和Lyapunov函数的定义，然后分别给出函数为正则函数和Lyapunov函数的充分条件。附录给出了这些结果的证明。第4节定义了加性和乘性发电，以及相应的交易策略和财富过程。第4节还给出了相对于市场投资组合的风险存在的条件。第5节描述了所涉及的数据以及实施实证分析的处理方法。第6节包含投资组合生成函数的几个例子，并讨论了实证结果。第7节结束。2、模型设置我们固定了一个过滤概率空间Ohm, F级(∞), F（·），PF（0）={, Ohm} 并写入d=（（x，···，xd）∈ [0，1]d:dXi=1xi=1）和d+=d∩ （0，1）d。我们考虑d≥ 2家公司。我们用u（·）表示市场权重过程=u（·），··，ud（·）.

这里，ui（·）是公司i的市场权重过程，通过将公司i的资本除以市场上所有d公司的总资本来计算，对于所有i∈ {1，···，d}。我们假设u（·）为D值为u（0）∈ 对于所有i，ui（·）是一个连续的非负半鞅∈ {1，···，d}。由于标准普尔500指数中股票的成分列表随着时间的推移而变化，我们通过不限制对标准普尔500指数中当前股票的分析来避免生存偏差。相反，我们重建了标准普尔500指数的历史成分列表，并在成分列表发生变化时适当调整投资组合。为了确定u（·）的交易策略，让我们考虑一个过程θ（·）=θ（·），···，θd（·）在Rd中，它是可预测的，并且可以对u（·）积分。我们用L（u）表示所有这些过程的集合。对于这样一个过程θ（·）∈ L（u），我们将θi（t）解释为我在t时持有的公司股票数量≥ 0，尽管我∈ {1，···，d}。那么vθ（·）=dXi=1θi（·）ui（·）可以解释为与θ（·）相对应的财富过程。定义1。（交易策略）。A过程Д（·）∈ L（u）称为交易策略ifVД（·）- Vх（0）=Z·dXi=1хi（t）dui（t）。备注1。转换可预测流程θ（·）∈ L（u）在交易策略θ（·）中，我们采用了θ（·）的“自我融资缺陷”度量，该度量在Karatzas和Ruf（2017）的提案2.4中引入，并定义为asQθ（·）=Vθ（·）- Vθ（0）-Z·dXi=1θi（t）dui（t）。（1） 因此，含有组分Дi（·）=θi（·）的过程- Qθ（·）+C，i∈ {1，···，d}，（2）其中C可以是任何实常数，是u（·）的交易策略。我们对不同投资组合的表现感兴趣。特别是，我们重点研究了所谓相对套利存在的条件。定义2。（相对于市场的套利）。

交易策略Д（·）被认为是在给定的时间范围内[0，T]对市场的相对套利，对于T≥ 0，ifVД（·）≥ 0和VД（0）=1，以及PVД（T）≥ 1.= 1和PVД（T）>1> 0.（3）如果PVД（T）>1= 1成立，我们说相对套利强于[0，T]。备注2。定义2是有意义的，因为市场组合在任何时候的财富过程都由v（1，·····，1）（·）=dXi=1ui（·）=1给出。然后，在给定的时间范围内[0，T]存在相对套利，当非负财富过程V（·）具有与市场投资组合相同的初始财富时，V（T）大于市场投资组合的概率严格为正，且V（T）不低于市场投资组合。在以下章节中，我们研究了投资组合生成函数，该函数依赖于[0，T]上有限变化的某个实值连续过程，对于T≥ 0和一些m∈ N、 我们用∧（·）来表示这样一个过程。此过程允许在选择投资组合生成函数时更加灵活。为此，设W是Rm×RdsuchthatP的某个开放子集∧（t），u（t）∈ W t型≥ 0= 1.（4）为排名市场权重引入以下符号，这在定理2和示例3中进行了研究。对于向量x=（x，···，xd）∈ d、 将其对应的排序向量表示为x=x（1），···，x（d）, 其中Maxi∈{1，···，d}xi=x（1）≥ x（2）≥ · · · ≥ x（d-1)≥ x（d）=最小值∈{1，···，d}x的分量按降序排列。表示WD=nx（1），···，x（d）∈ d： 1个≥ x（1）≥ x（2）≥ · · · ≥ x（d-1)≥ x（d）≥ 0o；然后秩运算符R：d→ Wd是一个映射，使得R（x）=x。此外，表示Wd+=Wd∩ （0，1）d.排名市场权重过程u（·）由u（·）=R给出u(·)=u（1）（·），··，u（d）（·）, （5） 这本身就是一个连续的，d值半鞅，当u（·）是连续的，d值半鞅（参见Banner和Ghomrasni（2008）中的定理2.2）。

