养老保险的多元密度模型

一般来说，混合PDF不满足所有规律性条件，建议在使用需要它们的结果时小心。H、 似然比检验（LRT）Let（x，θ）是任意统计模型，并且（x，θR）是同一个模型，其中包含一些参数。例如（x，θ）可以是一个线性回归模型，θ保持系数和（x，θR）是排除某些预测变量的相应简化模型。简约原则倾向于参数较少的统计模型，似然比检验（LRT）检查完整模型的似然值与简化模型的似然值之间的显著差异。如果可能性没有显著差异，则简化模型具有较少参数的（x，θR）是首选。LRT测试可能性的等效性，即Ho：(|x） =(|x） vs Ha：(|x） <(|x） ，其中和分别是θ和θR的theMLEs。检验统计量由（Hogg等人，2005）给出：λ2ln||请注意(|x） (|x） 由于向模型中添加参数不会降低其可能性，并且在Hot下，由于ln（1）=0，检验统计量λ接近于零。什么时候(|x）>> , λ取一个较大的正值，因此当λ>C时，对于一些临界值C，HOI被拒绝。在Hoand select正则条件下（包括第一个，见§II.G），λ~ , 式中，v是从θ中删除以创建θR的参数数。Howith I类错误概率α的测试将定义C，以便P[C] =α，I类错误表示为真时Hoisrejected。我们有兴趣使用LRT测试混合物中的最佳成分，但λ不是因此，违反了适用的规则性条件。McLachlan（1987）建议使用自举近似λ的零分布。

假设检验为：Ho：数据向量 源于g组分混合物PDF，例如f（x，θ）vs.Ha：数据向量 源于（g+k）-组分混合物PDF，如f（x），)据Howe估计 作为f（x，), 哪里是θ的最大似然估计，在Hawe估计下为PDF asf（x，), 哪里是的MLE.  使用这些PDF的（2.H.1）对应似然函数计算（2.H.1）中的检验统计量λ值。如果我们隐式假设f（x，) 生成我们的样本向量, 通过从f（x，) 并使用最大似然估计拟合g分量和（g+k）分量混合PDF。样本大小应与我们的数据向量相同.  重复此过程K次将模拟值λ。。。，λKwhichestimateλ在H下的分布，该试验的p值近似为λj的#≥ λ） /K.I.方差协方差矩阵let = （X，X，…，XN）’是给定时间点N项金融资产复合回报的RVs。如果V（Xi）=σ, Cov（Xi，Xj）=σ, 和Corr（Xi，Xj）=σ/σσ=ρ是i的方差、协方差和相关性，j=1,2，。。。，N然后V()=E类[( - E类())( - E类())′] 是的方差-协方差（VC）矩阵, 写为：Vσσ…σσσ…σσσ…σσρσσ…ρσσρσσσ…ρσσρσσρσσ…σ对角线是方差σoff对角线是协方差σ=ρσσ.  请注意，V() issquareand symmetric使V()=五()′, 但并不是每个平方对称矩阵都是VC矩阵。为了符合要求，所有方差和相关性必须满足σ> 0和-1<ρ< 1、这些值还必须具有统计意义，例如以下值不具有统计意义：ρ0.95, ρ0.95和ρ-0.95.

X与X和X的强正相关，X和X也应具有强正相关。结果表明，如果一个平方对称矩阵是正定（+正定）的，则满足它成为有效VC矩阵的所有条件，即，五、 > 0表示任何常量向量=（a，a，…，aN）≠  （Wothke，1993）。自V起() = 五、, 该条件仅表示RVs Xi的任何非零线性组合，i=1,2，。。。，N是方差>0的RV。如果所有特征值都大于0，则矩阵是+定的。V的特征值() 常数λIthatsemit | V() - λi| = 0，i=1,2，。。。，N（Meyer，2000）。自V起() - λi 行列式=0时，方程（V）为单数() - λi)·用户界面= 可以通过ui解决, 因此λi和u成对出现。uiwithlength=1被称为λi的特征向量。请注意，V()·ui=λiui所以ui′V()ui=λiui′ui=λi，这解释了为什么V的每个λi必须大于0() 明确（否则Z=ui′） V（Z）<0）。注意，矩阵的定数是其特征值的乘积| V()|=∏λ, 由于每个λi>0，| V()|>0确保V()-1存在（Guttman，1982）。具有行列式的矩阵 因此，0不能是+确定的。此外，ρ的相关性=1（或ρ=-1） 在VC矩阵中不允许。如果两个RVs Xiand Xjare完全相关，我们可以质疑为什么需要这两个RVs，但超出了V() 不能为+确定。设置ai=1，aj=-σi/σJan，并在中分配元素=（a，…，aN）′到0，注意V（Z）=五、a=0，其中Z=, 因为V（Z）=1σ+（σi/σj）σ– 2（σi/σj）ρσσ= 2σ- 2ρσ= 0，带ρ=1.（ρ时=-1使用常数ai=1和aj=σi/σj.）（2.i.1）i.1修复损坏的VC矩阵一个不确定的VC矩阵被称为损坏，可能由于各种原因发生，包括丢失数据、特殊估计程序和迭代优化方法。

