具有泊松随机干预时间的Dynkin对策

在本节的其余部分中，我们列出了几个路径相关的示例，这些示例很难在马尔科夫框架下处理（至少需要一个案例进行研究），但被定理2.3涵盖。（i） 路径依赖型支付L和U是固定的，因此它是一个持续的停止时间，s是一个适应F的一维正扩散过程。对于δ>0,6，葛春亮和孙浩东考虑在s上写一个以色列期权，到期日为t，持有人可以行使权利获得正常索赔，但作者因提前取消合同而受到δs的处罚（见[18]）。付款L和U的形式为Lt=max{m，s*t} Ut=最大{m，S*t} +δstm>砂S*t=sup0≤u≤tSu。这就是所谓的俄罗斯选择。对于Lt=RtSudu和Ut=RtSudu+δSt，它被称为以色列综合方案（见【2】）。在假设2.1中关于S的轻度可积性假设下，定理2.3表明，两个以色列选项的值都存在，并且关联的最优策略可以通过（2.6）的解来表征。（ii）路径相关停止时间T。停车时间在保险中被广泛用作各种风险的指标。设我们是一个适用于F的一维正扩散过程。我们可以将以下停止时间作为游戏的结束时间：下降停止时间T=inf{T≥ 0：秒*t型- St公司≥ m} 对于m≥ 0;占用停止时间T=inf{T≥ m：Rt{Su∈A} 杜邦≥ m}表示A R+。请注意，与标准首次通过时间不同（参见第6节中的θλ），这两种依赖路径的停车时间都需要在马尔可夫框架下进行定制分析，但可以由定理2.3以统一的方式涵盖。定理2.3的证明。我们首先给出了约束Dynkin对策（2.2）-（2.3）的等价公式。给定到达时间Ti，确定前Tiσ-场GTi=A.∈_s≥0Gs：A∩ {Ti≤ s}∈ Gsfor s公司≥ 0和▄G={GTi}i≥0

显然，约束丁金对策的上下值可以重写为（3.1）vλ=infNσ∈N（λ）supNτ∈N（λ）E[R（TNσ，TNτ）]，（3.2）vλ=supNτ∈N（λ）infNσ∈N（λ）E[R（TNσ，TNτ）]，其中nn（λ）=NG-N的停止时间N≤ N（ω）≤ M（ω）o。Nn（λ）中的下标n表示允许选择的最小停止时间，λ表示基础过滤的强度G。允许两个参与者在整数n，n+1，··，M的序列处停止。我们还观察到一对过程Vλ，Zλ解（2.6），当且仅当校正折扣过程（Qλt，~Zλt）=（e-rtVλt，e-rtZλt），对于t∈ [0，T]，求解以下BSDE（3.3）QλT∧T=△ξ+ZTt∧Tfs+λLs- Qλs+- λQλs-美国+ds公司-ZTt公司∧T▄ZλsdWs，其中▄ξ=e-rTξ和￠φs=e-rsφsforφ=f，L，U。因此，为了证明定理2.3，等价于显示t Qλ=Qλ=Qλ，其中（3.4）Qλ：=infNσ∈N（λ）supNτ∈N（λ）EhR（TNσ，TNτ）i，具有泊松随机干预时间的Dynkin对策7（3.5）qλ：=supNτ∈N（λ）infNσ∈N（λ）Eh▄R（TNσ，TNτ）i，其中▄R（σ，τ）=Zσ∧τ ∧T▄fsds+▄ξ{σ∧τ ≥T}+~Lτ{τ<T，τ≤σ} +~Uσ{σ<T，σ<τ}，最优停车策略由（3.6）给出Nσ，*= inf{N≥ 1:QλTN≥UTN}∧ M、 Nτ，*= inf{N≥ 1:QλTN≤LTN}∧ M、 为了证明上述定理，我们从下面的引理开始。引理3.1。假设假设2.1成立。那么，对于任何1≤ n≤ M、 时间Tn时BSDE（3.3）的解-1是递归方程qλTn的唯一解-1=E“ZTn∧TTn公司-1▄fsds+▄ξ{Tn>T}（3.7）+{QλTn≥UTn}▄UTn+{QλTn≤LTn}LTn+{LTn<QλTn<ntn}QλTn{Tn≤T}GTn公司-1i。证据将It^o公式应用于αtQλt，其中αt=e-λt，我们得到，对于t∈ [0，T]，αtQλT=αtQλT+ZTtαshfs+λfs（Qλs）ids-ZTtαs▄ZλsdWs，其中Fs（Qλs）：=Qλs+（▄Ls- Qλs）+- （Qλs-美国）+。

