养老保险的多元密度模型

非零漂移为0.0885（RW）和0.0040（GRW）。根据去趋势数据，初步模型为ARMA（2,1）：Yt–[μ+βt]=ARMA（2,1）→ Yt=μ+βt+ДYt-1+ДYt-2-θεt-1+εt。目的是检验这些假设，以使结论族具有（1-α*）%置信度的可复制性，其中α*=P(≥ 1 I类错误）。一般来说，对于N个独立测试和每个测试的α=P（I型误差），使k(≤  N） I类错误为P（B=k）=Nα1.α用B~二项式（N，α）。因此≥1 N个独立测试中的I类错误为P（B≥ 1) =∑Nα1.α= 1–P（B=0）=1–（1–α）N。对于上述N=18个试验，α=0.05，得出≥ 1类错误为∑0.050.95=1-P（B=0)=1-0.95  0.60.  对18项独立测试中的每一项都有95%的信心，这意味着有40%的机会用新数据复制出一系列结论。以95%的置信度复制该家族，即α*=P(≥  1 I类误差）=0.05，我们调整每个测试使用的α。Bonferonni调整使用α=α*/N，不需要独立测试，但可确保P(≥  1类IError）≤  α*（Westfall等人，1999年）。α*=0.05时，表I中每个试验的调整p值为α=0.002778。表一中的结论引发了表二对当前退休财务教条的担忧。表二。退休金融文献claimconcernshiller的CAPE比率（年度）中有疑问的索赔可用于计时市场。投资者/退休人员应在资本充足率较高时卖出，在资本充足率相对于历史平均水平较低时买入。年度CAPE比率表现为（G）RW的假设不能被拒绝。随机游动有单位根，并不意味着回复。

arandom walk中任何未来值的最佳预测值是当前值+漂移（使用GRW日志）。因此，标准普尔500指数的年回报率（实际或总）均值回归是连续相关的，应使用自回归模型进行拟合。序列相关和均值回归是相反的（即，一个强一个弱）。标准普尔500指数的年度收益率没有序列相关性，它们是随机样本和均值回复。Shiller的CAPE比率（年度）可用于预测未来的平均长期回报。使用CAPE值预测未来标准普尔500指数10年平均回报的（对数转换）线性回归具有高度显著的R。标准普尔500指数10年平均回报具有强序列相关性（见表一和附录B）。通过这些点拟合回归线是不合适的，会导致估计不足的方差和夸大的I型错误率，这通常会导致错误地声称预测值是显著的。调查结果是初步的。安装的（线性）模型需要进行适当的诊断（见Box等人，1994）。这是故意的。让Xt~f（x），t=1，。。。，T、 E（Xt）=μ，V（Xt）=σ.  10年平均回报率被构造为Yt=（Xt+…+Xt+9）/10，fort=1，。。。，T-9，因此Cov（Yt，Yt+k）=（1/10）[V（Xt+k）+…+V（Xt+9）]=[（9-k+1）/100]·σ, 对于0≤ k≤ 9和Cov（Yt，Yt+k）=0，对于k≥ 10、通过与CAPE的回归，对退休时的安全提款率（SWR）提出了类似的主张，并产生了完全相同的担忧。K、 约束优化K。1线性规划线性规划（LP）是一个优化问题，其中目标和所有约束都是决策变量的线性函数。LPs使用单纯形算法求解，具有n个决策变量和k个线性独立约束的anLP的标准形式为（Jensen&Bard，2003）：最大化：Z=cx+cx+…+cnxn公司′（目标函数）受制于：ax+ax+。。。

