对数正态分数SABR模型下的目标波动率期权定价

还请注意，从表中可以看出（5.6）对于小值ν比对应值（4.7）更精确。（ii）对于远为ITM或OTM的期权，公式（4.7）是一个更好的近似值。从我们的测试来看，它工作良好，并且对于lmo st任何参数都具有鲁棒性。因此，当ν很小且t>0.5年时，我们建议使用（5.6）f来提高计算效率。对于所有其他目的，（4.7）是更好的选择。此外，虽然我们只显示粗略区域的结果，即H∈ （0，0.5），我们注意到两个公式都适用于赫斯特指数H的所有可能值∈ (0, 1). 显然，当H接近0或1.6.2时，我们的公式s的精确度较低。对参数的敏感性。为了对我们的公式s进行压力测试，我们通过（4.7），（5.6）计算了货币的TVO价格，并对国外的参数范围（H，ν，ρ）进行了蒙特卡罗模拟。也就是说，我们考虑H∈ (0 , 0.5), ν ∈ （0，0.6）和ρ∈ (-1, 1). 结果如图4至图7所示。首先，我们将TVOprice绘制为两个参数的函数，同时假设第三个参数是固定的。其次，我们通过蒙特卡罗理论计算并绘制公式与价格之间的相对误差。请注意，相对误差很小，价格曲面相当平滑。我们再次强调，近似公式证明是高度精确的，并且对参数变化具有鲁棒性。结论与讨论本论文的目的是双重的。第一部分推导了半参数模型下目标波动率看涨期权价格的It^o和Malliavin演算分解公式。这里考虑的模型是半参数的，从某种意义上说，它是一个随机波动率模型，但除了某些技术条件外，没有明确规定波动率过程。

第三部分，对数正态FSABR模型21K/SMC模拟DFA（4.7）SVVE（5.6）DFA rel中mulaTVO定价的分解。犯错误（%）SVV E相关。犯错误(%)0.8870 0.1810 0.1820 0.1790 0.5620 0.83000.8960 0.1760 0.1770 0.1740 0.5650 0.76600.9050 0.1700 0.1710 0.1690 0.5650 0.70100.9140 0.1650 0.1660 0.1640 0.5680 0.63000.9230 0.1600 0.1610 0.1590 0.5760 0.55100.9320 0.1550 0.1560 0.1540 0.5850 0.46700.9420 0.1500 0.1510 0.1490 0.5930 0.38100.9510 0.1450 0.1460 0.1440 0.6000 0.29200.9610 0.1400 0.1410 0.1400 0.6090 0.19900.9700 0.1350 0.1360 0.1350 0.6180 0.10100.9800 0.1300 0.1310 0.1300 0.6310 3 · 10-30.9900 0.1260 0.1260 0.1260 0.6400 0.10601.0000 0.1210 0.1220 0.1210 0.6450 0.20801.0100 0.1170 0.1170 0.1170 0.6520 0.31601.0200 0.1120 0.1130 0.1130 0.6580 0.42501.0300 0.1080 0.1090 0.1080 0.6650 0.53801.0410 0.1040 0.1040 0.1040 0.6810 0.66301.0510 0.1000 0.1000 0.1000 0.6980 0.79101.0620 0.0960 0.0960 0.0960 0.7130 0.91901.0730 0.0920 0.0920 0.0930 0.7320 1.05301.0830 0.0880 0.0880 0.0890 0.7560 1.19401.0940 0.0840 0.0850 0.0850 0.7790 1.33701.1050 0.0800 0.0810 0.0820 0.7980 1.47601.1160 0.0770 0.0770 0.0780 0.8200 1.6190表1。T=1年，(R)σ=σ=0.3，H=0.1，ν=0.05，ρ=-0.7，n=252，n=50000。K/SMC仿真DFA（4.7）SVVE（5.6）DFA rel。犯错误（%）SVV E相关。犯错误

