异质信念和限制参与下的价格影响

套利者可以获得所有可交易资产，并在古诺式的框架中进行战略性行为，而投资者则被假定为价格接受者。在我们的模型中，所有交易者都采取战略性的行动，当大型投资者知道他们可以影响市场时，即使他们被限制只交易证券的一部分，这也更加合适。我们的工作还为金融市场的建模提供了新的理论结果。在相关经验证据的推动下，几位作者研究了大型投资者价格对金融市场影响的模型；Rostek andYoon【2020年】最近对这条链进行了文献综述。特别是，Rostek和Weretka【2015年】本着Kyle【1989年】和Vayanos【1999年】的精神，开发了一种统一价格的双重拍卖，其中（在我们的模型中）贸易商在需求斜率博弈中进行战略性行为，与剩余供应进行交易；他们对待这个游戏的动态版本，但是假设交易者有相同的信念和风险厌恶。在竞争性市场结构下，参与限制可能是内生的，参见Carosi et al.（2009）和Calvet et al.（2004）。6《马拉默德》（Malamud）和《罗斯泰克》（Rostek）[2017年]中考虑了米切尔·安瑟罗·佩洛斯（MICHAIL ANTHROPELOS）和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯（CONSTANTINOS KARDARASA）类似类型的游戏，研究了当具有潜在不同风险厌恶的交易员在分散的市场交易资产时，这种战略行为的影响。此外，我们还考虑了信念的异质性，而不是分散的市场，我们关注的是有限的参与；在我们的环境中，我们确定了灰平衡在全球是唯一的，而分散市场环境中的唯一性仅在局部存在。如前所述，对支付（co）方差矩阵的不同信念严重影响了市场的效率。

特别是，与分散和集中市场之间的比较不同，限制参与可能会导致更高的效率，即使交易员具有相同的风险承受能力。也有大量文献介绍了对于每个战略交易者具有外生给定价格影响函数的金融市场，如Almgren和Chriss【2000】和Almgren等人【2005】。我们偏离了这种文学；与Kyle【1989】、Rostek和Weretka【2015】和Vives【2011】类似，我们模型中的价格影响是作为市场均衡的一部分内生性推导出来的。其他风险共担的完全参与的非竞争性均衡模型包括Anthopelos【2017】（其中交易者战略性地选择风险共担的程度），Anthropelos和Kardaras【2017年】（交易员的策略集包括所有可能的共享证券和定价内核，这些都符合Arrow–Debreu共享规则）和Anthropelos等人【2020年】（交易员的策略与需求弹性相一致）。论文的结构。第一节介绍了价格影响模型，陈述了主要结果，并提供了比较静态数据。第2节研究了风险中性雷达的极限平衡，并讨论了其见解。第3节专门介绍了一个例子，该例子强调了通过限制增加福利的可能性。第4.1节提供了所有证明。限制参与的均衡价格影响1.1。交易员、证券和票据。在市场上，我们考虑一定数量的贸易商，并使用指数集I来表示它们。有一定数量的可交易风险证券，其指数集由K表示。交易者可能被限制交易一些风险资产：这是通过假设交易者∈ 我只能访问（实际上，我被允许交易）Ki的一个子集 证券的K。

换句话说，交易员i∈ 我可以在X的子空间中选择证券单位≡ RKdefined viaXi：={x∈ X | xj=0，j∈ K\\Ki}，i∈ 一、 马拉默德（Malamud）和罗斯泰克（Rostek）[2017]的研究表明，当交易者具有相同的风险厌恶时，集中化市场在社会上总是比分散化市场更好。我们在这里表明，当领导者对资产的第二时刻存在分歧时，这不一定是真的。Babus和Partatore【2019年】也强调了战略投资者异质信念的重要性。其中，交易是通过中介机构进行的，这表明，当投资者的分歧较低时，一个分散的市场结构可能会在均衡状态下内生产生；然而，在中央集权的市场中，投资者的福利总是高于分散的市场。在异质信念和限制参与下的价格影响7我们将完全参与称为Ki=K的市场环境，对于所有i∈ 一、 在给出模型结构的更多细节之前，我们需要建立一些必要的定义和符号。对于每个i∈ 一、 我们将用π表示空间Xi上x的投影算子：对于x∈ 十、 πix的作用是保持与Ki相对应的X的所有坐标条目不变，同时将与K相等的X的所有坐标条目设置为零。我们还定义了作为S上X的所有线性、对称、非负定义的集合, 我们定义了部分订单 维亚阿 B<==> （B）-（A）∈ S.此外，对于X的子空间Y，设SY包括∈ S所有x的Ax=0∈ 与Y正交，并且在Y上是严格正定义的：如果Y∈ Y是这样的，hy，Ayi=0，然后Y=0。在此符号下，B∈ SXi公司可以看作是K×K矩阵，其中只有元素Bj`和（j，`）∈ Ki×Kim可能是非零的。还请注意，对于所有B∈ SXi公司, 它保持πiB=B=Bπi。

