粗糙波动率模型中的波动率期权

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英文标题：
《Volatility options in rough volatility models》
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作者：
Blanka Horvath and Antoine Jacquier and Peter Tankov
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We discuss the pricing and hedging of volatility options in some rough volatility models. First, we develop efficient Monte Carlo methods and asymptotic approximations for computing option prices and hedge ratios in models where log-volatility follows a Gaussian Volterra process. While providing a good fit for European options, these models are unable to reproduce the VIX option smile observed in the market, and are thus not suitable for VIX products. To accommodate these, we introduce the class of modulated Volterra processes, and show that they successfully capture the VIX smile.
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中文摘要：
我们讨论了一些粗糙波动率模型中波动率期权的定价和套期保值。首先，我们开发了有效的蒙特卡罗方法和渐近近似方法，用于计算对数波动率遵循高斯-沃尔泰拉过程的模型中的期权价格和对冲比率。虽然这些模型很适合欧洲选项，但无法再现市场上观察到的VIX选项微笑，因此不适合VIX产品。为了适应这些情况，我们引入了一类调制Volterra过程，并证明它们成功捕获了VIX微笑。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：波动率模型 波动率 Successfully Differential Quantitative

粗略波动率模型中的波动率期权斯里兰卡Horvath*伦敦国王学院和伦敦帝国理工学院数学系。horvath@imperial.ac.ukAntoineJacquierDepartment of Mathematics，Imperial College Londonand and Baruch College，CUNYa。jacquier@imperial.ac.ukPeterTankov+ENSAE ParisTechpeter。tankov@polytechnique.orgJanuary2019年12月31日摘要我们讨论了一些粗略波动率模型中波动率期权的定价和对冲。首先，我们开发了有效的蒙特卡罗方法和渐近近似方法，用于计算对数波动率遵循高斯-沃尔泰拉过程的模型中的期权价格和对冲比率。虽然为欧洲期权提供了良好的拟合，但这些模型无法再现市场上观察到的VIX期权微笑，因此不适用于VIX产品。为了解决这些问题，我们引入了一类调制Volterra过程，并证明它们成功地捕获了VIX微笑。2010年数学学科分类：60G15、60G22、91G20、91G60、91B25关键词：粗糙波动率、VIX微笑、蒙特卡罗、Volterra过程1简介近年来，波动率轨迹比标准布朗运动轨迹更不规则的粗糙随机波动率模型在学者和实践者中广受欢迎。如【7，24】所示，在波动率模型中，用其（粗糙）分数计数器部分代替标准布朗运动，可以捕获和解释观察到的关键现象*布兰卡·霍瓦思感谢SNSF早期博士后的财政支持。流动补助金165248+这项研究的一部分是在Peter Tankov访问伦敦帝国学院（ImperialCollege London）数学系时完成的。

他要感谢数学系、CFM帝国量化金融研究所和法国国家科学研究中心使此次访问成为可能。Peter Tankov的研究也得到了Soci’et’e G’en’erale赞助的“金融风险”主席的支持。在波动性时间序列和期权价格的隐含波动性中。从那时起，粗略的波动性模型已经成为一种流行的模型，能够再现金融市场的风格化事实，并提供一种统一的理论，其含义跨越金融学科。越来越多的研究贡献为这种建模选择带来了合理性，其根源在于市场微观结构考虑【18】，短期校准SPX微笑【4、8、21、31】，对冲【1、20、22】直至其潜力（在【34】中探索），以提供广受欢迎的能够联合处理SPX和VIX衍生品的节俭模型；在过去十年中，这一目标一直是波动率建模研究的核心驱动因素[3、5、9、11、12、13、28、29、39]。从实际角度来看，一个自然的问题出现了：对于一个对冲头寸的交易员来说，粗糙波动率的咒语是什么？由于分数驱动因素的非马尔可夫性质，粗波动下的套期保值构成了一个微妙的挑战，甚至很难定义hedgingstrategies。特别是，偏微分方程已不再使用，模拟是目前唯一可用的途径。尽管有有效的蒙特卡罗方案[10、32、38]，但粗波动率模型中的定价和模型校准仍然很耗时；对于一个有效的粗波动率模型，可以绕过这种重模拟程序【1、19、25、27】。我们在此重点讨论粗糙波动率模型中波动率期权的定价和对冲。