(%)0.8870 0.1870 0.1870 0.1980 0.3640 5.59300.8960 0.1770 0.1760 0.1860 0.3750 5.30200.9050 0.1670 0.1660 0.1750 0.3830 4.99600.9140 0.1570 0.1570 0.1650 0.3990 4.65900.9230 0.1480 0.1470 0.1540 0.4200 4.29300.9320 0.1390 0.1380 0.1440 0.4390 3.90200.9420 0.1300 0.1290 0.1340 0.4670 3.47100.9510 0.1210 0.1200 0.1250 0.4940 3.01100.9610 0.1130 0.1120 0.1150 0.5360 2.50200.9700 0.1050 0.1040 0.1070 0.5910 1.94700.9800 0.0970 0.0960 0.0980 0.6590 1.34400.9900 0.0900 0.0890 0.0900 0.7360 0.69801.0000 0.0830 0.0820 0.0830 0.8100 0.02401.0100 0.0760 0.0750 0.0760 0.9010 0.69801.0200 0.0700 0.0690 0.0690 1.0290 1.48501.0300 0.0640 0.0630 0.0630 1.1720 2.31001.0410 0.0590 0.0580 0.0570 1.3200 3.15701.0510 0.0530 0.0530 0.0510 1.4500 3.99901.0620 0.0480 0.0480 0.0460 1.5440 4.81201.0730 0.0440 0.0430 0.0410 1.6490 5.63501.0830 0.0400 0.0390 0.0370 1.6760 6.37301.0940 0.0360 0.0350 0.0330 1.6920 7.08301.1050 0.0320 0.0310 0.0300 1.7040 7.76001.1160 0.0290 0.0280 0.0260 1.7040 8.3850表2。T=0.5年，’σ=0.3，σ=0.2，H=0。2，ν=0.1，ρ=0.5，n=126，n=50000.22 E.AL\'OS，R.CHATTERJEE，S.TUDOR和T.-H.WANGK/SMC模拟DFA（4.7）SVVE（5.6）DFA rel。犯错误（%）SVV E相关。犯错误

(%)0.8870 0.0590 0.0590 0.0590 0.1220 0.27500.8960 0.0550 0.0550 0.0550 0.1480 0.05000.9050 0.0510 0.0520 0.0520 0.1770 0.09000.9140 0.0480 0.0480 0.0480 0.2100 0.18000.9230 0.0440 0.0440 0.0440 0.2510 0.24200.9320 0.0410 0.0410 0.0410 0.2900 0.28100.9420 0.0370 0.0370 0.0370 0.3270 0.31000.9510 0.0340 0.0340 0.0340 0.3470 0.31900.9610 0.0310 0.0310 0.0310 0.3720 0.33300.9700 0.0280 0.0280 0.0280 0.4030 0.36000.9800 0.0250 0.0250 0.0250 0.4280 0.38600.9900 0.0220 0.0220 0.0220 0.4540 0.41901.0000 0.0200 0.0200 0.0200 0.4750 0.45401.0100 0.0180 0.0180 0.0180 0.5180 0.51601.0200 0.0150 0.0150 0.0160 0.5820 0.60101.0300 0.0130 0.0140 0.0140 0.6870 0.72601.0410 0.0120 0.0120 0.0120 0.8080 0.86201.0510 0.0100 0.0100 0.0100 0.9440 1.00401.0620 9 · 10-39 · 10-39 · 10-31.1680 1.21601.0730 7 · 10-37 · 10-37 · 10-31.4090 1.42201.0830 6 · 10-36 · 10-36 · 10-31.6950 1.64101.0940 5 · 10-35 · 10-35 · 10-31.9920 1.82701.1050 4 · 10-34 · 10-34 · 10-32.3210 1.99201.1160 4 · 10-34 · 10-34 · 10-32.6520 2.0920表3。T=0.25年，(R)σ=0.1，σ=0.2，H=0.2，ν=0.01，ρ=-0.1，n=1000，n=50000。K/SMC仿真DFA（4.7）SVVE（5.6）DFA rel。犯错误（%）SVV E相关。犯错误

