内部模型中死亡率数据的可靠性

矩阵以1919-1920年的感兴趣效果为中心，色阶固定。可以清楚地看到，法国和意大利对这些影响的修正，以及法国对1915年和1940年出生前后额外异常的修正。请注意，对于所有这三个国家，我们都使用了男性和女性校正表，尽管我们表示的是与总人口相关的数据，以供说明。12图5-法国和意大利的粗死亡率和校正死亡率改善西德的校正死亡率表如前第2.3部分所述，通过比较粗死亡率和校正期间死亡率表，评估重建西德校正指标的回归方法的校正效率。对于所选的两个标准（BIC或R平方），图6中的改善率矩阵描述了校正过程的结果；从左到右：原始数据，使用BIC选择校正数据，使用调整后的R平方选择校正数据。图6-从左到右：西德的粗略死亡率改善，以及根据BIC和R平方标准13进行的校正版本。关于1919-1920年的影响，校正过程似乎是有效的，这是本文关注的几代人。应该注意的是，1915年的影响也得到了明确的纠正，但除此之外，针对1945年出生年份的纠正并没有完全执行。虽然在我们的背景下，这是一个二阶问题，因为我们的主要兴趣在于正确校正1915年和1920年的巨大异常，但为这几代人开发一种改进的校正方法还有待进一步研究。

回顾保留的标准是R平方的，原因在前面的第2.3部分中有详细说明，特别是校正后的表格显示了更少的孤立队列趋势。修正后的历史死亡率表的关键特征为了关注历史数据而不引入任何外部影响，以下部分的分析仅针对历史数据表中嵌入的死亡率数据进行。因此，预期寿命和死亡率指标仅限于30岁和95岁。虽然该方法应用于整个死亡率表，但仅对特定世代进行了校正，并保留了表中的主要特征，如图7所示，每年的预期寿命。图7——30岁时的历史时期预期寿命，95岁时截断，HFD校正前后。下一节强调，这些人为队列效应可通过通常从粗死亡率数据中得出的基本数量来识别，作为死亡率的力量和死亡函数。14基于时期的死亡率因素——对法国女性死亡率的分析揭示了1964年至2013年基于时期的死亡率表中1918年至1923年间出生的几代人的短暂性和特定波动性。图8——HFD校正前后的时期死亡率曲线与死亡率曲线相吻合，图9中接下来的两个图表显示了1964年至2009年期间法国女性人口的死亡曲线。值得注意的是，校正后的表格增加了死亡曲线的规律性。

在我们的研究中，所有国家和性别的结果都是相似的。15图9–HFD校正前后的死亡曲线总结到上一节，分析数据表明，添加到HMD数据中的校正有效地消除了1918至1923代的人为队列效应，同时保留了主要的死亡率特征。3、死亡率数据异常对内部模型的影响本节详细说明了国家人口暴露的后退对几个经典死亡率模型的影响。在第一步中，我们介绍了使用的每个死亡率模型（M1、M3和M5）拟合的演变，在第二步中，我们介绍了基于两个输入集（HMD与HMD+HFD）对预测预期寿命的影响。最后，我们讨论了回归后的死亡率数据如何影响最佳精算模型的选择、偿付能力资本要求的计算以及寿命风险评估的稳定性。3.1.  内部模型规范16本分析所用内部模型的简化原型如下：根据国家人口死亡率数据拟合一组死亡率模型   统计和定性标准。然后使用选定的死亡率模型进行模拟预测，并根据改善情况建立与99.5%相对应的预期死亡率表。这使得Solvency II经济资本计算的核心是寿命冲击，这里基于年金产品组合。长寿风险可分为两种不同的风险源：水平风险和趋势风险，本文重点关注这两种风险。

内部模型流程如图10所示：通常的流程用灰色表示，死亡率表校正的附加步骤用红色表示。事实上，这一校正过程直接在国家人口死亡率表上执行，然后用于模型校准和选择过程。图10–内部模型工作流中的死亡率表校正过程此处用于评估长寿风险的内部模型的简化原型依赖于几个经典的随机死亡率模型，我们将在下面简要描述这些模型。Lee和Carter（1992）的著名模型，也称为M1，将死亡率分解为静态年龄结构,  时间随机过程驱动的一般水平  和年龄敏感度 达到以下一般水平：  为了说明可能的队列效应，在依赖合理的参数化的同时，还可以考虑Currie（2006）中提出的年龄段队列模型（M3），这是Renshaw&Haberman（2006）的一个特例，其中年龄、周期和队列组分以以下形式独立影响死亡率：     具有额外的队列相关因素，允许调整对角线）来源于年份    .   作为一种利用中间年龄死亡率对数线性的替代方法，凯恩斯等人（2006）的CBD模型（称为M5）也可以进行测试：   ), 哪里 表示校准中使用的年龄范围内的平均年龄。

