异质信念和限制参与下的价格影响

无论何时| Ik |≥ 所有k保持3次∈ K、 唯一的纳什均衡（X*i；我∈一） 从定义上讲，存在第1.2条。此外，对于任何初始收集（Xi；i∈ （一）∈气∈ISXi, 如果归纳地定义了更新序列xni：=B-Xii+πiXn公司-1.-我-1πi-Xi，i∈ 一、 n个∈ N、 它坚持认为→∞Xni=X*我，我∈ 一、 定理1.3不仅保证了唯一纳什均衡的存在，而且还提供了一个迭代算法来数值计算均衡需求和价格影响。这些计算的唯一输入是交易员的参与限制集（Ki；i∈ 一） 和矩阵（Bi；I∈ 一） 。这是该模型的一个非常重要的特征，它突出了协方差矩阵中信念的差异与诱导价格影响之间的联系。回想一下（1.1），矩阵（Bi；i∈ 一） 受交易者对证券协方差结构的风险厌恶和信念的影响；均衡价格影响将不取决于交易员对证券预期和对冲需求的信念，即向量（gi；i∈ 一） 。然而，这些功能仍然是模型的重要组成部分，因为它们影响交易后的单个和聚合公用事业，从而影响市场的效率。从（1.5）和（1.6）中注意到，纳什均衡是一种非贸易均衡（即，所有i∈ 一） 当且仅当所有向量（gi；I∈ 一） 都是平等的。事实上，这正是竞争均衡的情况：交易者最初处于帕累托最优状态，当且仅当所有向量（gi；i∈ 一） 都是平等的。1.6. 比较静力学。可交易资产协方差矩阵信念的差异对均衡价格影响以及市场效率和效用收益具有重要影响。我们的市场模型的主要输入是交易者的协方差矩阵，根据他们的风险容忍系数进行适当的缩放。

在这种情况下，以下结果表明，相对于这些协方差矩阵，均衡价格影响是单调增加的（以正半限定顺序）；证明直接来自引理4.9。提案1.4。设B=（Bi；i）∈ （一）∈气∈ISXiB=（Bi；i∈ （一）∈气∈ISXiB如此B B、 如果∧=（i；i）∈ （一）∈ （S）)Iand∧=（i；i）∈ （一）∈ （S）)对于关联的唯一均衡价格影响，则∧ Λ.这一结果符合【Malamud和Rostek，2017，定理2，第（ii）项】，但我们进一步考虑了异质协方差矩阵，而不仅仅是不同的风险规避。异质信念和限制参与下的价格影响13回想一下Bi=δiC-十二、对于我∈ 一、 因此，如果一个交易者相信市场方差会增加（保持风险容忍度不变），均衡价格影响会增加，即使是交易者确实可以接触到的资产，更重要的是，所有其他交易者也会受到同样的影响。这一点在任何市场的有限参与设置和收益率下都成立，即在估计风险较高的市场中（所有其他因素都相同）存在较高的价格影响。直觉上，更高（Ci；i∈ 一） ，即较低（Bi；I∈ 一） ，意味着所有贸易商的需求斜率都较低。后者意味着需求函数的弹性较低，因此交易者需要更高的价格补偿来提供仓位，从而产生更高的价格影响。当客观方差保持不变且交易者的风险容忍度（δi；i∈ 一） 增加。对支付（co）方差的不同信念会影响均衡内交易者价格影响的比较。根据命题1.4和相关文献，可以合理预期，与风险厌恶程度较高的交易对手相比，需求弹性函数较低的交易员在均衡时具有更高的价格影响。

当卵巢矩阵对所有交易者来说都是常见的，交易者的异质性源于不同的TRISK厌恶时，情况确实如此；特别是，风险厌恶程度较低的交易者对价格影响的均衡程度较高，参见【Malamud和Rostek，2017年，定理2】。然而，当市场至少有两种资产，且需求函数斜率的异质性还涉及协方差矩阵时，这种单调性就没有必要发生：需求函数弹性较小的交易者在资产的二阶矩上存在分歧时，不一定具有较高的价格影响。这种情况通过§4.7中制定的指示性反例加以证明。我们正式声明这一结果。提案1.5。让Ki=K，对于所有i∈ I和| Ik |≥ 每k 3个。然后，Bi Bj并不一定意味着∧*j Λ*ifor（i，j）∈ I×I，其中（λ*i；我∈ （一）∈ （S）)我认为这是独特的均衡价格影响。在市场微观结构文献中，一个风险中性交易者的均衡通常假设一些交易者是风险中性的，这一假设通常强加给做市商或流动性提供者。虽然纳什均衡的定义和定理1.3不能直接应用于风险中性交易，但我们可以通过限制程序来适应这种情况。为此，我们应考虑一个偏好接近风险中性的交易员，即交易员效用的二次部分收敛于零（例如，当交易员的风险容忍度收敛于整数时）。如下面的命题2.1所示，相应的平衡序列收敛到一个明确的极限；其证明见§4.6.14 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARASProposition 2.1。设I={0，…，m}，其中m≥ 2.