(%)0.8870 0.1060 0.1070 0.2270 0.4150 114.34100.8960 0.0970 0.0980 0.2060 0.4910 111.10600.9050 0.0890 0.0890 0.1840 0.6000 106.81200.9140 0.0800 0.0810 0.1620 0.7410 101.62200.9230 0.0720 0.0720 0.1400 0.9110 95.66500.9320 0.0630 0.0640 0.1200 1.1060 89.00100.9420 0.0560 0.0560 0.1010 1.2840 81.51700.9510 0.0480 0.0490 0.0830 1.4400 73.06500.9610 0.0410 0.0420 0.0680 1.5460 63.35800.9700 0.0350 0.0360 0.0530 1.6270 52.12600.9800 0.0290 0.0300 0.0410 1.6450 38.99200.9900 0.0240 0.0250 0.0300 1.5670 23.65801.0000 0.0200 0.0200 0.0210 1.4170 6.05701.0100 0.0160 0.0160 0.0140 1.2440 13.63801.0200 0.0130 0.0130 9 · 10-31.1050 34.98201.0300 0.0100 0.0110 4 · 10-31.1330 57.21501.0410 8 · 10-38 · 10-32 · 10-31.3070 79.42701.0510 7 · 10-37 · 10-30.0000 1.8090 100.50101.0620 5 · 10-35 · 10-3.-1 · 10-32.4430 119.35901.0730 4 · 10-34 · 10-3.-1 · 10-33.1990 135.00601.0830 3 · 10-33 · 10-3.-1 · 10-33.9620 146.73001.0940 2 · 10-32 · 10-3.-1 · 10-34.7080 154.25201.1050 2 · 10-32 · 10-3.-1 · 10-34.5320 157.23001.1160 1 · 10-31 · 10-3.-1 · 10-33.4290 156.1580表4。T=0.33年，(R)σ=σ=0.1，H=0.2，ν=0.3，ρ=0.8，n=1000，n=50000。对数正态FSABR模型23K/SMC模拟DFA（4.7）SVVE（5.6）DFA rel中的TVO定价。犯错误（%）SVV E相关。犯错误

(%)0.8870 0.3510 0.3500 0.2720 0.2590 22.57600.8960 0.3260 0.3250 0.2540 0.2730 21.96000.9050 0.3010 0.3000 0.2370 0.2860 21.18800.9140 0.2760 0.2750 0.2200 0.3050 20.25100.9230 0.2520 0.2510 0.2040 0.3340 19.13500.9320 0.2280 0.2270 0.1870 0.3670 17.81700.9420 0.2050 0.2040 0.1720 0.4020 16.27700.9510 0.1830 0.1820 0.1560 0.4420 14.49700.9610 0.1610 0.1610 0.1410 0.4920 12.46200.9700 0.1410 0.1400 0.1270 0.5710 10.16900.9800 0.1220 0.1210 0.1130 0.6490 7.57400.9900 0.1050 0.1040 0.1000 0.7610 4.69401.0000 0.0890 0.0880 0.0870 0.8980 1.51401.0100 0.0740 0.0730 0.0760 1.0600 1.97501.0200 0.0610 0.0600 0.0650 1.2550 5.76201.0300 0.0500 0.0490 0.0550 1.4240 9.90601.0410 0.0400 0.0390 0.0460 1.6510 14.30501.0510 0.0320 0.0310 0.0370 2.0640 18.78201.0620 0.0250 0.0240 0.0300 2.6530 23.29901.0730 0.0190 0.0180 0.0240 3.2170 28.06301.0830 0.0140 0.0140 0.0190 3.7400 33.06501.0940 0.0100 0.0100 0.0140 4.5150 37.84501.1050 8 · 10-37 · 10-30.0110 5.7170 42.03801.1160 5 · 10-35 · 10-38 · 10-36.8570 46.2630表5。T=0。5年，(R)σ=0.3，σ=0.1，H=0.3，ν=0.1，ρ=-0.7，n=1000，n=50000。K/SMC仿真DFA（4.7）SVVE（5.6）DFA rel。犯错误（%）SVV E相关。犯错误