如果遇到错误，我们可以用错误结束分析，或者修复损坏的VC矩阵并继续。我们采用后一种方法进行屋脊修复（Wothke，1993）。将屋脊添加到V() 将对角线乘以常数Tk>1。从K=1+ε开始，增加ε，直到修改后的矩阵，如VR() 带对角线Kσ, 是+确定的。然后将整个矩阵除以K，将对角线还原为σ并强制协方差ρ/Kσσ, 当K增加时，接近0（以及相关性）（元素大于0的对角矩阵是+确定的）。缩放矩阵将是+确定的，因为1/K五、> 0时五、> 0，K>0。一、 VC MatricesLet的2个有用导数t=（X1t，…，XNt）是N项金融资产在t=1，…，时的复合收益，。。。，T其中t型~f（xt，θ）~N（μ，V()), θ=（μ，V()),  μ=（μ，…，μN）′，μi=E（Xit）。V中的术语()  （2.I.1）中的未知参数可在收集数据后估算为最大似然估计（见§II.E）。MLEs最大化（θ| x，…，xT），这是数据的多变量PDF。多元正态PDFtis（Guttman，1982）：,,,五、2./|五、|/e’,∈整个iid RV样本的多变量PDF(, ...T） 是：,…,,,…,,,五、2./|五、|/e’未知参数θ=（μ，V）的对数似然函数()) 由：ln给出,五、|,…,ToNln公司2.To自然对数|五、|’五、θ=（μ，V）的最大似然估计()) 通过最大化（2.I.4）wrtθ找到。

临界点是1stderivatives的向量等于 这将揭示最大值，或者可以使用梯度法（gradientmethod）迭代找到，也可以要求上述导数。设Aijbe为NxN矩阵，i-j和j-i位置为1，所有其他位置为a0，并设Vij() 是（2.I.1）中的VC矩阵，在I-j和j-I位置处为0。接下来就是V= σ五、和五、.  根据定义，V五、,  因此五、五、并通过产品规则V五、五、五、= 0以便五、五、五、（塞尔等人，1992年）。表示σ=σ上述内容适用于所有元素。V的行列式可以用关于第i行的余因子展开表示，i=1，。。。，N、 as（Meyer，2000）：如§II所述。一、 1、迭代优化方法是破坏VC矩阵的来源，因为我们可能会进入不可行区域。（2.I.2）（2.I.3）（2.I.4）| V|σ|五、|∑1.σ五、,对于我1，…，N，其中Vij是V移除第i行和第j列后|五、||五、|.允许={aij}是一个矩阵，aij=aij（t）。行列式是aij的一个函数||一,…,一,…,一,…,一.  通过Chainrule（NN尺寸），||∑∑ot型 （Anton，1988）。如果=五、和t=σ, 我≠j、 那么|五、||五、||五、|, aij=aji=aij（σ)=aji（σ)=σ.  使用（2.I.5），|五、|1.五、和|五、|1.五、.  自V起对称，V′=五、, 因此五、=五、′=五、andfor i公司≠j|五、|2.1.五、2.五、, 其中V是Vi-j位置为1，分配符i行和j列位置为0（Searle等人，1992）。J、 串行相关LETXT，t=1，。。。，T是T时金融资产复合收益的RVs。

如果无条件平均值和方差是常数，则E（Xt）=μ，V（Xt）=σ t、 分别为。当σij=Cov（Xi，Xj）时≠ 0表示i≠j、 收益是串行相关的，不能假定为iid。序列相关数据使用atime序列模型建模，如自回归（AR）或移动平均（MA）过程。orderp的AR模型为Zt=ДZt-1+…+νpZt-p+εt，q阶MA模型为Zt=εt–θεt-1–…–θqεt-q，其中Zt=Xt–μ和εt~N0,σ t（Box等人，1994年）。自回归滑动平均（ARMA）模型包含AR（p）和MA（q）项。数据集的适当模型由自相关（ACF）和偏自相关（PACF）函数的签名确定。滞后k时的ACF为ρt，t-k=Corr（Xt，Xt-k），滞后k时的PACF为考虑所有滞后<k相关性后剩余的相关性，即在AR（p）模型中。经典AR（p）信号的PACF突然被切断，ACF在滞后p后衰减，1STPATCFB>0。经典的MA（q）信号使ACF突然切断，但PACF在滞后q后衰减，1stPACF<0。其中一种模式经常出现（可能在对数或幂变换之后），通常是max（p，q）≤ 3（Nau，2014）。具有固定μ、σ和σ的级数据说是静止的。一个随时间向上或向下漂移的时间序列有一个趋势，并且不是固定的，因为E（Xt）不是固定的。非平稳序列通常可以通过差分使其保持平稳（Box等人，1994）。通常1或2个差值就足够了，其中Dt=Zt–Zt-1对于t=2，。。。，T和Dt=Dt–Dt-1对于T=3，。。。，T是第一和第二个差异。当Dt~AR（0）时，Zt=Zt-1+ε称为随机游动（RW）。RW中的每个观测值是先验值加上由εt控制的随机步。

