具有泊松随机干预时间的Dynkin对策

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英文标题：
《Dynkin games with Poisson random intervention times》
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作者：
Gechun Liang, Haodong Sun
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper introduces a new class of Dynkin games, where the two players are allowed to make their stopping decisions at a sequence of exogenous Poisson arrival times. The value function and the associated optimal stopping strategy are characterized by the solution of a backward stochastic differential equation. The paper further applies the model to study the optimal conversion and calling strategies of convertible bonds, and their asymptotics when the Poisson intensity goes to infinity.
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中文摘要：
本文介绍了一类新的Dynkin对策，其中允许两个博弈者在一系列外生泊松到达时间下做出停止决策。值函数和相关的最优停止策略的特征是一个倒向随机微分方程的解。本文进一步应用该模型研究了可转换债券的最优转换和赎回策略，以及当泊松强度趋于无穷大时的渐近性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-8 18:59:24 上传

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关键词：Dynkin Mathematical intervention Optimization Quantitative

具有泊松随机干预时间的DYNKIN对策*梁葛春，孙浩东+摘要。本文介绍了一类新的Dynkin对策，其中允许两个玩家在一系列外生泊松到达时间内做出他们的s-Toping决策。价值函数和相关的最优停车策略的特征是后向随机微分方程的解。本文进一步为博弈提供了一种复制策略，并应用该模型研究了可转换债券的最优转换和赎回策略，以及当泊松强度趋于一致时的渐近性。关键词。约束Dynkin博弈，惩罚BSDE，最优停止策略，复制策略，可转换债券。AMS科目分类。60G40、91A05、91G80、93E20.1。介绍Dynkin游戏是关于停止时间的游戏，两个玩家决定他们的最佳停止时间作为他们的策略。该游戏最早由Dynkin（14）引入，而Later在20世纪70年代由Neveu（28）推广。在这个游戏中，两个玩家观察两个随机过程，比如L和U，他们的目标是最大化/最小化支付的期望值R（σ，τ）=Lτ{τ≤σ} +Uσ{σ<τ}分别超过停止时间τ和σ。在离散时间设置中，假设U≥ 五十、 Neveu证明了博弈值及其关联最优策略的存在性。自那以后，Dynkin游戏有了长足的发展。B ismut【6】、Alario Nazaret et al【1】、Lepeltier and Maing uene au【21】和Morimoto【27】等人开发了校正积水连续时间模型。为了缓解条件U≥ 五十、 Yasuda[36]提出将策略类推广到随机停止时间，并证明了在merelyan可积条件下对策值的存在性。

Rosemberg等人【30】、Touzi和Vielle【34】以及Laraki和Solan【19】进一步扩展了他的工作方向。如果游戏中的两个玩家具有不对称的支付，那么这就产生了一个非零和Dynkin游戏。例如，见Hamadene和Zhang【16】以及最近的Angelis等人【12】，其中有更多参考文献。如果玩家对自己的概率模型模棱两可，那么在Bayraktarand Yao[3]中可以找到一个强大的Dynkin游戏版本。上述所有工作中的设置要么是连续时间，其中停止时间在某个时间间隔内取任何值，要么是离散时间，其中停止时间仅取预先指定的时间网格中的值。本文考虑了连续时间和离散时间的混合，并引入了一种新型的Dynkin对策，其中两个参与者都可以在由非齐次泊松过程生成的随机时间序列上停止，作为信号过程。我们称这种游戏为动态游戏。潜在的泊松过程可被视为对参与者停止能力的外部约束，因此它可能代表流动性效应，即泊松效应*这项工作得到了华威大学启动研究基金和自然科学基金11771158号的部分支持。+英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。电子邮件地址：g。liang@warwick.ac.uk; h、 太阳。9@warwick.ac.uk2梁葛春和孙浩东指出了潜在随机过程可用于停止的时间。

此外，泊松过程也可以看作是一种信息约束。玩家可以随时做出停止决策，但他们只能在泊松时间观察潜在的随机过程。我们的第一个主要结果是定理2。3，它描述了受训练的Dynkin对策的价值及其相关的最优停止策略，即惩罚后向随机微分方程（BSDE）的解。latteris广泛用于近似具有双o形障碍的反射BSDE的解和相应的连续时间Dynkin对策。约束Dynkin对策的主要思想是引入一系列辅助对策（见（3.9）-（3.10）），标准动态规划原则适用于这些辅助对策。此外，从惩罚的BSDE收敛到反映的BSDE（例如，[11]和[15]）以及约束Dynkingame的惩罚B SDE特征（2.6），我们还与连续时间的标准Dynkin对策建立了联系。也就是说，当泊松强度趋于一致时，约束Dynkin对策的值将收敛到其连续时间对应的值。我们的第二个主要结果是关于constraine d Dynkin博弈的复制（见定理5.1）。这适用于金融中的套期保值问题。在泊松时间最优停止的现有财务应用文献中，绝大多数论文关注风险中性估值，甚至没有提及对冲问题（参见[1 3]和[20]）。这正是缺乏基础的原因，因为众所周知，支持风险中性估值的主要论点是对冲策略的存在。我们通过为受约束的Dynkin博弈构造一个复制策略来解决这个问题（其中特别包括最优停止情况）。

