粗糙波动率模型中的波动率期权

此外，该导数以上ε，x | fε（x）|Θ为界，这意味着内部积分zt+ΘTDxFε（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>duconverge并允许以下界：ZT+ΘTDxFε（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>du≤ZT+ΘTsupε，x | fε（x）|ξs（u）kg（u，s）kds。这反过来意味着我们可以使用随机积分的支配收敛性（定理IV.32in【40】）来证明外积分的收敛性。3.2蒙特卡罗VIX期权定价3.2.1离散化模式从（7）开始，对数正态随机波动率模型中远期方差期权价格的计算简化为对相关对数正态随机变量族上积分的预期函数的计算。为了通过蒙特卡罗计算该期权价格，我们通过离散积分来近似（7）。我们将考虑离散化gridTκ：=tni=T+Θ在里面κi=0，。。。，对于κ>0，（9）和以下两种离散化方案：oT上的矩形方案（ζni：=Rtni+1tnix（u）du和ηn（u）：=max{tni:tni≤ u} ）：Fn（t，x）：=E“fΘn-1Xi=0ζniEt，T（tni）！#=E“fΘZT+ΘTx（u）Et，T（ηn（u））du！#；oTκ上的梯形格式（θn（u）：=tni+1-utni+1-tni和ηn（u）：=最小值{tni:tni>u}）：bFn（t，x）：=E“fΘn-1Xi=0Ztni+1tnix（u）（θn（u）Et，T（tni）+（1- θn（u）Et，T（tni+1））du！#=E“fΘZT+ΘTx（u）（θn（u）Et，T（ηn（u））+（1- θn（u））Et，T（ηn（u）））du！#。注意，随机变量序列（Zi）n-1i=0定义单位：zi=log Et，T（tni）=2ZTtg（tni，s）>dWs- 2ZTtkg（tni，s）kds（10）形成平均mi=-2RTKG（tni，s）kds和协方差矩阵CIJ：=Cov[Zi，Zj]=4ZTtg（tni，s）>g（tnj，s）ds。附录A.3中证明的以下命题描述了这些方案的收敛速度。提案2。

设f为Lipschitz，x（·）有界，并假设存在β，c>0，使得zttkg（t，s）- g（t，s）kds！1/2≤ c（t- t） （t- T）β-1，对于所有T≤ t<t.o对于t上的矩形方案，| F（t，x）- Fn（t，x）|=On;o 如果另外，对于所有T≤ t型≤ t<t，ZTtg（t，s）-t型- tt- tg（t，s）-t型- tt- tg（t，s）ds！1/2≤ c（t- t） （t- T）β-2，然后对于κ（β+1）>2的Tκ上的梯形格式，| F（T，x）-bFn（t，x）|=On.3.2.2控制变量在我们的模型中，平方VIX指数VIXT：=ΘRT+ΘTξT（u）du是一组非正态随机变量上的积分。模仿Kemna和Vorst[36]的控制变量技巧（最初是在对数正态模型中的亚式期权的背景下提出的），很自然地通过相应高斯随机变量族的积分的指数来近似该积分：VIXT：=expΘZT+ΘTlogξT（u）du！。（11） VIX期权价格的相应近似值，可作为蒙特卡罗方案中的控制变量，由pt：=Ehf给出VIXT公司Fti=：F（t，ξt（u）t≤u≤T+Θ），其中F（T，x）：=EfeY公司, 和Y高斯分布，平均值为My，方差为σYgiven by My=ΘZT+ΘT（对数x（u））- 2ZTtkg（u，s）kds）du，σY=ΘZ[T，T+Θ]dudvZTtg（u，s）>g（v，s）ds。对于波动率指数上的看涨期权，f（x）=(√x个- K） +，因此近似价格为pt=EeY公司- K+=Y NlogYK+σYσY/2！- KNlogYK公司-σYσY/2！，Y=exp时mY+σY.3.3数值说明考虑到（1）中介绍的模型以及特征描述（2），基本上是[7]中的roughBergomi模型。从（4）中，前向方差的动力学为：ξt（t）ξt（t）=2α（t-t） H类-dWt，对于所有0≤ t型≤ T、 由于所有远期方差都是由相同的布朗运动驱动的，因此投资于单个方差掉期就足以实现完美的套期保值。例如，考虑一个带pay-o fffΘZT+ΘTξT（u）du！，用时间t的Ftits价格表示，Ft=F（t，ξt），F如（7）所示。

