广义Lyapunov函数与函数生成交易

根据定理4，ifPΓG（T*) > 1 + ε= PΓG（T*) > GΛ(0), u(0)(1 + ε)= 1，则交易策略ψ（c）（·），由（28）中给出的G（c）乘性生成，对于一些足够大的c>0，在时间范围内是强相对套利[0，T*].为了模拟投资组合的相对表现，我们使用参数δ=250天，p=0.8。图6显示了ΓG（·）和财富过程VД（·）和Vψ（0）（·），没有移动平均部分的影响，即α=1。在这种情况下，G是Lyapunov。图6：。情况δ=250天，p=0.8，α=1。图7：。情况δ=250天，p=0.8，α=0.6。投资组合的相对绩效与示例4中的类似，当选择固定资产分配过程时。图7显示了α=0.6时的情况。可以观察到，当考虑移动平均部分时，ΓG（·）增长较慢。与不包括移动平均线部分的情况相比，财富过程Vν（·）和Vψ（0）（·）的长期值也较小。这是因为当α减小时，u（·）的挥发性也减小。在这种情况下，我们交易速度较慢，收益和损失也会相对较少。结论Karatzas和Ruf（2017）通过将Fernholz（1999、2001、2002）提出的投资组合生成函数G解释为Lyapunov函数，构建了一个简单直观的结构。它们规定了在适当的时间范围内相对于市场存在强套利的条件。本文的目的是研究投资组合生成函数G对[0，T]上有限变化的超定值渐进连续过程∧（·）的依赖性，对于所有T≥ 本文的结果通过几个例子加以说明，并以标准普尔500指数的股票为例进行了实证分析。

分析了∧（·）的不同选择对投资组合财富的影响。如果市场呈现增加或减少市场多样性的明确趋势，则∧（·）的某些选择优于其他选择。A.定理1和2A的证明。在证明定理1之前，我们先讨论一些技术细节。从（4）中调用开集W，并考虑连续函数g:W→ R、 财务职能g：Rm+d→ R byg（z）=（g（z），如果z∈ W0，如果z/∈ W、 接下来，考虑函数族（gn，n）n，n∈n带gn，n：W→ R由gn给出，n（λ，x）=ZRdηn（y）ZRmηn（u）g（λ- u、 x个- y） dudy，（31）表示所有（λ，x）∈ W、 对于gn，当（31）的右侧未定义时，n（λ，x）=0。这里是（31），代表z∈ Rland n∈ N、 ηN（z）=（βnlexpnkzk公司-1., 如果kzk<n0，如果kzk≥n（32）与归一化常数β一起使用=ZRlexpkyk公司- 1.dy公司-1，独立于n.引理1。设V表示W的任何闭子集。考虑一个连续函数g:W→ R和软化（gn，n）n，n∈Nof g定义见（31）。（i） 我们有Limn↑∞画↑∞gn，n=g.（ii）表示n，n∈ N足够大，gn，N∈ C∞（五） 。（iii）如果存在常数L=L（V）≥ 0，这样，对于所有（λ，x），（λ，x）∈ 五、 | g（λ，x）- g（λ，x）|≤ Lkλ- λk，那么，对于n，n∈ N足够大且全部（λ，x）∈ 五、 我们有gn，nλv（λ，x）≤ 五十、 五∈ {1，···，m}。（iv）如果g∈ C0,1，然后，对于所有（λ，x）∈ W、 我们有Limn↑∞画↑∞gn，nxi（λ，x）=g级xi（λ，x），i∈ {1，···，d}。（v） 如果g∈ C0,1如果存在常数L=L（V）≥ 0，这样，对于所有（λ，x），（λ，x）∈ 五、g级x（λ，x）-g级x（λ，x）≤ Lkx公司- xk，那么，对于n，n∈ N足够大且全部（λ，x）∈ 五、 我们有gn，nxixj（λ，x）≤ 五十、 i，j∈ {1，···，d}。证据

