小交易成本效用最大化的简单界

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Simple Bounds for Utility Maximization with Small Transaction Costs》
---
作者：
Bruno Bouchard, Johannes Muhle-Karbe
---
最新提交年份：
2021
---
英文摘要：
  Using elementary arguments, we show how to derive $\\mathbf{L}_p$-error bounds for the approximation of frictionless wealth process in markets with proportional transaction costs. For utilities with bounded risk aversion, these estimates yield lower bounds for the frictional value function, which pave the way for its asymptotic analysis using stability results for viscosity solutions. Using tools from Malliavin calculus, we also derive simple sufficient conditions for the regularity of frictionless optimal trading strategies, the second main ingredient for the asymptotic analysis of small transaction costs.
---
中文摘要：
利用初等变元，我们给出了在具有比例交易成本的市场中，近似无摩擦财富过程的$\\ mathbf{L}\\u p$-误差界的推导方法。对于风险厌恶有界的公用事业，这些估计产生了摩擦值函数的下界，这为使用粘性解的稳定性结果进行渐近分析铺平了道路。利用Malliavin演算的工具，我们还导出了无摩擦最优交易策略正则性的简单充分条件，这是小交易成本渐近分析的第二个主要因素。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
--

---
PDF下载：
--> Simple_Bounds_for_Utility_Maximization_with_Small_Transaction_Costs.pdf (296.28 KB)

2022-6-6 21:43:50 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：效用最大化 交易成本 最大化 Quantitative Optimization

小交易成本效用最大化的简单界*Bruno Bouchard+Johannes Muhle Karbe2021年3月23日摘要利用基本参数，我们展示了如何推导具有比例交易成本的市场中无摩擦财富过程近似的Lp误差界。对于具有有界风险厌恶的效用，这些估计产生了摩擦值函数的下界，这为使用粘性解的稳定性结果对其进行渐近分析铺平了道路。利用Malliavin calc-ulus的工具，我们还导出了无摩擦最优交易策略正则性的简单有效条件，这是小交易成本渐近分析的第二个主要依据。关键词：交易成本、效用最大化、渐近性。MSC2010:91G10、91G80、60H07JEL分类：G11、C611简介交易成本，如买卖价差，是即使是最具流动性的金融市场的显著特征。它们的存在引入了交易收益和交易成本之间的非竞争性权衡，从而大大复杂了财务决策。事实上，随着交易成本的增加，每项资产中的头寸不再是可以自由指定的控制变量。相反，它变成了一个只能逐渐调整的附加状态变量。因此，具有交易成本的模型是出了名的棘手，即使在最简单的具体环境中，也很少有明确的解决方案[7、9、29]。作为一种出路，我们可以将具有交易成本的模型视为其无摩擦对应模型的扰动，并围绕这些更易处理的b enchmarks研究其渐近性。该渐近观点首次用于在simpleconcrete模型中获得闭合形式近似值，参见[29、32、16、2、1、12]。

最近，这些结果已经扩展到越来越普遍的环境中【31、26、20、22、19、3、23】。这种小代价渐近的严格收敛证明通常基于粘性解的稳定性结果或凸对偶。对于第一种方法（由[31]首创），分析的出发点是，有交易成本和无交易成本的价值函数之间的差异确实允许某种渐近顺序的扩展。在可能进行显式计算的简单模型中，该假设已在[31、26、3]中通过构建各自摩擦动力学编程方程的显式子解得到验证。在具有二次成本的相关模型中【24】，建立了相应的界限*作者感谢Costas Kardaras和Mihai Sirbu的富有成效的讨论。+巴黎多芬大学（UniversitéParis Dauphine），巴黎圣路易斯研究大学（PSL Research University），北爱尔兰共和国，UMR【7534】，Ceremake，emailbouchard@ceremade.dauphine.fr.伦敦帝国理工学院数学系，电子邮件j.muhle-karbe@imperial.ac.uk.A相关方法基于【11，13】，使用弱收敛技术研究跟踪误差【6】。在非常强的额外规则性条件下使用经典的验证论证，但排除了标准的投资组合选择模型，如[21]。在基于凸对偶[19，14]的论文中，通过考虑aspeci fic几乎最优控制导出了一个下界。反过来，通过构造相应的对偶元素来补充这一点，对于小交易成本，该元素的界在前导渐近阶处是紧的。这种方法同样需要很强的正则性条件，尤其是在无摩擦计时器上。