考虑固定（Bi；i∈ I \\{0}），以及非减量序列（Bn；n∈ N） 拥有Limn的财产→∞（十亿）-X=0。如果（Xn；n∈ N） 表示对应于（Bn；N）的平衡序列∈ N） ，然后（Xn；N∈ N） 单调收敛到极限X∞∈气∈ISXi. 此外，（X∞i；我∈ 一） 解决systemX∞我=B-Xii+πi十、∞-我-1πi-Xi，i∈ I \\{0}，X∞=π十、∞-0-1π-十、 在命题2.1的背景下，进一步假设K=K，即交易者0可以进入整个市场。我们可以将这位交易员解释为一位渐进风险中性的市场庄家，为市场上的所有证券报价。假设做市商是风险神经型和战略型的，这在文献中很常见，见Kyle【1985】、Farmerand Joshi【2002】、Biais等人【2005】及其参考文献。在这种情况下，平衡公式被简化，因为我们很容易得到∞=十、∞-0-1.-1=X∞-0，但是X∞-i=2倍∞-0-十、∞我为所有我∈ I \\{0}，因此我们得到（X∞i；我∈ I \\{0}）求解系统（X∞（一）-Xi=B-Xii+πi2倍∞-0- 十、∞我-1πi，i∈ I \\{0}。在完全参与的情况下，【Malamud和Rostek，2017年】表明，风险厌恶程度较低的交易员在纳什均衡中具有较高的价格影响。基于上述限制性结果，我们可以检验风险中性交易者的价格影响是否足以在非竞争性市场中产生比竞争性市场更多的效用收益（即，当没有价格影响时）。让所有交易者都是价格接受者意味着∧i=0对于每个i∈ 一、 因此，我们直接从（1.6）得到，竞争均衡价格等于（2.1）pco=Xi∈IBi！-1十一∈伊比吉！，根据（1.5），相应的竞争均衡分配为（2.2）qcoi=Bi（gi- pco），我∈ 一、 请注意，对于所有I，qcoi=0∈ 一、 当且仅当gi=pcofor all I∈ 一、 也就是说，当向量gi对于所有交易者都相同时，I∈ 我

换言之，只有在交易者已经处于竞争平衡且没有进一步交易的情况下，才有一个共同的GI向量，这对双方都是有利的。在竞争性市场环境中，异质信念和限制参与下的价格影响15，由于所涉及的公用事业的现金不变性，在市场清算条件下，交易者的公用事业之和最大化。然而，这并不意味着当市场变得没有竞争力时，每个交易者都会失去效用。事实上，根据【Anthropelos，2017】、【Anthropelos and Kardaras，2017】和【Anthropelos et al.，2020】中研究的瘦风险分担市场的非竞争市场模型，风险厌恶程度极低的贸易商更喜欢非竞争市场。事实证明，在目前的价格影响模型下，情况也是如此。以下结果表明，当限制性交易为非零时，非常接近风险中性的贸易商倾向于非竞争性均衡而非竞争性均衡。提案2.2。设K=K。交易者0将是δ→ ∞, 而交易员I\\{0}是固定的。那么，在极限下，我们有limδ→∞{U（q*) - 总部*, p*我- u} |{z}纳什效用收益≥ limδ→∞{（U（qco）- hqco、pcoi- u） }{z}效用收益在竞争=0时，前面的不等式是严格的，除了（无趣的）情况limδ→∞q*= 0.证明。让我们首先考虑一下竞争激烈的市场。每个交易者的需求函数i∈ 当每个i∧i=0时，给出的Iis作为问题（1.3）的解决方案∈ 我

