存在多重风险的墨西哥利率掉期定价

（5.15）在这种情况下，随机变量Z称为Q相对于P的Radon-Nikod'ym导数。Z的名称是连续情况下定义的结果，因为Z（ω）：=dQdP=> dQ=Z（ω）dP=> Y（ω）dQ=Y（ω）Z（ω）dP=>ZOhmY（ω）dQ=ZOhmY（ω）Z（ω）dP=> 公式（Y）=EP（Y Z）。现在，我们可以对氡-尼科德'ym导数进行正式定义。定理5.1。给定P和Q等效概率测度和时间范围T，我们可以定义P-可能路径上的随机变量QDPD，取正实值，这样（i）EQ（X（T））=EPdQdPX（T）, 对于所有随机变量X（T）；（ii）式（X（T）| F（T））=ζ-1（t）EP（ζ（t）X（t）| F（t）），t≤ T、 式中，ζ（T）是过程EP（dQdP | F（T））。定理5.2。考虑两个数N（t）和M（t），分别导出等价鞅测度qn和QM。如果市场是完整的，那么与这两个度量相关的氡Nikod'ym导数的密度由ζ（t）=方程n唯一给出dQMdQNF（t）=M（t）/M（0）N（t）/N（0）。（5.16）然后，让我们定义与数值Pc（t，t）相关的前向度量t。使用theorem5.2和风险中性度量Q，数值为C（t）：=exp(-我们有ζ（t）=EQtdTcdQ公司=Pc（t，t）/Pc（0，t）C（t）/C（0）=Pc（t，t）C（0）Pc（0，t）C（t）。（5.17）5使用方程式（5.10）和定理5.1，在多曲线框架（存在抵押品）中对IRS进行定价，我们得到h（t）=EQte-RTtc（s）dsh（T）= EQt[C（t）h（t）]=EQtPc（t，t）ζ（t）ζ（t）h（t）= ζ-1（t）EQt[ζ（t）Pc（t，t）h（t）]=ETct[Pc（t，t）h（t）]=Pc（t，t）ETct[h（t）]。这就给我们带来了以下定义。定义5.3。

在时间t到期的完全抵押衍生工具在时间t的价格为，h（t）=Pc（t，t）ETct[h（t）]，（5.18），其中Pc（t，t）=EQthexp(-RTtc（s）ds是期限为T的完全抵押零息票债券，TCS是与数字Pc（T，T）相关的远期指标。重复前面的论点，即定义5.2和5.3中的收益率，我们能够定义零息票债券，并在衍生工具X部分抵押时进行远期计量。定义5.4。我们用pαc（T，T）=EQt表示T期限α抵押零息票债券的价格e-RTt（1-α） r（s）+αc（s）ds. （5.19）其中r（s）表示融资利率，c（s）表示抵押利率，α∈ [0, 1].定理5.3。在时间t到期的α-抵押衍生品的价格由h（t）=Pαc（t，t）ETαct[h（t）]，（5.20）给出，其中Pαc（t，t）是t-到期的α-抵押零息债券，tα是与数量Pαc（t，t）相关的远期度量。证据参见附录A。注意，当α=1时，我们得到定义5.3的结果。相反，当α=0时，我们得到pαc（t，t）=EQt经验值(-RTtr（s）ds）= EQt（B（T））-1., 但B（T）是与风险度量Q相关的数值，因此Tαc~ Q和Pαc（t，t）=（B（t））-1.5.2.2美元贴现曲线的校准到目前为止，我们已经确定了完全抵押的贴现因子Pc（t，t），但我们尚未说明如何从市场上获得它们。在抵押品利率等于ZF利率的假设下，我们可以使用作为流动市场工具的隔夜指数掉期（OIS）构建抵押品贴现曲线。OIS现金流与隔夜利率挂钩，因为掉期的浮动使其复合。

需要指出的是，这些掉期通常是完全抵押的，抵押货币与隔夜利率的货币一致。需要指出的是，无论交易对手的信誉如何，担保世界中的正确贴现曲线始终是担保利率（在这种情况下，OIS在多曲线框架（存在担保）曲线中暗示5定价IRS），因为风险中性定价框架如前一节所述，始终基于最接近的无风险利率进行计算。然而，在实践中，我们必须考虑交易对手的特征，以正确评估衍生工具。要做到这一点，我们必须在无风险的环境中对每种衍生产品进行定价，然后根据每次x估值调整（XVA：CVA、DVA、FVA、KVA）对价格进行调整，而不是简单地根据交易对手的信用质量修改贴现曲线。换言之，衍生工具的价格可能被视为以下等式：PriceCtpy：=无风险价格+CVACtpy+FVACtpy+KVACtpy |{z}估值调整。（5.21）正如我们在引言中所述，在这项工作中，我们将只关注无风险价格，即当交易对手处于完美的CSA下且所有估值调整都可以忽略不计时的价格。美元市场的隔夜利率是每个工作日公布的联邦基金利率（联邦基金利率或FF利率），公布滞后1天，因此基于联邦基金利率的OIS以美元为完全抵押。因此，由于估计曲线（隔夜利率）和贴现曲线（抵押品利率）是同一条曲线，通过简单的自举，我们可以构建完整的隔夜利率曲线。OIS适用于多种货币，在这项工作中，我们只关注美元掉期市场。备注5.1。