首先，我们证明，通过关注远期方差而不是瞬时波动率，我们恢复了鞅框架，特别是期权价格的经典鞅表示性质。这使得计算对冲比率成为可能，尽管该模型是非马尔可夫模型，但在许多情况下，期权可以使用一定数量的流动资产进行对冲，就像在经典环境中一样。我们的第二个目标是评估粗波动率期权的性能，以校准VIX期权的微笑。我们从数值和理论上证实了[7]的观察结果，即对数正态粗糙波动率模型无法校准波动率微笑，因为这些模型中的波动率指数非常接近对数正态。因此，为了适应VIX微笑，我们通过在Volterra积分中添加一个独立的随机因子来增加波动率调制，从而扩展了对数正态模型的类别。此附加因子的独立性保留了对数正态分布的部分分析可处理性，因此我们能够开发基于傅立叶变换技术的近似选项定价和校准算法。利用真实波动率数据，我们证明了这类新模型能够完全捕捉波动率期权的偏斜。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们将重点放在对数波动率遵循高斯过程的一个玩具示例上，并考虑一个写在瞬时波动率上的期权。尽管没有任何马尔可夫结构，但使用单一风险集进行完美对冲是可能的，期权价格由Black-Scholes公式给出。有了这些知识，在第3节中，我们考虑了对数正态波动率模型中更现实的波动率指数期权，并再次证明了完美对冲是可能的。

虽然在这种情况下，期权价格的显式公式不可用，但我们提出了一种非常有效的蒙特卡罗算法，并表明Black-Scholes公式仍能很好地逼近期权价格。然而，一个缺点是对数正态波动率模型无法捕捉VIX期权市场中观察到的微笑，因此在第4节中，我们提出了一类新的模型，以包括随机波动率调制，为此我们制定了有效的校准策略，并在实际市场数据上对其进行测试。2一个玩具示例：对数正态波动率模型中的瞬时远期方差我们首先考虑一个简单的示例，即对数正态（粗糙或非粗糙）波动率模型中瞬时远期方差的期权定价，并表明尽管波动率没有马尔可夫性，但定价降低到Black-Scholes框架。我们假设内在波动过程由σt=ΞeXt给出，其中X是风险中性概率下R上的中心高斯过程，Ξ是严格的正常数。对于所有s≥ 0，设Fs：=σ（Xr，r≤ s） ，和Fs：=∩s<tFt。利率被定为零。固定时间范围T，让Zt（T）：=E[XT | Ft]，以便（Zt（T））T≥0是Gaussianmartingale，因此是一个具有独立增量的过程[33，定理II.4.36]），完全由函数c（t）：=E[Zt（t）]=E[XT | Ft]表征。如果我们另外假设c（·）是连续的，那么（Zt（T））T≥0几乎肯定是连续的。使用总方差公式，正向方差可以表示为ξt：=E[σt | Ft]=ΞE[e2XT | Ft]=Ξe2E[XT | Ft]+2Var[XT | Ft]=Ξexp2（Zt（T）+E[下]- c（t））.在瞬时远期方差t<t时到期的看涨期权的时间t价格由Pt：=E[（ξt- K） +|英尺]。

注意（ξt）t≥0是连续对数正态鞅，根据总方差公式，E[ξT | Ft]=ξtand，Var[logξT | Ft]=4Var[E[XT | Ft]| Ft]=4（c（T）- c（t））。换句话说，Pt=P（t，ξt），其中P是由P（t，x）=E给出的确定性函数xeY公司-Var（Y）- K+,Y是方差为4（c（T）的中心高斯随机变量- c（t））。Black-Scholes公式则得出Pt=ξtN（dt）- KN（dt），其中N是标准正态分布函数，d1,2t=logξtK±（c（T）- c（t））pc（t）- c（t）。应用It^o公式（ξ是连续鞅！）考虑到期权价格的鞅性质，我们得到了dpt=N（dt）dξt。因此，远期方差期权可以通过包含即时方差掉期和无风险资产的投资组合进行完美对冲。这是因为前向方差过程是一个时间不均匀的几何布朗运动，因此是一个马尔可夫过程。在本文的其余部分，我们表明，对于更复杂的产品，使用有限数量的资产进行完美对冲是可能的。出于分析可处理性的原因，我们将重点放在一类高斯过程上，这类过程可以用有限维标准布朗运动的积分形式表示，称为Volterra过程。特别是，这些过程可以很容易地引入股价和波动性之间的相关性。3对数正态粗糙Volterra随机波动率模型上一节是一个简单的框架，只考虑了瞬时远期方差的期权。

