养老保险的多元密度模型

（2.L.8）中的多元PDF要求g（·）作为完整规范，我们说它是由使用转换su=H（Y），…，选择H（·）引起的。。。，Un=Hn（Yn），其中Hj（·）是元素j的相应边缘CDF。按照RVs转换的标准程序（Freund，1992），多元PDF g（·）的形式为：g,…,H,…,Ho……,∈0,1其中，h（·）=h′（·）是所选依赖结构的对应PDF。雅可比项中的所有非对角线均为零，因为每个变换只涉及一个RV。对角线项为i=1，。。。，n如下所示：利用微积分中的规则，我们可以作为Hi（·）可逆时的比率，因此：H因此，当CDF H（·）：g的依赖结构诱导时，copula密度g（·）以（2.L.12）的形式出现,…,H,…,HoH,∈0,1当H（·）是高斯分布时，H（·）=~n（·）和hi（·）=hi′（·）是单变量标准正态PDF。（2.L.12）中的copula densityg（·）用于（2.L.8）中，以完成样本数据的多元PDF，f（x，…，xN）。请注意，Sklar定理保证（2.L.8）中的PDF在使用g（·）时具有边缘fi（xi）（Nelson，2006）。然后，Copula参数可以估计为只有协方差项未知的极大似然估计，因为假设一元边缘是完全指定的。Tran等人（2013年）警告称，（2.L.8）的直接优化可能适用于基本copula形式，但在使用商业软件和复杂的依赖结构时可能会失败。Giordoni等人（2009年）解决了一个与我们所解决的问题相似但方式不同的问题。

也就是说，使用正态混合copula和正态混合边缘，并使用非copula自适应估计器，试图消除正态混合边缘和多元正态混合的隐含边缘之间的差异，以直接拟合数据。（2.L.9）（2.L.10）（2.L.11）（2.L.12）除§II中的轻轨外的信息标准。H、 统计数据中的拟合模型可以使用称为信息标准（IC）的指标进行比较。这些值量化了模型与真实自然状态之间丢失的信息。首选较小的IC值，因为它们表示信息丢失较少。据说，参数太多的模型缺乏节俭。在候选模型中进行选择时，IC指标试图在似然值和参数之间取得平衡。在最广泛使用的IC度量中，Akaike的信息标准（AIC）计算为（Akaike，1974）：AIC=2（#参数）-2ln（(|))计数的参数必须是自由的。π和π受π+π=1线性约束的模型只计算1个参数，因为估计π估计π。因此，（#参数）=（总参数）–（#独立约束）。术语ln((|)) 是使用MLE的对数可能性，见§II。E、 AIC在随后的假设检验中控制I型错误时效果很好（Tao等人，2002），但它往往在小样本中过度拟合，导致模型缺乏简约性。因此，提出了修正后的AIC（AICC），其中包括一个随参数增加而增加的惩罚（Hurvich&Tsai，1989）：2.#参数1.#参数2.样品大小#参数2随着样本量的增加，惩罚减少，因此AICC≈ AIC公司。而α=P（I类错误）=P（RejectHo | Ho为真），β=P（II类错误）=P（Accept Ho | Ho为假）。

