扩展的局部方差Gamma模型

利用Dtand的时间均匀性，再次利用Dupire方程公式（26），我们得到-qP（S、T、K）-（r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KP（S，T，K）（27）=Z∞体育课-pν-qPD（S，ν，K）-（r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KPD（S，ν，K）dν=Z∞体育课-pννPD（S，ν，K）dν=-pPD（S，0，K）+pZ∞PD（S，ν，K）pe-pνdν=pP（S、T、K）- PD（S，0，K）= p[p（S，T，K）- P（S，0，K）]，其中在最后一行中考虑了等式（21）。因此，最终P（S，T，K）解决了以下问题-qP（S、T、K）- （r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KP（S，T，K）（28）=P（S，T，K）- P（S，0，K）X（T），P（S，0，K）=（K- S） +。当r=q=0时，该方程转化为Carr和Nadtochiy（2017）中的相应方程。与属于偏微分方程类的杜皮尔方程相比，等式（28）是一个常微分方程，或者更准确地说，是一个偏微分方程（PDDE），因为右手部分的时间导数现在被一个分微分所取代。以颂歌的形式写着σ（K）K- （r）- q） K级K-q+X（T）P（S，T，K）=-P（S，0，K）X（T）。（29）对于本文稍后讨论的某些特定形式的局部波动函数σ（K），可以解析地求解该方程。同样，对于看涨期权价格C（S，T，K），也可以用同样的方法推导出一个类似的方程，其读数为σ（K）K+（r- q） K级K-q+X（T）iC（S，T，K）=-C（S，0，K）X（T），C（S，0，K）=（S- K） +。（30）求解式（29）或式（30）提供了确定σ（K）的方法，给出了到期日为T的看涨期权和看跌期权的市场报价。然而，这只允许校准单个术语。如果公式（29）和公式（30）可以推广到这种情况，则原则上可以逐项校准整个局部挥发性表面（因为时间均匀性假设）。我们将在下一节中考虑这一点。4.

局部方差分段时间常数为了解决多重微笑的校准问题，我们需要放松关于等式（1）中定义的过程数据的时间同质性的一些假设。这包括以下更详细描述的几个步骤。4.1. 局部方差这里我们假设局部方差σ（Dt）不再是时间齐次的，而是时间σ（Dt，t）的一个分段常数函数。让T，T，TMbe方差率σ（Dt）确定性跳跃的时间点。换句话说，在间隔t∈ [T，T），方差率为σ（Dt），T∈ [T，T）是σ（Dt），等等。这也可以表示为σ（Dt，T）=MXi=0σi（Dt）wi（T），（31）wi（T）≡ 1吨-Ti公司- 1吨-Ti+1，i=0，M、 T=0，TM+1=∞, 1x=（1，x≥ 00，x<0。注意，Mxi=0wi（t）=1t- 1吨-∞= 1.t型≥ 因此，如果所有σi（Dt）都相等，即独立于指数i，则公式（31）将减少到前面章节中考虑的情况。需要注意的是，我们的构造意味着波动率σ（Dt）在日历时间T，T，…，随着时间的变化而跳跃，TM，而不是在伽马时钟确定的营业时间ν。否则，波动率函数将在随机（业务）时间发生变化，这意味着它是随机的。但这完全超出了我们模型的范围。因此，我们需要将公式（31）更改为σ（DΓX（t），ΓX（t））=MXi=0σi（Dt）(R)wi（公式（ΓX（t）），（32）(R)wi（t）=1X-1（t）-Ti公司- 1台-1（t）-Ti+1，i=0，M、 X个-1（t）=q- rlog[1- （r）- q） t）]。（33）因此，当使用公式（6）时，我们有σ（Dt，t）t=ΓX（t）=MXi=0σi（Dt）(R)wi（X（t））=MXi=0σi（Dt）wi（t）。（34）因此，如果日历时间t属于间隔t≤ t<t，半群TDν的最小生成元是σ（Dt）的函数（而不是σ（Dν））。截至T≤ t<t我们假设σ（D）=σ（D），即时间常数，它不依赖于ν。