（i）和（ii）见Evans（1998）附录C中的定理6。对于（iii），观察每个n，n∈ N足够大且全部为v∈ {1，···，m}，（31）产量gn，nλv（λ，x）=limδ→0gn，n（λ+δev，x）- gn，n（λ，x）δ=limδ→0δZRdηn（y）ZRmηn（u）g（λ+δev- u、 x个- y）- g（λ- u、 x个- y）杜迪≤ limδ→0δZRdηn（y）ZRmηn（u）| g（λ+δev- u、 x个- y）- g（λ- u、 x个- y） |杜迪≤ limδ→0ΔδLZRdηn（y）ZRmηn（u）dudy=L，对于所有（λ，x）∈ 五、 其中evi是第V维中的单位向量。对于（iv），将支配收敛定理和（i）应用于g级xi，尽管我∈ {1，···，d}。对于（v），类似于（iii），对于每个n，n∈ N足够大，所有i，j∈ {1，···，d}，我们有gn，nxixj（λ，x）=limδ→0gn，nxi（λ，x+δej）-gn，nxi（λ，x）δ=limδ→0δZRdηn（y）ZRmηn（u）g级xi（λ- u、 x+δej- y）-g级xi（λ- u、 x个- y）杜迪≤ 五十、 对于所有（λ，x）∈ 五、 对于第二个等式，我们应用支配收敛定理。下面的引理是Bouleau（1981）引理2的扩展。对于连续函数g:W→ R、 考虑其相应的软化（gn，n）n，n∈未定义asin（31）。引理2。如果是连续函数g:W→ R在第二个参数中是凹的，thenlimn↑∞画↑∞gn，nxi=fi，i∈ {1，···，d}，对于一些可测函数fi:W→ R、 在任意紧V上有界 W、 证明。

使用（32）中的符号，我们得到ηn（z）=nlη（nz），z∈ Rl，n∈ N、 对于（λ，x）∈ W和n∈ N足够大，定义gn，nin（31），支配收敛定理，引理1 yieldlimn↑∞gn，nxi（λ，x）=limn↑∞ZRd公司ηnxi（x）- y） ZRmηn（u）g（λ- u、 y）dudy=ZRdηnxi（x）- y） limn公司↑∞ZRmηn（u）g（λ- u、 y）dudy=ZRdηnxi（x）- y） g（λ，y）dy=-ZRd公司ηnyi（y）g（λ，x- y） dy=ZRdnηyi（y）gλ、 x+yndy=ZRdηyi（y）ng级λ、 x+yn- g（λ，x）dy.注意，由于Zrdηyi（y）dy=0。接下来，对于所有（λ，x）∈ W和y∈ 定义单侧方向偏导数g（λ，x；y）=limn↑∞g（λ，x+y/n）- g（λ，x）1/n根据Rockafellar（1970）中的定理23.1，g存在。由于g在第二个参数中是凹的，因此在W的第二个参数中是局部Lipschitz（参见Rockafellar（1970）中的定理10.4）。因此，对于每个压缩V W、 存在常数L（V）≥ 0，以便g（λ，x；y）≤ 五十、 对于所有y∈ Rdand（λ，x）在V的内部。下面的语句是fi（λ，x）=ZRdg（λ，x；y）ηyi（y）dy，表示所有（λ，x）∈ W、 利用支配收敛定理。引理3。假设u（·）具有Doob-Meyer分解u（·）=u（0）+M（·）+V（·），其中M（·）是d维连续局部鞅，V（·）是d维有限变分过程，M（0）=V（0）=0。此外，假设，（i）对于某些开放V W、 我们有Λ(·), u(·)=Λ(· ∧ τ ), u(· ∧ τ ), 其中τ=inft型≥ 0;∧（t），u（t）/∈ 五、;（ii）对于某些常数κ≥ 0，我们有dxi=1hMi、Mii(∞) +Z∞d | Vi（t）|+mXv=1Z∞d∧v（t）|≤ κ < ∞. （33）考虑两类有界函数（hi）i∈{1，···，d}和（hn，ni）n，n∈N、 我∈{1，···，d}带hi，hn，ni:V→ R、 Iflimn公司↑∞画↑∞hn，ni=高，i∈ {1，···，d}，则存在两个随机子序列nk公司k∈Nandnk公司k∈N带limk↑∞nk=∞ =利姆↑∞NK如thatlimk↑∞ZtdXi=1hnk，nki∧（u），u（u）dui（u）=ZtdXi=1hi∧（u），u（u）dui（u），a.s.，适用于所有t≥ 0.证明。