+a1nxn≤ bax+ax+…+a2nxn≤ b（可行区域）ak1x+ak2x+…+aknxn公司≤ BK其中：xi≥ 0，i=1,2，。。。，n（非负性约束）所有LP成对出现，对偶是一个等价的最小化问题。当主LP解算时，对偶解算，反之亦然。而主LP有n个决策变量和k个约束，（2.k.1）对偶有k个决策变量和n个约束，并且因为min（Z）≡ 最大值（-Z），任何LP都可以按≤ n、 单纯形算法认识到，当Z为线性时，全局解必须出现在可行域的角点上。约束在\'≤’ 对于决策变量的给定值，变为“=”。当m个约束绑定时，m个决策变量由约束固定，并且公里数选择这些约束的方法，m=0，。。。，k、 剩余的n-m决策变量在角点处必须等于0，并且nn型m级这可能发生的方式。因此，角点的总数为∑公里数nn型m级=nkk公司, 每个都有一个潜在的解决方案。单纯形算法将A划分为 这样Ais mxm和满秩，并设c′=[c | c]，x′=[x | x]，b′=[b | b]为相应的向量分区。因此，A·x+A·x=带x=A-1·b-A-1·A·xreflect由绑定约束固定的m个决策变量。目标Zbecomes c·x+c·x=c·A-1·b–（c·A-1·A-c）·x，这是一个常数减去x中决策变量的线性组合。如果此线性组合中的任何系数为负，则问题是无界的，没有解。只需在Xt中增加相应的决策变量，以增加目标Z。要获得解决方案，xin Z的所有系数必须为≤  当出现这种情况时，XM中的所有决策变量都必须等于0以最大化Z。

常数减去量≥  当该数量等于0时，0最大化。最后，当x=0，x=A-1·band，如果满足所有约束，则x′=[x | x]是LP的基本可行解（BFS）（Jensen&Bard，2003）。单纯形算法从可行区域的一个角点开始，循环通过相邻的角点（即，由) 使Z不减小。因此，LP可以通过少量的求值来求解，并且算法以全局最大化结束。请注意，当k≤ n A和A都是这样，通过将n-m决策变量Sequal设置为0并求解其余变量，可以形成每个基。如果任何数量是随机的，那么（2.K.1）是一个随机线性规划（SLP）。虽然需要解决SLPsusing理论（Kall&Mayer，2010），但模拟可以是一种实用的替代方法。例如，假设b=（b，…，bk）′是一组具有bfB（b），E（b）=μb的RV。由于任何解都是b的函数，因此也必须是RV，例如xfX（x），E（x）=μx。当fB（b）已知/近似时，通过为b生成随机值，例如bi=（b1i，…，bki）获得启发式SLP解，其中样本i生成LP BFS，例如xi=（x1i，…，xni）′，i=1，。。。，N、 然后将解决方案视为=∑.  因为每个xisatifies因此和作为N→∞,或EE.因此，模拟解在预期情况下渐近满足约束集。大量的实际问题可以用线性规划来表示和求解，一些非线性规划也可以用线性规划来近似。LP的解决方案可能是唯一的，也可能不是唯一的，但它是全局的。由于所有决策变量都是≥ 0

当n=2时，一个技术上不正确但有用的可视化工具是，四个不同高度的人拿着一块平板（目标函数是一个平面），放在一个平放在地面上的停车标志上（1stquadrant中的可行区域）。标志内板上的最高点将直接位于标志的一角上方，不能位于内部点上方。这里，b可以反映任何随机发生的数量，如供应、需求、温度、销售收入、利润等。。。K、 2二次规划当（2.K.1）中的目标函数为Z形式时=∑一x个∑∑bx个x个∑cx个, 被最大化的曲面是二次曲面（非线性），得到的优化称为二次规划（quadraticprogram，QP）。如果bij=0i<j=1，。。。，n、 当目标分解为1个决策变量函数之和时，Z称为可分离的，即Z=∑x个（Hillier和Lieberman，2010年）。可分离的QP可由LP近似。首先，将QP转换为最小化问题，注意max（Z）≡ 最小值（–Z），然后在–Z中写入每个函数x个x个cx个一2c/这将常数相加∑一4c级/to-Z自最小化-Z和-Z以来不存在任何问题+∑一4c级/都是等价的问题。通过将每个xi轴划分为等距常数[xi1，…，xiS+1]，定义S线段x个.  选择这些+1值，并允许xit被权重向量替换= （αi1，…，α为+1），其中∑α= 1、任意xi1≤ xi≤ xiS+1可以通过使用, 即xi=∑α, 和每个函数x个∑α当使用相邻权重时，近似值随着S的增加而锐化（Jensen&Bard，2003），见图三。由于目标是最小值（–Z），因此必须在最佳解决方案中使用相邻权重，比较图三中虚线和红线的蓝点目标。图三。