最后，设W是Rm×rdp的某个开子集∧（t），u（t）∈ W t型≥ 0= 1. (6)3. 广义正则和Lyapunov函数在本节中，我们考虑两类投资组合生成函数，正则和Lyapunov函数，这两类函数在Karatzas和Ruf（2017）中介绍。我们在这里推广这些概念，以考虑附加过程∧（·）。定义3。（常规功能）。连续函数G:W→ R被称为∧（·）和u（·）if1的调节器。存在一个可测函数DG=（DG，···，DdG）：W→ Rd使过程θ（·）=θ（·），···，θd（·）含分量θi（·）=DiGΛ(·), u(·), 我∈ {1，···，d}，（7）在L（u）中；和2、连续、自适应过程ΓG（·）=GΛ(0), u(0)- GΛ(·), u(·)+Z·dXi=1θi（t）dui（t）（8）是所有t≥ 定义4。（李亚普诺夫函数）。正则函数G:W→ 如果对于定义3中的某些函数DG，（8）的分解过程ΓG（·）是非递减的，则称R为∧（·）和u（·）的aLyapunov函数。在下一个例子中，我们讨论了光滑函数到beregular或Lyapunov的充分条件。示例1。考虑C1,2函数G:W→ R、 那么它就是引理yieldsGΛ(·), u(·)= GΛ(0), u(0)+Z·mXv=1Gλv∧（t），u（t）d∧v（t）+Z·dXi=1Gxi∧（t），u（t）dui（t）+dXi，j=1Z·Gxixj公司∧（t），u（t）dui，uj（t） 。立即设置θi（·）=G（λ（·），u（·））xiandΓG（·）=-Z·mXv=1Gλv∧（t），u（t）d∧v（t）-dXi，j=1Z·Gxixj公司∧（t），u（t）dui，uj（t） 。（9） 显然，对于所有T，过程ΓG（·）在[0，T]上有有限的变化≥ 因此G是正则函数。此外，如果过程ΓG（·）是非递减的，则G不仅是正则函数，而且是Lyapunov函数。

例如，如果G相对于第一个参数在每个维度上都不递减，∧（·）在每个维度上都递减，而G相对于第二个参数是凹的，则这一点成立。下面我们给出了函数G正则（Lyapunov）的充分条件。为此，从（4）中调用开放集W。定理1。对于连续函数G:W→ R、 考虑以下条件。（ai）在任何紧集V上 W、 存在一个常数L=L（V）≥ 0使得，对于所有（λ，x），（λ，x）∈ 五、 | G（λ，x）- G（λ，x）|≤ Lkλ- λk.（aii）G（·，x）对于固定的x是非递增的，∧（·）在每个维度上都是非递减的。（bi）G在第二个参数中是可微的。此外，在任何紧集V上 W、 存在一个常数L=L（V）≥ 0，这样，对于所有（λ，x），（λ，x）∈ 五、Gx（λ，x）-Gx（λ，x）≤ Lkx公司- xk。（bii）G（λ，·）是凹的，对于固定的λ。如果其中一个条件（ai）或（aii）成立，而其中一个条件（bi）或（bii）成立，则Gis是∧（·）和u（·）的正则函数。此外，在（aii）和（bii）成立的情况下，Gis Lyapunov。定理1的证明见附录。Krylov（2009）研究的It^o公式的广义版本是相关的，但只能应用于马尔可夫环境。备注3。与Karatzas和Ruf（2017）中的定理3.7相反，即使G可以扩展到第二个参数中的连续凹函数，G也可能不是Lyapunov。示例2中给出了反例。因此，对于一般情况，Karatzas和Ruf（2017）中的定理3.7无法应用，相反，我们必须使用修正的条件，如定理1给出的条件。示例2。