因此，QλTn-1=αTαTn-1ξ+ZTTn-1αsαTn-1hfs+λfs（Qλs）ids-ZTTn公司-1αsαTn-1ZλsdWs=E“E-λ（T-田纳西州-1） Иξ+ZTTn-1e级-λ（s-田纳西州-1） hfs+λfs（Qλs）idsGTn公司-1#.另一方面，我们使用条件密度λe-λ（x-田纳西州-1） Tn的dx计算（3.7）的右侧：E“ZTn∧TTn公司-1FSDGTn公司-1#=E“E-λ（T-田纳西州-1） ZTTn公司-1fsds+ZTTn-1λe-λ（x-田纳西州-1） ZxTn公司-1▄fsds dxGTn公司-1#=E“E-λ（T-田纳西州-1） ZTTn公司-1fsds+ZTTn-1fsZTsλe-λ（x-田纳西州-1） dx dsGTn公司-1#=E“ZTTn-1e级-λ（s-田纳西州-1） FSDGTn公司-1#，8葛春亮和孙浩东，我们在第二个等式中使用了分部积分。类似地，我们有ehξ{Tn>T}GTn公司-1i=Ehe-λ（T-田纳西州-1)~ξGTn公司-1i，安第斯{QλTn≥UTn}▄UTn+{QλTn≤LTn}LTn+{LTn<QλTn<ntn}QλTn{Tn≤T}GTn公司-1i=E“ZTTn-1λe-λ（s-田纳西州-1){Qλs≥Us}Us+{Qλs≤Ls}Ls+{Ls<Qλs<Us}Qλsds公司GTn公司-1#.因此（3.7）成立。由于方程（3.7）显然允许唯一解，QλTn-1是（3.7）中针对1的唯一解决方案≤ n≤ M、 作为引理3.1的直接消耗，如果我们定义^Qλ=min{U，max{Qλ，{L}}，那么通过≤ U（soL≤U），^Qλ={Qλ≥U}U+{Qλ≤~L}~L+{L<Qλ<U}Qλ，因此，^Qλ满足以下递归方程：对于1≤ n≤ M，^QλTn-1（3.8）=最小值（≈UTn-1，最大值（E“ZTn∧TTn公司-1▄fsds+▄ξ{Tn>T}+^QλTn{Tn≤T}GTn公司-1#，#LTn-1） ，这也承认了一个独特的解，因为我们可以用草书的方式向后计算它的解。

我们证明了^QλTn-1是另一个受约束的Dynkin游戏的价值。引入辅助约束Dynkin对策的上下值为（3.9）^qλTn-1=ess infNσ∈Nn型-1（λ）ess supNτ∈Nn型-1（λ）EhRn-1（TNσ，TNτ）| GTn-1i，（3.10）^qλTn-1=ess supNτ∈Nn型-1（λ）ess infNσ∈Nn型-1（λ）EhRn-1（TNσ，TNτ）| GTn-1i，其中▄Rn-1（σ，τ）=Zσ∧τ ∧TTn公司-1.∧T▄fsds+▄ξ{σ∧τ ≥T}+~Lτ{τ<T，τ≤σ} +Uσ{σ<T，σ<τ}带＠R（σ，τ）=R（σ，τ），和nn-1（λ）=nG-n的停止时间n- 1.≤ N（ω）≤ M（ω）o.注意，当n=1时，（3.9）-（3.10）对应于辅助Dynkin对策（2.4）-（2.5），它将用于求解原始约束Dynkin对策。辅助博弈与原始博弈的区别在于，泊松随机干预时间为9的初始丁金博弈中的玩家做出停止决策，然后在辅助博弈中前进，而在原始博弈中，他们首先前进，然后做出决策。引理3.2。假设假设2.1成立。那么，对于任何1≤ n≤ M、 辅助约束Dynkin对策（3.9）-（3.10）的值存在。其值由^qλTn表示-1，满足递归方程（3.8），即^qλTn-1=最小值（▄UTn-1，最大值（E“ZTn∧TTn公司-1▄fsds+▄ξ{Tn>T}+^qλTn{Tn≤T}GTn公司-1#，#LTn-1)).因此，^qλTn-1=^QλTn-1a。s、 （3.11）给出了（3.9）-（3.10）的最佳停车策略^Nσ，*n-1=inf{N≥ n- 1：^qλTN=~UTN}∧ M^Nτ，*n-1=inf{N≥ n- 1：^qλTN=▄LTN}∧ M、 证明。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设▄fs=0。第1步。

