具有泊松随机干预时间的Dynkin对策

因此，约束Dynkin博弈（2.2）-（2.3）的复制自然取决于相同博弈的复制，但从泊松到达时间T开始，后者又取决于从Tand开始的博弈的复制，依此类推。特别是从TM开始的游戏的折扣支付-1isRTTM-1e级-rsfsds+e-rTξ，sinceTM-1.≤ T<T根据随机变量M的定义。对于1≤ n≤ M，考虑从泊松时间Tn开始的约束Dynkin博弈-1、我们的目标是构建一个复制组合（πS，nt，πP，nt，πB，nt），t∈[总氮-1，T]，复制贴现支付f（5.5），其中πS，n=（πSi，n）1≤我≤D表示投资于（Si）1的金额≤我≤d、 和πP，和πB，分别表示投资于P和B的金额。设Xnt为每个玩家在时间t时的相应财富。然后，Xnt=Pdi=1πSi，nt+πP，nt+πB，nt，并且自筹条件意味着Xnt=XnTn-1+ZtTn-1dXi=1πSi，nsSisdSis+πP，nsPs-dPs+πB，nsBsdBs+dXi=1qiπSi，nsds！（5.6）=XnTn-1+ZtTn-1.rXnsds+πS，nsσdWs+πP，ns'σd'ns,对于t∈ [总氮-1，T]。问题是要找到一个复制投资组合（πS，n，πP，n，πB，n），这样贴现的财富-RTX重复贴现支付（5.5），并证明XnTn-1=VλTn-1，即从Tn开始的约束Dynkin博弈-1是可复制的，其值实际上由VλTn给出-1、定理5.1。设（Yξ，θ，Zξ，θ）为随机视界[θ，T]上定义的带参数θ的线性B的唯一解∈ [0，T]，即（5.7）Yξ，θT∧T=ZTθer（T-s） fsds+ξ！-ZTt公司∧TrYξ，θsds-ZTt公司∧TZξ，θsdWs，对于t≥ θ. 然后，对于从TM开始的约束Dynkin游戏-1，其复制财富和相应的复制投资组合由xmt=Yξ，TM给出-1吨；（5.8）（πS，Mt，πP，Mt，πB，Mt）=（Zξ，TM-1tσ-1、0、XMt- πS，Mt），t∈ [TM-1，T]，其中σ-1是波动率矩阵（σij）的倒数1≤i、 j≤d

此外，游戏的价值由XMTM给出-1=VλTM-一般情况下，设（Yθ，Zθ）为[θ，t]上定义的带参数θ的线性B的唯一解∈ [0，T]，即（5.9）YθT∧T=ZTθer（T-s） fsds+ξ！-ZTt公司∧TrYθs- λ（Yθ，ss- Yθs）ds公司-ZTt公司∧TZθsdWs，对于t≥ θ、 （Y（θ，’θ），Z（θ，’θ））是16葛春亮和郝东孙[’θ，T]上定义的线性BSD的唯一解，参数θ，’θ满足0≤ θ <θ ≤ T，即Yθ，’θT∧T=Z′θer（T-s） fsds+er（T-(R)θ）min{U'θ，max{Vλ'θ，L'θ}！(5.10)-ZTt公司∧试试θ，’θsds-ZTt公司∧TZθ，’θsdWs，对于t≥ θ、 其中Vλ是BSDE（2.6）的唯一解。然后，对于从Tn开始的constrainedDynkin游戏-1对于1≤ n≤ M- 1，其复制财富和相应的复制组合由xnt=YTn给出-1t{t<Tn}+YTn-1，Tnt{t≥Tn}；（5.11）πS，nt=ZTn公司-1t{t≤Tn}+ZTn-1，Tnt{t>Tn}σ-1.πP，nt=年初至今-1，tt- 年初至今-1吨{t≤Tn}σ-1.πB，nt=Xt- πS，nt- πP，nt，t∈ [总氮-1，T]。此外，游戏的价值由XnTn给出-1=VλTn-1.证明。我们首先从TM开始复制受约束的Dynkin游戏-1、很明显（Yξ，TM）-1，Zξ，TM-1σ-1，0）满足财富方程（5.6），此外，通过将It^o公式应用于e-rtYξ，θt，我们进一步得到-r（t∧T）Yξ，θT∧T=ZTθe-rsfsds+e-rTξ！-ZTt公司∧Te公司-rsZξ，θsdWs。因此，e-rTYξ，TM-1t用n=M复制已发现的payoff（5.5）。此外，XMTM-1=Yξ，TM-1毫米-1=E“ZTTM-1e级-r（s）-TM公司-1） fsds+e-r（T-TM公司-1)ξGTM公司-1#=VλTM-一般来说，我们证明了1的断言≤ n≤ M- 1通过归纳法。假设在Tn和Xn+1Tn=VλTn开始的游戏中，评估保持不变。