因为B=δC-1从（1.1）中，方程式（2.1）和（2.2）给出thatlimδ→∞pco=克；limδ→∞qco=- limδ→∞xi∈I \\{0}qcoi=Xi∈I \\{0}δiBi（g- gi）。然后，作为δ→ ∞,U（qco）- hqco、pcoi- u=hqco，g- pcoi公司-2δhqco，Cqcoi→ 另一方面，根据（1.5），（1.6）和命题2.1，从这里可以看出（X*i；我∈ 一） 收敛为δ→ ∞ 和X*= 十、*-0在极限范围内，我们得到Limδ→∞p*=g+（X∞)-1十一∈I \\{0}X∞igi；limδ→∞q*=十、∞g级-xi∈I \\{0}X∞igi公司.因此，它遵循U（q*) - 总部*, p*我- u→*十、∞十、∞g级-xi∈I \\{0}X∞igi公司, 十、∞g级-xi∈I \\{0}X∞igi+。自X起∞为正定义矩阵，上述限值为非负，且当且仅当X时等于零∞g级-圆周率∈I \\{0}X∞igi=0；后者相当于limδ→∞q*= 016米哈伊尔·安索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯3。关于引言中提到的限制参与和市场效率，与非限制情况相比，在存在价格影响的情况下，存在在市场参与限制下产生社会效益的情况。证券收益协方差结构中的信念差异是这种现象的关键部分。下面的例子明确计算了均衡数量，直观地说明了当施加限制时，交易者之间在协方差矩阵上的分歧如何增加总效用。在整个第3节中，假设两个证券和四个交易员：K={1，2}，I={0，1，2，3}，δI=1适用于所有I∈ 一、 I中的交易员-0={1，2，3}是假设的，因此gi=0，Ci=Cfor i∈ 我-0，其中c=1 00 1！。交易员0同意其他交易员的资产方差，但对证券相关性的看法不同，即C=1ρρ1！，带ρ∈ [-1, 1].

最后，我们设置g=（γ，γ）∈ R \\{0}并回顾vector gtakes不仅考虑了证券支付的主观预期，还考虑了它们与交易者初始禀赋的协方差。例如，γ的正值并不一定意味着交易者0比其他交易者对第一种证券更乐观，可能只是反映了交易者在对冲需求方面的差异。3.1. 限制参与。我们假设-0没有交易限制（Ki=K，对于i∈ 我-0），而交易员0仅限于交易第一项资产（K={1}）。写入（Xri；i∈ 一） 对于方程组（1.7）的解，上标“r”表示受限参与。根据对称性，Xr=xri适用于所有i∈ 我-注意到每当（i，j）6=（1，1）时，Xr（i，j）=0，我们得到方程1/Xr（1，1）=1+（1/3）（1/Xr（1，1）），Xr=C+（Xr+2Xr）-1.-事实上，可以明确地解决上述问题，直接检查这些方程的（唯一）解和诱导均衡价格影响是否为xr=2/3 00 0！，Xr=2/3 00 1/2！，∧r=1/2 00 2/3！，∧r=1/2 00 1！。尽管交易员0被限制在第一证券中交易，但所有均衡价格都受到影响。异质信念和限制参与下的价格影响17根据（1.6），限制参与设置下的均衡价格向量为pr=（Xr+3Xr）-1Xrg=（γ/4，0）。同时（1.5）得出平衡位置qri=-Xripr公司=-（γ/6，0）对于i∈ 我-0，位置qr=-3qr=（γ/2，0）对于交易者0；当γ>0时，trader0以正价格从其他交易者手中购买第一种证券。请注意，第二项资产没有交易，因为所有不受限制的交易员都是相同的，没有共享风险或信念的空间。根据相关文献，我们用总效用来衡量市场效率。

因此，在限制参与的情况下，在平衡状态下，这个数量等于∈我hqri，gii-2δrihqri，Ciqrii= hqr，gi-hqr、Cqri- 3hqr，qri=γ。正如预期的那样，更高的均衡交易会导致更高的交易福利。在这种限制参与的情况下，信念的差异并不重要，因为交易双方同意第一项资产的差异。交易后交易者0的效用收益为γ/4，分解为U（qr）- u=3γ/8，来自终端位置的效用增益，以及-hqr，pri=-γ/8，即现金转账。另一方面，对于每个交易者，我∈ 我-0，交易后效用增益为γ/36，分解为Ui（qri）- ui=-γ/72和hqri，pri=现金补偿的γ/24。因此，效用收益的来源是交易者0的Hedging和其他交易者承担风险的现金补偿。3.2. 全面参与。在这里，我们解除交易员0面临的限制，假设所有交易员i的Ki=k∈ 一、 写入（Xfi；I∈ 一） 对于方程组的解，上标“f”表示完全参与。这种完全参与均衡是一个更复杂的问题，但我们将在下面推导出一个解析表达式。根据对称性，所有i的Xf=xfi∈ 我-0，我们有方程xf=C+（3Xf）-1.-1辆XF=C+（Xf+2Xf）-1.-1将第一个替换为第二个，我们得到（Xf）-1=C+（（C+（3Xf））-1)-1+2Xf）-1如果我们可以解决后一个问题，那么我们也就得到了Xf的值。我们重写CasC=V1+ρ00 1- ρ!五、 其中V=√1 11 -1.注意，V是对称的和酉的：V=id，其中id代表2×2单位矩阵。因此，V平凡地对角化了单位矩阵C。因此，V XfV将是18 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARASalso对角线。