自TM起-1.≤ T<TM，辅助对策的上限值（3.9）等于^qλTn-1=ess infNσ∈Nn型-1（λ）ess supNτ∈Nn型-1（λ）Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTNτ{N-1.≤Nτ≤M-1，Nτ≤Nσ}+~UTNσ{N-1.≤Nσ≤M-1，Nσ<Nτ}| GTn-1i。我们声称（3.12）^qλTM-1=最小UTM-1，最大值ξ| GTM-1i，~ LTM-1oo，and，对于n- 1.≤ 我≤ M- 2，（3.13）^qλTi=minnUTi，maxnEh^qλTi+1 | GTii，~LTioo。如果（3.12）-（3.13）保持，则^qλTn-1=最小值UTn-1，最大值ξ{n=M}+^qλTn{n≤M-1} | GTn-1i，~ LTn-1oo=最小值UTn-1，最大值ξ{Tn>T}+^qλTn{Tn≤T}| GTn-1i，~ LTn-1oo，这是递归方程（3.8）。同样，我们得到了^qλTn-1也满足执行方程（3.8）。由于（3.8）允许一个唯一的解，很明显，^qλTn-1=^qλTn-1=^qλTn-1=^QλTn-1a。s、 第2步。接下来，我们展示（3.12）-（3.13）。确实，因为i=M- 1，^qλTM-1=ess infNσ∈纳米-1（λ）ess supNτ∈纳米-1（λ）Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTM-1{M-1=Nτ≤Nσ}+~UTM-1{M-1=Nσ<Nτ}| GTM-1i=最小σ∈纳米-1（λ）maxNτ∈纳米-1（λ）nE[￠ξ| GTM-1] {Nσ=Nτ=M}+~LTM-1{M-1=Nτ≤Nσ}+~UTM-1{M-1=Nσ<Nτ}o=minnUTM-1，最大[￠ξ| GTM-1] ，▄LTM-1oo。10梁葛春和孙浩东将军，代表n- 1.≤ 我≤ M- 2，我们有^qλTi=ess infNσ∈Ni（λ）ess supNτ∈Ni（λ）Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTNτ{i≤Nτ≤M-1，Nτ≤Nσ}+~UTNσ{i≤Nσ≤M-1，Nσ<Nτ}| GTii。对GTi+1取条件期望进一步得到^qλTi=ess infNσ∈Ni（λ）ess supNτ∈Ni（λ）EhLTi{i=Nτ≤Nσ}+~UTi{i=Nσ<Nτ}+Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTNτ{i+1≤Nτ≤M-1，Nτ≤Nσ}+~UTNσ{i+1≤Nσ≤M-1，Nσ<Nτ}| GTi+1i | GTii=minnUTi，maxnEh^qλTi+1 | GTii，| LTioo，其中第二个等式自操作ess影响σ后成立∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）和[·| GTi]是可互换的，这将在下一步中得到验证。第3步。在这一步中，我们将显示操作ess infNσ∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）和[·| GTi]可重新互换，即（3.16）以下保持不变。为此，对于固定i和nσ∈ Ni（λ），我们注意到族（3.14）EhRi（TNσ，TNτ）| GTii，Nτ∈ Ni（λ）是一个递增的有向集。事实上，如果我们选择任意的Nτ，Nτ∈ Ni（λ）和letXj=EhRi（TNσ，TNτj）| GTii，对于j=1，2。

然后，确定停止时间NτasNτ=Nτ{X≥十} +Nτ{X<X}，我们有Nτ∈ Ni（λ）andEhRi（TNσ，TNτ）| GTii≥最大{X，X}。同样，对于固定i，我们还有族（3.15）ess supNτ∈Ni（λ）EhRi（TNσ，TNτ）| GTii，Nσ∈ Ni（λ）！是递减有向集。在假设2.1下，很明显，（3.14）和（3.15）都是一致可积的。因此，根据Neveu【28】的命题VI-1-1，我们得到了^qλTi+1GTii=E“ess infNσ∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）EhRi+1（TNσ，TNτ）| GTi+1iGTi#=ess infNσ∈Ni+1（λ）E“ess supNτ∈Ni+1（λ）EhRi+1（TNσ，TNτ）| GTi+1iGTi#=ess infNσ∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）EhRi+1（TNσ，TNτ）| GTii。（3.16）步骤4。还有待证明^Nσ，*n-1，^Nτ，*n-1.在（3.11）中，确定了辅助Dynkin游戏（3.9）-（3.10）的最佳停止时间，即。