对于∈ SY公司和B∈ SY公司, 我们写了一个YB表示（B-（A）∈ SY公司.此外，对于B∈ SXi公司, 我们将用B表示-西施的独特元素在Xi上，与B的唯一逆相一致；换句话说，为了计算B-Xi，我们考虑Ki×Kisub矩阵的逆，并将其余元素设置为零。对于k∈ K、 定义Ik：={i∈ I | k∈ Ki}是有权获得交易安全k的交易者集合。任何有意义的均衡模型的最低要求是| Ik |≥ 2，对于所有k∈ K、 当我们稍后处理价格影响时，我们将看到略微强劲的条件| Ik |≥ 3，对于所有k∈ K、 是平衡存在（和唯一）的必要条件和充分条件。1.2. 偏好和需求。让我们≡ （Sk；k）∈ K） 表示所有可交易证券的支付向量，假设这些证券是线性独立的。此外，我们让Eidenote确定交易员i的初始头寸（随机捐赠）∈ 一、 请注意，我们不限制其属于S的范围。根据相关文献，例如，Kyle【1989】、Vayanos【1999】和Malamud and Rostek【2017】，我们采用了经典的CARA normal设置。更准确地说，我们假设所有交易者都是常数绝对风险厌恶（CARA）期望效用最大化者，向量（Ei，S）在交易者的主观概率Pi i下具有联合高斯定律∈ 一、 设Ci为Piof S下的协方差矩阵，其中只考虑Kia的分量，其他项等于零。证券的线性独立性意味着Ci∈ SXi公司, 对于每个i∈ 我

此外，让ci∈ 输入为k的向量的Xistand∈ Ki是Pi下EI和Sk以及fi之间的协方差∈ xidenothe输入k的向量∈ Ki是Piof Sk下的期望值。在本文中，h·、·i表示标准的欧几里德内积。后一种关于线性纳什需求均衡的假设的必要性在文献中是众所周知的，例如，见Kyle【1989】和Vives【2011】。8 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS Kardarasth交易员i的基准效用（当没有投资于S时）∈ I被设置为randomendowment的确定性等价物，即isui：=-δilog Ei经验值-Eiδi∈ R、 其中δi>0是交易者i的风险承受能力∈ 一、 然后，位置q∈ Xion证券交易员i∈ 我被允许交易，导致确定性等同于毒性3 q 7→ Ui（q）≡ -δilog Ei经验值-Ei+hq，Siδi= ui+总部，fi- （1/δi）cii-2δihq，Ciqi。为了简化以下分析的符号，我们进一步定义（1.1）gi：=fi-δici，Bi：=δiC-Xii，其中Bi∈ SXi公司和gi∈ xi因此，交易员i∈ 我的偏好数值表示为以下线性二次函数（1.2）Xi3 q 7→ Ui（q）=Ui+hgi，qi-Dq，B-谢克。上述GI包括交易者对支付的预期FI，但也考虑了对冲需求：积极的CI意味着出售证券往往会降低交易者的风险敞口。这种对冲需求构成了分析的关键部分，激励交易员进行交易，即使他们有相同的信念。特别是，如果且仅当所有（gi；i）的情况下，我们可以直接得出不存在交易（在竞争和非竞争环境中）的结论∈ 一） 是平等的；见下文（1.5）、（1.6）、（2.1）和（2.2）。

