具有泊松随机干预时间的Dynkin对策

自c起≤ qK，可转换债券价值的下限Lλ（s）与投资者支付函数γs的交点不大于‘’sλ（因此，γs不小于该交点与‘’sλ之间的Lλ（s））。因此，可能会发生以下情况：∈ （0，\'sλ），投资者在TM之前转换b。自v3起，当s时λ（s）>γs↓ 0和v3，λ（s）≤ γs对于s=(R)sλ，我们定义（6.19）x*,λ=infs∈ （0，\'sλ）]：v3，λ（s）≤ γs.根据定义，s的v3、λ>γs是显而易见的∈ （0，x*,λ） ，通过v3，λ（·），v3，λ（x）的连续性*,λ） =γx*,λ. 现在让我们假设v3，λ≤ γs代表s∈ （十）*,λ、 \'sλ]。稍后，我们将验证此条件。如果这个条件成立，（6.18）等价于下面的自由边界问题-Lv3，λ- c=0，对于0<s<x*,λ;(6.20)-Lv3，λ- c+λ（v3，λ- γs）=0，对于x*,λ<s<sλ；（6.21）v3，λ（0+）=cr；（6.22）v3，λ（(R)sλ）=Uλ；（6.23）v3，λ（x*,λ-) = γx*,λ;（6.24）v3，λ（x*,λ+=γx*,λ;(6.25)v3，λ′（十）*,λ-) =v3，λ′（十）*,λ+).（6.26）我们首先观察到，在边界条件（6.22）下，ODE（6.20）-（6.21）表示（6.27）v3，λ（s）=（A3，λsα+cr，如果s∈ （0，x*,λ);B+sβ++B-sβ-+cr+λ+λq+λγs，如果s∈ （十）*,λ、 \'sλ），其中α=α+在（6.15），（6.28）β±=-（r）- q-σ） ±q（r- q-σ） +2（r+λ）σσ和四个未知量（A3，λ，B+，B-, x个*,λ） 有待确定。使用continuityacross x*,λ、 即（6.24）-（6.25），平滑粘贴acr oss x*,λ、 即（6.26），以及s=(R)sλ处的边界条件，即。

（6.23），我们得到x*,λ∈0，\'sλ是以下代数方程（6.29）Cxβ的（唯一）解+-β-+1+Cxβ+-β-+ Cx+C=0，带（6.30）C类=α -λq+λ-qq+λβ+γ;C=-αcr-cr+λβ+;C=-α -λq+λ-qq+λβ-（(R)sλ）β+-β-γ;C类=αcr-cr+λβ-（(R)sλ）β+-β-,24梁葛春和孙浩东，系数由（6.31）确定A3，λ=x个*,λ-αγx*,λ-cr公司;B+=qq+λγx*,λ-cr+λ（x*,λ)β+-（(R)sλ）β+-β-（十）*,λ)β-;B-=qq+λγx*,λ-cr+λ（x*,λ)β--（(R)sλ）β--β+（x*,λ)β+.仍需验证条件v3，λ≤ γs代表s∈ （十）*,λ、 \'sλ]。实际上，sinceA3，λ>0，α>1，B+<0，β+>1和B-> 0, β-< 很明显，v3，λ在区间（0，x）中是凸的*,λ） 和间隔内的凹面（x*,λ、 \'sλ]。此外v3，λ′（十）*,λ) < γ. 这验证了条件。因此，投资者的最佳转换时间为τ*,λ=inf{TN:SsTN≥ x个*,λ} ∧ 商标。在图5中，顶部粗体水平线sλ表示企业的调用边界，底部粗体水平线x*,λ表示投资者的转换边界。再次，我们模拟了三个泊松时间T=0.3，T=0.5，T=0.8，以及两条股价路径。对于股票价格路径1，投资者和公司将在T终止合同；对于s股票路径2，投资者将继续在T处转换，而公司不会在T或T处收回债券。在图6中，我们进一步绘制了价值函数v3，λ，它在区域（0，’sλ）中与支付函数γs交叉，因此交叉点x*,λ是投资者的最佳转换边界。此外，对于s，值函数v3，λ严格受K支配∈ （0，\'sλ），因此该公司不会在该区域收回债券。7、渐近为λ→ ∞. 研究了当泊松强度λ→ ∞.直觉上，它们将收敛到其连续时间对策。

