存在多重风险的墨西哥利率掉期定价

在掉期市场中，支付的应计因素通常基于ACT/360或30/360惯例，而构建零曲线的插值方法通常使用ACT/ACT或ACT/365惯例。4单曲线框架内的IRS定价利率（%）未知变量未知变量的类型数3.0500现金1 P（t，t+1）TN 3.0500现金1 P（t，t+2）28D 3.2950现金1 P（t，T28D）84D 3.3200掉期3 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T84D）168D 3.4300掉期6 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T168D）252D 3.5620掉期9 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T252D）364D 3.7350掉期13 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T364D）728D 4.2360掉期26 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T728D）1092D 4.6710掉期39 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T1092D）1456D 5.0510掉期52 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T1456D）1820D 5.3610掉期65 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T1820D）2548D 5.8630掉期91 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T2548D）3640D 6.2380掉期130 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T3640D）4368D 6.4280掉期156 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T4368D）5460D 6.6320掉期195 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T5260D）7280D 6.8310掉期260 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T7280D）10920D 7.0210掉期390 P（t，t+1），P（t，T28D），P（t，T10920D）表4.1:2015年5月29日引用的TIIE 28D掉期（%）（来源：彭博社）。每笔掉期交易的约定期限为28天，随后为第360号法案的应计期。假设固定利率k是中等市场报价，因此付款人掉期的现值等于零。如果我们在（4.2）中替换（4.3），然后将其等于零，则得到nxi=1αiτiP（t，ti-1） P（t，ti）- 1.P（t，ti）- kNXi=1αiP（t，ti）=0。（4.4）求解P（t，tN）我们得到P（t，tN）=PNi=1hαiτiP（t，ti-1) - P（t，ti）- kαiP（t，ti）i+αNτNP（t，tN-1） αNτN+kαN。

（4.5）如果我们假设αi=τifor all i，那么P（t，tN）=P（t，t）- kPNi=1αiP（t，ti）1+kαN.（4.6）该方程被称为与交换率为k的Ncoupons IRS合同相关的自举方程。注意，该方程有N+1个未知变量，即P（t，t），P（t，t），P（t，tN）。在表4.1中，我们给出了市场上引用的普通香草IRS的到期日、k swaprate和每个自举方程中未知变量的数量。请注意，从IRSmarket来看，我们总共有390个未知变量，只有14个方程式（因为市场上引用了14个掉期）。要解这个方程组，我们需要一个插值方案。如前所述，有许多曲线构造的插值方法可用，参见【Haganand West，2006】、【Hagan and West，2008】和【Du Preez，2011】。除了插值方法外，曲线的构建还必须包括一些短期产品。例如，一些零息票债券的交易可能会给我们提供曲线的准确利率，但在一些流动性不足的市场，将使用一些银行间货币市场利率。在表4.1中，我们考虑了到期的现金工具（货币市场）：隔夜、明日、下一天和28d。重要的是要指出，这些短期利率也很有用，因为插值方法需要平滑和连续的条件。在这项工作中，我们将给出零利率下的三次样条作为插值方法的结果。

在附录C中，我们详细解释了三种不同的插值方法。4单曲线框架中的IRS定价注意，bootstrapping方程（4.6）用贴现因子表示，但该方程可以用零利率表示Sr（t，tN）=-τNlnP（t，t）- kPNi=1αiP（t，ti）1+kαN=τNln1+kαNe-τtR（t，t）- kPNi=1αie-τtiR（t，ti）.（4.7）因此，表4.1中的方程组如下所示：R（t，tNl）=τNlln1+kαNle-τtR（t，t）- kPNli=1αie-τtiR（t，ti）l=1，2，14（掉期）R（t，t）=RON，R（t，t+1D）=RTN，R（t，t+28D）=R28D。（cash）（4.8）利用该方程，我们继续使用bootstrapping算法，该算法依赖于迭代求解算法。其思路如下：1。以货币市场2已知的利率R（t，x）为例。猜测{R（t，tN）}的初始值，其中tN是第14个swaps3的到期日。使用插值方法，我们计算所有第i个息票日期4的R（t，ti）。将这些速率插入方程式（4.7）的右侧，并求解{R（t，tN）}5。我们进行这些新的猜测，并再次应用插值算法使用此迭代算法，我们使用产量曲线上的自然立方线引导TIIE 28d产量曲线R（t，t）。我们使用ACT/360作为日数惯例来确定贴现所用的年分位数。34567到期日（天）收益率曲线（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN收益率曲线（单-曲线）图4.1:TIIE 28d屈服曲线R（t，t）在单曲线框架中，使用自然三次样条插值法计算屈服速率。用于施工的掉期利率见表4.1.4单曲线框架中的IRS定价0.20.40.60.81.0成熟度（天）贴现系数28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DMXN贴现曲线（单-曲线）图4.2:TIIE 28d贴现曲线P（t，t）在单曲线框架中，使用收益率中的自然立方线插值。