然后，对于从Tn开始的游戏-1、通过构造Xnin（5.11）和BSDE（5.9）和（5.10）的最终数据，我们得到了-rTXnT=e-rT公司年初至今-1T{T<Tn}+YTn-1，TnT{T≥Tn}（5.12）=ZTTn-1e级-rsfsds+e-rTξ！{Tn>T}+ztntntn-1e级-rsfsds+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}！{Tn≤T}。因此，e-RTX重新计算已发现的付款（5.5）。接下来，我们证明（5.1 1）中给出的（Xn，πS，n，πP，n）确实满足财富方程（5.6）。为此，请注意Xnt=Xnt∧田纳西州-+ （新台币∧田纳西州- Xnt公司∧田纳西州-) + （新台币- Xnt公司∧Tn），具有泊松随机干预时间的Dynkin对策∈ [总氮-1，T]。自Xnt起∧田纳西州-= 年初至今-1吨∧田纳西州-根据Xn的定义，我们有XNT∧田纳西州-= 年初至今-1吨-1+Zt∧田纳西州-田纳西州-1.rYTn公司-1秒- λ（YTn-1，不锈钢- 年初至今-1s）ds+Zt∧田纳西州-田纳西州-1ZTn-1sdWs=XnTn-1+Zt∧田纳西州-田纳西州-1年-1sds+Zt∧田纳西州-田纳西州-1ZTn-1sdWs-ZtTn公司-1（年初至今-1，不锈钢- 年初至今-1s）{s≤Tn}λds。此外，泊松到达时间Tn，Xnhas是一个跳跃，大小为nT∧田纳西州-Xnt公司∧田纳西州-=年初至今-1，TnTn- 年初至今-1吨-{Tn≤t} =Zt（YTn-1，不锈钢-年初至今-1s）{s≤Tn}）dNs。另一方面，由于Xnt=YTn-1，t事件{t≥ Tn}，我们有xnt- Xnt公司∧Tn=Ztt∧TnrYTn-1，Tnsds+Ztt∧TnZTn公司-1、TnsdWs。反过来，我们利用Xn，πS，nandπP，nin（5.11）的构造，推导出xnt=XnTn-1+ZtTn-1rXnsds+ZtTn-1πS，nsσdWs+ZtTn-1πP，ns′σd′ns。最后，将It^o公式应用于e-rtxn并使用（5.12），我们得到-r（t∧T）Xnt∧T=ZTTn-1e级-rsfsds+e-rTξ！{Tn>T}+ztntntn-1e级-rsfsds+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}！{Tn≤T}-ZTt公司∧Te公司-rsπS，nsσdWs-ZTt公司∧Te公司-rsπP，ns′σd′ns。反过来，对GTn进行条件检验-1使用（5.4），我们得出结论：XnTn-1=VλTn-1.6.