使用第3.2节中描述的蒙特卡罗方法，期权价格近似为fn（t，x）=E“fΘn-1Xi=0ζnieZi#矩形离散化或bybFn（t，x）=E“fΘn-1Xi=0Ztni+1tnix（u）（θn（u）eZi+（1- θn（u））eZi+1）#在梯形离散化中，其中（Zi）n-1i=0是均值为mi=-2αZTt | ti- s | 2H-1ds=-α| ti- T | 2H- |ti公司- t | 2hh和协方差矩阵（Cij）i，j=0，。。。，n-1，可计算如下：当i<j时，Cij=4αZTt（ti- s） H类-（tj- s） H类-ds=4αZti-t（tj- ti+s）H-上海-ds公司- 4αZti-T（tj- ti+s）H-上海-ds=4αH+（tj- ti）H-（ti- t） H+F- H、 +小时，+小时，-ti公司- ttj公司- ti公司-4αH+（tj- ti）H-（ti- T）H+F- H、 +小时，+小时，-ti公司- Ttj公司- ti公司,其中fis是超几何函数[26，积分3.197.8]，当i=j时，Cii=4αZTt（ti- s） 2小时-1ds=2αH（ti- t） 2小时- （ti- T）2H.命题2的以下推论提供了蒙特卡罗格式的收敛速度。为了简化符号，我们假设t≥ 本节其余部分为0。推论1。设f为Lipschitz，并假设x（·）有界。在粗糙Bergomi模型中，对于T上的矩形格式，我们有| F（T，x）- Fn（t，x）|=On;o 对于Tκ上的梯形格式（κ（H+1）>2），我们有F（t，x）-bFn（t，x）= On.图1和图2说明了VIX optionprice的蒙特卡罗估计的收敛性。模型参数为α=0.2，H=0.1，远期方差为√ξ=20%，成熟时间T=1年，Θ=0.1。我们使用50000条路径进行所有计算。为了减少方差，我们使用第3.2.2节中的控制变量的离散化版本，这意味着积分（11）被替换为使用相应离散化方案获得的和。这种替换是在蒙特卡罗估计量和精确计算中进行的，这样控制变量就不会引入额外的偏差。为了选择梯形模式的离散化日期，我们取κ=2。

图3绘制了不同参数值的粗略Bergomi模型中的隐含波动率微笑（图中未提及的参数与上述参数相同）。假设波动率指数期货为对数正态分布，并使用模型生成的波动率指数期货作为初始值，定义波动率指数期权的隐含波动率。在这种波动率为对数正态分布的模型中，波动率指数几乎是完全波动的。当然，这是因为VIX本身是0 100 200 300 400 500Ndisc0.13250.13300.13350.13400.13450.1350期权价格收敛MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）131211109876log（错误）log scale0 100 200 300 400 500Ndisc0.13250.13300.13350.13400.13450.1350期权价格收敛，二阶MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）14131211098Log（误差）对数标度误差，二阶图1：零敲定VIX上看涨期权价格的蒙特卡罗估计的收敛性。左上：矩形方案。左下：梯形方案。右图以对数刻度显示了各自的错误。当置信区间为零时，只显示上限。模型中几乎为对数正态分布，因为定义振动的平均间隔Θ（一个月）很短（事实上，该特征可有效用于近似目的，如[34]）。在波动率指数期权市场（图4）中观察到的实际隐含波动率当然不存在偏差，并且呈现出明显的正偏差。这种不一致性（已在[7]中观察到）表明，虽然粗略的Bergomi模型能够准确地索引选项微笑，但显然不足以校准VIX微笑。