因此，A（在此时间间隔内，我们将其表示为A）仍然是时间均匀的。类似地，我们可以看到，对于T≤ t<t半群TDν的最小生成元ao也是时间齐次的，并且取决于σ（D）等4.2。Bochner从属关系我们从公式（18）和公式（19）的定义开始。现在，我们在ELVG模型中确定了评估时间T=X（T）时到期日为T的欧洲看跌期权价值p（S，T+T，K）=TST[e-rTP（S、T、K）]。（35）很明显，我们对T的值很感兴趣，T=T- T、 同样，我们定义了评估时间T=T时到期日为ν的欧式看跌期权价值。公式（1）asPD（S，T+ν，K）=TDν[e-rνP（S，T，K）]。（36）根据这些定义P（S、T+T、K）T=0=PD（S，T+ν，K）ν=0=P（S，T，K）]。与公式（20）相比，如果t>时出现多次微笑，我们需要将公式（16）中的定义从t 7更改为t→ X（t）总计7→ X（T+T）- X（T）≡ x（T，T）。（37）这一定义意味着两个观察结果。首先，功能x（T，T）在T=0时从零开始，是时间的递增函数。同样，如果r=q=0，我们有x（T，T）=T。因此，x（T，T）可以用作一个好的时钟。因此，与式（5）类似，我们有式[Γx（T，T）]=x（T，T）。（38）其次，在我们的模型中，第2节给出的折扣股票价格是鞅的证明可以重复t次：t<t≤ T、 进行此操作时，在T>Twe时，重置SttoST+T=DΓ的定义x（T，T），T≥ 0。那么，我们现在得到的不是公式（10），而是公式[dST+t]=公式[dDΓx（T，T）]=uEQ[DΓx（T，T）dΓx（T，T）]+等式[σ（DΓ）x（T，T））dWΓx（T，T）]（39）=uEQ[DΓx（T，T）]dx（T，T）=uEQ[DΓx（T，T）]dX（T+T）。另一方面，等式[de（q-r） （T+T）ST+T] = e（q-r） （T+T）{（q- r） 等式[ST+t]dt+dEQ[ST+t]}（40）=e（q-r） t[u+（q- r） STe公司-（r）-q） T]dtOne可以检查u=r时- q等式的RHS。

（40）消失，因此该构造可用于期权定价。式（37）中的定义意味着伽马随机时钟的参数t在点t重置，即在0≤ t型≤ Tit为t 7→ X（t）=X（t）- X（0），当T<T时≤ 第七题→ X（T+T）- X（T）。使用公式（31）中wi（t）的定义，这可以写成ast 7→MXi=0wi（Ti+t）[X（Ti+t）- X（Ti）]（41）重置t也是Carr和Nadtochiy（2017）首次提出的，但形式不同。然后，式（16）中的Bochner积分将toTSTP（S，T，K）=Z变换∞TDνP（S，T+ν，K）νm-1e级-νm/X（T，T）（T*)mΓ（m）dν。（42）由于可处理性的原因，我们仍然希望m≡ X（T，T）/T*= 1、我们需要重新定义*根据公式（41）。基于此，式（20）中的Bochner积分现在最终为sp（S，T+T，K）=Z∞PD（S，T+ν，K）pe-pνdν，p≡ 1/X（T，T）。(43)4.3. 第二项的正向偏分微分方程现在，我们需要推导第二项的正向偏分微分方程，类似于第3.2节中的方法。显然，卖出价格PD（S，T+ν，K）解出了相同的Dupire方程（26）。因此，按照与第3.2节相同的方式，我们将式（26）中定义的线性微分算子L应用于式（43）的两部分。利用间隔[T，T]处dt的时间均匀性和Dupire方程式（26），我们得到-qP（S、T+T、K）- （r）- q） K级KP（S，T+T，K）+σ（K）KP（S，T+T，K）=Z∞体育课-pνh- qPD（S，T+ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，T+ν，K）（44）+σ（K）KPD（S，T+ν，K）idν=Z∞体育课-pννPD（S，T+ν，K）dν=-pPD（S、T、K）+pZ∞PD（S，T+ν，K）pe-pνdν=pP（S，T+T，K）- PD（S、T、K）= p[p（S，T+T，K）- P（S、T、K）]。最后，取T=T- 我们获得卖出价格P（S、T、K）的ODE。σ（K）K- （r）- q） K级K-q+X（T）- X（T）P（S，T，K）=-P（S，T，K）X（T）- X（T）。

（45）这里的局部方差函数σ（K）=σ（K），因为它对应于求解上述ODE的区间（T，T）。我们继续以相同的方式推导出卖出价格P（S，Ti，K），i=1，M、 最终显示σ（K）K- （r）- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1)P（S，Ti，K）=-P（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1). （46）这是一个递归方程，可用于所有i=1，M从i=1开始，受一些边界条件的约束。看跌期权价格的自然边界条件为，Hull（1997）P（S，Ti，K）=0，K→ 0，P（S，Ti，K）=DiK- 合格中介机构≈ 迪克，K→ ∞,（47）其中Di=e-Rtis是折扣系数，Qi=e-qTi。对于看涨期权价格，可以得到一个类似的方程式，其内容如下σ（K）K+（r- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1)C（S，Ti，K）=-C（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1） ，（48）根据边界条件c（S，Ti，K）=QiS，K→ 0，C（S，Ti，K）=0，K→ ∞.(49)5. 下面ODE公式（46）的解决方案，我们使用类似于Itkin和Lipton（2018）的方法，假设局部方差为走向的分段线性连续函数。与Itkin和Lipton（2018）相比，本文使用的是ELVG模型，而不是标准的局部波动率模型。因此，与偏微分（Dupire）方程不同，我们面临的问题是求解等式（46）中的ODE。首先，将因变量从P（S，Tj，K）更改为v（S，Tj，K）=P（S，Tj，K）是有用的- DjK，即所谓的有盖看跌期权。

