养老保险的多元密度模型

使用这些证券的多元化投资组合产生时间t费用调整后的实际复合收益（t）=αt-1L（1-EL）L+αt-1S（1-ES）S+αt-1B（1-EB）B，其中αt-1，L，αt-1，S，αt-1，减去投资组合权重(≥0）在时间t-1设置为αt-1，L+αt-1，S+αt-1，B=1，EL、ES、E为费用。与copula建模（§II.L）类似，我们首先分别为L、s和b构建单变量PDF fL（L）、fS（s）和fB（b）。多元PDF f（l、s、b）（内置于§IV和§V）将保留边缘，即fL（l）=,,,  fS（s）=,, 和fB（b）=,,.（L，S，B）′的单变量PDF适合于有限正态混合，使用具有随机起始和方差比约束的EM算法来消除虚假最大化器（§II.E）。引入了一种新的前向-后向过程来寻找单变量分量的最优值，通常认为这是一个未解决的不稳定性问题（§II.M）。前部分使用自举LRT（§II.H）测试1和2个组件，然后测试（1或2）和3个组件，直到允许的最大单变量组件。如果前向程序中最后一个有效测试是g分量，后向部分测试g对g-1分量，然后测试g对g-2分量，等等。。。，直到在结束程序时发现显著差异。例如，如果向后测试gvs。g-k产生显著差异，那么组分的最佳#是g-k+1。请注意，（L，S，B）的AndersonDarling正态性检验分别得出p值0.7206、0.0984和0.2607，表明这些证券的正态性假设在α=0.05时未被拒绝。在即将进行的分析中，不应忽视这三个变量都可以假设为来自单变量正态分布的事实。A、 单变量PDF g与g+k组件的所有单变量测试将使用1000个LRT引导样本。

当g>1时，每次执行EMalgorithm时，使用6000*（g-1）随机开始，每个样本将数据拟合到g和g+k组分混合物中。随机启动使用从相同数据的最近拟合混合物生成的值，但成分较少。因此，每个LRT样本值需要6000*（2g+k-2）EM执行。使用连续相关资产的退休研究应考虑多元PDF中的依赖性，否则可能会引起有效怀疑。这将包括使用某些短期现金等价物的策略，如美国国库券（见表一）。A、 1标准普尔500指数（L）的单变量PDF:fL（L）图四。标准普尔500指数年实际复合收益率（L）历史可预测表四。

标准普尔500指数年实际复利回报率的单变量混合PDF（L）成分数量34LL=17.9019 LL=18.6383 LL=20.1144 LL=25.1860 LL=26.7351VR=1.0000 VR=46.7606 VR=68.4102 VR=84.6646 VR=42.6613AIC=-31.8038 AIC=-27.2766 AIC=-24.2289 AIC=-28.3721 AIC=-25.4702AIC=-31.5181 AIC=-26.2396 AIC=-21.9211 AIC=-21-24.2120 AICC=-18.8035BIC=-26.8491BIC=-14.8899 BIC=-4.4102 BIC=-1.1214 BIC=9.2125μ（L）=1.082μ（L）=1.082μ（L）=1.082μ（L）=1.082μ（L）=1.082σ（L）=0.1974σ（L）=0.1974σ（L）=0.1974σ（L）=0.1974γ（L）=0.00000 0.10701γ（L）=-0.26986γ（L）=-0.20207γ（L）=0.14463κ（L）=3.00000κ（L）=2.87231κ（L）=3.02576κ（L）=2.76519κ（L）=2.98090π μσπ μσπ μσπ μσπ μσ1.000 1.082 0.197  0.056  1.287  0.029 0.833 1.055 0.204  0.092  0.998  0.016  0.114 0.998 0.0170.944  1.070  0.197  0.078  1.286  0.029  0.708  1.170  0.149  0.045  0.630  0.0220.089 1.157 0.025  0.155  0.860  0.046  0.191 0.864 0.0490.045  0.629  0.022  0.037  1.505  0.0640.613 1.174 0.110缩写：LL=对数似然，VR=方差比，γ=偏度，κ=峰度。见§II。M代表AIC、AICC、BIC。对于正常PDF，偏度（X）=γ（X）=E[（（X-μ）/σ）]=[E（X）-3μE（X）+2μ]/σ=0，因此E（X）=3μE（X）-2μ。对于正常PDF，峰度（X）=κ（X）=E[（（X-μ）/σ）]=[E（X）-4μE（X）+6μE（X）-3μ]/σ=3，因此E（X）=3σ+4μE（X）-6μE（X）+3μ。（定义见Hogg等人，2005年；力矩详情见Johnson等人，1994年。）请注意，在多峰分布中，像这样的高阶矩可能很难解释。图五：。

