粗糙波动率模型中的波动率期权

，g（uj- t） d，ψ（uj- t） ）对于j=1，d+1对所有t线性独立∈ [0，T]。在这种情况下，尽管存在随机波动，VIX期权可以仅使用远期方差曲线进行完美对冲：在利率语言中，不存在未经退火的随机波动。在存在跳跃的情况下，套期保值问题更加复杂。当m+u的支撑仅包含有限数量的点时，z，zk，只要你能找到数字u，…，完美对冲就是可能的，ud+k+1∈ [T，T+Θ]使得向量（g（uj- t） ，g（uj- t） d，ψ（uj-t） ，eψ（uj-t） z，eψ（uj-t） zk）对于所有t∈ [0，T]。然而，当相应矩阵接近奇异时，套期保值比率将不稳定。因此，当支持m+u的点的数量很小时，该方法可能会起作用，但对于大量的点，该方法很难实现，更重要的是，当试图用离散的跳跃大小分布近似连续的跳跃大小分布时。示例3。在CIR情况下（例2），VIX期权价格具有鞅表示dpt=（ZT+ΘTDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）g（u- t） >du）pΓtdWt+（DΓFΓ（t，Γt，ξt）+ZT+ΘTDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）- t） du）δpΓtdBt。另一方面，考虑到方差交换的连续版本，T和T+Θ之间的正向方差交换的动力学由dst给出，ΘT=（ΘZT+ΘTξT（u）g（u- t） >du）pΓtdWt+（ΔΘZT+Θtξt（u）ψ（u- t） du）pΓtdBt。因此，很明显，我们可以构建一个由两个不同到期日的方差掉期组成的投资组合，这将完美地设置VIX期权的风险。4.1 Monte CarloWe的VIX期权定价在此将第3.2节的数值分析扩展到调制Volterra情况，基本上基于推导（14）的近似值。

这两种离散化方案如下所示：o矩形方案（如前所述定义了ζnian和ηn（u））：Fn（t，γ，x）：=E“fΘn-1Xi=0ζniEt，T（γ，tni）！#=E“fΘZT+ΘTx（u）Et，T（γ，ηn（u））du！#；o梯形方案：bFn（T，γ，x）：=E”fΘn-1Xi=0Ztni+1tnix（u）（θn（u）Et，T（γ，tni）+（1- θn（u）Et，T（γ，tni+1））du！#=E“fΘZT+ΘTx（u）（θn（u）Et，T（γ，ηn（u））+（1- θn（u））Et，T（γ，ηn（u）））du！#。与前一种情况类似，随机变量序列（Zi）n-1i=0，带Zi：=对数Et，T（γ，ti）=2ZTtqΓ（T，γ）sg（ti- s） >dWs+mi，形成条件高斯随机向量（在轨迹（Γs）t上条件时≤s≤T、 给定ΓT=γ），平均主协方差Ci，jgiven bymi=ψ（ti- T）Γ（T，γ）T+φ（ti- T）- ψ（ti- t） γ-φ（ti- t） ，Cij=4ZTtΓsg（tni- s） >g（tnj- s） ds。然后分两个连续步骤进行蒙特卡罗计算：o对于协方差Cij：模拟轨迹（Γs）t≤s≤计算条件方差CijgivenΓ。当Γ是具有有限跳跃强度的L'evy驱动OU过程时，该模拟不会导致离散化错误，因为描述Ci、jis的积分实际上是L'evy过程跳跃的有限和。否则，我们需要模拟Γ的离散化区域，但这种模拟速度很快，因为Γ是马尔可夫的（见下文）模拟随机高斯向量（Zi）n-1i=0并计算期权报酬。以下命题扩展了命题2，并描述了这两种离散化方案的收敛速度，假设对Cijis的模拟没有错误。提案5。假设1成立。