用于施工的掉期利率见表4.1.345678成熟度（天）28D远期利率（%）28D 728D 1456D 2548D 3640D 5460D 7280DTIIE 28D-正向（单个-曲线）图4.3:TIIE 28d前向曲线ETi-1t（TIIE28D（Ti-1，Ti）），在单曲线框架中使用自然三次样条插值的屈服速率。用于施工的掉期利率见表4.1.5多曲线框架下的利率互换定价（存在抵押品）5多曲线框架下的利率互换定价（存在抵押品）在本节中，我们介绍了多曲线框架下利率互换定价（IRS）的估值框架，以及与衍生工具相关的抵押品账户。本节分为三个主要小节。在第一小节中，我们建立了一般抵押品框架，即我们解释了抵押品账户的工作原理，这是拥有抵押品框架的优势和劣势，以及我们对抵押IRS的定价必须做出哪些假设。在第二小节中，我们将重点放在最简单的情况下：当衍生品的支付货币与抵押品货币重合时。事实上，我们给出了IRS和OIS inUSD货币的曲线校准。在第三小节和最后一小节中，我们给出了多种货币抵押品框架，即当支付货币与抵押品货币不同时。此外，我们举例说明了当抵押货币为美元时，IRS的欧元和MXN定价之间的差异。本节介绍的材料和结果主要来自【Fujii等人，2010b】、【Fujii等人，2010a】、【Fujii等人，2011】、【Piterbarg，2010】、【Piterbarg，2012】和【Green，2015】。5.1抵押产品的定价正如我们在介绍中看到的，自2008年金融动荡以来，市场发生了很多变化。

自那以后，必须回答的最重要的问题之一是：无风险利率是多少？在回答这个问题之前，让我们先引用一下【Green，2015】。生活中的一切，我们所做的一切，都不是无风险的美国政治家肯·萨拉查我们已经看到，莱曼兄弟违约后，美元市场的伦敦银行同业拆借利率不再是一个很好的替代品。回想一下，世界已经进入了一个新阶段，高信用评级的银行可以在几周内违约。一旦我们接受了伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）不是无风险利率的好选择，那么考虑ZF债券的收益率是正常的。然而，ZF也会违约，比如欧元区的希腊或拉丁美洲的阿根廷。无风险利率的另一种选择可能是回购利率。回购利率是一种以抵押贷款支付的利率，因此应该非常接近无风险，不幸的是，回购市场仅对最长一年的到期日具有流动性，为了对长期IRS进行估值，我们需要一个具有长期到期日的市场。因此，OIS市场是实现这一目标的最佳候选市场。使用隔夜利率作为无风险利率有许多正当的理由，让我们介绍其中一些理由：1。美联储基金和Eonia等隔夜利率基于实际交易，实际上，这些利率是根据这些交易发生的平均利率计算的。OIS市场以多种货币活跃且具有流动性，到期日长达30年。3、由于交易每天都会发生，因此该市场的借贷资金的交易对手信用风险较低，因此交易对手可能每天都会发生变化4。ISDA合同通常使用该利率作为现金抵押利率，因此现在我们知道隔夜利率被广泛用作抵押利率。