因此，在下一节中，我们建议对该模型进行扩展，从而使此类校准成为可能。0 100 200 300 400 500Ndisc0.03740.03750.03760.03770.03780.03790.0380期权价格收敛MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）141312110987log（error）log scale0 100 200 300 400 500Ndisc0.03740.03750.03760.03770.03780.03790.0380期权价格收敛，二阶MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）15141311109 log（error）log scale0，二阶图2:K=0.1的波动率指数上看涨期权价格的蒙特卡罗估计的收敛性。左上：矩形方案。左下：梯形方案。右图显示了对数刻度中各自的误差。

当置信区间为零时，仅显示上限。0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50删除0.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65隐含挥发分PHA=0.4，H=0.1，T=1.0alpha=0.2，H=0.1，T=1.0alpha=0.2，H=0.2，T=1.0alpha=0.2，H=0.1，T=0.3图3：不同参数组合下粗糙Bergomi中的VIX隐含微笑。10 12 14 16 18 20 22 24 260.60.81.01.21.41.61.82.02.214/05/2013，到期日8 Dayscalsputs10 20 30 40 50 60 70 800.51.01.52.014/05/2013，到期日36 Dayscalsputs10 12 14 16 18 20 22 260.40.50.60.70.80.91.014/05/2013，到期日64 Dayscalsputs14 16 18 20 22 24 26 300.600.700.750.800.850.9014/05/2013，到期日99 Dayscalsputs10 15 20 25 350.450.450 500.550.600.650.700.750.800.8514/05/2013，到期日127 DayscalsPuts14 16 18 20 22 24 261.01.52.02.516/05/2014，到期日5 DayscalsPuts10 20 30 40 50 60 700.51.01.52.016/05/2014，到期日33 DayscalsPuts10 12 14 16 18 20 220.30.40.50.60.70.80.916/05/2014，到期日61 DayscalsPuts10 12 14 16 18 200.300.400.450.500.550.650.7016/05/2014，到期日96 DayscalsPuts10 20 20 40 50 60 700.40.60.81.016/05/2014，到期日124 Dayscals Puts10 12 14 16 18 20 22 24 260.51.01.52.02.53.0到期日5 Dayscals Puts10 15 20 25 30 350.60.81.01.21.4到期日33 Dayscals Puts10 12 16 18 20 22 240.40.50.60.70.80.91.0到期日68 Dayscals Puts10 15 20 25 300.40.50.60.80.91.0到期日96 Dayscals Puts10 20 30 40 50 60.60.70.80.91.1到期日124 Dayscals Putsfigusfigu回复4：实际波动率指数隐含波动率微笑在不同的日期和不同的到期日。4调制Volterra随机波动率过程我们现在提出了一类新的粗糙波动率模型，能够捕捉波动率微笑的特定性。

具体而言，我们假设瞬时波动率过程满足σt=Ξ（t）eXt，其中Xt=ZtpΓsg（t，s）>dWs，（12），其中Ξ（·）是用于校准初始前向方差曲线的确定函数，相对于过滤F，是一个d维标准布朗运动≡ （Ft）t∈R+，g akernel，使RTKG（t，s）kds对所有t≥ 0和Γ独立于W的时间齐次正保守过程。这个模型让人想起了Barndorff-Nielsen和Schmiegel[6]提出的布朗半平稳过程。然而，随机积分从零开始，而不是-∞, 为了避免在整个实线上使用任何流程。根据【17，定理2.7和命题9.1】，Γ的微元生成器采用lf（x）=k（θ）的形式- x）fx（x）+δxfx（x）+Z∞{f（x+z）- f（x）}{m（dz）+xu（dz）}，其中k，θ，δ≥ 0和m，u是（0，∞) 这样的话∞（z）∧ 1） {u（dz）+m（dz）}是有限的。为了以后使用，我们定义了函数r（u）：=-ku+δu+Z∞（ezu- 1） u（dz）和F（u）：=kθu+Z∞（ezu- 1） m（dz）。我们进一步假设核g满足g（t，s）=g（t- s） 对于0≤ s≤ t、 我们让G（t）：=Rtkg（s）kds。接下来，我们将介绍以下技术假设：假设1。对于固定的时间范围T，存在一个>0的Z∞zezA{u（dz）+m（dz）}<∞ 和2G（T）+T（0∨ R（A））≤ A、 该框架产生以下结果：命题3。在假设1下，普通微分方程tψ（t）=2kg（t）k+R（ψ（t））和tφ（t）=F（ψ（t）），连同初始条件ψ（0）=φ（0）=0，在[0，t]上有解，0≤ ψ(·) ≤ A和0≤ φ(·) ≤ TF（A），对于0≤ t型≤ u≤ t+t，E（t，γ）经验值Zutkg（u- s） kΓsds公司= 表达式γψ（u- t） +φ（u- t） 在这里和之后，我们使用简写符号E（t，γ）来表示事件{t=γ}上的期望条件。

