小交易成本效用最大化的简单界

由于交易成本总是非负的，因此无摩擦价值函数反过来为其摩擦对应物提供了一个自然的上界：v：=supθ∈Au（θ）≥ s向上θ∈Aεuε（θ）=：vε。（4.4）在[31，3，26，24]中，粘度解的稳定性结果用于描述马尔可夫框架下小交易成本ε的摩擦值函数vε的渐近性。这些分析的出发点是一个抽象的假设，即归一化差异（v- 无摩擦和摩擦值函数之间的vε）/ε2/3相对于初始时间和空间条件是局部一致有界的。现在，我们通过使用第3节中的估计值，用适当的上界来补充下界（4.4），从而建立这样一个界。为了应用第3节的结果，我们需要假设无摩擦优化器是一个连续半鞅；使用Malliavin演算中的工具，第5节在非典型马尔可夫环境中导出了该假设的有效条件。除了第3节中的可积性条件外，我们还确定了一些（任意小的）指数矩：假设4.3。存在ι>0和C4.5>0 s uch thatsupξ∈BnEbQ[eιRTξtdθt]o+EbQ[eιhθiT+eιhSiT]≤ C4.5，（4.5）实际上，根据（4.1），在这种情况下，U的凸对偶和相对熵（指数的凸对偶）可以写成彼此的凸函数。根据詹森的《平等》一书，这种可容许性的概念因此与集合Hof（28）相吻合；特别是，它不依赖于初始捐赠。在马尔可夫分歧环境中，这种可容许性的概念允许应用[5，定理3.5]的参数，以获得由相应的值函数vε满足的动态规划原理的弱版本。

这进而导致将vε描述为上述论文中使用的拟变分抛物微分方程的（可能不连续的）v粘性上下解。备注4.4。（i） （4.5）中小指数矩的存在尤其意味着存在C，R，η>0，对于δ=ε∈ （0，η）和所有（ξj）j≤3. B： EbQ[eR |ξT | Rδ，ε（ξ，ξ）T]<C，（4.6），其中（3.8）定义了Rδ，ε（ξ，ξ）。（ii）假设无摩擦优化器bθ的形式为dbθt=ubθtdt+dmt，对于某些连续的Bq局部鞅M。然后，基本估计exp（| x |）≤ exp（x）+exp(-x） Novikov Kazamaki条件和H"older不等式表明（4.5）尤其适用于ifEbQheκRT |ubθt | dt+eκhbθiT+eκhSiTi<∞, （4.7）对于一些任意小的常数κ>0。示例4.5。界限（4.7）成立，例如，对于投资组合选择模型中的指数效用最大化，均值回复模型由[21]研究。在其模型的（算术版本）中，风险资产的波动率σ为常数，而其预期回报率为Havornstein-Uhlenbeck动力学：duSt=λ（(R)uS- uSt）dt+σudWut，对于常数λ>0，σu≥ 0，uS∈ R、 和具有常数相关性的P-布朗运动Wu ∈ [-布朗运动驱动风险回报。指数效用U（x）=-e-rxin该模型的形式如下【21】：bθt=uStr（σS）+σurσS（B（t）+C（t）uSt），对于满足某些Riccati方程的非正光滑函数B，C。因此，无摩擦优化器Bθ的二次变化与收益过程一样具有确定性，因此这两个过程具有所有阶数的有限指数矩。为了验证（4.7），仍需证明Bθ的漂移也具有较小的指数矩。

