扩展的局部方差Gamma模型

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英文标题：
《An Expanded Local Variance Gamma model》
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作者：
Peter Carr and Andrey Itkin
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The paper proposes an expanded version of the Local Variance Gamma model of Carr and Nadtochiy by adding drift to the governing underlying process. Still in this new model it is possible to derive an ordinary differential equation for the option price which plays a role of Dupire\'s equation for the standard local volatility model. It is shown how calibration of multiple smiles (the whole local volatility surface) can be done in such a case. Further, assuming the local variance to be a piecewise linear function of strike and piecewise constant function of time this ODE is solved in closed form in terms of Confluent hypergeometric functions. Calibration of the model to market smiles does not require solving any optimization problem and, in contrast, can be done term-by-term by solving a system of non-linear algebraic equations for each maturity, which is fast.
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中文摘要：
本文提出了Carr和Nadtochiy的局部方差Gamma模型的扩展版本，将漂移添加到控制基础过程中。在这个新模型中，仍然可以推导出期权价格的常微分方程，该方程在标准局部波动率模型中起到了Dupire方程的作用。本文展示了在这种情况下如何校准多重微笑（整个局部波动率曲面）。此外，假设局部方差是一个逐段线性的走向函数和一个逐段常数的时间函数，该常微分方程以闭合形式用合流超几何函数求解。将模型校准到市场smiles不需要解决任何优化问题，相反，可以通过为每个成熟度求解一个非线性代数方程组来逐项完成，这很快。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：gamma MA模型 GAM Quantitative Mathematical

提出了解决这一重要问题的各种方法，如Itkin和Lipton（2018）中的调查以及其中的参考文献。如Itkin和Lipton（2018）所述，解决校准问题有两种主要方法。第一种方法依赖于一些参数或非参数回归来构建与给定市场报价相匹配的连续隐含波动率（IV）曲面。然后邮件地址：petercarr@nyu.edu（P.Carr），aitkin@nyu.edu（A.Itkin）提交给Elsevier的预印本2018年12月27日，可通过著名的Dupire公式找到相应的局部挥发性表面，参见例如Itkin（2015）及其参考文献。第二种方法依赖于使用分析或数值方法直接求解Dupire方程。这种方法的优点是它可以保证没有套利。然而，Coleman等人（2001年）指出，直接解的问题可能是不适定的，并且计算成本很高。例如，在Itkin和Lipton（2018）中，Dupire方程（抛物线型偏微分方程（PDE））通过i）首先使用拉普拉斯-卡森变换进行求解，然后应用各种变换以获得Kummer超几何函数形式的变换方程的闭式解。尽管如此，它仍然需要一个反向变换来获得最终的解决方案。使用第二种方法时，还必须假设在市场报价未知的情况下，在行权和到期日，局部/隐含波动率表面的行为。

通常，通过可处理性参数，相应的局部方差在对数走向空间中是分段常数，Lipton和Sepp（2011），或分段线性Itkin和Lipton（2018），在成熟时间空间中是分段常数。为了提高校准的计算效率，Carr和Nadtochiy（2017）采取了一个重要步骤，其中引入了局部方差Gamma（LVG）模型（第一个版本指2014年，可在Carr和Nadtochiy（2014）中找到）。该模型假设基础期货价格的风险中性过程是一个纯跳马尔可夫鞅，并且欧式期权价格是在连续的罢工和一个或多个到期日下给出的。作者构造了一个满足单个微笑的时间齐次过程和一个满足多个微笑的分段时间齐次过程。然而，与eg、Itkin和Lipton（2018）相比，他们的构造导致的不是偏微分方程，而是部分微分方程（PDDE），它允许显式校准和快速数值评估。特别是，它不需要应用任何优化方法，而只需要根解算器。在Carr和Nadtochiy（2017）中，该模型用于校准局部波动率表面，假设其在走向空间中的分段恒定结构。对这种校准方法的潜在批评之一是，由此产生的局部波动率函数具有一定数量的不连续性。因此，有利于放松表面的分段恒定行为。这类似于Itkin和Lipton（2018）的开发方式，以克服与Lipton和Sepp（2011）相同的问题。通过这种方式，最近Falck和Deryabin（2017）将LVG模型应用于外汇期权市场，通常期权价格只在五次罢工时报价。