进一步假设f是Lipschitz，x（·）有界的，并且存在c<∞ 且β>0，因此对于所有T≤ t<t，ZTtkg（t- s）- g（t- s） kds！1/2≤ c（t- t） （t- T）β-1.oIfE经验值ZutΓ（t，γ）skg（u- s） kds公司（15） 对于u一致有界∈ [T，T+Θ]，且E[（T，γ）s）]对于s一致有界∈ [t，t]，然后在t上，| F（t，x）- Fn（t，x）|=On;o 如果除上述假设外，E[（Γ（t，γ）s）]对于s一致有界∈ [t，t]，kgkis阳性，呈下降趋势，存在c<∞ 因此，对于所有T≤ t型≤ t<t，kg（t- T）k≤ c（t- T）β-1千克（t- T）k- 千克（吨- T）k≤ C（t- t） （t- T）β-2，ZTtkg（t- s）-t型- tt- tg（t- s）-t型- tt- tg（t- s） kds！1/2≤ c（t- t） （t- T）β-2、然后在κ（β+1）>2的Tκ上，| F（T，x）-bFn（t，x）|=On.备注1。与命题3类似，可以证明（15）在u上一致有界的充分条件∈ 是吗∞zezA{u（dz）+m（dz）}是有限的，对于一些A>0,8G（T+Θ）- t） +（t+Θ）- t） （0）∨ 此外，跳跃大小的指数可积性确保E[（Γ（t，γ）s）]一致有界。4.2近似定价和控制变量在高斯-沃尔泰拉情况下，我们可以通过将条件对数正态随机变量族上的积分替换为其对数积分的指数，来获得VIX期权价格的简单近似公式。换言之，我们用近似值（11）代替平方VIX指数（6）。根据命题4中的正向方差表达式，我们有log VIXT=ΘZT+ΘTlogξt（u）du+2ZTtΓ（t，γ）sdWsΘZT+ΘTg（u- s） >du+Γ（t，γ）tΘZT+Θtψ（u- T）du+ΘZT+ΘT（φ（u- T）- φ（u- t） ）du-γΘZT+ΘTψ（u- t） 因此，log VIXTis的特征指数由ψ（z）给出：=log Eheiz log VIXTFti=izΘZT+ΘTlogξt（u）du+izΘZT+Θt（φ（u- T）- φ（u- t） ）du-izγΘZT+ΘTψ（u- t） du+日志E“exp-2zZTtΓ（t，γ）sG（s，t，Θ）ds+izΓ（t，γ）tΘZT+Θtψ（u- T）du！#，其中G（s，T，Θ）：=ΘRT+ΘTg（u-s） 杜。

与命题3类似，在适当的可积性条件下，该期望可以简化为普通微分方程。在示例1的theL'evy驱动OU过程的上下文中，可以显式地进行计算。在这种情况下，Γ（t，γ）s=γe-λ（s-t） +Zste-λ（s-r） dLr，因此E“exp-2zZTtΓ（t，γ）sG（s，t，Θ）ds+izΓ（t，γ）tΘZT+Θtψ（u- T）du！Ft#=exp-2zZTtγe-λ（s-t） G（s，t，Θ）ds+izγe-λ（T-t） ΘZT+Θtψ（u- T）du！×E“扩展-2zZTtdLrZTre-λ（s-r） G（s，T，Θ）ds+izRTte-λ（T-r） dLrΘZT+ΘTψ（u- T）du！#=经验值-2zZTtγe-λ（s-t） G（s，t，Θ）ds+izγe-λ（T-t） ΘZT+Θtψ（u- T）du！×expZTtψ-2zZTre公司-λ（s-r） G（s，T，Θ）ds+ize-λ（T-r） ΘZT+ΘTψ（u- T）du！博士4.3数值说明我们在此考虑具有幂律核g（t，s）=（t）的波动率调制模型（12- s） H类-,其中，Γ是示例1中的LΓevy驱动的OU过程。使用第4.1节中的蒙特卡罗方法，命题5保持提供的ψ（8G（T+Θ-t） ）<∞, 因此，收敛速度为n-1矩形方案，n-2对于具有适当离散网格的梯形格式。驱动L'evy过程L是一个单边指数跳跃的复合泊松过程；实验测试表明，双侧跳跃不会显著改善校准。模型参数为λ（OU过程的平均回归）、∧（跳跃强度）、a（指数律参数）、γ（OU过程的初始值）、ξ（T）（初始前向方差曲线）和H（根据[24]中的发现，固定为0.1）。图5表明，第4.2节中的近似公式非常精确；与具有90个近似步骤的蒙特卡罗模式（图上的Ndisc）相比，我们的近似具有计算速度更快的优点。

这种收敛性用以下参数来说明：到期日为一个月，且（λ，λ，a，γ，ξ（T））=（0.08，0.71，6.18，0.05，0.013）（对应于下面的一组校准参数）。图5：与蒙特卡罗方案相比，近似公式的精度。2014年5月14日，我们使用第4.2节的近似定价公式，通过使用L-BFGS-B算法（Python优化工具箱），最小化市场价格和模型价格之间的平方差之和，对五个到期日的VIX期权模型进行校准。4.3.1逐片校准在该测试中，每个到期日都已单独校准，每个到期日的远期方差值ξ（T）也已校准为VIX期权。校准结果如图6所示，校准参数如表1所示。误差是期权价格（美元）均方误差的平方根。标准PC上的校准时间范围为20到100秒，具体取决于参数的起始值。校准质量显示出低于3美分的总体误差，并且参数在所有到期日内似乎都相当稳定。到期日（天）λ∧aγξ（T）误差7 0.08 0.71 6.18 0.05 0.013 0.00535 0.01 5.82 19.81 0.007 0.014 0.0363 0.01 6.61 25.41 0.01 0.012 0.1698 0.01 5.63 28.70 0.001 0.012 0.008126 0.92 4.97 25.19 0.001 0.011 0.023表1：与图6相对应的校准参数值。图6：在单侧指数跳跃模型中校准（逐片）的市场中观察到的期权价格和波动率指数期权的隐含波动率。从上到下，期限分别为7、35、63、98和126天。