同样，符号Γ（t，γ）应表示过程Γ在时间t.Proof的γ开始。我们首先证明了解的存在性。函数为ψ（t）：=ψ（t）- 2G（t），命题中的ODE等同于以下内容：tД（t）=R（Д（t）+2G（t））。（13） 现在考虑修改后的颂歌tu（t）=R（（u（t）+2G（t））∧ A） 。由于右侧是u中的Lipschitz，根据Cauchy-Lipschitz定理，该方程包含唯一解，表示为ДA（t）。由于R（0）=0，此解是非负的。此外，鉴于R的凸性，它可以从上面有界，如下所示：max0≤t型≤TДA（T）≤ T最大值0≤t型≤TR公司（ДA（t）+2G（t））∧ A.≤ T（0∨ R（A））。如果T（0∨ R（A））+2G（T）≤ A、 然后，该解在[0，T]上与原始方程（13）的解一致，因此原始方程（13）存在并从上方有界。现在我们来证明拉普拉斯变换的公式。考虑processMs：=expZstkg（u- r） kΓ（t，γ）rdrexpnΓ（t，γ）sψ（u- s） +φ（u- s） o，对于t≤ s≤ u≤ T+T。根据It^o公式，dMsMs-= ψ（u- s） dΓcs+Z∞ezψ（u-s）- 1.eJΓ（ds×dz），其中Γcdenotes是Γ的连续鞅部分，并给出了其补偿跳跃测度。这意味着M是一个局部鞅。过程zs：=Zstψ（u- r） dΓcr+ZstZ∞ezψ（u-r）- 1.eJΓ（dr×dz）与Γ一起是一个二维时间非齐次线性过程，它满足[35，定理3.1]的条件，因此其随机指数，因此过程M是[t，u]上的一个鞅。以{Γt=γ}为期望条件，我们得到了表达式γψ（u- t） +φ（u- t） o=E经验值Zutkg（u- s） kΓ（t，γ）十二烷基硫酸钠.如第2节所述，处理远期方差ξt（u）：=E[σu | Ft]比处理瞬时波动性更为直接。以下结果由条件（第一部分）和It^o公式的应用得出：命题4。

