扩展的局部方差Gamma模型

1.KP（K）KPoKPoKPoKPoKPoKPoKPo精确解极化图1：属于连续间隔的三个走向K、K、K。这里，在区间[K，K]处，精确解用红线表示，而我们的二次插值用蓝色表示。相应地，看跌价格P，削减了市场报价，因此它们假设为没有市场套利的准确价格。根据我们的构造，这些价格也没有模型套利。在连续间隔[K，K]处，类似的构造适用。我们必须强调，该图是纯粹的说明性图，无套利插值保证P（K）>0，而图1中的蓝线不支持这一点。然而，如果我们用上述公式画出一幅准确的图，几乎不可能区分红蓝线。因此，我们更改了蓝线的凸度和倾斜度，以使差异可见。根据命题6.1，给定一组K，K，K，插值得出的价格不存在套利。Pgiven的看跌期权价格P，Pat strikes K，K也是如此。现在假设给定K，K，Kand P，P，P，Pwe想要检查这组行权K，K，K的无套利条件。6.1命题在这种情况下没有帮助，所以我们需要对这种情况进行特别考虑。显然，在这种情况下，等式（59）中的第一和第二个条件仍然满足，因此我们需要检查黄油的扩散是否为正。不幸的是，目前我们还没有这个问题的全面分析解决方案，而一些特殊情况可以解决。因此，这仍然是一个悬而未决的问题。然而，我们在数值上检查了这个条件。在这样做的过程中，我们使用Black-Scholes Put价格P，P，Pand构建了一个Bs的2D图，它是等式（59）中第三行的左侧。表1中给出的两种情况的结果如图所示。

2, 3.试验S rσBST KKK1 100 0.01 0.5 2 80 100 1302 100 0.1 0.1 0.1 90 100 105表1：黄油抹布非负性试验参数。σb是Black-Scholes隐含波动率。总的来说，我们进行了大量的测试，没有发现任何一种情况下，黄油的粘性会变差。这部分支持我们的无套利插值。在更复杂的情况下，例如，在K、K、Kwe处涂抹的黄油不是strike Kin，而是使用另一个K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K）。同样，我们的数字测试并没有揭示任何黄油差价会变成负值的情况。6.3. 使用上文提出的插值方案计算远离z=0的公式（55）中的积分，考虑公式（55）中的第一个积分。记住，我们以一定的间隔z计算∈ [zi，zi+1]，我∈ Z∩[1，新泽西州]。

选择解决方案这样做是为了保持P（S，K，T，r）的看跌期权价格的上界≤ Ke公司-rT？。图2：表1中测试1中计算的一组删除线K、K、K的黄油抹布Bs。图3：表1中测试2中计算的一组删除线K、K、K的黄油抹布Bs。式（57）中，P（z，Tj）的插值方案-1） 和式（57）中的Wronskian，并将其替换为式（55）中的第一个积分，我们得到zy（z）f（z，Tj-1） W zdz=Ah- B+BM(-2.- q-1.- q-z） +BM(-1.- q-q-z） （62）+BM(-q、 1个- q-z） i，A=bqπ（1- q） csc（πq），B=a（q+1）（q+2）hab（q+2）aβq- b（q+1）（βb- aγ）+ γ2aq（q+1）- 2abb（q+2）q+bb（q+1）（q+2）i、 B=2aγq（q+1）（1+q）（2+q），B=（abβ- 2bbγ+2aγz）q1+q，B=ahabaβz+abγ- βbb+ γbb型- 亚利桑那州i、 相似（z）f（z，Tj-1） W zdz=‘Ah’BM（q- q、 1+q，-z） +(R)B2 2F（q- q、 1+q；q、 2+q；-z） +(R)B3 2F（q- q、 2+q；q、 3+q；-z） i，（63）A=πzqcsc（πq）Γ（q），B=Aγ- aβb+bγaΓ（1+q），b=Γ（q+1）Γ（q）Γ（2+q）b（aβ- 2bγ）z，B=Γ（q+1）Γ（q）Γ（3+q）ba（1+q）γz，其中pfq（a，…，ap；B，…，bq；z）是广义超几何函数，Olver（1997）。6.4. 计算公式（55）中远离z的积分=±∞在这里，我们以与上一节相同的方式进行操作。