对于这种复制问题，一个新元素是泊松过程产生的跳跃风险。为了对冲这种跳跃风险，我们引入了由泊松过程的跳跃时间生成的pricingprocess。然后，我们为一系列从不同泊松到达时间开始的约束Dynkin对策递归构建复制策略，对于每个对策，复制策略通过两个线性BSDE构建。第一个BSDE用于在下一个跳跃时间之前复制游戏的支付，第二个方程式用于在该跳跃时间之后复制支付。基于上述风险中性价值背后的复制策略，我们将约束Dynkin博弈应用于可转换债券的研究。在可转换债券中，债券持有人决定是保留债券以收集息票，还是将其转换为公司股票。她将选择一种转换策略来最大化债券价值。另一方面，发行公司有权赎回债券，并可能通过最小化债券价值来实现公司股权价值的最大化。这将创建一个两人零和游戏。传统上，可转换债券模型常常假设债券持有人和公司都可以在任何适合公司基本面（如股票价格）的停止时间停止。事实上，可能存在一些清算约束作为外部冲击，双方只有在这种冲击到来时才做出决定。我们将这种清算冲击建模为外生泊松过程的到达时间，因此可转换债券模型属于约束Dynkin博弈的框架。

类似的想法首次出现在DEBT运行问题的建模中（见[23]），该问题可以表示为具有泊松n到达时间的最优停止问题。此外，在马尔可夫环境下，我们明确推导了债券持有人和企业的最优stoppingdynkin对策，其中Poisson随机干预时间为3。我们表明，如果初始止损价格不太高（否则游戏将在第一个泊松到达时间停止），两个参与者的最优止损规则取决于组合利率c、股息率q、利率r和退保价格K之间的关系。对于企业，其最佳止损策略是要么尽快收回债券（ifc≥ rK）或尽可能推迟债券的调用时间（如果c<rK）。相反，投资者的最优止损策略取决于NC和qK之间的关系。如果c>qK，投资者将尽可能延迟转换时间；如果是c≤ 她的转换策略由一个最优转换边界决定，后者通过求解自由边界问题得到。转向文献，Dupuis和Wang[13]引入了限制止损时间的最优止损问题，他们将其用于建模在外生泊松到达时间行使的永久美式期权。关于这类最优停止问题的进一步扩展，参见alsoLempa【20】和Menaldi与Robin【25】。另一方面，梁[22]将此类最优停止问题与惩罚BSDE联系起来。Liang和Wei【24】研究了相应的最优切换（脉冲控制）问题，Menaldi和Robin【26】最近研究了更一般的信号时间和状态空间。可转换债券的研究可以追溯到Brennan和Schwartz[7]andIngersoll[17]。

然而，Sirbu等人【31】首先分析了永续可转换债券的最佳策略（参见Sirbu和Shreve【32】中的有限水平对应项）。他将问题从一个Dynkin博弈简化为一个最优停止问题，并讨论了何时调用pre c edes c onversion，何时调用pre c edes c onversion，反之亦然。自那以后，可转换债券的几个更现实的特征被考虑在内。例如，Bielecki等人[4]考虑了将可转换债券分解为债券成分和期权成分的问题。Crepey和Rahal[10]研究了具有赎回保护的可转换债券，这通常是路径依赖的。Chen等人[9]考虑了可转换债券的税收收益和破产成本。为了进行完整的文献综述，我们参考了上述pap以及其中的参考资料。本文的组织结构如下。第2节包含问题公式和主要结果，第3节提供了证明。在第4节中，我们将与标准Dynkin游戏建立联系。第5节是关于受约束Dynkingame的复制。在第6节中，我们应用博弈中的约束和动态来研究马尔可夫环境下的可转换债券，并推导出各种情况下的显式最优停止策略和相应的自由边界。第7节对泊松强度变为完整时的博弈值和自由边界进行无符号分析。2、约束Dynkin游戏。Let（Wt）t≥0be在过滤概率s速度上定义的d维标准布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P），其中f是W的最小增强过滤。设{Ti}i≥0be强度为λ且最小增强滤波h={Ht}t的独立泊松过程的到达时间≥0.表示F和H生成的最小过滤，G={Gt}t≥0，即Gt=Ft∨Ht。