这些通常不容易验证，例如，仅在[21]模型中的短期时间范围内满足。在本文中，我们展示了如何使用简单而基本的参数来推导具有交易成本的效用最大化问题的界限，但仍然适用于[21]的模型。预期的渐近阶正式出现，作为无摩擦优化器的位移与跟踪它的成本之间的最佳权衡，参见【27】和【16，备注4】。我们表明，利用这一思想可以获得相应跟踪误差的严格Lpestimates。结合[4，定理3.1的证明]中的一个简单技巧，这直接导致效用最大化问题的期望边界。一旦使用该界限确定了正确的渐近阶，则可以使用[31，26，3]的粘度方法确定相应的前导阶项。我们的论点需要温和的可积条件，其中一些条件用无摩擦优化器的术语表示。然而，使用Malliavin微积分的技术，我们表明，在完全马尔可夫市场中，这些可以很容易地根据模型的原语进行验证。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了具有比例交易成本的模型。随后，在第3节中，我们通过简单Skorohod问题的解，导出了跟踪无摩擦目标策略时累积的交易成本的简单路径界。在温和的可积性条件下，这些反过来又导致在具有比例交易成本的市场中近似无摩擦财富过程的Lperror界。在第4节中，我们使用这些结果来推导具有交易成本的效用最大化问题的上界和下界。

使用Malliavin演算工具，第5节提供了这些结果有效性的简单有效条件。最后，在第6节中，我们讨论了如何将我们的方法扩展到与货币数量成比例的交易成本，而不是与交易的股票数量成比例的交易成本。2 ModelLet(Ohm, F、 P，F=（Ft）t∈[0，T]）是满足通常条件的过滤概率空间。我们考虑一个拥有1+d资产的金融市场。第一种是安全的，价格标准化为1。其他d资产具有风险，其价格由Rd值连续s半鞅s建模。在没有交易成本的情况下，交易策略由Rd值可预测的可整合过程θ描述。这里，θ表示我在timet持有的风险资产股份数。相应地，对应于策略θ和固定初始禀赋X的无摩擦财富过程∈ R isXθt：=X+ZtθsdSs，t∈ [0，T]。现在假设如[17，2，22]所述，交易产生的成本与交易的单位数量成比例。然后，交易策略必须具有有限的变化和摩擦顺序，以避免淹没一般性的主要观点，我们只考虑本文中实线定义的效用函数。基于正风险定义的类幂效用函数（具有有界相对风险规避）可以用非常相似的参数来处理，但代价是更复杂的估计。类似的方法可以在非马尔可夫环境中使用，但我们不认为这种一般情况可以使参数保持简单。与【7、9、29】中所述交易金额成比例的交易成本可以按照与初始值为0的Rd值可预测、cádlág、有限变化过程相对应的相同沃尔特过程进行处理-= 0 isXθ，εt：=X+ZtθSDS公司- εZtd |θs- 1{T}ε| T |。

（2.1）这里，ε>0是比例交易成本，且：=Pdi=1i |，其中i是头寸（θis）s的总变化∈[0，t]上的风险资产i中的[0，t]。在时间t买入或卖出多个dθitof单位风险资产i会导致交易成本εdθi | tin（2.1）。同样，术语{T}ε| T |描述了在终止时间T清算风险资产头寸时支付的交易成本。在本文中，我们证明了当θ被定义为某个δ>0的Skorokhod问题的解时，初等变元允许用摩擦财富过程Xθ，ε近似无摩擦财富过程Xθ所产生的误差：- θ ∈ [-δ、 δ]don[0，T]，Pdi=1RT{θit-θit=δ}dθi+t+RT{θit-θit=-δ} dθi-t型= 0。（2.2）这意味着，只要与无摩擦目标分配θit的差值不超过δ，每项风险资产中的头寸保持不变。一旦达到该阈值，只需进行足够的交易，以保持小于或等于δ的偏差。对于Skorokhod问题和跟踪误差，我们假设无摩擦目标策略θ是一个连续半鞅，并使用简写符号hθi：=Pdi=1hθii。推导跟踪误差估计的第一步是摩擦跟踪策略（2.2）累积的交易成本的以下基本路径边界。他们的推导是基于对It^o公式的简单应用，这让人想起了【16，备注4】。BDE注意到，从现在起，可预测流程的集合值为[-1，1]d.Lemma 3.1。固定δ∈ （0，1），设θ为Skorohod问题（2.2）的解。那么，存在ξ∈ b如此|θ| t≤ Rδ（ξ）t：=2dδ+Ztξsdθs+2δhθit，对于所有t∈ [0，T]。（3.1）证明。因为我们正在处理矩形[-δ、 δ]d，我们可以分别考虑每个分量，然后求出各自的界限（3.1）。