他们假设局部波动率函数在四个内走向子区间中是连续的、分段线性的，在外走向子区间中是恒常的。在Carr和NadtochiyBut中导出的PDDE的闭合形式解，但仅当使用的分析或数值方法不保留套利时。这包括各种插值等。但是，请参见Itkin和Lipton（2018）中关于其假设的评论。（2014），并提供了一些波动率微笑的校准。然而，为了校准模型，作者使用最小二乘法依赖于残差最小化。所以，尽管使用了LVG模型的改进版本，但该方法的计算效率并不完美。Carr和Nadtochiy（2017）的另一个评论是关于假设标的风险中性价格过程为鞅的限制，即等式（1）中的主要驱动过程没有漂移。然而，漂移可能不容忽视。如果漂移是确定性的，例如，当利率和股息是确定性的，并且漂移是它们的确定性函数时，可以通过贴现将校准问题减少到无漂移的情况，但这种假设可能与市场不一致。因此，非常需要对所提出的模型进行扩展，以允许非零随机漂移。尤其值得一提的是，将LVG模型扩展为一个风险中性的价格过程，该过程是通过漂移效应的随机时间变化获得的。这样，与Madan et al.（1998）的局部方差Gamma模型类似，我们引入了随机波动率和随机漂移。有鉴于此，我们在本文中的最终目标如下。首先，我们提出了LVG模型的扩展版本，将漂移添加到控制底层流程中。

事实证明，要继续进行，我们需要重新推导和思考Carr和Nadtochiy（2017）提出的建设中的每一步。我们表明，仍然可以找到期权价格的普通微分方程（ODE），该方程在标准局部波动率模型中起着杜皮尔方程的作用，以及如何在这种情况下校准多重微笑（整个局部波动率表面）。此外，假设局部方差是走向的分段线性函数和时间的分段常数函数，我们根据一致超几何函数以闭合形式求解该常微分方程。将模型校准到市场微笑不需要解决任何优化问题。相反，它可以通过为每个成熟度求解非线性代数方程组来逐项完成，因此速度要快得多。论文的其余部分组织如下。在第2节中，建立了扩展的局部方差Gammamodel。在第3节中，我们使用齐次Bochner从属方法推导了看跌期权价格的远期方程（这是一个普通的微分方程（ODE））。第4节通过考虑局部方差为分段康斯坦丁时间，对该方法进行了推广。在第5节中，导出的ODE的闭合形式解是根据反超几何函数给出的。下一节讨论需要无套利插值的ODE源项的计算。利用Itkin和Lipton（2018）的思想，我们展示了如何构造非线性插值，该插值既能提供无套利，又能提供源项的良好易处理表示，从而可以以闭合形式计算源项中的所有积分。第7节详细讨论了模型中多重微笑的校准。

为了校准单一微笑，我们推导了模型参数的非线性代数方程组，并解释了如何对其初始值进行智能猜测。在第8节中，我们推导了模型参数极值处的ourODE渐近解，从而提高了计算精度和数值解的速度。第9节介绍了一些数值实验的结果，其中模型的标定是按给定的市场微笑逐项进行的。最后一节结束。2、在可能的情况下，我们遵循Carr和Nadtochiy（2017）的注释。设WT为时间指数为t的Q标准布朗运动≥ 0、将随机过程Dt视为时间齐次微分Dt=uDtdt+σ（Dt）dWt，（1）其中波动函数σ是局部的、时间齐次的，u是确定性的。如果σ（D）：R，则存在等式（1）的唯一解→ R在D中是Lipschitz连续的，在单位中满足生长条件。根据式（1），我们有Dt∈ (-∞, ∞) 而t∈ [0, ∞). 由于CED是一个时间齐次马尔可夫过程，其最小生成元a由aφ（D）给出≡uDD+σ（D）Dφ（D）（2）对于所有二次可微函数φ。在这里xis是x上的一阶微分算子。D过程的半群是Dtφ（Dt）=etAφ（Dt）=EQ[φ（Dt）| D=D]，t型≥ 0。（3）根据方差伽马模型的精神，Madan和Seneta（1990）；Madan等人（1998年），与Carr和Nadtochiy（2017年）相似，引入了一种新的过程DΓt，该过程由无偏伽马时钟t所从属≥ 0 isQ{t∈ dν}=νm-1e级-νm/t（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ 电汇/电汇*. （4） 这里是t*> 0是过程的自由参数，Γ（x）是Gamma函数。很容易检查eq[Γt]=t.（5），因此，平均而言，随机伽马时钟Γ与日历时间t同步。对于期权定价问题，我们引入了更复杂的构造。