隔夜利率的存在并不一定意味着OIS市场的存在。例如，在MXN利率市场中，隔夜利率被称为Tasa de Fondeobancarioa，由墨西哥银行计算/公布。然而，使用Tasa de FondeoBancario的OIS并不存在，或者至少在市场上没有报价。假设5.1。对于隔夜曲线校准，我们假设OIS是报价的，并且在市场上具有50年到期的流动性。我们不使用联邦基金掉期（FFS）报价（见第3.2.3节）。请注意，如果使用FFS，则需要使用双自举法同时校准贴现、隔夜远期和伦敦银行同业拆借利率3m远期曲线。OIS是一种掉期，将固定利率息票兑换为每日复合隔夜利率息票，其中两次息票支付的日期通常重合。因此，两个日期t和t之间的浮动付款由K支付-1Yi=0（1+α（ti，ti+1）FF（ti，ti+1））- 1，（5.22）K：时间间隔[t，t]{ti}中的所有营业日数Ki=0：应计期[t，t]中的所有营业日，t=t，t=TFF（ti，ti+1）：表示该期间的隔夜利率（ti，ti+1）α（ti，ti+1）：根据市场惯例，表示tian和ti+1之间的年分数。让我们计算付款人OIS合同的净现值。假设在时间t，我们输入一个有N张息票的付款人OIS，付款日期为t<t<···<t和t- t即期滞后天数。假设我们支付固定利率k并收到浮动利率（每日复合隔夜利率）。使用方程式（5.22）计算第i个浮腿速率FFComp（Ti-1，Ti）可以写为ffcomp（Ti-1，Ti）=PKi-1j=0α（tj，tj+1）Ki公司-1Yj=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1., （5.23）发布滞后是指期限开始日期与发布率之间的天数。

滞后0表示开始日期，滞后1表示期间结束日期。隔夜利率可以是隔夜（ON）贷款或明天/未来（TN）贷款。主要货币隔夜利率为：美元（联邦基金）、欧元（EONIA）、英镑（SONIA）、瑞士法郎（TOIS）、日元（TONAR）、加元（CORRA）、港币（HONIX）（见【Henrard，2012】）。Tasa de Fondeo Bancario每工作日定义一次，出版滞后1天。5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）Ki：时间间隔内所有营业日的数量【Ti】-1，Ti]{tj}Kij=0：应计期间的所有营业日[Ti-1，Ti]，t=Ti-1和tKi=TiFF（ti，ti+1）：表示该期间的隔夜利率（tj，tj+1）α（tj，tj+1）：根据市场惯例，表示Tjan和tj+1之间的年份分数。很容易看出pkij=0α（tj，tj+1）=α（Ti-1，Ti）。因此，既然我们可以定义δ，使得eδt=1+它，那么我们就有了thatKi-1Yj=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1=elnQKi公司-1j=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1=ePKi-1j=0ln（1+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1））- 1=ePKi-1j=0α（tj，tj+1）δ（tj，tj+1）- 1.（5.24）注意等式（5.24）中的termPKi-1j=0α（tj，tj+1）δ（tj，tj+1）是函数δ的黎曼和，其分区P={[t，t]，[t，t]，…，[tKi-1，tKi]}。亨塞基-1Xj=0α（tj，tj+1）δ（tj，tj+1）≈ZTiTi公司-1δ（s）dS，我们将c（s）：=δ（s）定义为副曲线。