同样，我们将等式（58）中的解与P（z，Tj）的插值方案结合在一起-1） 将它们代入式（55）中的第一个积分，我们得到zy（z）f（z，Tj-1） W zdz=(-1） q-q[CJ+CJ+CJ]，（64）Ji=ZziU（1- q、 2- q-z） dz，C=bγa-βba+γ，C=aβ- 2bγb，C=aγb。众所周知，Abramowitz和Stegun（1964），thatJ=-qU公司(-q、 1个- q-z） 。然后，J，jc可以使用部件积分来求yieldJ=zJ+q（1+q）U(-1.- q-q-z） ，J=zJ+q（2+3q+q）U(-2.- q-1.- q-z）- zq（1+q）U(-1.- q-q-z） 。相似（z）f（z，Tj-1） W zdz=(-1） q-q[CJ+CJ+CJ]，（65）Ji=Zzie-zU（1+q- q、 2- q、 z）dz。Itkin和Lipton（2018）采用Ng和Geller（1970）的方法考虑了积分Ji。从那里借用结果j=Ze-zU（1+q- q、 2- q、 z）dz=-e-zU（q- q、 1个- q、 z），并使用分部积分，我们得到j=zJ+e-zU（q- q- 1.-1.- q、 z），J=zJ-ZJdz=（z- 1） J-Ze公司-zU（q- q- 1.-1.- q、 z）dz=（z- 1） J+e-zU（q- q- 2.-2.- q、 z）。6.5. 一些补充说明基于无套利插值和本节中提出的一些分析，我们设法以闭合形式找到远期方程方程（50）的解方程（55）。如果公式（51）中定义的局部方差函数是线性的，则此构造解决方案在任何区间都是无套利的。换句话说，我们证明了，如果我们考虑，假设3次打击0<K<K<K<K∞ 例如，x=K/S∈ [xi，xi+1]，x=K/S∈ [xi，xi+1]，x=K/S∈ 【xi，xi+1】，则这3点的解服从无套利条件。7.

局部波动率模型中给定术语的smile校准TiCalibration问题可表述如下：给定看涨期权和/或看跌期权的市场报价，对应于一组N次打击{K}：=Kj，j∈ [1，N]和相同成熟度Ti，求出局部方差函数σ（K），这样这些引号就可以解出等式Inq。（46），等式（48）。正如Itkin和Lipton（2018）所述，有两种主要方法可以解决这个问题。第一种方法试图通过使用一些参数或非参数回归来构建与市场报价匹配的连续隐含波动率（IV）曲面，然后通过局部方差和隐含方差之间的众所周知的关系生成相应的LV曲面，也称为Dupire公式，参见例如Itkin（2015）和其中的参考文献。实际上，这种构造应该保证所有的行权和到期日都没有套利，这对于任何基于插值的模型来说都是一个严峻的挑战。如果满足无套利条件，则可以使用Dupire公式计算LV曲面。第二种方法依赖于使用分析或数值方法对相应正演方程（BlackScholes世界中的Dupire方程，或我们模型中的公式（48）、公式（46））的直接解。这种方法的优点是它可以保证没有套利。然而，Coleman等人（2001年）指出，直接解的问题可能是不适定的，并且计算量相当大。在本节中，我们表明，当使用ELVG模型时，第二种方法可以显著简化，因此可以非常快速和准确地校准微笑。此外，为了确定起见，假设所有已知的市场报价都是看跌期权，尽管这很容易放松。此外，假设局部方差的形状由某个函数σj（K）=fj（K，p，…）给出。