假设u（·）∈ hu，ui（t）>0，对于所有t>0，且∧（·）=γdXi=1hui，uii（·），其中γ为常数。定义凹二次函数g（λ，x）=λ-dXi=1xi，λ∈ R、 x个∈ d、 那么从（9）我们得到了ΓG（·）=-Z·d∧（t）+dXi=1Z·dhui，uii（t）=（1- γ） dXi=1hui，uii（·）。观察γ>1时，ΓG（·）降低；因此，G不是∧（·）和u（·）的李雅普诺夫函数，尽管它在第二个参数中是凹的。定义G（λ，x）=-G（λ，x）。那么我们有ΓG（·）=-ΓG（·）。因此，如果γ>1保持不变，则ΓG（·）增加；因此，G是Lyapunov，尽管在第二个参数中是凸的。回顾（5）中定义的排名市场权重过程u（·）和（6）中的开放集W。定理2。如果是函数G:W→ 对于∧（·）和u（·）=R，R是正则的u(·), 那么组分G=Go R是∧（·）和u（·）的正则表达式。定理2的证明见附录。以下示例涉及不在C1,2中的函数G。示例3。假设u（·）∈ d+，考虑C1,2函数（λ，x）=-λdXl=1x（l）log x（l）+1-dXl=d+1x（l），λ∈ R、 x个∈ Wd+，其中d为d<d的正整数≤ d、 根据实施例1，G对于∧（·）和u（·）是规则的。具体而言，可使用分量dLG（λ，x）选择相应的可测函数DG作为指标3=-λlog x（l）- λ、 如果l∈ {1，···，d}-2x（l），如果l∈ {d+1，···，d}0，否则。（10） 在这种情况下，它是^o引理yieldsGΛ(·), u(·)=GΛ(0), u(0)+Z·dXl=1DlG∧（t），u（t）du（l）（t）- ΓG（·）+Z·dXl=1u（l）（t）logu（l）（t）d∧（t）（11），其中DlG在（10）中给出，且ΓG（·）=Z·dXl=1∧（t）u（l）（t）du（l），u（l）（t） +Z·dXl=d+1du（l），u（l）（t） 。

（12） 表示x的分量数=（x，····，xd）∈ D在给定的银行l合并∈ {1，···，d}byNl（x）=dXi=1{xi=x（l）}。然后，根据Banner和Ghomrasni（2008）中的定理2.3，排名市场权重过程u（·）的组成部分为u（l）（·）=u（l）（0）+Z·dXi=1{ui（t）=u（l）（t）}Nlu（t）dui（t）+dXk=l+1Z·d∧（l，k）（t）Nlu（t）-l-1Xk=1Z·d∧（k，l）（t）Nlu（t）, l∈ {1，···，d}，（13）其中∧（i，j）（·）带1≤ i<j≤ d是连续半鞅u（i）（·）的局部时间过程- u（j）（·）≥ 原点为0。根据定理2，函数G（λ，x）=Gλ、 R（x）= -λdXl=1dXi=1{xi=x（l）}Nl（x）xilog xi+1-dXl=d+1dXi=1{xi=x（l）}Nl（x）xi对于∧（·）和u（·）是正则的，因为G对于∧（·）和u（·）是正则的。现在，我们假设∧（·）的形式为∧（·）=ξ∧ξ ∨ Λ(·),式中，ξ和ξ是两个ξ<ξ的正常数，且过程∧（·）是离散的。设G（λ，x）=Gξ ∧ξ ∨ λ, x个, 对于所有λ∈ R和x∈ d+。然后分别使用（10）和（12）中给出的dlg和ΓG（·），将（13）插入（11）yieldsG中Λ(·), u(·)= GΛ(0), u(0)+Z·dXi=1DiG∧（t），u（t）dui（t）- ΓG（·），其中dig（λ，x）=dXl=1{xi=x（l）}Nl（x）DlGξ ∧ξ ∨ λ, R（x）, 我∈ {1，···，d}，和ΓG（·）=ΓG（·）-Z·dXl=1u（l）（t）logu（l）（t）1{ξ≤∧（t）≤ξ} d∧（t）-d-1Xl=1dXk=l+1Z·DlG∧（t），R（u（t））荷兰u（t）d∧（l，k）（t）+dXl=2l-1Xk=1Z·DlG∧（t），R（u（t））荷兰u（t）d∧（k，l）（t）。观察G对于∧（·）和u（·）是正则的，但它不在C1,2.4中。Karatzas和Ruf（2017）构建了两种类型的函数生成，即加法生成和乘法生成，以研究函数生成投资组合的相对值性质。在本节中，我们首先讨论这些函数代的广义版本和相应的属性。然后，我们考虑相对于市场存在强套利的充分条件。4.1. 加法生成从（4）中调用开集W。定义5。