这需要在对偶鞅测度bq下进行检验，其密度过程可以通过对[21]中计算的值函数进行微分得到。因此，在q下，无摩擦soptimizerbθ仍然是高斯分布的Ornstein-Uhlenbeck过程。其波动率、平均回归水平和速度与时间相关，但有界，因为它们由表现良好的Riccati方程的解决定。结果（4.7）令人满意，因为bθ为高斯分布。在我们的可积条件下，摩擦值函数有以下下界：定理4.6。假设无摩擦最优策略bθ是一个连续半鞅，定义摩擦跟踪组合θ，如引理3.1中θ=bθ，δ：=ε∈ (0, 1).假设假设假设3.2、3.6、4.1和4.3适用于某些p>2。然后，存在一个不依赖于ε的常数>0∈ （0，η），s uch thatubθ- uε（θ）≤ Cε2/3。此外，θ∈ Aε，因此该估计得出摩擦值函数的以下下界：v- Cε2/3≤ vε，（4.8）对于一些不依赖于ε的C>0∈ (0, 1).在没有交易成本的情况下，该模型的算术和几何版本对于投资组合优化是等效的，因为只要风险资产的风险溢价保持不变，它们就跨越相同的支付空间。相反，精确的规格与交易成本有关。第6节讨论了涵盖[21]模型几何版本的不同参数化。证据设置εT：=U（Xθ，εT）- U（XbθT）。然后，存在取值在Xθ，εTandXθt之间的ζεt[εT]=EU′（XbθT）Xθ，εT- XbθT+U′′（ζεT）Xθ，εT- XbθT≥ αEbQXθ，εT- XbθT+U′（ζε）U′（XθT）Xθ，εT- XbθT, （4.9）其中，我们使用了一阶条件（4.3）和符号α：=E[U′（XbθT）]。

现在观察假设4.1意味着自然对数U′（x）U′（y）=ZyxU′（z）U′（z）dz≤ R | x- y |，对于所有x，y∈ R、 因此U′（ζε）U′（XbθT）=U′（ζε）U′（ζε）U′（ζε）U′（ζε）U′（XbθT）≥ -ReR |ζε-XbθT |。与（4.9）一起，这表明[εT]≥ αEbQXθ，εT- XbθT-ReR |ζεT-XbθT|Xθ，εT- XbθT.现在观察上述ζεTde的形式为λXθ，εT+（1- λ） Xbθt对于值在[0，1]中的某个随机变量λ。因此ζεT- XbθT=λ（Xθ，εT- XbθT），从定理3.8得出[εT]≥ αEbQXθ，εT- XbθT-ReRλ′Rδ，ε（ξ，ξ′）TXθ，εT- XbθT对于某些ξ，ξ′∈ B、 对于δ=ε1/3，注释3.10和定理3.8以及（4.5）和H"older\'sinequality依次给出[εT]≥ -Cε，对于一些不依赖于ε的常数C>0∈ (0, η).仍需确定摩擦策略θ是可接受的，即其财富过程xθ，ε是任何绝对连续局部鞅测度Q下的超鞅，其相对于物理概率P具有有限的相对熵。鉴于[14，LemmaE.5]，有必要检查rθtdStis是Q-超鞅，相应的交易成本εθTare是Q-可积的。由于无摩擦优化器bθ的可容许性，bθtdStis是一个Q-超鞅，因此有必要证明r·（θt-bθt）dst是Q鞅。由于价格过程S是一个连续的局部Q-鞅，如果我们可以建立EQ[RT（θt-bθt）dhSit]<∞, 参见【15，定理I.4.40】。Asθ-bθ由构造一致有界，因此有必要显示eq[hSiT]<∞ 对于所有具有有限相对熵的等价鞅测度Q。根据[10，引理3.5]和[8，定理2.2]，如果EbQ[exp（ιhSiT）]<∞ 对于一些arbitrarilysmallι，这是假设4.3中可积条件的一部分。现在我们来讨论交易成本ε|θ| T的Q-可积性。