我们现在更深入地探讨这个主题，并仍然在对数正态（粗糙）波动率模型的背景下考虑综合远期方差的期权，特别是VIX期权。为此，我们考虑σt=Ξ（t）exp{Xt}形式的波动过程，其中Xt=Ztg（t，s）>dWs，（1）其中W是关于过滤F的d维标准布朗运动≡ （Ft）t∈R、 g是满足可积条件ztkg（t，s）kds<∞, 对于所有t≥ （1）中的高斯过程X是一个高斯-沃尔泰拉过程。这里给出的表示是一般性的，因为它是所谓高斯过程规范表示的特例【30，第VI.2段】。每一个满足一定正则性假设的连续高斯过程都允许这样一种表示【30，定理4.1】。这里，Ξ（·）是一个局部平方可积确定性函数，能够精确校准初始方差曲线。分数布朗运动的Mandelbrotvan-Ness公式【37】要求积分从-∞而不是0。由于波动过程以定价时间为零为条件，因此这两个公式实际上是等价的，并且Ξ考虑了该过程的过去历史。公式（1）扩展了文献[7]中引入的所谓粗糙Bergomi模型。对应于一维布朗运动W和g（t，s）=α（t）形式的函数g的粗糙Bergomimodel- s） H类-, 对于s∈ [0，t），α=2νsΓ（3/2- H） Γ（H+1）Γ（2- 2H），（3）其中ν>0是波动率的波动率，H∈ （0，1）分馏布朗运动的赫斯特参数。该核g（·）明显满足可积条件（2）。我们在这里的目标是发展理论，并为形式（1）的通用模型中的定价和混合期权提供数值算法。

选择适当数量的因子d和适当形状的核函数G对远期波动率曲线进行实证分析是我们正在进行的研究主题。与上一节的玩具示例类似，Weintroducing通过考虑条件期望过程引入鞅框架，条件期望过程对于任何t≤ u、 byZt（u）：=E【Xu | Ft】=Ztg（u，s）>dWs。因此，正向方差ξt（u）：=E[σu | Ft]具有显式鞅动力学dξt（u）=2ξt（u）g（u，t）>dWt，对于t≤ u、 （4）[7]中的精确公式使用了Dol\'eans-Dade指数，而不是简单指数。这两个表达式是等效的，因为附加的确定性项可以包含在Ξ中。我们在此有兴趣对一个期权定价，该期权在时间T由fΘZT+ΘTξT（u）du！给出！，（5） 在一段时间内。由于时间T的波动率指数值可通过连续时间监控公式vixt计算：=sΘZT+ΘTξT（u）du，（6）其中Θ为一个月，因此波动率指数上的看涨期权对应于f（x）=(√x个-K） +。此类选项的时间价格由pt给出：=E“fΘZT+ΘTξT（u）du！Ft#=F（t，ξt（u）t≤u≤T+Θ），其中F是从[0，T]×H到R的确定性映射，由F（T，x）定义：=E“FΘZT+ΘTx（u）Et，T（u）du！，（7）其中Et，T（u）：=EZ·tg（u，s）>dWsT=expZTtg（u，s）>dWs- 2ZTtkg（美国）kds！（8） 是Dol\'eans-Dade指数。这种表述可以很容易地推导出此类产品的套期保值策略，如下节所述。3.1波动率期权的鞅表示和套期保值以下定理提供了波动率期权的鞅表示，作为套期保值策略的基础。提案1。设函数f是分段可微的，f是连续且有界的。