对于每个（Nσ，Nτ）∈泊松随机干预时间为11Nn的Dynkin对策-1（λ）×Nn-1（λ），EhRn-1.T^Nσ，*n-1，TNτ|GTn公司-1i≤EhRn-1.T^Nσ，*n-1，T^Nτ，*n-1.|GTn公司-1i≤EhRn-1.TNσ，T^Nτ，*n-1.|GTn公司-1i。为此，必须证明（i）^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.m级≥n-1是▄G-鞅；（二）^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧Nτm级≥n-对于任何Nτ，1是▄G-超鞅∈ Nn型-1(λ);（三）^qλTm∧Nσ∧^Nτ，*n-1.m级≥n-1是任意Nσ的▄G-子鞅∈ Nn型-1(λ).的确，我们有^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.GTm公司=EmXj=n-1{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1=j}+{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.≥m+1}^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.GTm公司=mXj=n-1{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.≥m+1}Eh^qλTm+1GTmi=mXj=n-1{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.≥m+1}^qλTm=^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1，其中倒数第二个等式源自以下定义：^Nσ，*n-1，^Nτ，*n-1.在（3.11）中，证明了鞅性质（i）。为了证明超鞅性质（ii），我们注意到^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧NτGTm公司=E^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m}GTm公司=EmXj=n-1{Nσ，*n-1=j}+{Nσ，*n-1.≥m+1}^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m}GTm公司=mXj=n-1{Nσ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.≥m+1}Eh^qλTm+1GTmi{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m} 。使用^Nσ的定义，*n-1在（3.11）中，我们还发现有eh^qλTm+1GTmi≤ maxnEh^qλTm+1GTmi，~LTmo=^qλTmon{^Nσ，*n-1.≥ m+1}。12梁葛春和孙浩东依次，E^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧NτGTm公司≤mXj=n-1{Nσ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.≥m+1}^qλTm{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m} =^qλTm∧^Nσ，*n-1{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m} =^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧Nτ证明了超鞅性质（ii）。同样，子鞅性质（iii）也可以用类似的方法证明，并且完成了引理的证明。我们现在可以证明定理2.3。

通过引理3.1和3.2，我们得到qλ=E“ZT∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+^QλT{T≤T}#=E“ZT∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+^qλT{T≤T}#≥EZT公司∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+Eh▄R（T^Nσ，*, TNτ）| GTi{T≤T}（3.17）对于任何Nτ∈ N（λ），其中最后一个不等式来自上鞅性质（ii）。此外，回想一下eh▄R（T^Nσ，*, TNτ）| GTi=E“ZT^Nσ，*∧TNτ∧TT∧T▄fsds+▄ξnT^Nσ，*∧TNτ≥至+~LTNτnTNτ<T，TNτ≤T^Nσ，*o+~UT^Nσ，*nT^Nσ，*<T、 T^Nσ，*<TNτo | GT.将上述表达式插入（3.17）进一步的yieldsQλ≥E“ZT^Nσ，*∧TNτ∧T▄fsds+▄ξnT^Nσ，*∧TNτ≥至+~LTNτnTNτ<T，TNτ≤T^Nσ，*o+~UT^Nσ，*nT^Nσ，*<T、 T^Nσ，*<TNτo=Eh▄R（T^Nσ，*, TNτ）i，对于任何▄G-停止时间Nτ∈ N（λ）。取Nτ上的上确界∈ N（λ），weobtainQλ≥ supNτ∈N（λ）EhR（T^Nσ，*, TNτ）i≥ infNσ∈N（λ）supNτ∈N（λ）EhR（TNσ，TNτ）i=qλ。同样，我们也有Qλ≤ qλ。然后从qλ开始≥ qλ表示qλ=qλ=qλ。最后，我们验证了Qλ=E[R（T^Nσ，*, T^Nτ，*)], so（^Nσ，*,^Nτ，*) 是最佳停止策略。实际上，当Nσ=^Nσ时，*Nτ=^Nτ，*, （3.17）由于鞅性质（i），即Qλ=e“ZT），成为具有泊松随机干预次数13相等的anDynkin对策∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+^qλT{T≤T}#=E“ZT∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+Eh▄R（T^Nσ，*, T^Nτ，*)|GTi{T≤T}#=Eh▄R（T^Nσ，*, T^Nτ，*)i、 我们通过证明最优停止时间^Nσ，*,^Nτ，*实际面积Nσ，*, Nτ，*在（3.6）中。实际上，^Nσ，*= inf{N≥ 1：^qλTN=~UTN}∧ M=inf{N≥ 1：^QλTN=~UTN}∧ M=inf{N≥ 1:QλTN≥UTN}∧ M=Nσ，*,同样，^Nτ，*= Nτ，*.与标准Dynkin游戏的连接。我们证明，当λ→ ∞,约束Dynkin对策的值vλ收敛于标准Dynkin对策的值。