矩阵B-xiicaptures综合交易员的风险承受水平和证券的主观协方差矩阵。最后，请注意，确定性等价物衡量货币方面的效用，有助于不同均衡之间的效用比较。应强调该模型所适应的多层次异质性。特别是，我们允许：i）交易者风险厌恶的异质性；ii）交易者对证券预期和协方差结构的主观信念的异质性；Andii）交易员的初始随机捐赠，这些捐赠可能不会被证券覆盖。请注意，线性二次函数（1.2）比CARA normal设置稍微更一般，因为这种函数可能是交易者的主要目标函数（CARA normal设置下的确定性等价只是一个特例）。在CARA预期效用和高斯分布的标准设定下，【Anthropelos，2017】和【Anthropeloset al.，2020】的非竞争模型也考虑了一般初始随机捐赠。其中，需要强调的是，CAPM的贝塔值变成了预测的贝塔值，即交易者随机捐赠的贝塔值投影到可交易证券的跨度上。在异质信念和限制参与9下的价格影响据我们所知，这是在非竞争环境下的第一项工作，无论有无限制参与，都允许同时进行上述所有工作。如导言部分所述，上述所有异质性都是相当合理的，特别是在价格影响模型下，每个交易者的个人特征和信念都会影响均衡交易。1.3. 价格影响。

在竞争激烈的市场环境下，每个交易者∈ 我被认为是一个接受者；因此，对于任何给定的证券价格向量p∈ 十、 目标是最大化实用程序Ui（q）- hq、pi、超额需求向量q∈ xi然而，正如导言部分所强调的那样，有几个证券市场存在这样的价格假设问题。特别是在这里讨论的受限参与环境下，大型投资者影响市场的可能性更大，因此需要考虑市场中参与交易者的战略行为。我们考虑并分析了线性投标计划中贝叶斯纳什市场均衡的概念，如Rostek和Weretka【2015】以及Malamud和Rostek【2017】等。假设所有交易者都是战略性的，交易中不涉及噪音交易者或没有价格影响的交易者。我们扩展了Rostek和Weretka【2015】中出现的一轮完全参与博弈，因为在我们的环境中，交易者有不同的偏好（无论是在风险规避方面，还是在预期和协方差方面），并且不一定能够获得所有证券。另一方面，马拉默德（Malamud）和罗斯泰克（Rostek）[2017]的分散市场（Decentralizedmarket）在可能的交易限制方面有着更丰富的结构，但所有交易员对证券的协方差都有相同的主观观点。重要的是要指出，尽管交易员可能只能获得所有证券的一部分，但他们的收益将影响所有证券的均衡价格和配置。下面，我们给出了在给定价格影响的情况下，个体交易者最优配置的论证路线。

我们关注Weretka【2011年】和Rostek与Weretka【2015年】，因为交易员认为他们提交的订单会对价格产生线性影响；更准确地说，净订单q∈ XI交易员i∈ 我将价格移动∧Iq、 其中∧i∈ S是所谓的价格影响（类似于Kyle的lambda-Kyle[1989]），最终将在均衡中内生决定。让ep∈ X是交易前证券价格的向量。在此linearprice影响设置下，分配q∈ XI交易员i∈ 我将花费hq，pi=hq，ep+∧iqi，其中P=ep+∧iq将是实际的交易证券价格。这意味着交易员i的交易后效用∈ 我将等于（q）- hq，pi=ui+hq，gi- 计划免疫-Dq，B-谢克- hq，∧像质计。价格影响矩阵∧iis对称的要求并非没有经济动机。事实上，对称需求斜率与效用最大化交易者的需求函数是一致的，参见amongothers，【Mas Colell等人，1995年，第3章】。10 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARASGiven∧i，每个交易者i∈ 我想通过从允许的子空间Xi中选择需求向量sq来最大化上述效用。因此，对于交易前价格ep，交易员i∈ I面为（1.3）qi=argmaxq∈xi总部，gi- 计划免疫-Dq，B-谢克- hq，∧像质计.由于上述最大化问题在Xi上是严格凹的，我们可以使用一阶条件进行优化，从而给出gi- πiep- B-谢琦- 2πi∧iqi=0；换句话说，gi- πi（ep+λiqi）=B-Xiiqi+πi∧iqi<==> gi公司- πip=（B-Xii+πi∧iπi）qi，其中πiqi=qi的事实成立（自qi起∈ 使用Xi）。请注意，上述一级订单条件与【Malamud和Rostek，2017，优化关系（5）】一致，调整为我们的限制参与设置。