在本节中，我们将证明在存在完美CSA的情况下，抵押品利率是用于贴现的曲线。但在证明这一事实之前，让我们简单地解释一下抵押品是如何工作的，以及为什么它在利率衍生品的估值中很重要。假设a银行B对a银行有一个巨大的正风险敞口X（所有衍生品交易的总和）。如果a银行违约，B银行显然有很大的风险。有抵押协议的情况下，银行B限制该风险敞口，因为银行a必须在多曲线框架（有抵押物的情况下）将该按市值计价（风险）X5定价IRS作为抵押物。抵押品接收人，在这种情况下，银行B由于具有积极的市场价值，在且仅在抵押品提供人（银行a）违约的情况下，成为抵押品的经济所有人。虽然A银行即将违约，但抵押品属于A银行，但掌握在B银行手中。因此，作为将大量资金作为抵押品的奖励，a银行应定期从B银行获得利率c（称为抵押品利率）。换言之，银行A收到xCτ，其中τ是抵押品利率周期的年分数。严格来说，抵押人不是银行A，而是银行A的交易台管理银行B的所有交易。由于交易台通常不管理现金，因此银行A的交易台必须从银行A的融资台借入X。对于借入X，交易台必须支付利率r，称为融资利率。在图5.1中，我们在图表中展示了B银行、a银行交易台和a银行融资台之间如何交换资金。为了完成这个例子，我们可以假设A银行对C银行的市价为正，但交易没有抵押协议。

因此，如果C银行违约，那么A银行（交易台）将有潜在的损失。银行交易桌面MTMB=-XMtMC=+YBank AFunding DeskBank CMtM=-Y<0银行BMtM=X>0在无抵押物CSANo交换的完美抵押下交易xCτ隔夜利率抵押贷款xRτ资金图5.1：抵押和非抵押的基本原则说明。由于CSA协议中存在大量条件，抵押物由大量关键参数严格定义【Gregory，2012年】。在这项工作中，我们将假设抵押是在一个完美的CSA协议下进行的。下一个定义取自【Ametranoand Bianchetti，2013年】。定义5.1。（Perfect CSA）我们定义Perfect CSA是一种理想的抵押品协议，具有以下特点：完全对称的初始保证金抵押品零阈值零最小转移金额连续保证金和瞬时保证金率。让我们简要地解释一下完美CSA合同的每个特征。在CSA协议中，两个交易对手的条件不一定相等，但是，如果我们假设CSA是在多曲线框架（存在抵押品）中完全对称的5定价IRS，那么双方的条件相同，实际上双方都必须提供抵押品。初始保证金是交易对手在结束交易时必须支付的金额。零初始保证金意味着两个交易对手都不必提交初始保证金。阈值是一个风险敞口水平，低于该水平，将不会调用抵押品。因此，阈值表示欠结晶暴露量。如果风险敞口高于阈值，则仅对增量风险敞口进行抵押。如果阈值等于零，则应为按市值计价的所有变动提供抵押。

最低转让金额确定了一次可以要求的抵押品的最低金额。抵押品不能在小于最小转让金额的区块内转让，但如果该最小转让金额等于零，则必须转让每笔按市值计价的更新。最后，marginationfrequency是指可以调用和返回的周期性时间刻度。对于回购等普通产品和通过中央交易对手清算的衍生品，日内保证金化很常见。对于完美的CSA，连续边缘化假设在实际操作中是不可能的，但是这个假设将帮助我们建立数学模型。在下一小节中，我们介绍了使用给定抵押品账户对任何衍生品进行定价的估值框架，该模型仅在衍生品货币与抵押品货币一致时才有用。5.2单一货币的估值框架Let X是（某些基础产品的）衍生品，到期时间为T，到期时间为（h（T））T≥0价格流程。假设V（t）是一个随机的自我融资抵押品账户，根据衍生工具X头寸的完美CSA协议。假设衍生工具付款和抵押品账户以相同的货币记账，稍后我们将介绍不同货币的情况。然后，抵押品账户的随机过程由dV（s）=α[r（s）给出- c（s）]V（s）ds+a（s）dh（s），（5.1），其中，α是衍生工具X上的抵押百分比，r（s）和c（s）分别是时间s上的基础利率和抵押利率，h（s）是时间s上衍生工具的值，该值在时间T上具有现金流h（T），a（s）表示衍生工具的持仓数量。