通过δ=ε1/3as的路径界（3.1）以及[10，引理3.5]和[8，定理2.2]，这保持了ifsupξ∈BEbQ公司经验值ιZTξtdθt+ exp（ιhθiT）< ∞对于一些任意小的ι>0，正如我们在假设4.3中所假设的那样。这表明θ是可接受的，完成了证明。5使用Malliavin Calculus分解无摩擦优化器在本节中，我们解释如何验证OREM 4.6中对无摩擦优化器施加的条件。更具体地说，我们表明，Clark-Ocone公式的简单应用为模型的原语提供了充分的条件，避免了对无摩擦优化器的抽象假设。为了便于记法，我们将重点放在一个简单的一维时间齐次马尔可夫模型上，其中资产价格过程S是一个随机微分方程的解，S=S+Z·u（St）dt+Z·σ（St）dWt。（5.1）此处，S∈ R、 W是一维标准布朗，u、σ是R和（0，∞), 分别地备注5.1。在系数中添加时间相关性或考虑多维设置不会改变分析的性质。原则上，我们的方法也可以扩展到非马尔可夫环境，但我们在这里不追求这一点，因为马利雅文差异性的相应假设相当复杂和抽象。对于我们基于Malliavin演算的分析，模型的原语需要具有足够的正则性。以下条件有效：；为清楚起见，我们不追求最低限度的假设。假设5.2。映射λ：=σ-1u，σ和σ-1对于阶为0、1、2的有界导数是两次连续可微的。

此外，效用函数U满足4.1，U∈ C（R），且U′/U′是有界的。对于假设5.2中风险λ的有界市场价格，度量q~ 密度为dbqdp=eN的P，其中N：=ZTλ（St）dt+ZTλ（St）dW^Qt，（5.2）是S的唯一鞅测度，WbQ：=W-R·λ（St）dt是abQ布朗运动。由于BQ是对偶问题的极小值，它通过一阶条件（4.3）与主要问题的最优策略Bθ相联系。由于效用函数ua及其凸共轭U（y）的导数：=supx∈R{U（x）-xy}，y∈ R、 由▄U′（x）=关联-（U′）-1（x），这意味着我们可以找到h>0，这样xbθT=-~U′（H），其中H：=heN。假设5.2反过来也保证了最优无摩擦财富过程的可积性：引理5.3。根据假设5.2，我们有▄U′（H）∈ L（bQ）。证据As▄U′（x）=-（U′）-1（x），观察x 7的导数→~U′（exp（x））由x 7给出→ exp（x）/U′[（U′）-1（exp（x））]。因为exp（x）=U′[（U′）-1（exp（x））]，x 7的导数→因此，U′（exp（x））是有界的，因为U′/U′受假设的限制。因此，x 7→~U′（exp（x））最多具有线性增长，~U′（H）的可积性依次遵循假设5.2。我们现在可以建立本节的主要结果，这表明在假设5.2下，无摩擦优化器不仅是一个连续半鞅，而且实际上是一个具有有界漂移和扩散系数的It^o过程。尤其是，定理4.6适用于这种情况。提案5.4。假设5.2成立。然后，无摩擦优化器bθ有界，形式为θ=bθ+Z·αtdt+Z·γtdWbQt，其中bθ∈ R和α、γ是有界的自适应过程。证据步骤1：我们首先通过应用Clark-Ocone公式证明Bθ有界。我们用dt表示关于WbQ的time-t-Malliavin导数算子。