覆盖看跌期权的优点在于，根据公式（47），其价格服从齐次边界条件。利用这一定义，我们现在以更方便的形式重新编写等式（46）（同时使用一些松散的符号）- v（x）Vx，x（x）+bxVx（x）+b0，jV（x）=cj，（50）b=（r- q） pj，b0，j=qpj+1，cj=V（Tj-1，x）+βx，pj=x（Tj）- X（Tj-1） >0，x=KS，V（x）=V（S，Tj，x），V（x）=pjσ（x）2S。β = -S[Dj（1+pjr）- Dj-1].在等式（50）中，x是货币的倒数。在下面的内容中，我们还假设r>q>0，但这个假设可以很容易地放宽。此外，假设对于每个到期日Tj，j∈ [1，M]市场报价在一系列罢工中提供，i=1，NJ，假设罢工按递增顺序排序。然后，区间【xi，xi+1】上相应的连续分段线性局部方差函数vj（x）读取svj，i（x）=vj，i+vj，ix，（51），其中我们使用超指数0表示v级，超指数1表示斜率v。vj中的子指数i=0，0，vj，0对应于区间（0，x）。由于vj（x）是连续的，我们有vj，i+vj，ixi+1=vj，i+1+vj，i+1xi+1，i=0，新泽西州- 1.（52）vj（x）的一阶导数在点xi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。我们还假设v（x，T）是时间的分段常数函数，即vj，i，vj，i不依赖于T的区间[Tj，Tj+1），j∈ [0，M- 1] ，并跳到点Tj、j处的新值∈ Z∩ [1米]。考虑到上述假设，可通过归纳法求解公式（50）。一个从t=0开始，在每个时间间隔[Tj-1，Tj]，j∈ Z∩ [1，M]解决了V（x）7的等式（50）问题→ P（S、Tj、x）- djSx。由于v（x）是一个分段线性函数，也可以为每个区间分别构造等式（50）的解【xi-1，xi）。

通过考虑v（x）inEq的显式表示。（51），根据公式（50），我们获得了第i个空间间隔-（b+ax）Vxx（x）+bxVx（x）+bV（x）=c（53）b=vj，i，a=vj，i。我们继续引入新的自变量z=（b+ax）b/a，z∈ R+，因此等式（53）转换为-zVzz（z）+（z- q） Vz（z）+qV（z）=χ（54）q=b/b，q=bb/a，χ=c/b。等式（54）是一个非齐次拉普拉斯方程，Polyanin和Zaitsev（2003），第155页。众所周知，如果y=y（z），y=y（z）是相应的齐次方程的两个基本解，那么方程（54）的通解可以表示为v（z）=Cy（z）+Cy（z）+bI（z）（55）I（z）=-y（z）Zy（z）f（z）W zdz+y（z）Zy（z）f（z）W zdz≡ I+I，f（z）=V（Tj-1，z）- k- kz，k=βba，k=-βab，其中W=y（y）z- y（y）zis是所谓的Wronskian，β在式（50）中定义。然后问题是确定齐次拉普拉斯方程的合适的基本解。基于Polyanin和Zaitsev（2003），如果a6=0，他们准备好了（z）=Vi（q，q，z），i=1，2（56），这里Vi（a，b，z）是退化超几何方程的任意解，即Kummer\'s函数，Abramowitz和Stegun（1964）。已知两种类型的Kummer函数，即M（a、b、z）和U（a、b、z），它们是第一类和第二类Kummer函数。众所周知，存在多对这样的独立解。因此，对于所有可能的基本对中z的每个空间间隔，我们必须确定在该间隔内数值上令人满意的一个（关于满意解的详细定义和相应讨论，请参见Olver（1997））。