(%)0.8870 0.1310 0.1290 0.1240 0.8930 5.26800.8960 0.1230 0.1220 0.1160 0.9320 5.92300.9050 0.1160 0.1150 0.1090 0.9710 6.40400.9140 0.1090 0.1080 0.1020 1.0130 6.70000.9230 0.1020 0.1010 0.0950 1.0580 6.79900.9320 0.0950 0.0940 0.0890 1.1050 6.69000.9420 0.0880 0.0870 0.0830 1.1550 6.36900.9510 0.0820 0.0810 0.0770 1.2020 5.82800.9610 0.0760 0.0750 0.0720 1.2430 5.06500.9700 0.0700 0.0690 0.0670 1.2870 4.09700.9800 0.0640 0.0630 0.0620 1.3130 2.91800.9900 0.0580 0.0570 0.0570 1.3290 1.55401.0000 0.0530 0.0520 0.0530 1.3480 0.04701.0100 0.0480 0.0470 0.0490 1.3430 1.59701.0200 0.0430 0.0420 0.0440 1.3400 3.30501.0300 0.0390 0.0380 0.0400 1.3390 5.02301.0410 0.0340 0.0340 0.0370 1.3080 6.72001.0510 0.0300 0.0300 0.0330 1.2420 8.32201.0620 0.0270 0.0270 0.0290 1.1410 9.74001.0730 0.0240 0.0230 0.0260 0.9930 10.87601.0830 0.0200 0 0.0200 0.8460 11.55001.0940 0.0180 0.0180 0.0200 0 0.6650 11.64801.1050 0.0150 0.0150 0.0170 0.4080 11.04001.1160 0.0130 0.0130 0.0140 0 0 0.0520 9.5400表6。T=1.5年，(R)σ=σ=0.1，H=0.2，ν=0.2，ρ=-0.5，n=100 0，n=50，000.24 E.AL\'OS，R.CHATTERJEE，S.TUDOR和T.-H.WANG0.8 0.9 1.0 1.1 1 1.2K/S00.0500.0750.1000.1250.1500.1750.2000.225TVO通话价格T=1.00，H=0.10，ρ=- 0.70,ν= 0.05,σ0= 0.30,σ=0.30Dec mp siti n F rmula Appr ximati nSmall V l F V l Expansi nM nte Carl Simulati n0.8 0.9 1.0 1.1 1 1.2K/S00.000.050.100.150.200.250.30TVO调用价格t=0.50，H=0.20，ρ=0.50，ν=0.10，σ0=0.20，σ=0.30Decom-position公式A roximationSmall Vol of Vol Ex ansion蒙特卡罗模拟图1。

表1（左）和表2（右）的TVO调用价格gr aphs 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2K/S00.000.020.040.060.080.10TVO调用价格t=0.25，H=0.20，ρ=- 0.10,ν= 0.01,σ0= 0.20,σ=0.10Dec mp siti n F rmula Appr ximati nSmall V l F V l Expansi nM nte Carl Simulati n0.8 0.9 1.0 1.1 1 1.2K/S00.000.050.100.150.200.250.300.35TVO调用价格t=0.33，H=0.20，ρ=0.80，ν=0.30，σ0=0.10，σ=0.10Decom-position-Formula A roximationSmall Vol of Vol Ex-ansionMonte-Carlo模拟图2。表3（左）和表4（右）的TVO调用价格gr aphs 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2K/S00.00.10.20.30.40.50.6TVO调用价格T=0.50，H=0.30，ρ=- 0.70,ν= 0.10,σ0= 0.10,σ=0.30Deco位置，用于ula批准所有体积膨胀的体积蒙特卡罗计算0.8 0.9 1.0 1.1 1 1.2K/S00.000.050.100.150.20TVO调用P iceT=1.50，H=0.20，ρ=- 0.50,ν= 0.20,σ0= 0.10,σ=0.10计算公式分解体积膨胀的小体积模拟图3。表5（左）和表6（右）的TVO买入价格图。由It^o的演算得出，目标波动率期权的复制策略及其价格的近似公式。对数正态FSABR模型中的TVO定价25ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0ν0.00.10.20.30.40.50.6TVO调用0.0700.0750.0800.0850.090T H=0.05ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0H0.00.10.20.30.40.5TVO调用0.0600.0650.0700.0800.0800.0850.0900.095TVO价格ν=0.31ν0.00.10.20.30.40.50.6H0.00.10.20.30.40.5TVO调用0.0710.0720.0730.0740.0750.0760.0770.0780.079TVO价格ρ=0.21图4。