修复i∈ {1，···，d}并写入n，ni（·）=hn，niΛ(·), u(·)- 你好Λ(·), u(·).通过（33）和有界收敛定理，我们得到了limn↑∞画↑∞Z∞Θn，ni（t）dhMi，Mii（t）=0，a.s.，和LIMN↑∞画↑∞Z∞|Θn，ni（t）| d | Vi（t）|= 因此，根据有界收敛定理，我们得到了0=E画↑∞画↑∞Z∞Θn，ni（t）dhMi、Mii（t）= 画↑∞画↑∞EZ∞Θn，ni（t）dhMi、Mii（t）= 画↑∞画↑∞E“Z∞Θn，ni（t）dMi（t）#,根据It^o等距，0=limn↑∞画↑∞E“Z∞|Θn，ni（t）| d | Vi（t）|#. （34）SinceR·Θn，ni（t）dMi（t）是一致可积鞅（因为它是具有有界二次变化的局部鞅），Doob的次鞅不等式yieldsE“支持≥0ZtΘn，ni（u）dMi（u）#≤ 4E“Z∞Θn，ni（t）dMi（t）#,这意味着0=limn↑∞画↑∞E“支持≥0ZtΘn，ni（u）dMi（u）#. （35）因此，我们有LIMN↑∞画↑∞E“支持≥0ZtΘn，ni（u）dui（u）#≤ 画↑∞画↑∞2E“支持≥0ZtΘn，ni（u）dMi（u）+支持≥0ZtΘn，ni（u）dVi（u）#≤ 0，其中第二个不等式因（34）和（35）成立。写入，ni=E“支持≥0ZtΘn，ni（u）dui（u）#, n、 n个∈ N、 安第斯山脉=limn↑∞画↑∞恩，尼。对于每个n∈ N、 表示Eni=limn↑∞恩，尼。然后我们可以找到一个子序列n（n）n∈N带N（N）↑ ∞ 作为n↑ ∞ 这样，对于每个n∈ NEn（n），ni- 埃尼集团≤n、 自En（n），ni- 工程安装≤En（n），ni- 埃尼集团+ |埃尼集团- Ei公司|≤n+|埃尼- Ei |→ 0作为n↑ ∞,我们有limn↑∞En（n），ni=Ei=0。这意味着Limn↑∞支持≥0ZtdXi=1hn（n），ni∧（u），u（u）dui（u）-ZtdXi=1hi∧（u），u（u）dui（u）= 0in L。由于Limplies中的收敛几乎确定了子序列的收敛，因此我们可以找到一个

固定l∈ N设∧（·）为有限变化的l维连续过程；允许Υu，n（·）u∈{1，···，l}，n∈Nbe一系列流程Υu，n（·）n∈Nuniformly有界，对于每个u∈ {1，···，l}；然后让Θn（·）n∈一系列非递减连续过程。定义n（·）=Z·lXu=1Υu，n（t）d∧u（t）+Θn（·），n∈ N、 如果limn↑∞Hn（·）=H（·），a.s.，则H（·）具有有限的变化。证据以下步骤的部分灵感来自Jaber等人（2016）中引理3.3的证明。自从Υ1，n（·）n∈Nis一致有界，Koml'os定理（见定理1.3 inDelbaen和Schachermayer（1999））得出以下结果。对于每个n∈ N、 存在凸组合Υ1，N（·）∈ 卷积和多项式相乘Υ1，k（·），k≥ n因此Υ1，n（·）n∈Nconvergesto some adapted bounded processΥ（·）。