根据（5.1）、（5.2）和[25，定理2.2和p.104]（适用于二维扩散过程（S，N）），dtn=ZTt（λλ′）（Ss）DtSsds+ZTtλ′（Ss）DtSsdWbQs+λ（St），其中dts=σ（St）e-R·t |σ′（Ss）| ds+R·tσ′（Ss）dWbQs。（5.3）因此，DtN=σ（St）E-1吨\'\'NT-\'\'Nt+ λ（St），（5.4），其中N：=Z·（λλ′）（Ss）Esds+Z·λ′（Ss）ESDWBq和E：=E-R·|σ′（Ss）| ds+R·∑′（Ss）dWbQs。注意，使用标准估计，我们对σ、σ′、λ和λ′的界限意味着，对于所有p≥ 1，支持∈[0，T]kEbQhsups∈[t，t]| Es/Et | p | FtikL∞< ∞, （5.5）支持∈[0，T]kEbQ[|（(R)NT-\'Nt）/Et | p | Ft]kL∞< ∞, （5.6）支持∈[0，T]kEbQ[| DtN | p | Ft]kL∞< ∞, （5.7）EbQ[马力]<∞. （5.8）此外，XbθT=-~U′（H）和链式规则公式[25，命题1.2.3，引理1.2.3]简化了txbθT=-H▄U′（H）DtN=FXbθTDtN，其中F：=U′/U′。回想一下，F是由假设和▄U′（H）限定的∈ 引理5.3的L（bQ）。根据（5.7）可知，Xbθt与马利亚维亚人的节奏D1,2一致，见[25，p.27]，这是对的≤TkEbQh | DtXbθT | | FtikL∞= 支持≤TkEbQh | FXbθTDtN | | FtikL∞< ∞. （5.9）然后可以应用Clark-Ocone公式【25，命题1.3.14】获得bθtσ（St）=EbQhDtXbθt | Fti，t∈ [0，T]。自σ起-1有界，（5.9）反过来表明bθ确实有界。第二步：接下来，我们证明bθ有一个有界二次变差。设置▄F：=F（（U′）-1） 回想一下U′（XbθT）=H。然后，从步骤1开始，bθT=EbQhDtXbθT | Ftiσ（St）-1=E-1t（At- Bt'Nt）+（σ-1λ）（St）Bt，t∈ [0，T]，其中T:=EbQ[°F（H）’NT | Ft]=EbQ[°F（H）’NT]+ZtφAsdWbQs，Bt:=EbQ[°F（H）| Ft]=EbQ[°F（H）]+ZtφBsdWbQs。这里，（φA，φB）由Clark-Ocone公式【25，命题1.3.14】和链规则公式【25，命题1.2.3，引理1.2.3】：φAs：=EbQ[°F′（H）HDsN'NT+°F（H）Ds'NT'Fs】，φBs：=EbQ[°F′（H）HDsN Fs]，s∈ [0，T]。同样，所需的可积性条件可以通过步骤1中的论证从假设5.2中轻松推导出来。

因此，ddthbθ- (σ-1λ）（S）位=| E-1t（φAt- φBt'Nt）- Btλ′（St）- （位于- Bt（Nt）E-1tσ′（St）|式中，乘以（5.4），E-1t（φAt- φBt’Nt）：=σ（St）E-2tEbQ[°F′（H）H（(R)NT-\'\'Nt）|英尺]+东-1tEbQ[°F（H）DtPNT | Ft]+λ（St）E-1tEbQ[°F′（H）H（(R)NT-\'\'Nt）| Ft]和（At- Bt（Nt）E-1t=EbQ【】F（H）（(R)NT-\'Nt）| Ft]E-1吨。恒等式F′（H）H |=U’U’’XbθT1.-U′U′′（U′）XbθT结合我们的假设，可以确保▄F′（H）H是有界的。情况也是如此-2tEbQ[（(R)NT）-\'Nt）| Ft]乘以（5.6），并假设为F（H）。M以上，E-1tDt'NT=λ′（St）+ZTtE-1tDt[（λλ′）（Ss）Es]ds+ZTtE-1tDt[λ′（Ss）Es]dwbqsweettes=Es×σ′（St）-Zst（σ′σ′）（Ss）DtSsds+Zstσ′（Ss）DtSsdWbQs,所以（5.3），（5.5），假设5.2，和链式规则公式暗示∈[0，T]kEQ[| E-1tDt？NT？Ft]k∞< ∞.上述界限结合假设5.2得出hbθ-(σ-1λ）（S）Bi和h（σ-1λ）（S）Biare有界。通过极化，可以得出hbθi也是有界的。第三步：仍然需要证明Bθ的漂移部分具有有界密度。回想步骤2，无摩擦优化器可以表示为bθt=E-1t（At- Bt'Nt）+[σ-1λ]（St）Bt。应用It^o的公式后，我们的假设和步骤2中的类似参数表明，其动力学形式如下：bθt=bθ+Ztβsds+ZtγsdWbQs，t∈ [0，T]，带bθ∈ R、 |γ|=dhbθi/dt和βt：=（At- Bt（Nt）E-1t |σ′（St）|- E-1tσ′（St）（φAt- φBt'Nt）- Bt[（λλ′）（St）- （λ′σ′）（St）+λ′（St）φBt）+L（σ-1λ）（St）Bt+[（σ-1λ）′σ]（St）φBt。这里，L表示与S underbQ相关的Dynkin算子。步骤2中的类似参数（现在也使用二阶导数的有界性）反过来表明β是指数有界的。这就完成了证明。6货币金额参数化的策略为了简单起见，我们的结果是在控制θ和θ描述投资组合中风险资产的股份数量的情况下给出的，交易成本是根据交易的股份数量计算的。

