对数正态分数SABR模型下的目标波动率期权定价

然后，目标波动率看涨期权在时间t到达K且到期日为t时的价格可以通过Malliavin导数asK'σ进行分解√T Et√wT公司提取- 1.+= K'σ√TEt公司√世贸中心（Xt，at）+ ρEtZTtFx^w（Xs、ws、as）YsZTsDBsYrdr公司ds公司,其中函数F在（3.3）中定义。显然，在不相关的情况下，（3.8）右侧的第二项消失，因此当t=0时，硬币与（5.3）重合。证据这个定理的证明类似于文献[5]中定理4.2的证明，所以我们只是简单地描述一下。使用g定义的asg（t，Xt，at）：=f（Xt，wt，at）应用预期It^o的f公式（3.7）=√wt+atC（Xt，at），利用C满足Black-Scholes方程（3.2）的事实，并考虑我们达到的预期√世贸中心（XT，aT）= Et公司C（Xt，at）√wt+at+ ρEtZTtFx^w（Xs，ws，as）Θsds.现在用f表示C（XT，aT）=提取-1.+由于aT=0，结果如下。我们通过分解公式（3.5）建议的电视通话价格的n近似值来结束本节，a s t接近t。我们将需要以下假设（H3）假设（H1）成立，并且对于任何t>s，a（t，s）=Es（a（t，s））+νZstb（t，s，θ）dBθ，其中ν定义为（H1）和f中的值，或者一些适应的过程b（t，s，·），例如| b（t，s，·）|≤ A（t- s） δ（s- θ） 对数正态FSABR模型9中的δ，TVO定价∈ ∩p≥1磅。定理3。当t接近t时，t<t时，电视通话的价格在K处波动，其近似值如下。K'σ√T Et√wT公司提取-1.+= ∧（T，T）+R（T，T），（3.8），其中∧（T，T）：=K'σ√T√MtC（Xt，^wt）+Fx^w（Xt，wt，^wt）Et[hX，MiT- hX，Mit]+F^w^w（Xt，wt，^wt）Et[hMiT-hMit]andR（T，T）=O（ν+ρν）。特别是，在t=0时，公式稍微简化了√wT公司提取- 1.+(3.9)≈√MC（X，M）+Fx^w（X，0，M）E【hX，MiT】+F^w^w（X，0，M）E【hMiT】，因为M=^wand w=0。证据

假设（H3）给出了dhx，Mis=νYsZTs公司Et（a（u，s）+νZstb（u，s，θ）dBθ杜邦ds（3.10）=：YsΓsdsanddhM，Mis=νZTs公司Et（a（u，s）+νZstb（u，s，θ）dBθ杜邦ds（3.11）=ΓsdsIt^o的公式给出了[（Fx^w（Xs，ws，ws）- Fx^w（Xt，wt，wt））YsΓs]=EZstFxx^w^wYsΓsdhX，Mis+ZstFx^w^wwYsΓsdhMis+Zst（FxxwΓudhX，Y iu+FxxwYudhX，Γiu）+Zst（Fx wwΓudhX，Y iu+Fx wwYudhX，Γiu）10 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANG+Zst（Fx^w（Xu，wu，wu）- Fx^w（Xt，wt，wt））dhY，Γiu，从这里可以看出（let→ 0）ZTtE[（Fx^w（Xs，ws，^ws）- Fx^w（Xt，wt，^wt））YsΓs]ds=O（ρν+ν）。同样，我们可以证明Ztte（F^w^w（Xs，ws，^ws）- F^w^w（Xt，wt，^wt））Γsds=O（ρν+ν），现在证明完成了。我们注意到，通过简单的计算，函数Fx^和F^w^wc可以用Black-Scholes函数C asFx^w（x，w，w）=-Cx（x，^w）2(√w+^w）+Cxw（x，^w）√w+^w，（3.12）F^w^w（x，w，^w）=-Cw（x，^w）(√w+^w）+3C（x，^w）4(√w+^w）+Cww（x，^w）√w+^w.（3.13）因此，为了数值实现近似公式（3.8）和（3.9），我们必须能够计算Mt和二次变量hX、Mi和hMi。为此，需要明确规定波动过程Yt（或αt）。我们在下面几节中说明了对数正态分数SABR模型。4、对数正态fSABR模型中的目标波动率选择在本节中，我们详细而明确地计算了[1]和[10]中建议的对数正态fSABR模型下电视通话价格的近似公式（3.5）。标的资产价格在对数正态fSABR模型a中的瞬时波动率α由dstst=αt（ρdBt+(R)ρdWt），αt=αeνBHt控制，其中bt和wt是独立的布朗运动，(R)ρ=p1- ρ、 Bttis是Bt驱动的部分布朗运动。