然后期权价格Pt接受鞅表示Pt=Pt-2ZTtZT+ΘTDxF（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>du dWs，其中Fr'echet导数DxF由DxF（t，x）（v）=E“fΘZT+ΘTx（u）Et，t（u）du！Et，t（v）Θ证明得出。步骤1。设fε∈ C（R）是函数f的软化版本，使得fε和fε有界且连续，| fε（x）|≤ |f（x）|+C对于所有x，fε在ε上一致有界并收敛到fat，当ε趋于零时，fε（x）的连续点在所有x上收敛到f（x）。例如，takefε（x）=ZRf（x+z）pε（z）dz，其中pε是一组光滑的紧支撑密度，当ε接近零时收敛到δ函数。第一步是通过应用有限维It^o公式，证明带pay-o fffε的期权价格的鞅表示。Let（v，w）∈ [T，T+Θ]，定义ε（T，x）：=E“fεΘZT+ΘTx（u）Et，T（u）du！#，其中Et，T（·）定义于（8）。对于h∈ H、 中值定理暗示θδ的存在∈ [0，1]使得limδ↓0Fε（t，x+δh）- Fε（t，x）δ=limδ↓0E“fεΘZT+ΘT（x（u）+θδh（u））Et，T（u）du！ΘZT+ΘTEt，T（v）h（v）dv#=ΘZT+ΘTh（v）dvE”fεZT+ΘTx（u）Et，T（u）du！Et，T（v）#，其中我们使用了支配收敛定理和Fubini定理。由于积分下的期望值是有界的，因此Fε的Fr'echet导数由dxfε（t，x）（v）=E“FεΘZT+ΘTx（u）Et，t（u）du！Et，t（v）Θ给出#∈ H、 此外，一个类似的论点表明，它在[0，T]×H上的x上是一致连续的。迭代该过程，我们发现第二个Fr'echet导数xxfε（T，x）（v，w）=E“fεZT+Tx（u）Et，T（u）du！Et，T（v）Et，T（w）Θ#∈ L（H，H），也是一致连续的，其中L（H，H）表示从Hto到H的线性算子类。最后，对于Fε相对于t的导数，我们可以写efε（t+δ，x）- Fε（t，x）δ=-δE“fεΘZT+ΘTx（u）XuYut+δdu！- fεΘZT+ΘTx（u）XuYutdu！#，Xu：=Et+δ，T（u）和Yur：=Et，r（u）。

对于r≤ t+δ、Xuand和yurd依赖于不相交区间上W的增量，因此是独立的；因此，关于Y的有限维It^o公式【16，第一部分，定理4.32】，保持X恒定，屈服强度fεΘZT+ΘTx（u）XuYut+δdu！- fεΘZT+ΘTx（u）XuYutdu！=2Zt+δtfεΘZT+ΘTx（u）xyurdu！ΘZT+ΘTx（v）XvYvrg（v，r）>dvdWr+ΘZT+δtfεΘZT+ΘTx（u）xyurdu！ZT+ΘTZT+ΘTx（v）x（w）XvYvrXwYwrg（v，r）>g（w，r）dvdwdr。取下期望值后，由于X和Y的独立性，第一项消失。除以δ，当δ趋于零时取其极限，然后通过支配收敛，得到DtFε（t，x）=-2ZT+ΘTZT+ΘTx（v）x（w）g（v，t）>g（w，t）DxxFε（t，x）（v，w）dvdw。因此，dtfε（t，ξt）dt=-hdξt，dxfε（t，x）dξti，正如Fε（t，ξt）的局部鞅性质所期望的那样。现在，应用It^o公式，我们得到了正则化期权价格Fε（T，ξT）=Fε（T，ξT）的鞅表示-2ZTtZT+ΘTDxFε（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>du dWs。第2步。当ε趋于零时，它仍需通过极限。通过控制收敛，Fε（T，ξT）收敛到F（T，ξT），Fε（T，ξT）收敛到F（T，ξT）。对于随机积分的收敛性，我们应用了亚尔索支配收敛。首先，观察x 6=0时，随机变量rt+ΘTx（u）Et，T（u）没有原子（附录中的引理1）。然后，支配收敛允许我们得出结论，对于每个t，x和v，limε↓0DxFε（t，x）（v）=DxF（t，x）（v）。