体积膨胀的小体积（5.6）对参数的敏感性。KS=1，T=1，σ=0.1，’σ=0.2，H∈ (0, 0.5), ν ∈ (0, 0.6), ρ ∈ (-1，1）ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0ν0.00.10.20.30.40.50.6相对误差-0.05-0.04-0.03-0.02-0.010.000.010.020.03 H=0.05ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0H0.00.10.20.30.40.5相对误差-0.04-0.020.000.020.040.06ν=0.31ν0.00.10.20.30.40.50.6H0.00.10.20.30.40.5相对误差-0.03-0.02-0.010.000.010.02ρ=0.21的相对误差图5。（5.6）和MC之间的误差面。KS=1，T=1，σ=0.1，’σ=0.2，N=50000，H∈ (0, 0.5), ν ∈ (0, 0.6), ρ ∈ (-1，1）ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0ν0.00.10.20.30.40.50.6TVO调用0.0650.0700.0750.0800.0850.0900.095TVO价格，对于H=0.25ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0H0.10.20.30.40.5TVO调用0.0760.0780.0820.084TVO价格ρ=0.11ν0.00.10.20.30.40.50.6H0.00.10.20.30.40.5TVO调用0.0800.0810.0820.0830.0840.085TVO价格ρ=-0.33图6。分解公式近似值（4.7）对参数的灵敏度。KS=1，T=1，σ=0.1，’σ=0.2，H∈ (0, 0.5), ν ∈(0, 0.6), ρ ∈ (-1，1）ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0ν0.00.10.20.30.40.50.6相对误差-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.10 H=0.25ρ-1.0-0.8-0.5-0.20.00.20.50.81.0H0.00.10.20.30.40.5相对误差-0.015-0.010-0.0050.0000.0050.01ν=0.11ν0.00.10.20.30.40.50.6H0.00.10.20.30.40.5相对误差-0.02-0.010.000.010.020.030.040.05ρ=-0.33的相对误差图7。（4.7）和MC之间的误差面。KS=1，T=1，σ=0.1，σ=0.2，N=50000，H∈ (0, 0.5), ν ∈ (0, 0.6), ρ ∈ (-1、1）26 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H。

Wang在本文的第二部分，我们专门研究了对数正态分馏ABR模型，该模型最近在随机波动率模型的文献中被提出，因为它对方差掉期的经验数据具有惊人的拟合能力。换言之，波动过程被定义为缩放分数布朗运动的指数化。该模型中的显式闭式近似公式s由分解公式和小波动率及波动率展开式推导而来。蒙特卡罗模拟的数值例子表明，在合理的参数范围内，两种近似公式都能很好地工作。然而，如图所示，波动率扩张的一阶小波动率在极端参数中分解；而从分解公式得到的数值近似在更大的参数范围内通过了测试。当需要根据市场数据校准参数时，高效准确的资产价格计算或近似值至关重要，尤其是当存在由分数布朗运动驱动的过程时。本文中得到的近似公式由于其简单和准确，使这项任务变得容易。因此，可以相应地确定市场指标、目标波动率看涨期权的隐含收益率和目标波动率期权价格的隐含赫斯特指数。我们将所有这些讨论留在未来的研究中。AcknowlementTea部分得到西班牙MEC MTM2013-40782-P的支持。部分得到中国自然科学基金会拨款116018.8的支持。附录-技术成果引文2。Le tξ是一个具有mea nu的正态随机变量，方差σ和n（·）表示标准正态分布函数。