，pL），其中p，PLI是一组待确定的模型参数。例如，Lipton和Sepp（2011年）；Carr和Nadtochiy（2017年）假设局部方差是罢工的分段常数函数，而在Itkin和Lipton（2018年）中，这是罢工的分段线性函数。在本文中，我们还假设局部方差是罢工的分段线性函数。此外，对于我们的模型，我们通过第5、6节给出的模型参数获得了看跌期权价格的闭合形式表示。因此，可以按如下方式提供模型到微笑给定集的校准。首先，在模型参数不变的情况下，使用上述x中固定区间的闭式解，我们构造了对所有x有效的组合解∈ R+。第二步，通过求解非线性代数方程组，可以找到局部方差函数vj，i，vj，ican的参数以及积分常数C，Cin公式（55）。7.1. x中的组合解∈ R+假设T=Tjar的卖出价因NJ有序罢工而闻名。图4中示意性地描绘了x线上这些罢工的位置。xv（x）xoBxoBxoB。xnjoBNJ图4:x中组合溶液的构造∈ R+：1（红色实线-实（未知）局部方差曲线），2（蓝色虚线）-分段线性解。回想一下，卖出价格由等式（55）给出，其在区间xi中以更方便的形式给出-1.≤ x个≤ T=tjc处的xind可以表示为asPi（x）=C（1）j，iJ（q，q，z）+C（2）j，iJ（q，q，z）+bI（z）+DjK，（66）z≡ （b+ax）b/a=（vj，i+vj，ix）b/a。这里，为了一致性，我们将属于x和j-th成熟度的i-thinterval的两个积分常数的表示法更改为C（1）j，i，C（2）j，i。对于开放区间Bin图4，因为函数Kν（z）在z时发散→ 0，我们必须把c（1）j，1=0作为边界条件。

因此，等式（66）仅包含一个未知的常数c（2）j，1。对于闭合间隔x∈ 【xi】-1，xi]，我∈ [2，nj]式（66）中的解有两个已知常数C（1）j，i，C（2）j，i，因为x在相应区间上是有限的，并且两个解y（x），y（x）都表现良好。最后，对于间隔x∈ [xnj，∞), 根据式（47）中的边界条件，我们必须设置C（2）2，nj+1=0。严格地说，我们还必须证明在极限x→ 0和x→ ∞ 式（55）中的源项i（z）也消失。这可以类似于Itkin和Lipton（2018）中的提案2。因此，我们有2njunknown常数需要确定。由于局部波动率函数viiscontinuous at points xi，i=1，因此，看跌期权的价格应该是P（x，Tj）。因此，我们要求在点xi，i=1。。。，nj看跌期权及其在x中的一阶导数的解应该是x的连续函数。因此，如果已知局部方差函数，则上述常数可以解出一个2njalgebraic方程组。该系统具有块对角结构，其中每个块是2x2矩阵。因此，它可以很容易地用线性复杂度O（nj）来求解。在计算一阶导数时，我们考虑了这一点，Abramowitz和Stegun（1964）M（a、b、z）z=abM（a+1，b+1，z），U（a、b、z）z=-aU（a+1，b+1，z），（67）zI（z）=y（z）y（z）I+y（z）y（z）Ia、 因此，计算解的导数不会引起任何新的技术问题。7.2. 标定的其他方程式如上文所述，标定局部挥发模型的标准方法如Itkin和Lipton（2018）所述。

也就是说，给定成熟度tjan和局部方差参数vj，i，vj，i的一些初始猜测，我∈ [1，nj]，必须实现面板1中所述的以下步骤，例如，在标准最小二乘法中，实际上，从x开始→ 0表示z=v→ b、 所以b应该是非负的，b≥ 因此，当→ x处为0→ 当b=0时为0。输入：Strokes zi，i∈ [1，nj]，卖出价格Vmarketi，i∈ [1，nj]输出：vj，i，vj，i，我∈ [1，nj]初始化：vj，i，vj，i的初始猜测，我∈ [1，nj]，公差 ;而1 do1。求解C（1）j，i，C（2）j，i的系统；2、计算看跌期权价格V（x）；3、计算总误差 =Pnji=1[V（xi）- V市场（xi）]；如果 >  vj，i，vj，i的新猜测，我∈ [1，nj]；elsebreak；endendAlgorithm 1：使用最小二乘法校准局部波动率模型。这里的Vmarket（zi）是在给定的行权和到期日的市场看跌期权报价。显然，当校准参数的数量（击数）很高时，即使已知闭式解并且可以在步骤2使用，该算法也很慢。如果闭式解不可用，则必须使用步骤2的数值解，情况会变得更糟。然而，在我们的例子中，这个繁琐的算法可以完全消除。事实上，在打击空间的每一点上，我∈ [1，nj]我们有四个未知变量vj，i，vj，i，C（1）j，i，C（2）j，i。我们还有四个包含这些变量的方程，即Pi（x）| x=xi=Pi+1（x）| x=xi，（68）Pi（x）| x=xi=Pmarket（xi），Pi+1（x）x个x=xi=Pi（x）x个x=xi，vj，i+vj，ixi=vj，i+1+vj，i+1xi，i=1，新泽西州。此外，根据等式（52），等式（68）中的最后一行可以重写为循环表达式vj，i=vj，nj+njXk=i+1xk（vj，k- vj，k-1） ，i=0，新泽西州- 1.（69）式（68）是关于4个（nj+1）变量vj，i，vj，i，C（1）j，i，C（2）j，i的4nj非线性方程组。