为了简化下面的符号，定义矩阵xdρ：=1/（1+ρ）00 1/（1- ρ)!,所以C-1=V DρV，对于函数h：（0，∞) → 对于具有对角线项（h（1/（1+ρ））、h（1/（1））的2×2对角矩阵，R写入h（Dρ- ρ))). 然后，对上述矩阵方程进行求解，得到xf=V h（Dρ）V，其中h（x）=-x+s-x个+x、 x个∈ (0, ∞).然后，它也来自Xf=C+（3Xf）-1.-1thatXf=V h（Dρ）V，其中h（x）=（x-1+（3h（x））-1)-1=3xh（x）x+3h（x），x∈ (0, ∞).因此，完全参与均衡下的价格影响为∧f=Vh（Dρ）V，∧f=Vh（Dρ）V，其中h（x）=3h（x）和h（x）=h（x）+2h（x）=x+3h（x）h（x）（5x+6h（x）），x∈ (0, ∞).完全参与均衡价格由PF=（Xf+3Xf）给出-1Xfg=V（h（Dρ）+3h（Dρ））-1h（Dρ）V g。我们直接从（1.5）中得到，交易者i∈ 我-0平衡位置qfi=qf，其中qf=-Xfpf=-V h（Dρ）（h（Dρ）+3h（Dρ））-1h（Dρ）V g=Vη（Dρ）V g，η（x）=-h（x）（h（x）+3h（x））-1h（x）=-h（x）1+3h（x）/h（x）=-xh（x）2x+3h（x），x∈ (0, ∞).然后，我们计算出在完全参与的纳什均衡中的总效用等于∈我Dqfi，giE-2δiDqfi，CiqfiE=Dqf，gE-Dqf、CqfE- 3Dqf，qfE=gVκ（Dρ）V g，其中κ（x）=-3η（x）-η（x）x-η（x），x∈ (0, ∞).异质信念和限制参与下的价格影响193.3。效率比较。借助于充分参与和限制参与下均衡价格和数量的分析公式，我们能够比较效用差异，并确定限制参与产生更高福利的情况。在这种情况下，根据对相关性的不同看法，施加贸易限制是社会上的最佳选择。

我们直接计算出完全参与均衡和限制参与均衡中总效用之间的差异为（3.1）gVκ（Dρ）V g-g1 00 0！g=gVκ（Dρ）-1 11 1!!V g.为了看看这个二次型是否会变为负，我们需要检查矩阵的最小特征值是否为：=κ（Dρ）-1 11 1!=κ((1 + ρ)-1) - 1/6 -1/6-1/6 κ((1 - ρ)-1) - 1/6!对于ρ的某些值，变为负值。矩阵M iseM（ρ）最小特征值的解析表达式：=κ（（1+ρ）-1) + κ((1 -ρ)-1) - 1/3 -p（κ（（1+ρ）-1) - κ((1 -ρ)-1))+ 1/9.图1给出了上述表达式关于ρ的曲线图。函数emisymetric，且仅当相关性接近1时，M的两个特征值，因此效用差（3.1）始终为正。对于任何|ρ|的值，只要远离一且不同于零，就有在受限参与环境中获得更高福利的价值，这使得限制交易者0使用第二种证券成为社会最佳选择。备注3.1。上面的例子展示了一种情况，即取消一个交易者的参与限制会导致较低的总效用收益。人们可能会猜测，这种效用损失的原因是，这种特定交易者在完全参与的情况下具有更高的价格影响，利用这种影响会降低交易的福利。然而，情况并非如此：我们将在下面显示∧f 所有ρ的∧rholds∈ [-1, 1]. 实际上，后者相当于12（V∧rV-~h（Dρ））为正定义。我们计算12V∧rV=61 11-1.1/2 00 2/3!1 11 -1!=7.-1.-1 7!,此外，由于▄h（x）=1/4- 5倍/12+q（1/4- 5倍/12）+2倍/3=-3倍+5倍+q（3倍- 5） +96/x，20米歇伊尔·安特罗佩洛斯（MICHAIL ANTHROPELOS）和康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯（CONSTANTINOS Kardaras）图1。矩阵M的最小特征值是trader 0\'scorrelation参数ρ的函数。