更准确地说，对于每个n∈ N、 我们可以找到一些随机整数Nn≥ 0和wkn公司n≤k≤Nn型 [0，1]使得NnXk=nwkn=1和Υ1，n（·）=NnXk=nwknΥ1，k（·）。对于每个n∈ N、 定义N（·）=NnXk=nwknHn（·），ΘN（·）=NnXk=nwknΘk（·），和Υu，N（·）=NnXk=nwknΥu，k（·），对于所有u∈ {2，···，l}。自limn以来↑∞Hn（·）=H（·），a.s.，我们有Hn（·）- H（·）=NnXk=nwknHk（·）- H（·）≤NnXk=nwkn | Hk（·）- H（·）|→ 0as n↑ ∞, 这意味着limn↑∞Hn（·）=H（·），a.s.此外，Θn（·）是非递减的，asit是非递减过程的凸组合。自从Υ2，n（·）n∈Nis也一致有界，再次由Koml'os定理，对于eachn∈ N、 存在另一个凸组合Υ2，N（·）∈ 卷积和多项式相乘Υ2，k（·），k≥ n诸如此类Υ2，n（·）n∈nConverged to some adapted bounded processΥ（·）。每个n具有相同的凸组合∈ N、 定义u，N（·），适用于所有u∈ {1，3，···，l}，Hn（·），以及类似的Θn（·）。特别地，Υ1，n（·）n∈Ntill收敛到Υ（·），对于每个n∈ N、 Υ1，N（·）是收敛到Υ（·）的过程的凸组合。同样，我们有Limn↑∞Hn（·）=H（·），a.s。

此外，Θn（·）是非递减的。我们迭代地构造过程序列Υu，n（·）n∈N、 ····，Υlu，n（·）n∈N、 foreach u公司∈ {1，···，l}，并在samemanner中处理Hn（·），··，Hln（·）和Θn（·），··，Θln（·）。特别地，Υlu，n（·）n∈n收敛到某个自适应有界过程Υu，foreach u∈ {1，···，l}，我们有limn↑∞Hln（·）=H（·），a.s.此外，Θln（·）是不递减的。利用支配收敛定理，我们得到了↑∞Z·lXu=1Υlu，n（t）d∧u（t）=Z·lXu=1Υu（t）d∧u（t），a.s.，变化有限。因此，我们有h（·）=limn↑∞Hln（·）=Z·lXu=1Υu（t）d∧u（t）+limn↑∞Θln（·），a.s.由于Θln（·）是非递减且收敛的，因此它具有有限的变化，这意味着评估。A、 2。定理1的证明定理1的证明。假设半鞅u（·）具有Doob-Meyer分解u（·）=u（0）+M（·）+V（·），其中M（·）是d维连续局部鞅，V（·）是d维有限变分过程，M（0）=V（0）=0。Let（Wn）n∈Nbe一个非递减的开集序列，使得Wnisin W的闭包，对于所有n∈ N、 对于每个κ∈ N、 我们考虑停止时间τκ=inf（t≥ 0;∧（t），u（t）/∈ WκordXi，j=1 | hMi，Mji |（t）+dXi=1Ztd | Vi（u）|+mXv=1Ztd |∧v（u）|≥ κ） （36）带inf{} = ∞. 自从Λ(·), u(·)∈ W、 我们有limκ↑∞τκ= ∞, a、 s.AsSκ∈N{τκ>t}=Ohm, 对于所有t≥ 0，为了证明G是正则的（Lyapunov），等价于证明G对于∧（·）是正则的（Lyapunov）∧ τκ）和u（·）∧ τκ），对于所有κ∈ N、 因此，在不丧失一般性的情况下，让我们假设Λ(·), u(·)=Λ(· ∧ τκ), u(· ∧ τκ), 对于某些κ∈ N、 在不丧失一般性的情况下，假设aij（·）是一个可预测且一致有界的过程，对于所有i，j∈ {1，···，d}，使得hui，uji（t）=Ztaij（u）dA（u）≤ κ、 t≥ 0，其中A（·）=Pdi=1hui，uii（·）。