趋势差分的另一种方法是拟合带有时间的回归作为预测值，然后对平稳残差进行建模。将倒车档操作员B定义为BkZt=Zt kso，AR（p）模型可以写为Zt=ДBZt+…+ДpBpZt+εtorД（B）Zt=εt，其中Д（B）=（1-ДB-…-ДpBp）是特征符号V是我们的，因为只处理NxN矩阵简化了代码。一种新的NxN矩阵V将在服用第2种防腐剂时引入（§V.A.2），即Vr-s位置为1，所有其他行r和列s位置为0。（2.I.5）多项式。如果Д（B）的所有根在量级上大于1，则AR（p）过程是平稳的（Box，et al.，1994）。由于E（Zt）=0，TheMA（q）模型在设计上是平稳的→  E（Xt）=μ，σ=V（Zt）=σ（1+θ+…+θq），σt，t-k=Cov（Zt，Zt-k）=σθ∑θθ  是k的固定μ、σ和σt、t-kf≤ q、 协方差是使用模型定义为σt，t-k=Cov（-θkεt-k，εt-k）+Cov（θk+1εt-（k+1），θεt-（k+1））+…+Cov（θqεt-q，θq-kεt-q）=-θkV（εt-k）+θk+1θV（εt-（k+1））+…+k的θqθq-kV（εt-q）≤  k>q时为q和0。相关性为ρt，t-k=Corr（Zt，Zt-k）=σt，t-k/σ=θ∑θθ/1.∑θ.考虑AR（1）过程，Zt=ДZt-1+εt。由于Zt-1=ДZt-2+εt-1和Zt-2=ДZt-3+εt-2，每个中心观测可重写为Zt=Д（Д（ДZt-3+εt-2）+εt-1）+εt=ДZt-3+Дεεt-2+Дεt-1+εt，并在外重复∞Zt公司-∞+∑φε.  因此，AR（1）模型仅在|Д|时有效≤ 1，否则^1∞Zt公司-∞为无穷大，未定义E（Zt）、V（Zt）。此外，如果|Д|<1，则∞Zt公司-∞→ 0和AR（1）型号isZt的替代形式=∑φε, E（Zt）=0，E（Xt）=μ。AR（1）模型具有特征多项式Д（B）=（1-ДB），根B=1/Д，因此当| 1/Д|>1或|Д|<1时是静止的，证明了固定E（Zt）和V（Zt）的条件。

给定所有先前观测值，新观测值Xt的条件方差为V（Xt | Xt-1，Xt-2，…）=V（Zt | Zt-1，Zt-2，…）=V（εt）=σ, 根据AR（1）模型的定义。使用替代AR（1）模型形式，每个Xt的无条件方差（给定|Д|<1）为σ=V（Zt）=∑φ五、ε= σ∑φ= σ/1.φ.AR（1）模型并不意味着每个新值Xt仅取决于先前的值Xt-1。事实上，它假设Xt与所有先前观测值Xt-1、Xt-2……之间存在非零相关性。。。，这就是为什么在实践中很少需要p>3的原因。要了解这一点，请使用AR（1）替代形式，并注意σt，t-k=Cov（Zt，Zt-k）=Cov（Дkεt-k，εt-k）+Cov（Дk+1εt-（k+1），Дεt-（k+1））+…=ДKV（εt-k）+Дk+2V（εt-（k+1））+…=σ（ДK+ДK+2+…）=σ自ε皮重iid起，单位为ДK/（1-Д）。相隔k个时间点的值之间的相关性为Corr（Xt，Xt-k）=Cov（Xt，Xt-k）/五、十、五、十、=^1K（K的指数下降）。RW是具有单位根的AR（1）模型，即φ=1，具有交替形式Zt=Zt-k+∑ε.  无条件方差为V（Zt）=V（Zt-k）+kσ由于V（Zt）>V（Zt-k），RW不是静止的（V（Zt）→ ∞ 作为t→ ∞).  AR（1）模型中的参数可以通过最小二乘法（调整以考虑序列相关性）、最大似然法或Yule-Walker方程（矩量法）进行估计（Box，et al.，1994）。观察样本的似然函数是数据的多元PDF，写为参数Д和σ的函数.  使用Zt，这是来自（2.I.4）的可能性，μ=0，V()=σ/1.φ VC矩阵是否具有 对角线=1，i-j偏离对角线| j-i |表示i≠ j、 如果| E（Zt+k | Zt，Zt-1，…）|时，时间序列平均值恢复→ 0和V（Zt+k）<∞ 作为k→∞.  换句话说，未来中心值Zt+k来自一个具有固定σ和μ的PDF→ 当k增加时为0。