假设检验的功效为1–β=P（拒绝Ho | Ho为假）。如果有兴趣控制后续假设检验的能力，则建议使用贝叶斯信息标准（BIC）（Tao，et al.，2002），计算公式为（Schwarz，1978）：BIC=-2ln（(|)) + （#参数）ln（样本量）虽然确定有限混合PDF（见§II.B）中组分的最佳#是统计学中尚未解决的问题，但IC通常被用作比较不同大小混合PDF的启发式方法。Titterington等人（1985年）警告说，理论上，它们的有效性通常取决于§II中未满足的规律性条件。G、 N.退休的破产概率t=1,2，。。。，T是退休期限的时间点，其中第一次提款在时间T=1进行，最后一次提款在时间T=T进行，可以是固定的（TF）或随机的（TR）。对于TRis定义的asP（TR=t），对于t=0,1，…，PMF，。。。，T、 可以使用SSA发布的生命表派生。个人或团体的政府（Rook，2014）。安全提款率（SWR）是一种启发式方法，建议退休人员在每个时间点从其储蓄中提取（100%）利息（Bengen，1994）。退休计划通常将提取率（WR）与资产配置相结合。如果涉及N种证券，则将Rti、Rti、Ei、αti分别设为总收益率、费用比率、分配给证券i的比例和通货膨胀率，时间t时，证券i的总复利回报为：（2.M.1）（2.M.2）（2.M.3）（1+Rti）=（1+Rti）（1+It）时间t时，证券i的费用调整后总复利回报为：（1Ei）（1+Rti）=（1-Ei）（1+Rti）（1+It）时间t时证券i的费用调整后实际复利回报，表示为ti，is：ti=（1-Ei）（1+rti）=（1-Ei）（1+rti）/（1+It）由于ti是一个连续RV，它由一个单变量PDF控制，例如fti（ti）。

当Cov（rki，rsj）=0时，时间k≠s=1，。。。，t证券i，j=1，。。。，N、 那么tian和fti（ti）与时间无关。如果我们降低时间指数，则它们分别为i和fi（i）。安全i的边际PDF，fi（i），使用历史数据建模。疲劳计划的成败取决于多元化投资组合的回报，而不是单一证券的回报。在t时，投资组合的费用调整后实际复利回报为：（t）=（αt-1,1）+…+（αt-1，N）N，其中αt-1,1+…+αt-1，N=1。因此，（t）是时间的函数，通过在时间t-1设置的投资组合权重（即资产位置），并导出为线性变换(N→) of=（，…，N）′。单变量PDFfor（t），例如ht（），用于评估/优化退休计划。在某些情况下，此PDF很容易导出（即正常），而在其他情况下，则没有解决方案（即对数正常）。存在各种方法来推导变换RV的PDF，其中一种方法使用随机向量=（，…，N）′，f（）的多元PDF（Freund，1992）。我们的目标是使用f（）对ht（）进行建模，同时保持个人安全边际，即服从于i（i）=,...,…… .  在这里，ht（）可能是倾斜的、重尾的和多模态的（即，通常是非正态的），允许更高的PDF时刻来帮助确定计划的成功或失败。N、 1退休调查和另类指标退休人员调查显示#1的担忧正在耗尽资金。一个资金耗尽的退休人员会经历财务破产。对于给定的减少策略，可以计算该事件发生的概率并与退休人员共享。概率以[0,1]为界，乘以100%得到一个以[0100]为界的百分比。百分比是一个普遍存在的衡量标准，人们普遍不理解。

例如，0.5的概率转化为50%，可以用词来描述为“coinflip”。退休人员在时间t取款，如果时间t-1取款成功，但账户不支持，或在时间t取款时完全清空，他们在时间t经历破产事件，表示破产（t）。这一事件的好处是避免在时间t时破产，表示为破产c（t），如果在时间t时提款成功，则会发生破产，留下大于0美元的余额。定义破产(≤ t） 在时间t或之前发生的破产事件(≤ t） 是它的赞美。§II中描述的工具。J可用于检测证券内部和证券之间随时间变化的序列相关性。在本研究的结论中引用了一些数据。（2.N.1）（2.N.2）（2.N.3）（2.N.4）尽管经过了广泛的研究，破产概率作为一种度量标准并没有被普遍接受，来自各个方面的批评都是如此。最常见的是，退休破产事件可能会以破产（1）或破产（30）的形式发生，而退休人员在这些事件之间的现实生活中存在着巨大的差异。这种批评认为，破产作为一种二元结果过于简单化，更细微的方法会考虑不同程度的失败。另一种批评是，破产指标过于复杂，最好交给保险公司的精算师处理。在这种观点下，财务规划师会误解这一指标，因为他们缺乏正确校准计算的能力和/或无法理解其固有缺陷，如协方差和高阶PDF矩的影响。虽然退休策略可能会有不同程度的失败，但我们主要感兴趣的是破产事件的完成，即成功。与退休破产不同，退休成功事件没有不同的时间点程度。