我们在本节中证明了这一直觉。7.1. 审查标准可转换债券。该设置与第6节相同，只是投资者和企业都选择各自的最佳停止策略，因为停止时间取[0，∞]. 然后，标准可转换债券的上下限值由（7.1）v=infσ给出∈Rsupτ∈RE[P（s；σ，τ）]，（7.2）v=supτ∈Rinfσ∈RE[P（s；σ，τ）]，控制集 Ris定义为 R={F-τ的停止时间τ≥ 0 }.如果v=v=v，我们说这个游戏有值v，并且有一个鞍点（σ*, τ*) ∈R×RifE[P（s；σ*, τ)] ≤E[P（s；σ*, τ*)] ≤E[P（s；σ，τ*)] 对于每个（σ，τ）∈~R×~R.以下结果的证明遵循了[35]中的类似论点，因此省略了。我们参考[35]了解更多详细信息。提案7.1。假设假设假设6.1成立。设s：=Kγ，并定义anF停止时间θ=inf{u≥ 0：Ssu≥ \'\'s}。然后，给出了标准可转换债券v（s）的值如下：泊松随机干预的Dynkin对策25（i）情况i：qK<c<rK，（7.3）v（s）=Asα+cr，如果s∈ （0，’s）；γs，如果s∈ 【】s，∞),α=α+如（6.15）和A=rK-cr（秒）-α. 最优停车策略由（7.4）σ给出*= τ*= θ.（二）案件二：c≥ rK，（7.5）v（s）=K、 如果s∈ （0，’s）；γs，如果s∈ 【】s，∞).最佳s打顶策略由（7.6）σ给出*= 0; τ*= θ.（三）案件三：c≤ qK，（7.7）v（s）=Asα+cr，如果s∈ （0，x）；γs，如果s∈ [x，∞),α=α+和A=γx-cr公司（十）-α. 最优停车策略由（7.8）σ给出*= θ, τ*= inf{t≥ 0：Sst≥ x} ，其中x=x个*:=αα-1cγr，如果为c≤α-1αrK；\'s，如果c>α-1αrK。7.2. 渐近性。

我们通过研究λ→ ∞, （i） 约束可转换债券价格vλ与其连续时间对应价格vλ的收敛性；（ii）约束可转换债券的最优转换/调用基础与其连续时间对应债券的收敛性。很容易检查\'sλ→ \'s，A1，λ→ A、 Lλ（s）→ γs和Uλ→ 通过使用它们的显式形式，K的收敛率为1/λ。因此，我们有V1，λ（s）→ v（s）；v2，λ（s）→ v（s），收敛速度为1/λ。因此，我们只需要在c≤ qK。为此，我们首先建立x的单调性*,λ、 如（6.19）中所述，在以下引理中对应于λ。提案7.2。假设假设6.1成立，并且c≤ qK。那么，x*,λ相对于λ不递减。证据由x定义*,λ在（6.19）中，证明v3是有效的，λ在λ中是非减量的。回想一下，v3，λ是域中ODE（6.18）的解∈ （0，(R)sλ）和v3，λ=do main s中的Lλ∈ [(R)sλ，∞).26梁葛春和孙浩东让我们假设λ<λ，很容易检查\'sλ<\'sλ。对于s≥ \'sλ，wehave v3，λ=Lλ。那么，v3，λ（s）- v3，λ（s）≤ Lλ（s）- Lλ（s）=c（λ- λ） （r+λ）（r+λ）-q（λ- λ） （q+λ）（q+λ）γs≤（q）- r） qK（λ- λ） （r+λ）（q+λ）（r+λ）<0。另一方面，对于s<sλ，请注意v3，λ（0+）=v3，λ（0+）=crandv3，λ（\'sλ）<v3，λ（\'sλ）。定义集合N=s∈0，\'sλ: v3，λ（s）>v3，λ（s）, 假设N 6=. 那么在N上，我们有-Lv3，λ=c+λ（γs- v3，λ）+；-Lv3，λ=c+λ（γs- v3，λ）+，这意味着-L（v3，λ- v3，λ）=λ（γs- v3，λ）+- λ（γs- v3，λ）+≤ λ（γs- v3，λ）+- （γs- v3，λ）+≤ 因此，我们有v3，λ≤ v3，N上的λ，这与N的定义相矛盾。自x起*,λ以？sλ为界(≤ ，命题7.2则意味着limλ→∞x个*,λ存在，用x表示∞.