用于测试单变量混合成分最优的LRT抽样分布年度真实标准普尔500指数复合收益（L）远期↓                   向后的↑图四以ahistogram绘制了1928-2015年标准普尔500指数（n=88）的年度实际复合收益，表四将这些收益拟合为单变量正态混合(≤5个组件）。使用上述正向-反向程序，在图V中对部件的最佳性能进行测试。所有显示的值都是四舍五入的，未四舍五入的值用于计算。VR约束和α=0.2500的显著性水平用于每个测试。一些非正态性的证据将导致Ho的剔除。如表四所示，没有足够的证据否定标准普尔500指数年度真实复合收益率的正态性。前向-后向自举LRT程序与所有3个信息标准值（AIC、AICC、BIC）一致，即单变量正态PDF适用于这些回报，这也与正态性AD测试一致（p=0.7206）。A、 2小盘股的单变量PDF：fS图六。年度实际小盘股复利回报率历史可预测V。

年度真实小盘复利回报的单变量混合PDF 4LL=-24.7605 LL=-23.0510 LL=-18.3915 LL=-15.9514 LL=-14.4531VR=1.0000 VR=148.4732 VR=241.2802 VR=241.5788 VR=198.4935AIC=53.5211 AIC=56.1021 AIC=52.7829 AIC=53.9028 AIC=56.9062AIC=53.8067 AIC=57.1390 AIC=55.0907 58.0628 AICC=63.5729BIC=58.4758BIC=68.4888 BIC=72.6016 BIC=81.1535 BIC=91.5889μ（S）=1.132μ（S）=1.132μ（S）=1.132μ（S）=1.132μ（S）=1.132σ（S）=0.3206σ（S）=0.3206σ（S）=0.3206σ（S）=0.3206γ（S）=0.00000 0.13061γ（S）=0.23954γ（S）=0.15342γ（S）=0.61679κ3.00000κ（S）=3.02488κ（S）=3.71740κ（S）=4.60462κ（S）=4.52729π μσπ μσπ μσπ μσπ μσ1.000 1.132 0.321  0.928  1.150  0.326 0.164 0.945 0.065  0.483  1.155  0.426  0.194 1.185 0.0290.072  0.908  0.027  0.707  1.165  0.367  0.114  1.338  0.051  0.149  1.338  0.0540.129 1.192 0.024  0.167  1.187  0.027  0.105 0.662 0.1390.237  0.948  0.074  0.258  1.370  0.4150.295 0.954 0.076缩写：LL=对数似然，VR=方差比，γ=偏度，κ=峰度。见§II。M代表AIC、AICC、BIC。图七：。用于测试单变量混合成分最佳组合的LRT抽样分布年度实际小盘股组合收益（S）↓                   向后的↑图六绘制了1928-2015年（n=88）的年度实际小盘股复利回报，表五将这些回报拟合为单变量正态混合(≤5个组件）。图VII显示了使用上述正向-反向程序对最佳成分进行的测试，VRconstraint为16，显著性水平α=0.2500。对1组分和3组分的测试产生了一个显著的pvalue，Ho被拒绝。反向处理开始于测试2个和3个同样重要的组件，结束该过程。