此外，一个最大化成功概率的递减模型也将最小化破产概率，因为这是等效的优化问题。尽管如此，一个最大化成功概率的模型实际上可能会失败，在这种情况下，尝试并限制损害是合理的。Harlow和Brown（2016）介绍了两种下行风险度量方法，正是这两种方法。他们的方法使用完全随机贴现来计算从减计计划中提取（现金流）的退休现值（RPV）。RPV是RV，其PDF可通过模拟进行估计。RPV值低于零表示该账户不支持所有提款，并且发生了退休破产。将下行风险降至最低的策略认识到，对于失效概率相似的退休计划，RPV PDF的破产部分可能会有明显的不同。目标是在发生破产时，使PDF的这一部分尽可能令人满意。在优化过程中，将负RPV值的平均值和标准差作为最小化指标，并找到相应的资产分配。Harlow和Brown（2016）报告称，在最小化下行风险的背景下，低得多的股本比率是最佳选择。这一发现的好处是直观，因为我们通常认为退休人员的遗赠分布具有随权益比率增加而增加的利差（方差），而负性遗赠（即RPV<0）表明退休人员在活着的时候已经耗尽了储蓄。米列夫斯基（2016）持相反的观点，认为破产概率经常被退休规划师滥用和/或滥用，并主张用一个不同的指标来取代它，即投资组合寿命（PL）。由于投资具有波动性，PLI是一种RV，用于衡量疲劳投资组合持续的时间长度。

取值l=0，1，2。。。，∞ 在离散时间内，PMF由P（PL=l）定义。请注意（l=0）<-> （成功提款0次）<-> 破产（1），（l=1）<-> （仅1次成功退出ismade）<-> 破产（2）。。。，（l=T-1）<-> （准确地说，T-1成功提款）<-> 破产（T）。最后，（l≥  T）<->（所有T取款成功）<-> 瑞尼克(≤T）≡ 退休成功（给定地平线长度T）。因此，对于l=0，1，2，…，P（PL=l）=P[破产（l+1）]。。。，T-1和P（l≥  T） =P[RUNC(≤T） ，见表III。因此，PLS的平均值、中值和模式将是破产概率的函数，其结构中固有的任何缺陷都将传播到这些统计数据中。表III.投资组合寿命（PL）PMF和相应的统计学投资组合寿命（PL=l）P（PL=l）平均值（μ=E[PL]）MedianModeP[破产（1）]0P[破产（2）]1*P[破产（2）]P[破产（3）]2*P[破产（3）]    iP[破产（i+1）]i*P[破产（i+1）]X    jP[破产（j+1）]j*P[破产（j+1）]X   kP[破产（k+1）]k*P[破产（k+1）]X    ∑1μEP∑∑0.5argmax[P（PL=l）]在任一方向上求和概率，并在以下情况下停止≥ 0.5相应的l值为中位数，如上面的j所示。如果l=j时Sum正好为0.5，则中值（PL）=（2j+1）/2。确定最大概率P（PL=l）。所有对应的l值都是模式（s），如上所示为模式（PL）={i，k}。表III适用于任何非负提款率（WR），以及∑P破坏t型=1表示noinvestment帐户是永久的，包括WR=0时。建议财务顾问检查这一事件，因为这意味着退休人员的寿命超过了他们的储蓄。该事件的概率P（PL<TR）是破产概率（T=TR）。