在不丧失一般性的情况下，我们由此给出d=1，并考虑具有有界导数的光滑函数-φ′(-1） =Д′（1）=1和|Д|∨ |φ′| ∨ |φ′′| ≤ 1开[-1, 1]. 确定调整后的[-1，1]-值进程Z：=（θ- θ)/δ. 它的公式、动力学（2.2）和-φ′(-1） =Д′（1）=1给出Д（Zt）=Д（Z）+δZtИ′（Zs）d（θ- θ）s+2δZtИ′（Zs）dhθis=Д（Z）+δZtИ′（Zs）dθs- |θ| t+2δZtИ′（Zs）dhθis. （3.2）由于Д及其一阶和二阶导数以1为界，因此d=1的y字段（3.1）。对于一些风险资产，相应的估计随后将所有数据线的这些界限相加，从而得出更复杂的可积条件；更多详情请参见下文第6节。这里，我们使用正则分解θi=θi+- θi-式中，θi±为cádlág且不递减。在第5节中，我们使用Malliavin演算的工具，从模型的原语方面为这一假设提供了充分的条件。组件。现在，fix一个概率测度Q，相当于物理概率P。在效用最大化问题的应用中，这将是无摩擦对偶鞅测度，它可以最小化原始优化的对偶问题；参见第4节。另一个自然选择是P本身。引理3.1中的路径估计在摩擦目标策略的以下温和可积条件下产生Lp（Q）-估计：假设3.2。对于一些p≥ 1，存在一个常数C3.3（p）>0，使得khθiTkLp（Q）+supξ∈BZTξsdθsLp（Q）≤ C3.3（p）。（3.3）备注3.3。假设无摩擦目标策略是一个It^o过程，对于Q-布朗运动W，其动力学dθt=uθtdt+σθtdWt。然后，Minkowski、Jensen和BurkholderDavis-Gundy的不等式表明，如果满足以下条件，则界（3.3）是满足的：θt | p+|θt | pidt<∞.

（3.4）在假设3.2下，以下Lp（Q）-估计是引理3.1的直接结果：推论3.4。固定δ∈ （0，1），设θ为Skorohod问题（2.2）的解。对于p≥ 1在假设3.2中，存在一个常数C3.5（p）>0，使得K |θ| tkLp（Q）≤ C3.5（p）1 +δ, 对于所有t∈ [0，T]。（3.5）备注3.5。假设θ是Q-布朗运动，并为z选择Д（z）=z/2∈ [-引理3.1的证明中。然后，取（3.2）中的期望值导致Q[| t]=等式δ（Д（Z）- Д（Zt））+d2δt≥ -+δ的d2δt∈ (0, 1). 这表明，就1/δ而言，估计值（3.5）通常无法改进，直到达到常数。作为推论，我们现在推导出当近似估计Xθ乘以Xθ，ε时产生的Lp（Q）-误差，其中θ的定义如引理3.1所示。这需要对价格过程进行以下额外的可积性假设：假设3.6。给定p≥ 1如假设3.2所示，存在一个常数C3.6（p）>0，使得SUPξ∈BZTξtdSt公司Lp（Q）≤ C3.6（p）。（3.6）备注3.7。如果S是Q-鞅且p≥ 1，则（3.6）等于等式[（hSiT）p]<∞ 比霍尔德-戴维斯-甘迪不等式。更一般地说，对于Q-布朗运动W，如果返回的It^odynamicdst=uStdt+σStdWt，那么Minkows ki、Jensen和Burkholder-DavisGundy的不等式表明，（3.6）的一个有效条件是zteq|uSt | p+|σSt | pdt<∞. （3.7）定理3.8。用δ定义引理3.1中的θas∈ (0, 1). 然后，存在ξ，ξ′∈ B如此Xθ，εt- Xθt≤\'Rδ，ε（ξ，ξ′）t：=δZtξSDS公司+ 2εRδ（ξ′）t，对于所有t∈ [0，T]。（3.8）此外，如果假设3.2和3.6成立，则kxθ，εT- XθTkLp（Q）≤ δC3.6（p）+ε2C3.5（p）1 +δ.特别是，对于δ=ε1/2∈ （0，1），存在常数C3.9（p）>0，使得kxθ，εT- XθTkLp（Q）≤ C3.9（p）ε1/2。（3.9）证明。