由于我们的边界条件设置为零且为正，因此我们需要一个数值上令人满意的实线正半解。与Itkin和Lipton（2018）相似，在原点附近，我们选择了数字合成对，Olver（1997）y（χ）=M（q，q，z）=ezM（q- q、 q，-z） ，（57）y（χ）=z1-qM（q- q+1，2- q、 z）=z1-qezM（1- q、 2- q-z） ，W=sin（πq）z-qez/π。然而，在整体附近，数值上令人满意的一对是，Olver（1997）y（χ）=U（q，q，z）=z1-qU（q- q+1，2- q、 z），（58）y（χ）=ezU（q- q、 q，-z） =ezz1-qU（1- q、 2- q-z） ，W=(-1） q-qezz公司-q、 由于两个解J（q，q，z），J（q，q，z）是独立的，等式（55）是q的通解。(54). 应根据函数V（z）的边界条件确定两个常数C，C。走向K空间（或x空间）中ODE公式（53）的边界条件应设置为零和完整。基于局部方差曲线的通常形状及其正性，forx→ 0，我们期望vj，i<0。类似地，对于x→ ∞ 我们预计vj，i>0。在这两个极限之间，假设给定到期日Tjis的局部方差曲线是连续的，但曲线的斜率可以是正的，也可以是负的，参见Itkin（2015）和其中的参考文献。此外，通过定义z=vj，i和Dom（z）=R+。因此，在高走向a=vj时，i>0。因此，公式（54）的边界条件应设置为z=b（对应于边界K=0）和z→ ∞. 这些是等式（47）中给出的边界条件。源项的计算公式（55）中源项pIin的计算可以通过几种方式实现。最前沿的方法是使用数值积分作为卖出价格P（x，Ti-1） 当我们求解T=Ti的等式（50）时，作为xis的函数已经知道。

然而，正如Itkinand Lipton（2018）中详细讨论的那样，函数P（x，Ti-1） 只知道x中的一组离散点。因此，需要某种插值来确定其他点的值。6.1. 无套利插值如Itkin和Lipton（2018）所示，该插值必须保持无套利。因此，例如，标准线性插值不是一个好的候选，因为它违反了无套利条件。事实上，给定三次行权K<K<K的三个看跌期权价格P（K），P（K），P（K），无套利系统的必要和有效条件为，Cox和Rubinstein（1985）P（K）>0，P（K）<P（K），（59）Bs=（K- K） P（K）- （K）- K） P（K）+（K- K） P（K）>0。假设我们想要在区间[K，K]的行权空间中使用线性插值，以确定未知的看跌期权价格P（K），给出P（K），P（K），P（K）的值≡ Pl（K）=P（K）K- P（K）KK- K+P（K）- P（K）K- KK。将此表达式插入公式（59）的第二行时，后者的左手侧消失，因此违反了第三个无套利条件。在Itkin和Lipton（2018）中，我们发现，如果我们使用线性插值（linearinterpolation）和修改后的自变量（进一步将其表示为PF（K）），P（K），这个问题就可以得到解决≡ PF（K）（60）=P（K）f（K）- P（K）f（K）f（K）- f（K）+P（K）- P（K）f（K）- f（K）f（K），其中f（K）是[K，K]中的凸增函数。实际上，如果f（K）是凸的，那么p（K）=PF（K）=Pl（K）- ε、 ε>0（参见Itkin和Lipton（2018）中的图2）。将该表达式代入式（59）的第二行，得到（K- K） ε>0，这是真的。等式（59）中的第二个条件现在为（P（K）- P（K））（f（K）- f（K））（f（K）- f（K））>0，这也是正确的，因为f（K）是K的递增函数。或者，可以使用非线性插值。

在Itkin和Lipton（2018））中，这两种方法都被合并，并且证明了新的插值方案不存在套利。此外，修改后的认沽价格的最终表示形式（这是其方法中的因变量）获得了一个很好的易于处理的表示形式，因此可以以封闭形式计算积分Ican。在这里，我们希望利用相同的想法，从而与数值积分相比，显著提高我们模型的性能。因此，这里我们提出以下插值模式ep（x）≡ PF（x）=γ+γx，x≤ x个≤ x、 （61）γ=P（x）x- P（x）xx- x、 γ=P（x）- P（x）x- x、 然后可以证明类似于Itkin和Lipton（2018）的命题。提案6.1。等式（61）中的插值方案在区间[K，K]是无套利的。证明观察到，等式（59）中的无套利条件是条件sp>0，PK>0，PK，K>0的离散版本，它们依次对应于条件sp>0，Px>0，Px，x>0，x（K）=1/S>0。通过区分公式（61）的第一行，可以检查提议的干扰是否符合这些条件，前提是P是K（或x）的递增函数，假设所有其他参数的值为常数。例如，黑人学者就是这样。由于定义z是x的线性函数，因此可以在zspace中使用类似的插值方案，并提供类似的无套利证明。6.2. 连续区间无套利命题6.1保证，如果任何三次罢工属于同一区间[K，K]，则建议的插值不会在解决方案中引入套利。然而，如果我们考虑K，K，Kas，这是图。