适用于具有随机干预时间的可转换债券。在本节中，我们使用第2节中介绍的训练有素的Dynkin游戏，研究了两个玩家只能停止一系列随机干预时间的可转换债券。传统上，可转换债券模型常常假设债券持有人和发行公司都可以在任何适合公司基础（如股票价格）的停止时间停止。事实上，可能存在一些清算约束作为外部冲击，双方仅在发生冲击时才做出决策。我们将这种液化冲击建模为非均质泊松过程的到达时间。类似的想法首次出现在债务运行问题的建模中（见[23]），该问题可表述为具有泊松到达时间的最优停止问题。假设6.1。设d=1。在风险中性度量下，该公司的股价Ss如下（6.1）Sst=s+Zt（r- q） Ssudu+ZtσSsudWu，18葛春亮和孙浩东，Ss=s>0，其中常数r、q、σ代表无风险利率、股息率和股票波动率，满足参数假设r>q。该公司发行的可转换债券为永久性债券，票面利率为常数c。考虑投资者在初始时间t=0购买该可转换债券的份额。通过持有可转换债券，投资者将持续从公司获得couponrate c，直到合同终止。投资者有权将其债券转换为公司股票，而公司有权调用债券，并迫使债券持有人按顺序将其债券交还给公司≥1恒定强度λ>0。

因此，有两种情况下，合同可能终止：（i）如果公司在某个停止时间σ首次调用债券，债券持有人将在σ时间收到预先规定的退保价格K；（ii）如果投资者首先选择在某个停止时间τ转换其债券，或者两个参与者同时选择停止合同，债券持有人将在时间τ以预先规定的转换率γ转换其债券，从而获得γSτ∈ (0, 1).总之，投资者将在初始时间t=0时获得以下贴现收益：（6.2）P（s；σ，τ）=Zσ∧τe-ruc du+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}，带σ，τ∈RT（λ），其中▄RTi（λ）={G-τ的停止时间τ（ω）=TN（ω），其中N≥ i} 。投资者将选择τ∈RT（λ）使债券价值最大化，而金融机构将选择σ∈RT（λ）通过最小化债券价值来最大化公司的权益价值。这将导致第2节中介绍的受约束的动态名称。该约束可转换债券的上限值和下限值为（6.3）vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E[P（s；σ，τ）]，（6.4）vλ（s）=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）E[P（s；σ，τ）]。请注意，第2节中的约束Dynkin博弈并不完全涵盖上述约束可转换债券，因为第2节中的模型具有随机终止时间T，而可转换债券是永久的。然而，在下面的命题中，我们将证明≥ \'sλ：=q+λr+λKγ，最优停止策略是微不足道的。在这一地区，投资者和企业在第一个泊松到达时间停止总是最佳的。直觉上，当股票价格高的时候，股票的吸引力足以引导投资者去看案例r≤ q可以用类似的方式处理。Poisson随机干预时间19的Dynkin博弈将其债券转换为股票，公司通过尽早调用债券来阻止投资者转换。提案6.2。

假设假设假设6.1成立。然后，约束可转换债券的价值，表示为vλ（s），存在并满足Lλ（s）≤ vλ（s）≤s的Uλ∈ (0, ∞), 式中，lλ（s）：=cr+λ+λq+λγs；Uλ：=c+λKr+λ。此外，在域s中∈\'sλ，∞, 认为vλ（s）=Lλ（s），最优停止策略为τ*,λ= σ*,λ=T.证明。选择τ≡ Tin（6.4）产生可转换债券价格的下界：vλ（s）=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）EZσ∧τe-ruc du+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}≥ infσ∈■RT（λ）E“中兴通讯-ruc du+e-rTγSsT#=EZ∞λe-λm佐暮-ruc du+e-rmγSsmdm公司=Z∞λe-λmZme-ruc du dm+λγEZ∞e-（r+λ）mSsmdm=cr+λ+λq+λγs=Lλ（s），其中我们使用了上一等式中的分部积分。另一方面，通过选择σ≡ Tin（6.3），我们得到可转换债券价格的上界：vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）EZσ∧τe-ruc du+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}≤ supτ∈RT（λ）E“中兴通讯-ruc du+e-rTγSsT{τ=T}+e-rTK{τ>T}#=cr+λ+最大值λq+λγs，λKr+λ= 最大{Lλ（s），Uλ}。在域s中∈\'sλ，∞, 我们总是有Lλ（s）≥ Uλsovλ（s）≤ Lλ（s）≤ vλ（s）。因此，可转换债券的价值存在，并且vλ（s）=vλ（s）=vλ（s）=Lλ（s），最优停止策略τ*,λ= σ*,λ=域s中的T∈0，\'sλ, 我们有Lλ（s）<Uλ。引入nF停止时间θλ：=inf{u≥ 0：Ssu≥ \'sλ}。然后，根据动态规划原理，vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E“Zσ∧τ ∧θλe-ruc du+e-rθλvλ（Ssθλ）{σ∧τ ≥θλ}+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}{σ∧τ <θλ}] .20梁葛春和孙浩东对停车时间θλ，vλ的定义Ssθλ= vλ\'sλ= Lλ（(R)sλ）=Uλ。