LP（S=4）的可分离QP近似（最小化目标）QP max（Z），Z=∑一x个∑cx个, 然后由以下LP（线性):最小化：-Z∑∑α′（目标函数）受制于：am1∑α+ ... + amn公司∑α≤ bm，m=1,2，。。。，k（可行区域）∑α≤ 1.∑α≤ -1 i=1,2，。。。，nWhere:αij≥ 0，i=1,2，。。。，n&j=1,2，。。。，S+1（非负约束）在（2.K.1）中的标准形式LP要求所有约束具有形式fm（x）≤ bm，m=1,2，。。。，k其中fm（x）在x中是线性的。表示质量约束fm（x）=bm仅使用“≤” as（fm（x）≤ bm公司∩ fm（x）≥ bm）≡（fm（x）≤ bm公司∩ -fm（x）≤ -bm）。（2.K.2）K.3经典凸规划经典凸规划（CCP）是一种非线性优化，其目标是在一组线性等式约束条件下最小化凸函数或最大化凹函数（Jensen&Bard，2003）。A函数f() is凸iff f（α+ (1-α)) ≤ αf() + （1-α）f()  ,∈n、 如果f() 是凸的，则为-f() isconcave。此外，最大值[-f()] ≡ max[ef（x）]，从而最大化凹函数和对数凹函数，因为ln（ef（x））=-f，所以ef（x）是对数凹的() 是凹面的（Lovasz&Vempala，2006）。CCP具有局部最优是全局最优的理想性质，因此问题简化为寻找任何局部最优。下面的公式很有趣：最小化：f（x，x，…，xn）（凸目标函数）（或）最大化：f（x，x，…，xn）（凹目标函数）受：ax+ax+…+a1nxn=bax+ax+…+a2nxn=b（可行区域）ak1x+ak2x+…+aknxn=BK其中：xi≥ 0，i=1,2，。。。，n（非负性约束）与LPs一样，冗余约束被删除。

如果k>n，可行域为空，没有解。如果k=n，可行区域由点组成 = ,这也是解决方案。如果k=0，则解决方案为*因此f*=  如果0<k<n，f*=  0和*=   然后，无约束解解决了约束问题。最有可能的是，上述任何一项都不适用，我们需要进行优化0<k<n时， = , 和等级() = k、 为了在一步中解决这个问题，我们定位拉格朗日的临界点，L（·），定义为，L（x，…，xn，λ，…，λk）=L(,)=∑λ一x个一x个···一x个b.拉格朗日函数，L(, ),将所有约束合并到引入k个新的决策变量λi，i=1,2，。。。，k、 称为拉格朗日乘数。解决方案发生在L(,) = 0，即：L(,) =∑λ一∑λ一一x个一x个···一x个b一x个一x个···一x个b.这个非线性系统可以用牛顿法求解L(,) 线性地处于像L(, )     L(,  )  +  L(,  ).  将近似值设置为0并求解产量=- L(, )]-1.L(, ).  重复该过程会生成迭代解决方案一个多步骤解决方案会写  =  像=   具有kk和等级() = k然后求解= (-  和替换在目标中，, 使其成为只有解决后*= 0我们使用上述内容来确定*.（2.K.3）（2.K.4）从…起当|L(*,*)|  <  ε.  （n+k）（n+k）2ndderivatives对称矩阵L(,) 被称为边界黑森，由以下公式给出：L(,) ···一···一 ···一···一一···一0···0 一···一0···0 ,哪里 是f的Hessian().

牛顿方法使用[L(,)]-thus（2.K.5）必须是可逆的。请注意L(,)= 暗示=和=  因此= .  自f起() 是凸的，是+一定的和′=暗示= ,因此= .  （与-f相同() 凹面的 –明确。）由于删除了冗余约束，是nk带等级()=k和=  暗示= .因此，当f() 是凸的[-f() 是凹面的]，L(,)=  暗示=  边界黑森河是满秩的，因此是可逆的（Border，2013）。K、 4一般非线性规划一般非线性规划（NLP）寻求最小化或最大化平滑函数,  ∈n、 主题tog≤ bi，i=1,2，。。。，k、 在哪里不一定是凸面或凹面和g是通用的。这样的问题可能有几个局部最优解，目标是找到其中最好的。一般来说，NLP问题几乎不存在，优化策略取决于问题的性质。在某些情况下，拉格朗日可以用来寻找局部最优解。在其他情况下，可以使用元启发式，如禁忌搜索、模拟退火或遗传算法（Hillier&Lieberman，2010）。如果所有这些都失败了，我们可以生成随机值并计算o当满足约束集时，保留最佳值的记录。更好的方法是生成满足所有约束的随机值。或者，我们可以选择一个不可行的随机设置，并将其投影到可行区域内的一个点，然后进行评估o在那一点上。当存在许多局部最优值时，随机启动是有效的，并且针对特定问题（如混合可能性）制定了生成值的策略（见McLachlan&Peel，2000）。五十、 Copula建模设X为任意连续RV，PDF f（X）和CDF f（X）=P（X≤ x）=.  Copula建模是基于一个最初令人惊讶的事实，但在反射时是直观的。