我们提醒大家，根据边界条件C（1）j，1=C（2）j，nj=0。因此，我们需要两个附加条件来提供唯一的解决方案。例如，交易者通常对单位波动率曲面的渐近行为有了解，根据我们的构造，这是由vj，nj和vj，0决定的。总的来说，求解方程组（68）的非线性方程组提供了问题的最终解决方案。这可以通过使用标准方法来完成，因此，不需要任何优化过程。然而，良好的初始猜测仍然有助于更好（更快）的收敛。7.3. 智能初始猜测公式（66）解的初始猜测可以构造如下。我们利用了这样一个事实，即根据式（50），局部方差函数v（x）可以明确表示为v（x）=bxVx（x）+bV（x）- cVx，x（x）。（70）考虑到成熟度Tjand通过走向空间中步骤h中的二阶近似值的中心有限差来近似衍生工具（参见，例如Itkin（2017）），公式（70）可以用vj，i+vj，ixi=bxVx（xi）+b0，jV（xi）表示- cjVx，x（xi），（71）Vx（xi）=α-1V（xi-1） +αV（xi）+αV（xi+1），Vx，x（xi）=δ-1V（xi-1） +δV（xi）+δV（xi+1），α-1= -hi+1hi（hi+1+hi），α=hi+1- hihi+1hi，α=hihi+1（hi+1+hi）。δ-1=hi（hi+1+hi），δ=-hi+1hi，δ=hi+1（hi+1+hi）。hi=xi- xi-1，我∈ [1，新泽西州]。此外，将卖出价格P（S，Tj，xi）与给定的市场报价相关联，可以明确地找到等式（71）中第一行的右侧。然后可以将其与最后一行ofEq结合起来。（68）产生2（nj）的系统-1） vj，i和vj，i，i的方程∈ [1，新泽西州]。最后，我们考虑了x中波动率曲面在零和完整时的渐近行为，根据我们的构造，它由vj，nj和vj，0确定，并且假设已知。

因此，我们得到了一个2（nj）的封闭系统-1） 带带状矩阵的线性方程组，可以用线性复杂度轻松求解。这为走向空间中整个区间的局部方差函数提供了一个明确的表示，该区间是根据我们的近似值确定的，其中连续导数被有限差分代替。请注意，在第一个和最后一个走向间隔处，通过中心界限差异对第一个和第二个导数的近似应替换为单侧近似，详情请参见Itkin（2017），第2章。在某些打击中，这种解决方案（聪明的猜测）也可能导致负局部方差。在这种情况下，我们再做一步，这是一种平滑。也就是说，我们从初始猜测中排除局部方差为负的所有值，并使用剩余点创建样条曲线。然后，将初始猜测中的负值替换为构造样条曲线给出的值。最后一步利用ELVG模型中卖出价格的精确表示式（66）。由于方差函数在上一步中已经已知，该方程包含两个已知常数C（1）j，i，C（2）j，i。因此，可以通过求解由等式（68）的第一行和第三行表示的两个线性方程组来找到它们。然后，在这最后一步完成后，确定所有未知变量，因此找到的解可以作为一个受过教育的初始猜测，用于数值求解等式（68）。8、渐近解在许多实际情况下，要么某些系数a=vj，i，要么两者b=vj，i，a=vj，iinEq。（53）较小。当然，在这种情况下，方程（66）的通解仍然有效。然而，在这种情况下，当用数值计算Kummer函数的值时，数值误差会显著增加。这在计算积分I时尤其明显。