因此，在do main中∈ （0，\'sλ），（6.3）-（6.4）等于（6.5）vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）EhP（s；σ，τ）i，（6.6）vλ（s）=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）EhP（s；σ，τ）i，其中payoffp（s；σ，τ）为zσ∧τ ∧θλe-ruc du+e-rθλUλ{σ∧τ ≥θλ}+e-rτγSsτ{τ<θλ，τ≤σ} +e-rσK{σ<θλ，σ<τ}。注意，如果我们引入g停止时间（6.7）TM：=inf{TN≥ θλ：N≥ 1} ，由于payoff函数▄P（s；σ，τ）在TM之后没有变化，我们可以用RT（λ）替换（6.5）-（6.6）中的控制集▄RT（λ），后者包括G停止时间T，T，··，TM。现在，我们将定理2.3（T=θλ，Lt=γSst，Ut=K，ft=c，ξ=Uλ）应用于（6.5）-（6.6），并得到域中可转换债券值的存在性∈ （0，’sλ）。由于上述提议，我们将分析重点放在领域∈0，\'sλ在本节的其余部分。我们分别通过常微分方程和相关自由边界的解来刻画可转换债券的价值和相应的最优停止策略。提案6.3。假设假设假设6.1成立。确定内部发电机L=σsss+（r- q） ss- r、 对于s∈ （0，’sλ），可转换边vλ（s）的值是以下常微分方程的唯一解：（i）如果c>qK，则vλ（s）>γs，和（6.8）- Lvλ=c- λ（vλ- K） +边界条件vλ（(R)sλ）=Uλ；（ii）如果c<rK，则vλ（s）<K，以及（6.9）- Lvλ=c+λ（γs- vλ）+，边界条件vλ（(R)sλ）=Uλ。证据

根据定理2.3和（6.5）-（6.6），可转换债券价值为vλ（s）=vλ，s，对于s∈ （0，’sλ），其中Vλ是惩罚BSDE（6.10）Vλ，st的解的第一个分量∧θλ=Uλ+Zθλt∧θλhc+λγSsu- Vλ，su+- λVλ，su- K+- rVλ，suidu-Zθλt∧θλZλ，sudWu。此外，最优停止策略为（6.11）（σ*,λ=inf{TN≥ T： Vλ，sTN≥ K}∧ TM；τ*,λ=inf{TN≥ T： Vλ，sTN≤ γSsTN}∧ （6.7）中给出了泊松随机干预时间为21的TM，Dynkin对策。另一方面，根据股票价格S的马尔可夫性质，Vλ，st=Vλ（Sst）。反过来，It^o公式进一步暗示（6.12）vλ（Ssθλ）- vλ（Sst∧θλ）=Zθλt∧θλLvλ（Ssu）+rvλ（Ssu）du+Zθλt∧θλσssvλ（Ssu）dWu。然后从（6.10）和（6.12）得出vλ（s），对于s∈ （0，(R)sλ），求解ODE（6.13）- Lvλ=c+λ（γs- vλ）+- λ（vλ- K） +，基本条件vλ（(R)sλ）=Uλ。注意，如果c<rK，命题6.2 yieldsvλ（s）≤ Uλ=c+λKr+λ<rK+λKr+λ=K，如果c>qK，则为vλ（s）≥ Lλ（s）=cr+λ+λq+λγs>qKr+λ+λq+λγs>γs。然后立即执行ODE（6.8）-（6.9）。本节其余部分将通过其相关自由边界来描述约束可转换债券的最优停止策略。6.1. 案例一：qK<c<rK。从位置6.3来看，当qK<c<rK时，我们总是有γs<vλ（s）<K。因此，根据（6.11），最佳停止策略是τ*,λ= σ*,λ=TM。直观地说，当票面利率c满足c<rK，即cr<K时，公司将永远不会花费K赎回债券，因为它只需要支付永久债券的票面利率c，其价值为R。因此，在TM之前，FIR m不得致电。当票面利率c满足c>qK时，即。