远期方差根据VIX期权价格进行校准。4.3.2使用预先规定的远期方差曲线逐片校准我们现在考虑一种联合校准程序，其中每个到期日分别进行校准，但远期方差ξ（·）是使用VIX复制公式从SPX期权价格计算得出的。图7显示了校准结果，校准参数如表2所示。价格误差现在略大，但仍然可以接受。到期日（天）λ∧aγξ（T）误差7 0.086 0.583 5.410 0.272 0.013 0.01335 0.008 0.597 9.903 0.088 0.018 0.04163 0.01 0.08 15.24 0.13 0.022 0.06698 0.009 0.06 0.028 0.11 0.027 0.095126 0.922 0.094 0.001 0.149 0.030 0.074表2：与图7相对应的校准参数值。图7:VIX微笑和SPX隐含波动率期限结构的联合校准。4.3.3多个到期日的联合校准我们最终会同时测试多个到期日的校准。图8显示了同时校准三个到期日（35、63和98天）的结果，其中远期差异与SPX期权价格分开校准，如表2所示。最佳参数和误差为（λ，λ，a，γ）=（0.29771,0.915,9.576,0.028），到期日（以天为单位）35 63 98误差0.084 0.12 0.15图8：VIX期权的期权价格和隐含波动率，同时校准到所有三个到期日。这些图表表示35、63和98天的到期日。参考文献【1】E.Abi Jaber、M.Larsson和S.Pulido。一个有效的Volterra过程。arXiv:1708.087962017。[2] R·J·阿德勒和J·E·泰勒。随机场和几何体。Springer，2007年。[3] 阿克多根方差曲线模型：有限维实现和超越。博士论文，ETH Z¨urich，研究收藏。ethz。2016年第三季度。[4] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。

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一方面，当t- T≥ 2（t- t） ，一个直接的二阶泰勒估计加上与上述相同的参数，得出以下界限：ZTtg（t，s）-t型- tt- tg（t，s）-t型- tt- tg（t，s）ds！1/2=ZTt（t- s） H类--t型- tt- t（t- s） H类--t型- tt- t（t- s） H类-ds！1/2≤ZTt公司（（t+t）/2- s） H类--（t- s） H类--（t- s） H类-ds！1/2≤ C（t- t） （t- T）小时-2.≤ C22型-H（t- t） （t- T）小时-2、当t- T<2（T- t） ，此表达式可以按如下方式进行限定，以完成证明：ZTt公司t+t- sH--（t- s） H类--（t- s） H类-ds公司≤ C（t-T）小时≤ 4C（t-t） （t-T）小时-A.2钥匙lemmaLemma 1。Let（Zt）0≤t型≤1是一个具有均值函数m（·）和连续协方差函数C（·，·）的a.s.连续高斯过程，满足min∈[0,1]ZC（u，v）dv>0。让x∈ L（[0，1]）与x≥ 那么随机变量rx（u）eZ（u）du的密度p（·）在（0，∞), 这样的p（x）≤ 某些有限常数的c/x证明。设φ是具有有界导数的光滑有界函数，表示tni：=inandζni：=Rtni+1tnix（u）du，对于i=0，n- 设Zεi=Ztni+εζi，其中（ζ，…，ζn）-1） 是独立于Z的标准正态随机向量。那么，E“φn-1Xi=0ζnieZεi#=ZRnφn-1Xi=0ζniezi！经验值-（z）- mn）>（Cεn）-1（z- mn）（2π）n/2p | Cεn | dz，z=（z，…，zn），其中Cε和mn分别是高斯向量（zε，…，zεn）的协方差矩阵和平均向量-1） （对于任何ε>0的情况，Cεnis显然是非退化的）。更改变量zi7→ zi+αρii在上述积分中，相对于α微分，取α=0，我们得到Zrnφn-1Xi=0ζniezi！n-1Xi=0ζniρieziexp-（z）- mn）>（Cεn）-1（z- mn）（2π）n/2p | Cεn | dz=ZRnφn-1Xi=0ζniezi！ρ> （Cεn）-1（z- mn）（2π）n/2p | Cεn | exp-（z）- mn）>（Cεn）-1（z- mn）dz，或者换句话说，E“φ（Xεn）n-1Xi=0ζniρieZεi#=Ehφ（Xεn）ρ>（Cεn）-1（Zε- mn）i此处我们定义Xεn：=Pn-1i=0ζnieZεi。