当控制权代表投资的货币金额和交易成本与美元金额成比例时，也可以进行类似的分析。我们现在概述如何在这种情况下调整第3节和第4节中的论点。为了将货币风险头寸方面的策略参数化，假设定价过程S为a（0，∞)d值连续半鞅。假设无摩擦目标策略θ是连续半鞅，使得θ/S是S-可积的。这里，θinow表示投资于风险资产i的金额，因此相应的无摩擦财富过程是Xθt：=X+Zt（θs/Ss）dSs，t∈ [0，T]。现在，大宗交易产生的成本与交易的货币金额成比例。然后，财富过程为Xθ，εt：=X+Zt（Yθs/Ss）决策支持系统- εZtd |θs- 1{T}ε| YθT |，其中投资于风险资产的金额followsYθT：=Zt（Yθs/Ss）dSs+θt。这些头寸通过连续有界变化过程θi进行控制，该过程描述了迄今为止转移到相应资产头寸的累计金额。在此设置中，引理3.1中研究的Skorokhod问题变成（θ- Yθ∈ [-δ、 δ]don[0，T]，Pdi=1RT{θit-Yθ，it=δ}dθi+t+RT{θit-是的，它=-δ} dθi-t型= 用于证明引理3.1的参数反过来也可以在该设置中适应于控制|θ|。事实上，在引理3.1的证明中定义Д并设置Z：=（θ- Yθ）/δ。

然后，在这里，我们使用符号x/y=（xi/yi）i≤d、 对于单个风险资产（d=1），在不丧失一般性的情况下，它遵循it^o引理和它们的特性-φ′(-1） =Д′（1）=1，即Д（Zt）=Д（Z）+δZtИ′（Zs）d（θ- Yθ）s+2δZtИ′（Zs）dhθ- Yθis=Д（Z）+δZtИ′（Zs）dθs-ZtИ′（Zs）（Yθs/Ss）dSs- |θ| t+2δZtИ′（Zs）dhθ为+ZtИ′（Zs）（Yθs/Ss）dhSis- 2ZtИ′（Zs）（Yθs/Ss）dhS，θis）.然后可以使用Д及其导数（|Д|的界限∨ |φ′| ∨ |φ′′| ≤ 1开[-1，1）以及（Yθ）- θ)/δ ∈ b获得以下估计值：|θ| t≤ δ2+ZtξsdMs+ZtdhMis+Ztξsdθs+ZtξsθsdMs+ZtξsθsdhMis+ZtξsdhMis，θis+δhθit+ZtθsdhMis+ZtξsθsdhM，θis.这里，ξ，ξ∈ B、 M表示动态dMt=dSt/St的回报过程。推论3.4和定理3.8的对应项依次在可积性条件下遵循，类似但比假设3.2和3.6更复杂。在类似于假设4.3的条件下，也可以得到第4.6条的类似物。特别是，模型原语的任意小指数矩仍然足以推导下限（4.8）。特别是，这允许涵盖[21]模型的几何版本，其中无摩擦目标策略θ=bθ为高斯伊恩，与示例4.5相比。相比之下，只有在时间范围T足够小的情况下，才能在这种情况下证明先前论文中规定的可积性条件。事实上，[19，条件（3.2）]或[14，条件（A.2）]要求存在RTBθtdMtorRTbθtdt的特定指数矩，这两者都涉及到[21]模型的平方Ornstein-Uhlenbeck过程。因此，只有当时间范围T不太大时，这些条件才成立。参考文献【1】M.Bichuch。用交易成本对未定权益能力进行定价，作为最优投资的符号分析。金融斯托克。18(3): 651–694, 2014.[2] M.Bichuch和S.E.Shreve。