c>qK>qr+λq+λγs>qγs，投资者不得将其债券转换为股票，因为她持有γ股股票将获得的股票股息不超过她从债券组合中获得的股息。因此，投资者在TM之前不得转换。在图7.1中，粗体水平线\'sλ表示转换和调用边界。我们模拟了三条泊松时间T=0.3、T=0.5、T=0.8和两条股票价格路径。投资者（和公司）将在TF将债券转换（并调用）为股票路径1。他们将在Tand T继续，并终止库存路径2的合同。通过显式求解相应的ODE，我们进一步计算了可转换债券的价值。注：在这种情况下，vλ=v1，λ求解（6.14）-Lv1，λ- c=0，对于0<s<sλ；v1，λ（0+）=cr；v1，λ（(R)sλ）=Uλ。我们将永续债券价值C置于边界v1处，λ（0+）：=lims↓0v1，λ（s），因为在这种情况下，公司没有动机调用或投资者转换债券。22梁葛春和孙浩东（6.14）的通解的形式为v1，λ（s）=A+sα++A-sα-+cr，对于0<s<sλ，其中（6.15）α±=-（r）- q-σ） ±q（r- q-σ） +2rσ。自α起-< 0，我们获得-= v1处的边界条件为0，λ（0+）。利用其他边界条件，我们进一步得到（6.16）v1，λ（s）=A1，λsα+cr，其中α=α+和A1，λ=λr+λrK-cr公司\'sλ-α.在图2中，我们进一步研究了值函数v1，λ（s），对于s，它始终保持在[Lλ（s），Uλ]之间∈ （0，’sλ）。由于Lλ>γs和Uλ<K，值函数也保持在（γs，K）之间，这意味着对于企业或投资者来说，在区域s中停止是绝对最优的∈ （0，’sλ）。6.2. 案例二：c≥ rK。很明显，如果c≥ rK。因此，从命题6.3开始，我们总是有vλ（s）>γs，从（6.11）开始，投资者的最佳转换策略是τ*,λ=TM，即。

投资者在TM之前进行转换从来都不是最佳选择。取而代之的是，投资者的最佳策略是保持可转换债券的收益率（高达TM）。另一方面，根据（6.8），vλ=v2，λ求解（6.17）-Lv2，λ- c+λ（v2，λ- K） +=0，表示0<s<sλ；v2，λ（0+）=Uλ；v2，λ（(R)sλ）=Uλ。我们在边界v2处放置Uλ，λ（0+）：=lims↓0v2，λ（s）。在这种情况下，由于联合利率c太大，公司希望尽快转换为s，支付债券息票。很明显，v2，λ（s）=Uλ≥ K、 反过来，在（6.11）之前，企业尽快致电是非常必要的，即在第一个泊松到达时间σ*,λ=T。在图3中，粗体水平线sλ表示投资者的转换边界。再次，我们模拟了三个泊松时间T=0.25、T=0.5、T=0.8和两条股价路径。对于股票价格路径1，公司将立即调用债券，对于股票价格路径2，公司和投资者都将在T终止合同。图4进一步绘制了价值函数v2，λ，它是s的常数Uλ∈（0，’sλ）。由于值函数始终保持在K以上，因此也高于γs，因此投资者在区域（0，\'sλ）内转换是最理想的。6.3. 案例三：c≤ qK。很明显，如果c≤ qK。因此，从命题6.3开始，我们总是有vλ（s）<K，从（6.11）开始，企业的最佳调用时间是σ*,λ=泊松随机干预次数为23i的TM，Dynkin对策。e、 对于公司来说，在TM之前打电话从来都不是最佳选择。此外，根据（6.9），vλ=v3，λ求解（6.18）-Lv3，λ- c- λ（γs- v3，λ）+=0，表示0<s<sλ；v3，λ（0+）=cr；v3，λ（(R)sλ）=Uλ。接下来，我们显式求解（6.18）。