广义Lyapunov函数与函数生成交易

对于每个κ∈ N、 我们考虑（36）中给出的停止时间τκ。在不丧失一般性的情况下，让我们再次假设Λ(·), u(·)=Λ(· ∧ τκ), u(· ∧ τκ),对于某些κ∈ N、 由于f在两个参数中都是局部Lipschitz（见Rockafellar（1970）中的定理10.4），我们可以找到一个Lipschitz常数L，这样，对于所有s，t≥ 0和s≤ t、 我们有f∧（t），u（t）- f∧（s），u（0）+M（t）+V（s）≤ LmXv=1∧v（t）- ∧v（s）+dXi=1六（t）- 六（s）!≤ LmXv=1Ztsd∧v（u）+dXi=1ZtsdVi（u）!.（42）LetZ（·）=-fΛ(·), u(·)+ LmXv=1Z·d∧v（t）+dXi=1Z·dVi（t）!,那么Z（·）是有界的。因此我们有e[Z（t）- Z（s）| F（s）]=Ef∧（s），u（s）- f∧（s），u（0）+M（t）+V（s）|F（s）+ E“f∧（s），u（0）+M（t）+V（s）- f∧（t），u（t）+ LmXv=1Ztsd∧v（u）+dXi=1ZtsdVi（u）!F（s）#≥ Ef∧（s），u（s）- f∧（s），u（0）+M（t）+V（s）|F（s）≥ 0，其中第一个不等式为（42），第二个不等式为Jensen不等式。因此，Z（·）是一个子鞅，这使得fΛ(·), u(·)半鞅。ReferencesBanner，A.D.和Ghomrasni，R.（2008）。排序连续半鞅的局部时间。随机过程。应用程序。，118(7):1244–1253.布劳，N.（1981）。半鞅\'a valeurs Rdet fonctions convexes。C、 R.Acad公司。Sci。巴黎塞尔。我学数学。，292(1):87–90.Delbaen，F.和Schachermayer，W.（1999年）。有界鞅序列的紧性原理及其应用。在随机分析、随机场和应用研讨会上（Ascona，1996），Progr第45卷。概率。，第137–173页。巴塞尔Birkhauser。Dellacherie，C.和Meyer，P.-A.（1982年）。概率和潜力。B、 北荷兰数学研究第72卷。阿姆斯特丹北荷兰出版公司。《鞅理论》，J.P.Wilson从法语翻译而来。Evans，L.C.（1998年）。偏微分方程，数学研究生课程第19卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI。Fernholz，E.R.（2002年）。

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