自从B-Xii+πi∧iπi∈ SXi公司, 定义（1.4）Xi后：=B-Xii+πi∧iπi-xi∈ SXi公司, 我∈ 一、 注意到XiπI=Xi，我们得到（1.5）qi=Xigi- 第十九页。概括地说：给定感知的线性价格影响∧i∈ S, 根据（1.4）给出的XI，最优配置qi之间的关系∈ Xiof交易员i∈ I与实际交易价格p∈ X由（1.5）给出。鉴于（1.5），矩阵Xi∈ SXi公司of（1.4）对交易者i的负需求斜率进行了解释∈ 一、 1.4。限制参与和价格影响的均衡。考虑到上述最佳回答个体交易者的问题，我们现在将讨论在标准统一价格均衡中如何形成价格影响。给出了最优配置qi之间的关系∈ Xiof交易员i∈ I交易价格p∈ X和Xi∈ SXi公司分别由（1.5）和（1.4）给出，清算市场均衡价格bp满意度0=Xi∈Iqi=Xi∈IXigi公司-xi∈IXi！英国石油公司。下面的引理有助于分析几点。引理1.1。假设| Ik |≥ 2，对于所有k∈ K、 对于固定j∈ 一、 如果Di∈ SXi公司对于alli∈ I \\{j}，然后用D-j： =Pi∈I \\{j}Di，我们有D-j∈ SX公司, i、 e.，D-jis可逆。引理1.1得出，（1.6）bp=Xi∈IXi！-1十一∈IXigi！。异质信念和限制参与下的价格影响11均衡分配（bqi；i∈ 一） 将（1.6）中的bp替换为（1.5）中的p。在均衡状态下，每个交易者感知到的市场影响应该与其实际情况相符；在这方面，另见【Rostek和Weretka，2015，引理1】。

假设所有交易者，除了交易者i∈ 一、 具有价格影响（λj；j∈ I \\{I}），导致（Xj；j∈ I \\{I}）如（1.4）所示。如果交易员i∈ 我希望从Bjito转移分配bqi+q∈ Xi，所有其他交易者的总头寸必须改变-q、 这意味着新的价格将等于BP+p、 式中，根据（1.5），-q+Xj∈I \\{I}bqj=Xj∈I \\{I}Xjgj-Xj公司∈I \\{I}Xj（bp+p） 。考虑到XJ∈I \\{I}bqj=Xj∈I \\{I}Xjgj-Xj公司∈I \\{I}Xjbp，我们得到了p=X-1.-我q、 其中X-i： =Xj∈I \\{I}Xj。因此∧i=X-1.-我要保持平衡∈ 一、 根据上述理解，并回顾（1.4），我们给出以下平衡定义。定义1.2。A系列（X*i；我∈ （一）∈气∈ISXi如果（1.7）X*我=B-Xii+πi（X*-（一）-1πi-Xi，i∈ 一、 其中X*-i： =Pj∈I \\{I}X*j、 就我而言∈ 一、 给定纳什均衡（X*i；我∈ 一） 如上所述，均衡价格影响（λ*i；我∈（一）∈ （S）)i由∧给出*i=（X*-（一）-1，我∈ 一、 1.5。平衡点的存在性和全局唯一性。回想一下，为了进行有意义的均衡讨论，我们假设每个证券至少有两个交易者：| Ik |≥ 2所有k保持∈ K、 如引理4.2所示，如果| Ik |=2适用于某些K∈ K、 那么就不存在定义1.2意义上的纳什均衡。因此，更强的条件| Ik |≥ 所有k为3∈ K是纳什均衡所必需的。下面的定理1.3揭示了这个条件对于纳什均衡的存在也是有效的，并且它也是唯一的。在之前的文献中，在完全参与和具有共同信念的对称交易者的情况下【Rostek和Weretka，2015】显示了价格影响纳什均衡的存在性和唯一性。在分散市场的背景下（同样有共同信仰的代理人），纳什均衡的存在性和局部唯一性如【Malamud和Rostek，2017年】所示。12 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARASTheorem 1.3。