我们可以使用如下条件概率计算P（PL<TR）：PL<TR≡ PT∩S[其中S是任何通用样本空间，即P（S）=1]≡PT∩T0∪T1.∪···∪TT   [用TR的样本空间替换S]≡PT∩T0∪···∪PT∩TT]   [集合的分配性质]→ P（PL<TR）=∑PPT∩Tt型[互斥事件的概率求和]=∑PPT|Tt型PTt型[因为P（A | B）=P（A∩B） /P（B）]=∑PPt型|Tt型PTt型[条件概率使用固定的地平线长度，TF]=∑1.PPt型|Tt型PTt型[自PL起，从上一步开始下降t=0≥ 0]=∑1.P破坏T|Tt型PTt型[使用成功概率计算]=∑1.P退休成功|Tt型PTt型如前所述，P（PL<TR）根据定义是使用随机时间范围的破产概率。关于投资组合寿命（PL），最重要的概率完全是使用破产概率得出的，如（2.N.6）所示，其中RV寿命的概率没有出现。（2.N.5）（2.N.6）（2.N.8）（2.N.9）（2.N.10）N.2计算破产概率假设退休人员在t=1，…，时成功提款，。。。，t-1。当（t）发生时，事件破产（t）≤ RF（t-1），其中RF（t）=RF（t-1）/[（t）–RF（t-1）]，对于t=1，。。。，T和RF（0）=WR（Rook，2014）。因此，当（t）>RF（t-1）时，会发生RUNC（t）。RF（t）被称为破产系数，它反映了退休人员在t时的资金状况，其中1/RF（t）等于剩余实际提款额（Rook，2014）。

因此，使用SWR实现退休成功的事件分别针对固定和随机视野定义为：RUNC(≤ TF）≡ （退休成功| T=TF）≡t型射频t型1.,  （t）~ ht（）RUNC(≤ TR）≡ （退休成功| T=TR）≡t型射频t型1.,  （t）~ ht（）和TR ~ P（TR=t）回想起来，（t）是N种证券的多元化投资组合的经费用调整的实际复利回报，是t-1时资产配置集的函数。因此，假设（T）随时间的独立性，固定T=TFin（2.N.7）的相应成功概率为(将（t）替换为集成的vbl）：P破坏T … ……随机T=TRin（2.N.8）的成功概率为1–P[破产(≤ TR）]，其中P[破产(≤ TR）]在上述（2.N.6）中得到，也使用了（2.N.9）。对于任何事件A和B，如果A B然后P（B∩ AC）=P（B）-P（A）。SinceRuinC(≤  t） 瑞尼克(≤  t-1）和破产（t）≡[瑞尼克(≤t-1）∩毁灭(≤t） ，因此P[破产（t）]=P[破产c(≤  t-1）∩毁灭(≤t） ]=P[瑞恩C(≤ t-1）]-P【RUNC(≤t） 】。因此，对于（t）~ ht（）和t≤ TF：P破坏t型 P我射频我1.    P我射频我1. … …… … ……给定时间t的安全权重值（αt-1,1，…，αt-1，N）（即资产配置），使用模拟或动态程序（DP）递归近似估计（2.N.10）中的项，参见Rook（2014）和Rook（2015）。随后，可以用这些概率填充表III。通常，我们没有得到权重，而是负责根据一些最优性标准推导权重。

Rook（2014）使用动态滑动路径（TF和TR）推导出最小化股票和债券组合破产概率的权重，Rook（2015）使用静态滑动路径推导出相应的权重，以最小化破产概率。这两种解决方案都假设了正态分布的复合收益，如前所述，许多金融从业者/研究人员拒绝接受这一假设。本研究的主要目的是将这些模型和其他模型扩展到非正态复合收益。如上所述，无论提款率（WR）如何，投资账户都不会永远持续。当WR=0时，RF（t）=0 t=参见Rook（2014）获得相应的维恩图。（2.N.7）0。。。，T、 作为T→ ∞, 破产（t）发生在（t）时≤ 0表示任何t。因此，如果P[（t）≤ 0]>0，破产事件最终将在无限时间范围内发生。不幸的是，对数正态PDF是为值定义的≥f（0）=0时，不允许复利收益为零。我们为（t）开发的PDF为事件（t）分配了大于0的概率≤ 0，因为复利收益和证券价格可以而且确实取零。三、 单变量密度模型多元化投资组合的费用调整后实际复合收益决定退休策略的成败（§II.N）。我们假设时间上的独立性，并使用表中的证券作为随机样本。本研究将开发标准普尔500指数（L）、小盘股股票（S）和美国10年期国债（B）的费用调整后实际复合收益的多元PDF。表示这些收益的RVS为（L，S，B），多元PDF为f（L，S，B）。