这里，根据Kunita–Watanabe定理和（36）中的不等式，等式成立。现在，考虑一个软化（Gn，n）n，n∈Nof G定义见（31）。通过引理1，It^o引理应用于Gn，nyieldsGn，n∧（t），u（t）= Gn，nΛ(0), u(0)+ZtdXi=1Gn，nxi∧（u），u（u）dui（u）+ZtΥ0，n，n（u）dA（u）+ZtmXv=1Υv，n，n（u）d∧v（u），（37）对于所有t≥ 0，其中Υ0，n，n（t）=dXi，j=1Gn，nxixj公司∧（t），u（t）aij（t）和Υv，n，n（t）=Gn，nλv∧（t），u（t）,对于所有v∈ {1，···，m}。对于所有（λ，x）∈ W和i∈ {1，···，d}，如果（bi）成立，引理1（iii）yieldslimn↑∞画↑∞Gn，nxi（λ，x）=Gxi（λ，x）；如果（bii）成立，引理2 yieldslimn↑∞画↑∞Gn，n对于某些可测函数fi，xi（λ，x）=fi（λ，x）。然后根据引理3，我们可以找到随机子序列nk公司k∈Nandnk公司k∈N带limk↑∞nk=∞ = 利姆↑∞这样，如果我们写k=Gnk，nk，我们有limk↑∞ZtdXi=1Gk公司xi∧（u），u（u）dui（u）=F∧（t），u（t）, a、 s.，（38）对于所有t≥ 0，其中f∧（t），u（t）=（RtPdi=1Gxi∧（u），u（u）dui（u），如果（bi）保持srtpdi=1fi∧（u），u（u）dui（u），如果（bii）成立。要继续，请写入k（t）=GkΛ(0), u(0)- Gk公司∧（t），u（t）+ZtdXi=1Gk公司xi∧（u），u（u）dui（u），对于所有k∈ N、 andH（t）=GΛ(0), u(0)- G∧（t），u（t）+ F∧（t），u（t）,对于所有t≥ 然后，（37）关于随机子序列nk公司k∈Nandnk公司k∈表HK的Nis（t）=-ZtΥ0，k（u）dA（u）-ZtmXv=1Υv，k（u）d∧v（u），t≥ 注意引理1（i）和（38），limk↑∞Hk（t）=H（t），a.s.，适用于所有t≥ 0.定义3条件1中的可测函数DG由组件dIG选择λ、 x个=(Gxi（λ，x），if（bi）holdsfi（λ，x），if（bii）holds，i∈ {1，···，d}。然后，根据（8），当ΓG（·）=H（·），足以表明H（·）在以下四种情况下具有有限的变化。案例1。假设（ai）和（bi）保持不变。然后通过引理1，过程Υ0，k（·）k∈NandΥv，k（·）v∈{1，···，m}，k∈Nare一致有界。

当l=m+1时，∧v（·）=∧v（·）和Υv，k（·）k∈N个=Υv，k（·）k∈N、 对于所有v∈ {1，···，m}，∧m+1（·）=A（·），Υm+1，k（·）k∈N个=Υ0，k（·）k∈N、 以及Θk（·）k∈N=0，引理4得出H（·）是紧集上的有限变量。案例2。假设（ai）和（bii）成立。通过引理1（iii），过程Υv，k（·）v∈{1，···，m}，k∈Nare一致有界。因为G在第二个参数中是凹的，对于每个k∈ N、 Gkis在第二个参数中也是凹的。因此，矩阵Gk公司=Gk公司xixj公司i、 j∈{1，···，d}是负半定义。注意，矩阵值过程a（·）=aij（·）i、 j∈{1，···，d}可以选择为对称和正半定义。