因此，三组分正态混合PDF适合这些回报。系数γ（S）=0.23954>0表示PDF具有正偏斜，而κ（S）=3.71740>3表示正过剩峰度，这意味着尾部比正态分布更重。fittedmarginal PDF明显倾斜、重尾和多模态（表V）。A、 3美国10年期国债的单变量PDF（B）：fB（B）图VIII。年度真实美国10年期国债总复利收益率（B）历史可预测VI.年度真实美国10年期国债总复利收益率的单变量混合PDF（B）成分数量3 4LL=94.9092 LL=99.4731 LL=100.2688 LL=102.2525 LL=104.1529VR=1.0000 VR=16.7844 VR=20.2289 VR=8.8448 VR=125.3318AIC=-185.8184 AIC=-188.9463 AIC=-184.5377 AIC=-182.5049 9 AIC=-180.3057AICC=-185.5327 AICC=-187.9092 AICC=-182.2299 AICC=-178.3450 AICC=-173.6391BIC=-180.8637 BIC=-176.5596 BIC=-164.7190 BIC=-155.2542 BIC=-145.6230μ（B）=1.022μ（B）=1.022μ（B）=1.022μ（B）=1.022σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823σ（B）=0.0823γ（B）=0.00000γ（B）=0.47529γ（B）=0.50035γ（B）=0.49208γ（B）=0.49047κ（B）=3.00000κ（B）=3.36595κ（B）=3.26913κ（B）=3.14599κ（B）=3.14076π μσπ μσπ μσπ μσπ μσ1.000 1.022 0.082  0.948  1.011  0.070 0.893 1.004 0.065  0.089  1.118  0.020  0.350 0.991 0.0290.052  1.220  0.017  0.055  1.220  0.017  0.118  0.903  0.021  0.385  1.059  0.0410.052 1.120 0.015  0.057  1.220  0.017  0.042 1.128 0.0040.736  1.014  0.051  0.167  0.908  0.0240.057 1.220 0.017缩写：LL=对数似然，VR=方差比，γ=偏度，κ=峰度。见§II。M代表AIC、AICC、BIC。图IX.用于测试单变量混合物成分最佳#的LRT采样分布美国全年实际值。

10年期国债总复利收益（B）远期↓                   向后的↑图VIII显示了1928-2015年间美国10年期国债的年度实际总复合收益率（n=88），并适用于表VI中的单变量正态混合。通过图IX中详述的前向-后向程序发现了最佳成分，VR约束为16，显著性水平为α=0.2500。对1组分和2组分进行的测试产生了显著的p值，Ho被拒绝。反向处理从测试1和2个组件开始，这是一个重复测试，没有执行。因此，双组分NormalMixed PDF适用于这些回报。系数γ（B）=0.47529>0表示该PDF具有正偏斜，而κ（B）=3.36595>3表示正的过剩峰度，这意味着尾部比正常分布更重。拟合的边缘PDF明显倾斜、重尾和多模态（表VI）。B、 单变量PDF汇总表VII。全单变量PDF参数化安全组件πμσ标准普尔500（L）1 1.000000000000000 1.0821393181818 0.197430382245555小盘股1 0.16379657010864 0.944667188140307 0.0652331514080532 0.707369571461765 1.165057494177362 0.3665293257680433 0.12883371527371 1.191903886074301 0.023596517545339U。S、 10年期国债（B）1 0.947744576049301 1.01164539967906 0.0695799176661492 0.05225423950700 1.220436091927283 0.016983666409906注：将这些估计值与历史数据一起使用，以再现对数似然值。最佳组件测试使用α=0.2500。大值是向前向后测试过程中常见的默认值。VR=256的方差比约束用于消除伪优化器，同时使用EM算法（§II.F）查找MLE（§II.E）。