也就是说，BHt=ZtK（t，s）dBs，对数正态FSABR模型11中的TVO定价，其中K是Molchan-Golosov-kernelK（t，s）=cH（t- s） H类-FH-,-H、 H+；1.-ts[0，t]（s），（4.1）带cH=2HΓ(-H） Γ（2-2H）Γ（H+）1/2和F是高斯超几何函数。回想一下，对于固定K>0，我们定义Xt=对数，Yt=αt，在SABR模型中满足Xt=Yt（ρdBt+(R)ρdWt）-Ytdt=Ytd~Wt-Ytdt，（4.2）Yt=YeνBHt。（4.3）备注3。很容易看出Y∈ L1,2B∩Lp，对于所有p>1。另一方面，通过应用Jensen不等式，我们得到了Tztysds≥ Yexp是的TZT2νBHsds.接下来就是这样≤Yexp是的-TZTνBHsds.现在，asRTνBHsds是一个高斯过程，具有以下表示形式ZTνBHsds=ZTZTsνK（s，u）dudBs，下面是RTYSDS∈ Lp、f或所有p>1。以类似的方式，可以检查假设（H1），（H1’），（H2）和（H2’）是否成立。下面的引理总结了在对数正态fSABR模型中计算电视通话价格的近似公式（3.8）和（3.9）中至关重要的基本数量。引理1。对于0<t≤ r≤ 定义函数m和v asm（r | T）：=ZtK（r，s）dBs，v（r | T）：=ZrtK（r，s）ds。然后，对于0≤ t<τ<r<u≤ T，则可以明确获得对数正态fSABR模型中的以下条件期望。Et公司年= Ye2νm（r | t）+2νv（r | t），EtYτYr= Yeν[m（τ| t）+2m（r | t）]+ν[v（τ| t）+4v（r | t）+4RτtK（τ，s）K（r，s）ds]，EtYrEτ于= Ye2ν[m（r | t）+m（u | t）]+2ν[v（u |τ）+v（r | t）+rτtK（u，s）ds+2RτtK（r，s）K（u，s）ds]。12 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANGThus，w E hav E^wt=ZTtEtYs公司ds=YZTte2νm（r | t）+2νv（r | t）dr，Mt=YZte2νBHsds+YZTte2νm（r | t）+2νv（r | t）dr。此外，由dhmit给出的X和Mare之间的二次变量hMi和协变量hX，Mi=4νZTtEt公司年K（r，t）drdt，dhX，Mit=2νρYTZTET公司年K（r，t）drdt。证据参见第8节中的附录。现在，我们在对数正态FSABR模型中给出近似公式（3.8）和（3.9），如下所示。推论1。