在不损失g通性的情况下，我们还假设T=0和T∞= ∞.设T是表示游戏结束时间的单位停止时间，ξ是表示相应支付的FT可测量随机变量。定义随机变量M：Ohm →n确保tm是T之后的下一个泊松到达时间，即M（ω）=Pi≥1i{Ti-1(ω)≤T（ω）<Ti（ω）}。4葛春亮、孙浩东任意整数i≥ 0，定义控制设置rti（λ）={G-停止时间τ，对于τ（ω）=TN（ω），其中i≤ N≤ M（ω）}。下标Tiin RTi（λ）表示允许选择的最小停止时间，λ表示潜在泊松过程的强度。考虑以下约束Dynkin博弈，其中两个参与者选择各自的停止时间σ，τ∈ RT（λ），以最小化/最大化所发现付款的预期值f（2.1）R（σ，τ）=Zσ∧τ ∧Te公司-rsfsds+e-rTξ{σ∧τ ≥T}+e-rτLτ{τ<T，τ≤σ} +e-rσUσ{σ<T，σ<τ}，其中r>0是贴现率，而f，作为一个渐进可测量过程的实际值，是持续的支付。如果σ恰好发生，则最终支付为U；如果τ恰好发生，则最终支付为L；如果σ和τ同时发生，则最终支付为ξ；否则，则最终支付为ξ，其中L和uar是渐进可测量过程的两个实际值。让我们定义约束Dynkin对策（2.2）vλ=infσ的上下值∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]，（2.3）vλ=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]。如果vλ=vλ=vλ=vλ，则游戏（2.2）-（2.3）的值为vλ。如果存在鞍点（σ*, τ*) ∈ RT（λ）×RT（λ），使得E[R（σ*, τ)] ≤E[R（σ*, τ*)] ≤E[R（σ，τ*)] 对于每个（σ，τ）∈ RT（λ）×RT（λ），则此对策的值存在并等于vλ=E[R（σ*, τ*)] .上述受约束的Dynkin游戏有两个新特性。首先，存在一个控制约束，即只允许在泊松到达时间停止。第二，球员不允许在最初的开始时间停止比赛。

相反，它们只允许从第一个泊松时间开始停止。我们还考虑了与上述约束Dyknin游戏相关的辅助游戏，将（2.2）-（2.3）中的控制集替换为RT（λ），因此玩家也可以在初始开始时间停止。即（2.4）^vλ=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]，（2.5）^vλ=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]。请注意，（2.4）-（2.5）和（2.2）-（2.3）之间的区别在于，前者允许在初始启动时间T=0时停止，而后者则不允许。换言之，（2.4）-（2.5）中的玩家首先做出停止决策，然后继续前进，而（2.2）-（2.3）中的玩家则首先前进，然后做出决策。我们将证明，如果对策（2.2）-（2.3）的值为vλ，那么（2.4）-（2.5）的值存在，并且由^vλ=min{U，max{vλ，L}}给出，因此关键是求解对策（2.2）-（2.3）。泊松随机干预次数为52.1的Dynkin对策。主要结果。为了解决上述约束Dynkin对策，我们引入了在随机视界[0，T]上定义的以下BSD:（2.6）VλT∧T=ξ+ZTt∧Thfs+λLs公司- Vλs+- λVλs- 我们+- rVλSID-ZTt公司∧t的TZλsdwst≥ 请注意，上述BSDE（2.6）通常用于构建具有两个反射棒r和U的反射BSDE的解决方案（参见（4.3））。直觉上，当NVλ低于L（或高于U）时，将有一个惩罚λ（L- Vλ）（o或λ（Vλ- U），因此B SDE（2.6）也被视为惩罚方程式。假设2.1。对于t∈ [0，T]，Lt≤ 此外，a.s.（i）当T是无限制的停止时间时，运行支付f和终端支付L、U和ξ都是有界的；（ii）当T是有界停止时间时，f、L、U和ξ是平方可积的，即[sup0≤t型≤T | Xt |]<∞ 对于X=f、L、U和ξ。假设L≤ U对游戏价值的存在至关重要。

另一方面，条件（i）和（ii）是为了保证BSDE（2.6）的解的存在性和唯一性，而BSDE（2.6）将反过来用于构造博弈值及其相关的最优停止策略。提案2.2。假设假设2.1成立。然后，BSDE（2.6）存在唯一解（V，Z）。此外，（i）当T无界时，V是富足的连续F-适应过程，Z∈ Mloc（0，T；Rd），其中后一个表示所有F-逐步可测过程Z的空间，使得| | Z | | loc：=E“Zt∧T | Zs | ds#<∞ 对于t≥ 0;（ii）当T有界时，V是一个连续的s平方可积F-适应过程，Z∈ M（0，T；Rd）。pro of基本上遵循了[29]中的T heorem 4.1（对于有界T）和[8]中的第5节（对于无界T），因此我们省略了它的证明，并参考了[29]和[8]了解详细信息。我们现在可以陈述本文的主要结果。定理2.3。假设假设2.1成立。设（Vλ，Zλ）为BSDE（2.6）的唯一解。然后，约束Dynkin对策（2.2）-（2.3）的值存在，并由vλ=vλ=vλ=vλ=vλ给出。相应的最优停止策略由（2.7）给出σ*T=inf{TN≥ T： VλTN≥ UTN}∧ TM；τ*T=inf{TN≥ T： VλTN≤ LTN}∧ 商标。此外，Dynkin对策（2.4）-（2.5）的值也存在，并由^vλ=min{U，max{vλ，L}给出，以及相关的最优停止策略σ*Tandτ*T、 2.2。示例。定理2.3以一种统一的方式解决了一类广泛的问题，涵盖了从马尔可夫到非马尔可夫的情况，以及从有限到无限的范围。在一维齐次马尔可夫环境中，通常存在阈值策略。为此，我们将在第6节讨论一个具体的可转换债券示例。