减少该值或在概率或均值上添加新的约束将改变PDF形状，例如增加或减少模式/峰值（见图X）。要添加约束，只需丢弃任何违反它的随机开始。偏态单峰PDF（如对数正态分布）可用，但未优化训练目标。根据§II的解释（2）。B组件已分配标签。这些数据表明，标普500指数的年度实际复合收益来自一种制度，但小盘股的股票回报来自3种制度。即，占主导地位的N（1.165，0.367）PDF产生约70%的回报（包括离群值），而低N（0.945，0.065）PDF产生>15%，而<15%来自高N（1.192，0.024）PDF。高/低区域在平均值上方和下方增加了路肩，PDF的尾部明显比正常值重。美国10年期国债的年度实际总复合收益来自两种制度，其中占主导地位的N（1.011,0.070）PDF产生了95%的收益，而高离群值N（1.220,0.017）PDF产生了其他5%。请注意，2010-2015年的平均回报率为1.033，高于主导区域μ和总体历史平均值μ（B）=1.022。因此，普遍认为当前的低收益率使“4%规则”等退休启发式无效的说法应该受到质疑。图X.具有概率加权成分区域的单变量混合PDF（4.A.1）IV.不含协方差的多变量密度建模（L、S、B）的多变量PDF分两步构建。首先，在没有相关性的情况下引入相关性，结果是估计相关性的最后一步的起点。根据§II中的解释（2）。B、 混合物观察结果来自§III.B中关于（L、S、B）的标记区域。

多元PDF的观察结果可以被视为源自这些机制的某种组合。有1、3、2个区域分别控制L、S、B，因此最多1·3·2=6个区域将控制多元PDF。一个节俭的多变量PDF可能需要消除没有生成数据的组合。目标是以最佳的方式进行制度选择，考虑样本量和多变量PDF参数的总数。我们还必须保留§III.A.A.多元区域中得出的边际PDF。根据混合PDF解释（2），区域产生观察结果。在估计了混合物（2.B.2）中的PDF参数后，我们可以估计观测来自给定区域的概率。设XT和Zt=（zt1，…，ztg）′为g组分单变量混合物PDF的时间t观察值和组分指示符RVs，对于t=1，。。。，T、 假设所有参数均已按照§III.A进行估算，且X为时间T的观测值。X由成分i产生的概率，i=1，。。。，g为：P1|P1.PP|1.*P1.P*∑自从已估算，且=|具有此外，还可以对每个观测值xt，t=1，…，计算该量，。。。，T、 贝叶斯决策规则将每个观测值以最大概率分配给组件，并被视为最优分配方案（McLachlan&Peel，2000）。使用上述赋值规则，设Nijk分别为RVs L、S、B的i、j、k区的观测值。（L，S，B）′上的观察结果源自给定多元分量的概率可以估计为=nijk/T，其中将是真实（未知）概率，见图XI。图XI。

具有估计概率的（L、S、B）的多变量区域组合注：在每个单元中都存在对三变量（L、S、B）的观察，并且相关性可能在不同区域之间发生变化。例如，S和B之间的相关性可能在一个细胞中为强正，而在另一个细胞中为强负（见§V）。如果L、S和B是独立的，则多元PDF是边缘的乘积，f（L、S、B）=fL（L）·fS（S）·fB（B）。边缘值适用于§III.A中的混合物，其产物为6组分多元正态混合物，可产生拟合边缘值。在独立性条件下，多元观测（l、s、b）来自给定区域的概率是边际概率的乘积。不存在假设独立性的依据，图XI显示了根据数据估计的多元成分概率，即.多元混合PDF的依赖性有两种形式：成分间和成分内。分量间依赖通过概率建模，分量内依赖通过协方差建模。两者都必须保留§III.A中的边缘部分，但图XI中的估计值并非如此，因此不可行。例如，使用fS（s），s来自“主导”状态的概率等于0.707（表V），而使用数据，s为60/88=0.682（图XI）。Conway（1979）给出了保证一元和二元PMF都适用于三元列联表中概率的条件。如果对二元PDF感兴趣，我们建议从三元PDF中推导出来。B、 通过线性规划进行多元区域选择（LPs）我们的目标是在保留§III.A中的边际PDF的同时，简化组件依赖性之间的模型。提出了两种方法，并成为估计协方差和更新组件概率的最后一步的初始解。