即thatF（X）~均匀（0,1）。假设U=F（X），那么FU（U）=P（U≤ u） =P（F（X）≤ u） =P（X≤ F-1（u））=F（F-1（u））=u，对于0≤ u≤ 具有相同CDF的随机变量具有相同的分布，并且U的CDF来自一致（0,1）考虑最大化包含VC矩阵V的一般似然函数来自（2.I.1）。方差和协方差的约束条件是V必须是+明确的。放弃任何V形断裂点的替代方法matrix正在修复它。（2.K.5）分配。允许 = （X，…，XN）是给定时间点N种金融证券的复利回报率的RVs。夏热fi（xi）和fi（xi）的边际PDF和CDF，以及多元PDF和CDFof 是f() 和F()= P( ≤ ) = F（x，…，xN）=P（x≤ x个∩ ... ∩ XN公司≤ xN）分别参见§II。A、 如上所述，设Ui=Fi（Xi），其中Ui~均匀（0,1），Xi=Fi-1（Ui）。的CDF = （U，…，UN）是G() = P( ≤ ) = G（u，…，uN）=P（u≤  u∩ ... ∩ 联合国≤  联合国）。自G起() 是有效的CDF，其导数是,  即…G= g级() - g级() = g级(), 见§II。A、 注意F之间的关系() 和G() （Nelson，2006）：FF（x，…，xN）=P（x≤ x个∩ ... ∩ XN公司≤ xN）=P（F-1（U）≤ x个∩ ... ∩ FN-1（联合国）≤ xN）=P（U≤ F（x）∩... ∩ 联合国≤ FN（xN））=G（F（x）。。。，FN（xN））。的多元PDF 然后可以通过微分F（x，…，xN），使用Fi（xi）上的链式规则得出：F() = f（x，…，xN）=…F=…[G（F（x），…，FN（xN））][来自（2.L.4）] …g级,…,…g级F,…,F…文献中称G（·）为copula，G（·）为copula密度。该术语表示一组RVs的多元和边际PDF之间的耦合（Nelson，2006）。

当X，。。。，XNare independentU。。。，UNare也独立，g() = 1....1=1，因此f（x，…，xN）=...NN.  因此，copula术语建模了一组RVs之间的依赖关系，突破之处在于可以单独建模边际PDF。这种品质很有吸引力，尤其是在退休金融领域。当为一组实际复合收益建模多元PDF时，给定证券的边际收益不应取决于涉及哪些其他证券。因此，copula建模是金融学中的一种标准公式多变量PDF建模，已经提出了多种形式。例如，如果g（·）是高斯诱导的，那么copula将在映射到正常RVs后建立依赖关系模型。由于copula中的未知参数存在于可能性中，因此可以将其估计为mle。在构建多变量关联函数时，我们可以通过使用经验关联函数构造的经验关联函数，通过取均方根误差最小的关联函数，在候选关联函数之间进行选择。在这项研究中，我们提出了一种代理固定边际可处理的替代copula模型，非常适合退休金融。假设边际PDF f（x），…，边际PDF（2.L.1）（2.L.2）（2.L.3）（2.L.4）（2.L.6）（2.L.5）（2.L.7）（2.L.8）的多元PDF多元Copula PDF乘积。。。，fn（xn）任意拟合数据集，选择具有相应CDF H（·）的分布来模拟RVs X，…，的依赖结构。。。，Xn。例如，在房地产繁荣期间，证券化抵押贷款产品将指定住宅借款人的违约时间建模为指数RVs，见§I。这里，fi（xi）将是指数PDF，表示I=1。。。，n、 此外，将依赖结构选择为高斯结构，使H（·）变为Φ（·）。