（fSABR中电视通话的近似价格）ET给出了在对数正态fSABR模型（4.2）：（4.3）下，在K处用exp i ryT进行电视通话的概率公式（3.8）√wT公司提取- 1.+(4.4)≈√MtC（Xt，wt）+2νρFx^w（Xt，wt，wt）ZTtZTτEtYτYrK（r，τ）d rdτ+4νF^w^w（Xt，wt，^wt）ZTtZTτZTrEt耶尔年K（r，τ）K（r，τ）DRDτ。特别是，在t=0时，因为m（r | 0）=0和v（r | 0）=r2H，（4.4）可以更明确地表示为sE√wT公司提取- 1.+(4.5)≈√对数正态FSABR模型13ZTZTτZTre2ν[v（r |τ）+r2H+rτK（r，s）ds+2RτK（r，s）K（r，τ）d rdτ+4νF^w（X，0，M）Y×TVO定价r，s）ds]K（r，τ）K（r，τ）drdrdτ，其中M=YRTe2νt2Hdt。备注4。由于公式中涉及的多重积分的计算，近似公式（4.4）和（4.5）的数值实现非常复杂。我们进一步近似和简化（4.4），如下所示。Et公司√wT公司提取- 1.+(4.6)≈√MtC（Xt，wt）+2νρFx^w（Xt，wt，wt）YtZTtZTτK（r，τ）d rdτ+4νF^w^w（Xt，wt，wt）ytzttztrk（r，τ）K（r，τ）drdrdτ。特别是，如果t=0，我们计算（4.6）asZTtZTτK（r，τ）d rdτ=ZTZrK（r，τ）dτdr=κHZTr+Hdr=κH+HT+H右侧的两个积分，其中κH：=cHβ(-H、 H+，H+，β（·，·）为β函数（参见[2]中的instanceLemma 2.3以证明第二个等式），ZtztτZTrK（r，τ）K（r，τ）drdτ=ZTZTrZrK（r，τ）K（r，τ）dτdrdr=ZTZTrr2H+r2H- （r）- r） 2小时drdr=T2（1+H）4（1+H）sinceRrK（r，τ）K（r，τ）dτ等于BrBr的期望值。接下来就是√wT公司提取- 1.+(4.7)≈√MC（X，M）+2νρFx^w（X，0，M）YκH+HT+H+νF^w^w（X，0，M）YT2（1+H）（1+H）。第6.14节E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H中确实将实施（4.7）。

WANGWe在下一节中推导了对数正态fSABR模型中TV通话价格波动率近似的小波动率，该模型在数值上更易于处理，在某种意义上可以视为近似公式（4.5）的进一步近似。波动率扩张的小波动率通过对波动率过程产生的σ-代数进行调节，直到电视通话的结果，我们在本节中展示了电视通话定价的另一种方法。这种间接方法导致了一种称为波动率小波动率制度的电视价格的渐近性，通过确保一定的准确性，该制度在计算上比（4.5）更易于处理。更具体地说，回想一下，在Kand到期t时发出的电视通话在t=0时的价格是由（2.3）中的预期给出的，我们在以下问题中重新计算了该预期‘∑√T E公司qRTYtdtEh公司提取- 1.+FYTi公司, （5.1）其中fy是由过程Y到时间t生成的σ-代数。当然，FYTis等价于直到timeT的布朗运动B生成的σ-a代数fbtg。在接下来的计算中，我们将再次暂时忽略（5.1）中的常数因子outfront。注意，从（4.2）中，我们得到xt=X+ρztytdbtbt-由于两个布朗运动bt和wt是独立的，因此XT | FYTis正态分布，平均uTand方差vt分别由uT=X+ρZTYtdBt给出-ZTYtdt，vT=(R)ρZTYtdt。因此，可以根据asEh（3.1）中定义的Black-Scholes函数来评估（5.1）中的内部条件期望提取-1.+FYTi=CuT+vT，vT.它允许（5.1）中的期望可以用C asE重写qRTYtdtCX+ρZTYtdBt-ρZTYtdt，(R)ρZTYtdt.

（5.2）对数正态FSABR模型15中的TVO定价，特别是在不相关的情况下ρ=0，TVO价格降低toEqRTYtdtC十、 ZTYtdt公司（5.3）这是具有独立随机总方差的经典Black-Scholes。备注5。我们注意到，如果一个人用其期望值代替Ytin（5.2），并通过简单的计算对结果表达式进行评估，那么可以表明i tre覆盖了（3.9）中的最低阶项，即√MC（X，M）。回想一下，wT=RTYtdt，定义ξTbyξT：=X+ρZTYtdBt-ρwT.我们还可以根据（3.3）asE中定义的函数更简洁地重写（5.2）F（ξT，ρwT，’ρwT）. （5.4）在lognor-ma l fSABR模型Yt=YeνBHt中，我们将wt和ξTin扩展为挥发性参数νaswT的挥发性=∞Xk=0νkk！w（k）TandξT=∞Xk=0νkk！ξ（k）T，其中w（k）T=YkZT（BHt）kdt，对于k≥ 0，ξ（0）T=X+ρYBT-ρYT，ξ（k）T=ρYZT（BHt）kdBt-ρw（k）T，对于k≥ 借助于第8节中引理2和3中的恒等式，我们现在显示了（5.2）中给出的电视通话价格波动率扩展的小波动率，当ν接近零时。定理4。（TV看涨期权价格波动率Asymotics的小波动率）在K和实验中达成的TV看涨期权价格具有以下一阶渐近式，如ν→ 0.E√wT公司提取- 1.+（5.5）16 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANG=Y√TE[C]+νY√Tecxξ（1）T+(R)ρCww（1）Ti-ν2YTEhw（1）TCi+O（ν），其中最后一个表达式中的函数C及其所有部分导数在ξ（0）T，(R)ρw（0）T.证据