在假设1下，前向方差过程由ξt（u）=ξ（u）exp给出ZtpΓsg（u- s） >dWs+ψ（u- t） Γt+φ（u- t）- ψ（u）Γ- φ（u）,对于0≤ t型≤ u≤ 其动力学读数为ξT（u）=2ξT（u）pΓtg（u- t） >dWt+ξt（u）ψ（u- t） dΓct+ξt-（u） 锆eψ（u-t） z- 1.eJΓ（dt×dz）。与高斯Volterra情形类似，过程X是非马尔可夫的，但前向方差曲线（ξt（u））u≥t了解Γtis Markovian和远期方差曲线（可从期权价格中观察到）的当前状态，以及Γt确定未来动态。与第3节类似，VIX上的看涨期权在时间t的值由pt=E“fΘZT+Θtξt（u）du！Ft#=FΓ（t，Γt，ξt（u）t≤u≤T+Θ），f（x）=(√x个- K） +，其中FΓ是从[0，T]×R+×H到由FΓ（T，γ，x）定义的R的确定性映射：=E“FΝZT+Tx（u）Et，T（γ，u）du！，（14）with Et，T（γ，u）：=expZTtqΓ（T，γ）sg（u- s） >dWs+ψ（u- T）Γ（T，γ）T+φ（u- T）- ψ（u- t） γ- φ（u- t） ！。示例1。设Γ为满足dΓt=-λΓtdt+dLt，其中E[euLt]=expψ（u）t,所以R（u）=-λu和F（u）=ψ（u）。命题3的假设适用于ψ（2G（T））是有限的任何Tsuch，在这种情况下，φ（T）：=Ztψ（ψ（s））ds，ψ（T）=2Zte-λ（t-s） 千克（s）kds。根据命题4，向前方差过程的动力学因此由dξt（u）ξt（u）=2pΓtg（u）给出- t） >dWt+ZR+经验值2zZute公司-λ（s-t） 千克（u- s） kds公司- 1.eJL（dt×dz），其中EJLI是L的补偿跳跃测度。例如，假设L具有跳跃强度∧>0和指数跳跃大小分布，参数a>0，则ψ（u）=a∧Z∞（欧盟）- 1） e类-axdx=∧aa公司- u- 1.=∧ua- u、 对于所有u<a。示例2。设Γ为CIR过程，动力学dΓt=k（θ- Γt）dt+δpΓtdBt，其中B是独立于W的标准布朗运动。那么，F（u）=kθu和R（u）=-ku+δu。假设1可以证明满足任何T，例如4G（T）Tδ≤ 1.

在此假设下，前向方差过程的动力学由dξt（u）=2ξt（u）pΓtg（u）给出- t） >dWt+ξt（u）ψ（u- t） δpΓtdBt，其中ψ是命题3中定义的确定性函数。在这种情况下，ξ（u）是一个具有不相关随机波动率的Heston过程，因此，与向下跳跃产生偏斜的跳跃情况相反，我们这里有一个对称的隐含波动率微笑。波动率指数期权的鞅表示和套期保值在存在额外风险源的情况下，鞅表示的结果更为复杂，我们在没有证据的情况下提供它，假设有足够的规律性来应用it^o公式。由于Γ的跳跃部分具有有限的变化，我们可以应用简化的o公式，该公式给出了sdpt=ZT+ΘTDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）npΓtg（u- t） >dWt+ψ（u- t） dΓctodu+dΓFΓ（t，Γt，ξt）dΓctZRhFΓt、 Γt-+ z、 （ξt-eψ（u-t） z）t≤u≤T+Θ- FΓ（t，Γt-, ξt-)ieJΓ（dt×dz）。对于价值Vt=P+RTRT+ΘTηs（u）dξs（u）的套期保值组合，我们有等式[（PT- VT）]=EhRTdhP- V iti，其中DHP- V it=*Pt-ZT+ΘTηT（u）dξT（u）+T=4ΓT（ZT+ΘT[DxFΓ（T，ΓT，ξT）（u）- ηt（u）]ξt（u）g（u- t） >du）dt+ΔΓt（ZT+ΘtDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）ψ（u- t） +DΓFΓ（t，Γt，ξt）- ηt（u）ξt（u）ψ（u- t）du）dt+ZR（m（dz）+Γtu（dz））nFΓ（t，Γt+z，（ξteψ（u-t） z）t≤u≤T+Θ）- FΓ（t，Γt，ξt）-ZT+ΘTηT（u）ξT（u）（eψ（u-t） z- 1） 多特。因此，为了实现完美的套期保值，以下系统必须保持：ZT+ΘT（DxFΓ（T，ΓT，ξT）（u）- ηt（u））ξt（u）g（u- t） >du=0，ZT+Θt（DxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）ψ（u- t） +DΓFΓ（t，Γt，ξt）- ηt（u）ξt（u）ψ（u- t） du=0，FΓ（t，Γt+z，（ξteψ（u-t） z）t≤u≤T+Θ）- FΓ（t，Γt，ξt）-ZT+ΘTηT（u）ξT（u）（eψ（u-t） z- 1） du=0，其中最后一个是在m+u的支架上保持所有z。首先假设过程Γ没有跳跃部分。然后，只需求解前两个方程：只要能找到数字u，…，就可以求解，ud+1∈ [T，T+Θ]使得向量（g（uj- t） 。