也就是说，考虑在基本过程St上写下的期权。在不丧失一般性的情况下，为了清晰起见，让我们将下面的STA视为股价过程。在这里，与Carr和Nadtochiy（2017）相比，我们不忽略利率r和连续股息q，假设它们是确定性的（下面为了简单起见，我们将它们视为常数，但这可以很轻松）。然后，让我们确定Statsst=DΓX（t），X（t）=1- e-（r）-q） tr公司- q、 （6）很明显，在极限r→ 0，q→ 0我们有X（t）=t，即在该极限下，我们的构造与Carr和Nadtochiy（2017）中的构造一致，他们考虑了无漂移差异，并假设t=DΓt。也基于等式（5）等式[X（t）]=X（t）。（7） 函数X（t）从零开始，即X（0）=0，是时间t的连续递增函数。实际上，如果r- q>0，则X（t）在t上的t中增加∈ [0, ∞), 和at t→ ∞ 它趋于恒定。在有限的时间范围内实际上并不重要，但对于任何有限的时间，t函数X（t）可以被视为t中的递增函数。如果r- q<0，函数X（t）严格递增t型∈ [0, ∞).因此，X（t）具有良好时钟的所有特性。因此，ΓX（t）具有随机时间的所有属性。在风险中性度量Q下，以无风险利率贴现后的总收益过程，包括基础价格升值和股息，应为鞅，见Shreve（1992）。该过程遵循以下随机微分方程de-rtSteqt= e（q-r） t[（q- r） Stdt+dSt]。（8） 对我们得到的两部分进行期望e（q-r） tSt公司] = e（q-r） t{（q- r） 等式【St】dt+dEQ【St】}。（9） 从式（6）中可以观察到，式（1）式[dSt]=式[dDΓX（t）]=u式[DΓX（t）DΓX（t）]+式[σ（DΓX（t））dWΓX（t）]=u式[DΓX（t）]，（10），因为过程是局部鞅，见Revuz和Yor（1999），第6章。

因此，过程WΓX（t）从WΓt继承该属性，因此等式[σ（DΓX（t））dWΓX（t）]=0。进一步假设伽马过程Γ独立于Wt（因此，ΓX（t）独立于WΓX（t））。然后，可以通过对ΓX（t）的初始条件进行计算，然后通过将t替换为X（t），对ΓX（t）的分布进行积分，从而计算公式（10）中RHS的期望值，即公式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]=Z∞等式[DΓX（t）DΓX（t）|ΓX（t）=ν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）（11）=Z∞等式[Dν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ X（t）/t*.我们考虑式（1）得出的最终等式[Dν]=式[dDν]=式[uDνDν+σ（Dν）DνdWν]=uEQ[Dν]Dν。（12） 对于y（ν）=EQ[Dν| Ds]求解该方程，我们得到EQ[Dν| Ds]=Dseu（ν-s） 。由于时间s上的we条件，这意味着Ds=DΓX（s）=Ss，因此EQ[Dν| Ds]=Sseu（ν-s） 。此外，我们将其代入式（11），设置伽马分布的参数t*打赌*= X（t）（so m=1）并积分以获得dEq[St | Ss]=EQ[dSt | Ss]=uEQ[DΓX（t）DΓX（t）]=Sse-su1- uX（t）。（13） 现在设置m=r- q并求解该方程，我们发现q[St | Ss]=Ss（r- q） e（q-r） （s）-t） 。（14） 将式（14）和式（13）代入式（9），得到de-rtSteqt= 因此，如果我们选择u=r-q、 等式（8）的右手部分消失了，考虑非零利率和连续股息的贴现股票过程变成了鞅。因此，建议的构造可用于期权定价。这种设置可以很容易地推广到与时间相关的利率r（t）和连续股息q（t）。我们把它留给读者。下一步是考虑原始流程和时变流程之间的联系。Bochner（1949）指出，过程GΓtde定义为dgt=σ（G）dw是一个时间齐次马尔可夫过程。