方程式（5.1）可解释如下：抵押品账户价值的变化取决于随时间推移部分过账抵押品所赚取的利息差异以及a（s）基础衍生工具价值的变化。注意，方程式（5.1）的形式为dQ（t）=（u（t）-rf（t））Q（t）dt+σQ（t）dW（t），类似于Black-Scholes环境下股票期货合约定价的动态。为了求解（5.1），我们必须将方程乘以exp（RTsαy（η）dη），其中y（s）=r（s）- c（s），to geteRTsαy（η）dηdV（s）=eRTsαy（η）dηαy（s）V（s）ds+eRTsαy（η）dηa（s）dh（s）。（5.2）在[t，t]上积分（5.2），得到usZTteRTsαy（η）dηdV（s）=ZTteRTsαy（η）dηαy（s）V（s）ds+ZTteRTsαy（η）dηa（s）dh（s）。（5.3）让我们使用部分积分公式确定u=eRTsαy（η）dη和dv=dv（s），我们得到的是zudv=uv-Zvdu（5.4）ZTteRTsαy（η）dηdV（s）=eRTsαy（η）dηV（s）Tt+ZTtV（s）eRTsαy（η）dηαy（s）ds。（5.5）我们将在完美的CSA下假设条件（见定义5.1）。尽管如此，该模型的构建考虑到衍生品cab是部分抵押的。这一假设背后的想法是显示抵押和非抵押之间估值的差异。5在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS进行定价，然后使用（5.3）和（5.5）我们得到V（T）=eRTtαy（η）dηV（T）+ZTteRTsαy（η）dηa（s）dh（s）。（5.6）如【Fujii等人，2010b】所述，如果我们将（5.6）中的交易策略（5.7）替换为（V（t）=h（t）a（s）=eRstαy（η）dη（5.7），则我们采用（V（t）=eRTtαy（η）dηV（t）+ZTteRTsαy（η）dηa（s）dh（s）=eRTtαy（η）dηh（t）+ZTteRTsαy（η）dηdηdh（s）=eRTtαy（η）dηh（t）+eRTtαy（η）dηZTtdh（s）=eRTtαy（η）dηh（t）+eRTtαy（η）dηh（t）- eRTtαy（η）dηh（t）=eRTtαy（η）dηh（t）（5.8）现在，考虑到与之相关的抵押品账户，我们可以计算衍生工具X的现值h（t）。

使用风险中性度量Q，numéraire B（T）=exp（RTtr（s）ds）（货币市场账户）yieldsh（T）=B（T）EQtV（T）B（T）= EQteRTtαy（s）dsh（T）eRTtr（s）ds= EQte-RTtr（s）-α（r（s）-c（s））dsh（T）= EQte-RTt（1-α） r（s）+αc（s）dsh（T）. （5.9）因此，如果X是完全抵押的，即α=1，则h（t）=EQte-RTtc（s）dsh（T）, （5.10）这意味着抵押现金流必须考虑抵押利率进行贴现。与此情况不同的是，如果X没有抵押，即α=0，则h（t）=EQte-RTtr（s）dsh（T）, （5.11）这意味着，考虑到融资利率，必须对未抵押现金流进行贴现。定义5.2。我们用Pc（T，T）=EQt表示T到期完全抵押零息票债券的价格e-RTtc（s）ds. （5.12）我们将利用这一定义引入抵押下的远期措施。5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）5.2.1远期衡量在继续之前，让我们以非正式的方式介绍Radon-Nikod'ym导数的概念以及用于构建抵押品远期衡量的两个重要结果。考虑一般有限概率空间(Ohm, F、 P）。假设在这个空间上，我们有另一个概率测度Q。让我们假设每个ω的P>0和Q>0∈ Ohm, 所以我们可以定义z（ω）=Q（ω）P（ω）。（5.13）因为所有ω的Z>0∈ Ohm Z是一个随机变量，我们可以计算Z在测量下的期望值PEP（Z）=Xω∈OhmZ（ω）P（ω）=Xω∈OhmQ（ω）P（ω）P（ω）=Xω∈OhmQ（ω）=1。（5.14）现在对于任意随机变量Y，EP（ZY）=Xω∈OhmZ（ω）Y（ω）P（ω）=Xω∈OhmQ（ω）P（ω）Y（ω）P（ω）=Xω∈OhmY（ω）Q（ω）=等式（Y）。