Asν→ 0，考虑（5.4）EF（ξT，ρwT，’ρwT）= E“F∞Xk=0νkk！ξ（k）T，ρ∞Xk=0νkk！w（k）T，’ρ∞Xk=0νkk！w（k）T！#。对于第一阶，我们有ehf（ξ（0）T，ρw（0）T，|ρw（0）T）i+νEhFxξ（1）T+Fwρw（1）T+F^w|ρw（1）T）i+O（ν）=ECqw（0）T+ νECxqw（0）Tξ（1）T+(R)ρCwqw（0）Tw（1）T-Cw（0）T3/2瓦（1）吨+ O（ν）=Y√TE[C]+νY√Tecxξ（1）T+(R)ρCww（1）Ti-ν2YTEhw（1）TCi+O（ν），其中最后一个表达式中的函数C及其所有偏导数的计算ξ（0）T，(R)ρw（0）T. 注意ξ（0）是一个随机变量，因为它是T的线性函数，而w（0）T=YT是确定性的。可以明确获得（5.5）最后一个表达式中的期望值，从而得出电视通话价格的明确近似公式。以下推论为计算目的给出了完整的定价公式。推论2。设X=logsk，并假设Yis给出n。然后，在T>0时到期的TV看涨期权的价格，行权K和目标波动率|σ的初始近似值为ν→ 0:TVO：=K'σ√T E公司qRTYτdτ提取-1.+（X，Y）≈K′σYC（X，T Y）+K′σ√π（2H+3）ρY×hcHνTH-经验值-ρXT Y-2ρ+ 1T Y公司-Y√T×√πeρXT Y+Y√TNT Y+2倍√T Y公司e2ρ+1对数正态FSABR模型17中的T Y+X×TVO定价4T X+4XT Y公司ρ-2ρT+T+ 1.+T Y公司- 4ρ+TY4ρ（T- 1) + 2ρ(1 - 2T）+T-4ρ+ 2.+p1级- ρT Y+2倍e3ρ+√1.-ρT Y公司+√1.-ρXTYρ（2T- 1) - T-2倍- 1.+√T√T×e3T Y+XN′T Y+2倍√T Y公司×-2.√T XY2ρ- 4ρ+ρ- 2.√T Y公司+ T Y×2ρ+ρ-1.r1级- ρρ+ 1(-T）Y-2ρ5ρ- 2.√T Y公司+ 4倍+4ρYN′十、√T Y公司-√T Y公司e2ρ+1T Y公司- e3ρ+√1.-ρT Y公司+√1.-ρX×TYρ-2ρT+T+ 2倍+ 1.+√ρ- 1.ρ√T Y公司T Y公司-2倍×经验值XT3/2Y+3ρ+ 2T Y+ρXi（5.6）证明。我们首先计算第零项或阶项，如下所示。E【C】=EhCξ（0）T，(R)ρw（0）Ti=Eeξ（0）TNξ（0）Tq′ρw（0）T+q′ρw（0）T- ENξ（0）Tq′ρw（0）T-q′ρw（0）T= eXNXpYT+pYT！- NXpYT公司-pYT！=C（X，YT），它与ρ和ν无关。不，在传递到lastequality时，我们使用了（8.1）和（8.3）。