此外，根据命题7.1，我们有x∞≤ x个*如果是c≤α-1αrK和x∞≤ 如果c>α，则为\'s-1αrK。另一方面，通过（6.29），x*,λ是以下过敏方程的解x？sλβ+-β-- 1.α -λq+λγx- αcr- β+qq+λγx-cr+λ(7.9)= (β+- β-)qq+λγx-cr+λ.发送λ→ ∞ 在（7.9）中，由于（7.9）的右侧的极限为0，我们得到了limλ→∞\"x个*,λ′sλβ+-β-- 1#|{z}Iλα -λq+λγx*,λ- αcr- β+qq+λγx*,λ-cr+λ|{z}IIλ=0。这意味着Iλ和IIλ中至少有一个极限为0。如果c<α-1αrK，我们有limλ→∞Iλ=-1，sincelimλ→∞x个*,λ′sλ=x∞\'\'s≤x个*\'s=αα- 1标记<1。这意味着limλ→∞IIλ=0，即x∞= x个*.如果c>α-1αrK，我们有limλ→∞IIλ=（α- 1） γx∞- αcr<（α- 1） （γx∞- K）≤ 0，Poisson随机干预次数为27的Dynkin对策，这意味着limλ→∞Iλ=0，即x∞= \'s.如果c=α-1αrK，很容易检查x∞= x个*= 因此，我们建立了x的收敛性*,λ→ xasλ→ ∞. 因此，也可以得出v3，λ（s）→ 五（s）。然而，由于缺乏案例III的明确解决方案，因此不清楚相应的收敛速度是多少。确认。作者要感谢编辑、副编辑和两位评委对手稿提出的宝贵意见和建议。参考文献【1】M.Alario Nazaret、J.P.Lepeltier和B.Marchal。Dynkin博弈，随机微分系统。《第二届巴德·霍内夫Stoc-hastic过程研讨会论文集》，控制与信息科学讲师，第23-32页，斯普林格出版社，1982年。[2] E.J.Baurdoux和A.E.Kyprianou。以色列期权的进一步计算。《随机》，76:549–5692004。[3] E.Bayraktar和S.Yao。关于健壮的Dynkin游戏。《应用概率年鉴》，27（3）：1702–17552017。[4] T.R.Bielecki、S.Crepey、M.Jeanblanc和M.R utkowski。可转换债券违约博弈期权的套利定价。定量金融，8（8）：795–8102008。[5] T.R。

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7.3. 案例II的情景模拟。图中显示了c≥ rK。参数与图7.1中的参数相同。粗体水平线描述了转换边界λ。考虑到泊松时间T=0.25、T=0.5和T=0.8，公司将在股票价格路径1的T（标记的平方）处调用债券；公司和投资者都将在股票价格路径2的T（标有方框）处终止合同。初始股价sλsKLλ（s）γSv2，λUλ图7.4。情况II的值函数v2，λ。泊松随机干预时间为31次的Dynkin博弈0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.051.11.151.21.251.31.351.41.451.5μsλxλ股票路径1股票路径2最佳转换时间最佳转换和调用时间。7.5. 案例III的情景模拟。图中显示了c≤ qK。参数与图7.1中的参数相同。顶部加粗的水平线是调用边界sλ，底部加粗的水平线是转换边界x*,λ.考虑到泊松时间T=0.3、T=0.5和T=0.8，投资者和公司都将在股票价格路径1的T（标有方框）终止合同；反转器将把她的bondT（标记为方形）转换为股票价格路径2。初始股价sλsx*,λKLλ（s）γSv3，λUλ图7.6。情况III的值函数v3，λ。