通过定义无摩擦和摩擦财富过程Xθ、Xθ、ε和（2.2），Xθ，εt- Xθt=Zt（θs- θs）决策支持系统- ε|θ| t- 1{T}ε| T|≤ δZtξSDS公司+ 2ε|θ| t，式中ξ：=（θ- θ)/δ ∈ B、 现在的权利要求遵循（3.1）、（3.5）和假设3.6。备注3.9。在备注3.5和3.7中，可以更精确地表示：δEQZtξsuSSD- cε1 +δ≤ 方程hxθ，εt- Xθti≤ δEQZtξsuSSD- c′ε1 +δ,对于某些常数c，c′>0和ξ：=（θ）- θ)/δ ∈ B、 除非等式[RtξsuSsds]消失，只有当δ为ε1/2级时，两个误差项才具有相同的阶数。如果θ只是一个Q-布朗运动，而us是一个正常数，则情况尤其如此。备注3.10。在效用最大化的应用中，Q通常是一个对偶鞅测度，即S是一个Q鞅，比较第4节。在这种情况下，δ=ε1/2不再产生最佳贸易效应。在这种情况下，我们将使用引理3.1得出的以下估计：公式[Xθ，εt- Xθt]=-εEQ[|θt+1{t}| t |]≥ -2εEQ[Rδ（ξ）t]。4具有交易成本的效用最大化界限我们现在将第3节中的界限应用于预期效用最大化问题。我们关注的是在整个实线上定义的风险规避有界的效用函数：假设4.1。效用函数是映射U:R→ 严格递增的R，stri-ctlyconcave，C，具有有界绝对风险规避：0<R<-U′（x）U′（x）<R<∞, 对于常数r、r和所有x∈ R、 （4.1）备注4.2。条件（4.1）意味着ln（U′）的导数取区间值[-R-r] (-∞, 0). 特别是，根据约定U（0）=0，e-Rx+c≤ U′（x）≤ e-rx+烛光-重新-Rx+c≤ U（x）≤ -重新-rx+c，x∈ R、 其中c：=ln（U′（0））。

这很容易暗示存在性和对偶结果有效性所需的INDA和合理的渐近弹性条件，如[28，定理1]。如引言中所述，也可以使用类似的参数来考虑类幂效用函数。然而，像往常一样，它们必须单独处理，并导致更复杂的估计。正如【30】所观察到的，对于具有有界绝对风险厌恶的此类效用，可通过要求无摩擦容许策略的财富过程Xθ在所有具有有限熵的绝对连续鞅测度下为超鞅来定义其容许策略，如【10，28】中的指数效用。在无套利假设nq下，我们用A表示所有此类可接受策略的集合~ P:EHDQDPPLN（dQdP）i<∞ S是局部Q-鞅o6=, （4.2）在假设4.1下，利用[18，命题3.1和3.2]得出的对偶极小化的存在性，[28，定理1]表明存在一个优化器Bθ∈ 无摩擦性最大化问题θ7的一种解法→ u（θ）：=E[u（XθT）]。该优化器通过以下一阶条件[28，方程（12）]：U′（XbθT）E[U′（XbθT）]=dbQdP，与相应对偶极小化问题[28，方程（7）]的解Bq相关。（4.3）这里，bQ是S的等价（局部）鞅测度。对于具有交易成本的效用最大化问题，θ7→ uε（θ）：=E【u（Xθ，εT）】，可通过直接类比确定可容许性，方法是要求摩擦财富过程成为具有有限熵的任何绝对连续鞅测度下的超鞅。我们为这些容许摩擦策略的集合写一个ε，并注意到 例如，[14，引理e.5]。