因此，我们可以找到一个矩阵值过程σ（·）=σij（·）i、 j∈{1，···，d}使得a（·）=σ（·）σ（·），对于所有i，j，产生aij（·）=Pdl=1σil（·）σjl（·）∈ {1，···，d}。在这种情况下，dXi，j=1Gk公司xixj公司∧（t），u（t）aij（t）=dXi，j=1Gk公司xixj公司∧（t），u（t）dXl=1σil（t）σjl（t）=dXl=1σl（t）Gk公司∧（t），u（t）σl（t）≤ 0，对于所有t≥ 0，其中σl（·）是σ（·）的第l行。因此，Υ0，k（t）≤ 0，对于所有t≥ 0，这表明处理Θk（·）=-Z·Υ0，k（t）dA（t），k∈ N、 是非递减的。与案例1相似，但现在l=m，引理4再次产生H（·）是有限变化的。案例3。假设（aii）和（bi）保持不变。通过引理1（v），过程Υ0，k（·）k∈Nis统一边界。由于G在第一个参数的第v维中不增加，因此Gk对于所有v也是不增加的∈ {1，···，m}。因此，Υv，k（t）≤ 0，对于所有t≥ 0，因为∧（·）在v维中不递减，对于所有v∈ {1，···，m}。这意味着过程Θk（·）=-Z·mXv=1Υv，k（t）d∧v（t），k∈ N、 是非递减的。与上述类似，引理4暗示H（·）具有有限的变化。案例4。假设（aii）和（bii）都成立。含Θk（·）=-Z·Υ0，k（t）dA（t）-Z·mXv=1Υv，k（t）d∧v（t），k∈ N、 引理4再次暗示H（·）具有有限的变化。很明显，G是Lyapunov。A、 3。定理2的证明定理2的证明。

以下步骤的部分灵感来自Karatzas和Ruf（2017）中定理3.8的证明。根据Banner和Ghomrasni（2008）中的定理2.3∈ {1，···，d}，可以找到一个可测函数hl：d→ （0，1）和有限变化过程Bl（·），其中Bl（0）=0，使得ul（·）=ul（0）+Z·dXi=1hlu（t）{u（l）（t）=ui（t）}dui（t）+Bl（·）。（39）由于G对于∧（·）和u（·）是正则的，根据定义3，存在可测量的函数dg和有限的变化过程ΓG（·），因此GΛ(·), u(·)= GΛ(0), u(0)+Z·dXl=1DlG∧（t），u（t）dul（t）- ΓG（·）。（40）通过（39），我们得到z·dXl=1DlG∧（t），u（t）dul（t）=Z·dXl=1DlG∧（t），u（t）hl公司u（t）{u（l）（t）=ui（t）}dui（t）+Z·dXl=1DlG∧（t），u（t）dBl（t）。（41）现在考虑可测函数DG:W→ Rdwith componentsDiG（λ，x）=dXl=1DlGλ、 R（x）hl（x）1{x（l）=xi}，i∈ {1，···，d}，以及有限变化过程ΓG（·）=ΓG（·）-Z·dXl=1DlG∧（t），u（t）dBl（t）。然后（40）和（41），加上G（λ，x）=Gλ、 R（x）, 产率（8），即G对于∧（·）和u（·）是正则的。A、 4。一种特殊情况的替代证明——定理VII的证明技巧。Dellacherie和Meyer（1982）中的第31条提出了定理1中的条件（ai）和（bii）成立的情况的替代论点。我们在下面的结果中总结了这些想法。定理5。如果是函数f:W→ R在第一个参数中是局部Lipschitz，在第二个参数中是凹的，然后是过程fΛ(·), u(·)是一个半鞅。证据假设半鞅u（·）具有Doob-Meyer分解u（·）=u（0）+M（·）+V（·），其中M（·）是d维连续局部鞅，V（·）是d维有限变分过程，M（0）=V（0）=0。Let（Wn）n∈Nbe一个非递减的开集序列，使得Wnisin W的闭包，对于所有n∈ N