现在，假设该合同由（5.10）完全担保，我们得到付款人OIS合同的现值为，PV（t）=NXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）dsFFComp（Ti-1，Ti）- k=NXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）dsPjα（tj，tj+1）Ki公司-1Yj=01+α（tj，tj+1）FF（tj，tj+1）- 1.- k=NXi=1τ（Ti-1，Ti）Et“e-RTitc（s）dsτ（Ti-1，Ti）埃尔蒂-1c（s）ds- 1.- k#=NXi=1Et“e-RTitc（s）ds埃尔蒂-1c（s）ds- 1.#- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）ds=NXi=1Ete-RTi公司-1tc ds- eRTitc（s）ds- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Ete-RTitc（s）ds=NXi=1（Pc（t，Ti-1) - Pc（t，Ti））- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Pc（t，Ti）=Pc（t，t）- Pc（t，TN）- kNXi=1τ（Ti-1，Ti）Pc（t，Ti）。（5.25）因此，如果我们假设固定利率k是一个中期市场报价，那么通过无套利论证，我们认为OIS的现值等于零。将方程式（5.25）设为零，我们得到以下方程式Pc（t，TN）=Pc（t，t）- kPN公司-1i=1τ（Ti-1，Ti）Pc（t，Ti）1+kτ（TN-1，TN）。（5.26）5多曲线框架中的定价IRS（存在抵押品）期限利率类型可变0.1300现金1件（t，t+1）TN 0.1300现金1件（t，t+2）1W 0.1340掉期1件（t，T1w）2W 0.1338掉期1件（t，T2w）3W 0.1340掉期1件（t，T3w）1M 0.1340掉期1件（t，T1m）2M 0.1420掉期1件（t，T2m）3M 0.1469掉期1件（t，T3m）4M 0.1760 0交换1件（t，T4m）5M 0.1990交换1件（t，T5m）6M 0.2190交换1个Pc（t，T6m）7M 0.2460交换1个Pc（t，T7m）8M 0.2740交换1个Pc（t，T8m）9M 0.3000交换1个Pc（t，T9m）10M 0.3275交换1个Pc（t，T10m）11M 0.3560交换1个Pc（t，T11m）1Y 0.3860交换1个Pc（t，T1y）18M*0.5795 Swap 2 Pc（t，T6m），Pc（t，T18m）2Y 0.7850 Swap 2 Pc（t，T1y），Pc（t，T2y）3Y 1.1500 Swap 3 Pc（t，T1y），Pc（t，T3y）4Y 1.4460交换4 Pc（t，T1y），Pc（t，T4y）5Y 1.6870交换5 Pc（t，T1y），Pc（t，T5y）6Y 1.8790交换6 Pc（t，T1y），Pc（t，T6y）7Y 2.0350交换7 Pc（t，T1y），Pc（t，T7y）8Y 2.1535交换8 Pc（t，T1y），Pc（t，T8y）9Y 2.2530交换9 Pc（t，T1y）。

，Pc（t，T9y）10Y 2.3320交换10 Pc（t，T1y），Pc（t，T10y）12Y 2.4625交换12 Pc（t，T1y），Pc（t，T12y）15Y 2.5815交换15 Pc（t，T1y），Pc（t，T15y）20Y 2.6950交换20 Pc（t，T1y），Pc（t，T20y）25Y 2.7470交换25 Pc（t，T1y），Pc（t，T25y）30Y 2.7720交换30 Pc（t，T1y），Pc（t，T30y）40Y 2.7790交换40 Pc（t，T1y），Pc（t，T40y）50Y 2.7651交换50 Pc（t，T1y），Pc（t，T50y）表5.1:2015年5月29日美元OIS报价（%）（来源：彭博社）。*1800万OIS swapconvention有一个前端短存根，即每个支腿有两张息票：第一张息票的累计期为6M，第二张息票的累计期为12m（1m）。这个方程被称为与N优惠券OIS契约相关联的自举方程。很容易看出，我们有N+1个变量Pc（t，t），Pc（t，t），Pc（t，TN）和一个方程式。因此，我们必须定义更多的OIS合约，以获得更多的自举方程和求解该方程组的方法。在美元OIS市场中，期限不超过一年的掉期通常在到期时有一次付款，而期限超过一年的掉期通常每年付款。在下表（表5.1）中，我们列出了OIS合同的最具流动性的期限，这些掉期用于构建抵押贴现曲线。5.2.2.1引导首先，我们看到使用隔夜贷款（ON）和tommorow/next（TN）贷款，我们可以计算EPC（t，t），sincePc（t，t）=Pc（t，t+2）=Pc（t，t+1）Pc（t+1，t+2）=（1+τ（t，t+1）ON）·（1+τ（t+1，t+2）TN）。（5.27）现在，对于到期时只有一次付款的掉期，方程式（5.26）减少了toPc（t，TX）=Pc（t，t）1+kXτ（t，TX），（5.28）该表达式适用于最长一年的到期日（见表5.1），即X=1w，2w，3w，1m，11米，1年。然后，对于到期日X=1800万、2y、3y。