因此，平稳时间序列因其E（Zt）=0和固定V（Zt）而均值回复，但RWs没有。平均回复强度通过速度或半衰期来衡量。这是E所需的k（Zt+k | Zt，Zt-1，…）=zt/2，即过程的条件均值s=Д+Д+Д+…，之前的时间。。。，因此，ДS=Д+Д+Д。。。，和SДS=Д，导致S=Д/（1-Д）=1/（1-Д），iff |Д|<1，否则S=∞.等于上次观测值Zt=Zt的 1/2 。在AR（1）工艺中，Zt+k=ДkZt+∑φε因此，E（Zt+k | Zt=Zt）=Дkzt，半衰期为k，使得Дkzt=Zt/2，或k=ln（0.5）/ln（|Д|）（Tsay，2011）。因此，平均回复速度增强为^1→0，并减弱为|Д|→1，这是直观的，因为ν是应用于前一个值的阻尼系数。最快的均值回复AR（1）过程的φ=0，这是一个没有序列相关性的随机样本。k=0的半衰期意味着该过程生成Zt=Zt，然后立即恢复为平均值0，有限σPDF。As^1→1 AR（1）工艺接近半衰期为k的RW=∞, 并不意味着恢复。因此，AR（1）过程随着序列相关性的增强，均值回复减弱，反之亦然。由于均值回归增强（即，ν→0）新值越来越依赖于平均值，但资产相关性增强（即|Д|→1） 新值越来越依赖于以前的值。检索了18个时间序列的数据，并测试了序列相关性（见附录B表一）。结论是草案，并受相关诊断的影响（Box等人，1994年）。正确的显著性水平，α=P（I型错误），用于测试多个同时假设以控制家族错误率，α*=P(≥ 1 I类错误），如下所述。市场效率是默认值，每个测试的形式为Ho：无序列相关性vs.Ha：序列相关性。

需要证据来否定流动资产的市场效率，因为这可能意味着退休顾问可以进行有利可图的套利交易，因为退休顾问可以预测未来价格的走势。如果我们在Ho为真时拒绝它，即我们错误地拒绝安全的效率，则会发生类型1错误。表1.18项金融/经济时间序列数据回报（年度）P-ValueProcess数据回报（年度）P-ValueProcessCPI-U（通货膨胀率）<0.00001 AR（3）现金（无利息）<0.00001 AR（3）真实标准普尔5000.90219真实标准普尔500对债券RP0.71082总标准普尔5000.96352真实标准普尔500对小盘股RP0.00359真实小盘股RP0.77708真实小盘股对债券RP0.80516RSTotal Small Cap Equity0.58475 RS10年平均标准普尔500<0.00001 AR（1）美国实际10年期国债0.58194 RS10年平均标准普尔500<0.00001 AR（1）美国10年期国债0.47060 RSstDiff。希勒角比率0.39993 RW5,6美国3个月期实际国库券<0.00001 AR（3）标准差。Log Shiller CAPE比率0.96966GRW5,7实际黄金回报率0.00430 RSS&P 10年平均值。实际收益<0.00001 ARMA（2,1）4,8缩写：RS=随机样本，（G）RW=（几何）随机游走/漂移，RP=风险溢价。P值用于测试Ho：无序列相关性vs.Ha：序列相关性，不用于测试Ho：AR（P）vs.Ha：AR（P-1）。非正常。非正常、可能的序列相关性。设计接近单位根。让Xt~f（x），t=1，。。。，T、 E（Xt）=μ，V（Xt）=σ.  10年平均回报率为Yt=（Xt+…+Xt+9）/10，对于t=1，。。。，T-9。如果f（x）~ N（μ，σ），则Yt+1=Yt–Xt公司+Xt+10=Yt+（Xt+10-Xt）=Yt+εt，εt~N（0，√)≠RW作为Cov（Yt，εt）=σ.  如果f（x）~ Ln（μ，σ），Ln（Xt）相似。可能的非正常“步骤”。6,7Dickey-Fuller单位根检验统计量分别为-2.067，-2.187，临界值为-2.900时不能拒绝单位根假设。注：自CAPE比率≥ 0，GRW可能更合理。