由于确定性过程ut也是时间齐次的，等式（1）中定义的整个过程dt也是时间齐次的马尔可夫过程。因此，半群TStof Stand TDtof DΓX（t）通过Bochner积分tstu（S）=Z连接∞TDνU（S）Q{ΓX（t）∈ dν}，t型≥ 0，（15），其中U（S）是TDT和TSt域中的函数。它可以通过利用D过程的时间均匀性，首先以伽马时间为条件，并考虑Γ和Wt的独立性（或者在我们的例子中为ΓX（t）和WΓX（t））来推导。我们设置参数t*伽马时钟的*= X（t）。然后等式（15）和等式（4）implyTStU（S）=Z∞TDνU（S）e-ν/X（t）X（t）dν。（16） 为了简洁起见，在下面的内容中，我们将此模型称为扩展局部方差gamma模型，或ELVG。3、看跌期权价格的远期方程如下Carr和Nadtochiy（2017）所述，我们解释了估值时间t=0的欧洲债权的半群TSTA的指数t，即成熟日期t。也让测试函数U（S）作为该欧洲主张的结果，即U（ST）=e-rT（K- ST）+。（17） 然后，定义（S，T，K）=TSTU（S）（18）为ELVG模型中T=0时到期日为T的欧洲看跌期权价值。类似地，Pd（S，ν，K）=TDνU（S）（19）将是式（1）模型中t=0时到期日为ν的欧洲看跌期权价值。然后，式（16）中的Bochner积分的形式为p（S，T，K）=Z∞PD（S，ν，K）pe-pνdν，p≡ 1/X（T）。（20） 因此，P（S，X（T），K）由PD（S，ν，K）的拉普拉斯-卡森变换表示，P是该变换的参数。注意p（S，0，K）=PD（S，0，K）=U（S）。（21）要继续，我们需要模拟PD（S，ν，K）的Dupire前向PDE。3.1.

Dupire forward PDED的推导尽管可以通过多种不同的方式进行，但为了兼容性，我们遵循Carr和Nadtochiy（2017）的精神进行推导。首先，用ν区分等式（19），并考虑等式（3）的产量νPD（S，ν，K）=e-rνeνA【A】- r] U（S）=e-rνEQ[A- r] 美国。（22）我们考虑了式（2）中发电机A的定义，并提醒在t=0时，我们有D=S。然后式（22）转换为νPD（S，ν，K）=-rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）+e-rνEQσ（S）SU（S）. （23）然而，我们需要使用一对自变量（ν，K）表示正向方程，而等式（22）是根据（ν，S）推导的。要做到这一点，请注意-rνEQσ（S）SU（S）= e-rνEQσ（S）δ（K- S）= e-rνEQσ（K）δ（K- S）（24）=e-rνEQσ（K）KU（S）= σ（K）KPD（S，ν，K）。下面为了简单起见，我们将下标“0”放在S中，其中Dirac delta函数δ（S）的筛选性质- K） 已使用。而且-rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）（25）=e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q） S（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S）+- （r）- q） （K）- S）（K）- S）+S+（r- q） K级（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q） （K）- S）+- （r）- q） K级（K）- S）+K= -qPD（S，ν，K）-（r）- q） K级KPD（S，ν，K）。因此，使用公式（24）和公式（25），可以将公式（22）转换为νPD（S，ν，K）=-qPD（S，ν，K）-（r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KKPD（S，ν，K）≡ AKPD（S，ν，K），（26）AKPD=-q- （r）- q） K级K+σ（K）KK、 该方程与杜皮尔方程非常相似，具有非零利率和连续股息，参见Ekstrom和Tysk（2012）及其参考文献。请注意，AKis还支持atime均质生成器。3.2. 正向部分微分方程最后一步是将式（26）中定义的线性微分算子应用于式（20）的两部分。