，9y，10y我们使用方程（5.26）和多曲线框架（存在抵押品）中的远期sub5定价IRS来获得所有X的Pc（t，TX）值。到目前为止，我们已经获得了折扣系数，无需使用自举法。然而，很容易看出，关于12y成熟度的方程（5.26）有两个未知变量：Pc（t，T11y）和Pc（t，T12y）。这使我们得到了一个包含两个变量的单一方程，我们使用自举方法来解决这个问题。bootstrapping的思想是对变量Pc（t，T12y）进行初始猜测，并使用插值方法计算Pc（t，T11y）的值。值得一提的是，在金融行业中，人们普遍认为初始猜测和插值是在零息票利率下进行的。因此，对于12年到期的情况，我们首先对零息票利率Rc（t，T12y）进行初步猜测，然后通过插值计算Rc（t，T11y）。我们使用这些零利率计算贴现系数Pc（t，T11y）和Pc（t，T12y）。然后我们假设Pc（t，T11y）是“正确的”，并使用（5.26）计算Pc（t，T12y）的“实际”值，即Pc（t，T12y）=Pc（t，t）- k12yPi=1τ（T（i-1） y，Tiy）Pc（t，Ti）- k12yτ（T10y，T11y）Pc（t，T11y）1+k12yτ（T11y，T12y）。（5.29）接下来，我们使用Pc（t，T12y）计算Rc（t，T12y）的新值，并使用插值方法再次计算和Rc（t，T11y）。我们迭代这个过程，直到它收敛。例如，stop条件为| Pci+1（t，T12y）- Pci（t，T12y）|<,  > 0，（5.30）此外，可以方便地包括最大迭代次数，即迭代直到满足以下条件之一，| Pci+1（t，T12y）- Pci（t，T12y）|<,  > 0或i>Nmax>0。（5.31）这种自举方法同样适用于50年以下的所有OIS到期日。

在附录D中，我们提供了一个用于美元OIS曲线自举的伪代码。备注5.2。本工作中的收益率或零收益率被视为连续复合收益率，即P（t，t）=e-τ（t，t）R（t，t）。（5.32）利用表5.1中显示的数据，我们构建了OIS收益率曲线和贴现曲线。随后的图表5.2和5.3中给出了最终校准曲线，其中还包括我们使用SuperDerivatives软件获得的曲线，见表E.1。下标数字0表示该数字是初始条件或初始猜测。如果下标是一个数i，那么它将指示迭代次数。我们写“正确”，因为这个值直接取决于模型的假设、它所涉及的工具以及插值。回想一下，可以选择许多插值函数，根据问题的性质，我们提出了一些要求，例如：连续性、可微性、二次可微性、边界条件等。5多曲线框架中的IRS定价（有抵押品的情况下）0.00.51.01.52.02.53.0成熟度（年）收益率曲线（%）1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 7Y 10Y 12Y 15Y 20Y●●●●●●●●●●●●●●●●●●●OIS收益率曲线超导数OIS收益率图5.2：OIS收益率曲线：R（T）=Rc（T，T）。该图包括使用同一日期（2015年5月29日）掉期利率的超级衍生品收益率。0.70.80.91.0成熟度（年）贴现系数1百万年2千年3千年4千年5千年7千年10千年12千年15千年20千年●●●●●●●●●●●●●●●●●●●OIS贴现曲线超级衍生品OIS贴现系数图5.3：OIS贴现曲线：P（T）=Pc（T，T）。

该曲线的重要性在于，在与CSA签订的美元合同中，每一美元现金流都会被贴现。5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）回顾了瞬时远期利率的定义，该定义由f（t，t）=-Tln（P（t，t））= - lim公司→0ln（P（t，t+)) - ln（P（t，t））.（5.33）考虑到OIS屈服曲线Rc（t，t））由三次样条函数给出，则Rc（t，t）∈ C∞.此外，Pc（t，t）为C∞自C起的函数∞在合成下关闭。使用相同的参数ln（Pc（t，t））是C∞由于所有t>t的Pc（t，t）>0。因此，OIS瞬时正向曲线存在由分段函数定义。由于该曲线的表达式比较复杂，因此我们计算每日正向曲线d（t，t）。使用（5.33），我们得到了d（t，t）=-ln（P（t，t+1））- ln（P（t，t））t+1- T=lnP（t，t）P（t，t+1）. （5.34）在图5.4中，我们给出了每日远期隔夜利率。0.00.51.01.52.02.5饱和度（年）远期利率（%）1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 7Y 10Y 12Y 15Y 20YOIS每日远期曲线超导数OIS每月远期曲线图5.4：OIS每日远期曲线。该曲线是从OIS贴现曲线中定义的隐含联邦基金日利率。由于我们的模型必须一致，这种远期利率保证隔夜指数掉期的现值等于零。5.2.2.2联邦公开市场委员会会议日期之间的远期利率我们使用哪种插值方法始终是主观的，需要根据具体情况来决定。实际上，插值方法确定了曲线的质量，尤其是正向曲线的质量。因此，对于IRS或OIS的定价，我们需要forwardcurve的良好性能和质量，因为通过该曲线，我们将预测未来的利率水平。