其余的计算虽然简单，但更为复杂和乏味。详情请参见附录第8.1节。我们注意到，在ν的第一阶之前，最后一个表达式中的前三个术语代表普通期权的价格，按因子σY放大/缩小，见定理5。由于实现方差的不确定性，最后一项对应于对vanilla的修正。18 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANG5.1。香草选项价格的扩展。在这一小节中，我们考虑了普通看涨期权波动率扩张的小波动率。据我们所知，在本文撰写时，fSABR模型下va nilla期权波动率扩张的小波动率似乎还不存在。在我们的符号中，在K a和到期日T敲定的普通看涨期权的溢价由风险中性预期利润Eh给出提取- 1.+i=K ECX+ρZTYtdBt-ρZTYtdt，(R)ρZTYtdt, （5.7）其中C再次是（3.1）中定义的标准化Black-Scholes函数。定理5。（v anilla看涨期权的波动率Asymoptic的小波动率）对数正态fSABR模型中，普通看涨期权在K和到期日的价格具有以下渐近性Eh提取- 1.+我≈ KC（X，YT）+ν2cHK2H+3TH+E2YCwBT+ρYCx英国电信-T- ρYBT+O（ν）。随着波动率参数ν的波动率接近零。证据暂时忽略常数K，（5.7）可以用ξTandwTasE表示CξT，ρwT= E“C∞Xk=0νkk！ξ（k）T，’ρ∞Xk=0νkk！w（k）T！#。因此，截至第一个订单，我们已经CξT，ρwT= E[C]+νEhCxξ（1）T+(R)ρCww（1）Ti+O（ν），其中C及其在最后一个方程右手侧的所有导数在ξ（0）T，(R)ρw（0）T.

上一表达式中的期望值计算与定理4中的期望值计算相同，详情见附录中的第8.1节。我们注意到，从理论上讲，在波动率扩张的小波动率中推高阶项是可能的，然而，对于高阶项，预期的计算变得越来越复杂。对数正态FSABR模型196中的TVO定价。数值实现我们在本节中给出了一些模拟结果，显示了在fSABR模型下，四种目标波动率看涨期权定价公式的适用性。首先，请注意，我们将模型参数分为三类：（i）合同-具体参数：K，T，’σ；（ii）模型-具体参数：H、ν、ρ和（iii）初始化参数：S、σ、n、n。此处，n∈ N是每年的采样天数，N∈ N是蒙特卡罗路径数，σ=i是t=0时的波动率。此外，回想一下X：=-日志。出于验证目的，我们采用了三种定价方法：蒙特卡罗模拟、分解公式近似（4.7）和波动性扩张的小波动率（5.6）。观察到，公式（4.7）和（5.6）都可以很容易地用数字实现，因为它们只需要使用特殊函数：标准正态分布的pdf N′和CDF N、Euler Gamma函数Γ、Gausshypergeometric函数f和β函数β。正如我们将在续集中看到的那样，我们的近似公式能够精确地处理各种参数。利用Molchan-Golosov核模拟了fr作用布朗运动{BH（tk），k=1，2，…，n}的样本路径。这里，我们考虑区间[0，t]的一个划分∏：={0=t<t<···<tn=t}。

我们采用了文献[6]中给出的布朗平稳过程的混合方案，该方案基于过程在时域中的随机积分表示的离散化。还实现了分数过程的几种测试例程：通过蒙特卡罗模拟作为时间函数的均值和方差，分数高斯噪声的卡方检验，以及通过样本路径的二维相关结构。我们注意到，示例路径具有所需的属性，这些属性是fBMs特有的。6.1. 公式准确性。为了测试公式近似分解（4.7）和波动率扩展的小波动率（5.6）的准确性，我们为对数正态fSABR价格过程生成样本路径，并使用蒙特卡罗技术计算TVO价格。让∏保持不变。然后可以迭代计算对数正态fSABRprice过程的一条路径：S（tk+1）=S（tk）+S（tk）σ（tk）ε（tk）ptk+1- tk，k=0，1，n- 其中σ（t）=σeνBH（t）是所谓的分馏l随机波动率，随机样本εti=ρξti+？ρξti，ξ1,2ti~ N（0，1），i=0，1，n- 1具有标准正态分布。20 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.Wang数值结果分叉∈ 表1至表6和图1至图3给出了不同的到期日和广泛的参数。为了便于说明，还计算了蒙特卡罗价格与定价公式（4.7）、（5.6）之间的相对误差。我们确定了使用一个公式或另一个公式的几个优点和缺点：（i）公式（5.6）是计算效率最高的方法（平均速度是其对应方法的3倍）。可以注意到，它适用于波动率的小波动率，即0<ν<15%，到期时间更长，k接近1。