设置与第2节中的设置相同，只是控制集替换为Rt，Rt定义为Rt={F-停止时间τ，对于t≤ τ(ω) ≤ T}。将标准Dynkin游戏的相应上下值定义为（4.1）v=infσ∈Rsupτ∈RE[R（σ，τ）]，（4.2）v=supτ∈Rinfσ∈RE[R（σ，τ）]。如果v=v=v和（σ），这个游戏被称为有值v*, τ*) ∈ R×Ris称为对策ifE的鞍点[R（σ*, τ)] ≤E[R（σ*, τ*)] ≤E[R（σ，τ*)] 对于每个（σ，τ）∈ R×R.命题4.1。假设假设2.1成立，而且L和U都是连续的，并且满足LT≤ ξ ≤ 美国犹他州。然后，Dynkin对策（4.1）-（4.2）的值v存在，而且limλ↑∞vλ=v证明。为了解决Dynkin博弈（4.1）-（4.2），我们引入了以下在随机视界上定义的反映BSD（0，T）：（4.3）Vt∧T=ξ+ZTt∧T（fs- rVs）ds+ZTt∧TdK+s-ZTt公司∧TdK公司-s-ZTt公司∧t的TZSDWS≥ 0，在约束条件下（i）Lt≤ 及物动词≤ Ut，对于0≤ t型≤ T（ii）RT（Vt- Lt）dK+t=RT（Ut- Vt）dK-t=0。通过对反映的BSDE（4.3）的解决方案，我们指的是三次逐步可测量过程（V、Z、K），其中K：=K+- K-含K+和K-从K+=K开始递增的过程-= 0.14梁葛春和孙浩东（Haodong SunIt）从Hama de ne等人（15）得出，（4.3）是适定的，并且允许唯一解。使用类似于Cvitanic和Karatzas[11]中的论点，标准地证明了Dynkin博弈（4.1）-（4.2）的值存在，并由反射BSDE（4.3）的解给出，即v=v=v=v。为了证明第二个断言，我们不认为BSDE（2.6）可以被视为（4.3）的惩罚BSDE的序列，其中当地时间处理K+和K-近似为kλ，+t：=ZtλLs公司- Vλs+ds；Kλ，-t： =ZtλVλs- 我们+ds，Kλ：=Kλ+-Kλ，-. 自limλ↑∞E[支持∈[0，T]| VλT-Vt |]=0（参见，例如，[15]和[11]），第二个断言立即允许。5、受约束Dynkin游戏的复制。

在本节中，我们将讨论约束Dynkin对策的复制。这为下一节介绍的风险中性可转换债券估值提供了基础。我们将P解释为风险中性的概率度量，并让'Nt：=Pn≥1{Tn≤t}-λt，t≥ 0，是补偿泊松鞅。假设存在（d+2）基础资产，其定价过程如下：IT=Sit（r- qi）dt+SitσidWt，1≤ 我≤ d（5.1）dPt=Pt-rdt+Pt-“σd”Nt；（5.2）dBt=Btrdt，（5.3）其中r>0是无风险利率，’σ>0代表P的波动性，而qiandσi：=（σij）1≤j≤drepresent分别表示Si的股息和波动率。假设波动率矩阵σ：=（σij）1≤i、 j≤不可逆。风险资产（Si）1≤我≤敢于挑战那些用来对冲游戏中布朗噪音的隐藏资产。riskyasset P用于对冲泊松过程的跳跃风险。在实践中，它可能是提供跳跃时间（Tn）n的信用违约掉期的现金流≥1（例如，参见[5]了解单跳情况）。最后，B代表无风险银行账户。从第2.3节（特别是引理3.1和3.2），我们知道BSDE（2.6）的解vλ提供了从不同泊松到达时间Tn开始的约束Dynkin对策（2.2）-（2.3）的值-1对于1≤ n≤ M，它们满足递归方程-rTn公司-1VλTn-1=E“ZTn∧TTn公司-1e级-rsfsds+e-rTξ{Tn>T}（5.4）+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}}{Tn≤T}| GTn-1..因此，游戏明星在Tn的折扣支付-1isZTTn-1e级-rsfsds+e-rTξ！{Tn>T}（5.5）+ztntntn-1e级-rsfsds+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}！{Tn≤T}，具有泊松随机干预时间15的Dynkin博弈，其中VλTn是从Tn开始的博弈的值。将d与原始payoff（2.1）相比，上述payoff（n=1）仅涉及第一个泊松到达时间T，并且停止策略的最优性编码在VλT中。