为了为一组历史死亡率数据选择最合适的模型，在第一阶段对每个模型进行独立校准。校准结果在第二阶段进行比较，重点放在一组必要的或一厢情愿的属性上，例如：输入：国家死亡率表死亡率表校正过程模型校准和选择未来情景模拟从偿付能力资本要求分位数计算17o历史死亡率表的拟合质量（BIC标准），o标准化残差的随机性，o模型参数对用于校准的死亡率数据的年龄段和历史长度的稳定性，o预测死亡率改善与历史改善的反推测试。有关模型选择的有趣特性和测试的进一步讨论，请参考Cairns等人（2009）。校准结果将在下一节中讨论。让我们回顾一下，用于指定粗死亡率的数据 2015年9月1日，从人类死亡率数据库下载了法国（公民人口）、意大利（公民人口）和西德（总人口）的单年和一年年龄段。出于校准目的，数据集仅限于最近几十年的历史数据，保留了标准投保人群的年龄段特征。高于最大年龄段的死亡率通常根据表格闭合技术进行评估。关于表闭包方法的参考和讨论可在Quashie和Denuit（2005）中找到。3.2.  模型拟合为了便于说明，我们将图形分析仅限于法国，因为意大利和德国的结果非常相似。

将提及意大利或德国的任何具体结果。M1模型M1模型仅捕获与年龄相关和与时期相关的死亡率影响。由于重新处理的风险敞口大多是正确的基于队列的影响，因此可以预期对M1模型组件的影响有限。事实上，单独模型组件的拟合结果差异非常温和，如下所示，法国女性群体。图11所示的结果对于我们研究中的男女和所有国家都是相似的。18图11-Lee-Carter模型（M1）组件拟合M3模型除了年龄相关（β）和周期相关（kappa）死亡率效应外，M3模型还捕获了世代间的特定队列效应（γ）。我们观察到，伽马分量在与两次世界大战前后出生模式冲击相关的特定世代上显示出更好的稳定性，而β分量（与年龄相关）和kappa分量（与时期相关）没有显示出明显的变化。单独模型成分的变化仅限于队列效应成分的特定世代。在我们的研究中，每个国家的女性和男性人口的结果与下图12所示的法国女性人口的结果相似。19图12-年龄段队列模型（M3）拟合M5模型的成分M5模型仅捕捉年龄相关和时期相关的死亡率效应。在我们的测试中，在我们研究的每个国家，与新的重新治疗的HMD+HFD表相比，它对男女都非常稳定（见图13）。图13-Cairns Blake Dowd型号（M5）部件装配20 3.3。对未来预期寿命的影响在本节中，我们建议通过两种互补的方法强调预期寿命的潜在变化。

一方面，根据30岁时的剩余预期寿命和95岁时截短的预期寿命，比较有无暴露再治疗的预测期死亡率表。另一方面，对2015年年龄在30至95岁之间的所有活跃世代的队列死亡率表进行了比较，包括暴露再治疗和未暴露再治疗。图中显示了模型随机预测的结果以及中位数（基线）、0.5%（死亡率休克）和99.5%（寿命休克）情景下预期寿命之间的差异。M1模型正如预期的那样，基于对M1模型组件拟合的影响减少，预期寿命分析表明，两组, 如图14所示。在我们的研究中，无论男女还是每个国家，30岁至95岁之间的基于周期的预期寿命以及活代预期寿命的变化都不会超过半个月。图14–截至2015年，法国女性的周期和队列预期寿命，M1模型21 M3模型详细说明了对M3模型校准的影响，我们观察到预测预期寿命（基于周期）非常稳定。队列预期寿命变化有限，影响最大的是在第二次世界大战期间。

图15——截至2015年，法国女性的周期和队列预期寿命，M3模型M5模型转向M5模型，由于模型组件拟合之间的稳定性导致人们认为，再处理的暴露数据对周期预期寿命和队列预期寿命没有重大影响（见图16）。22图16——截至2015年法国女性的周期和队列预期寿命，M5模型结论简而言之，模型拟合历史表格的研究表明，M1和M5模型几乎不受队列效应再治疗的影响，因为模型没有捕捉到队列效应。M3模型不受校正暴露表的显著影响，因为基于时期和队列的预期寿命保持相同水平。然而，队列预期寿命显示出代际结构发生变化的证据，使用HMD校正HFD的模型中，波动性降低（再次参见图12）。3.4.  模型选择过程就模型选择过程而言，在我们研究的所有案例中，图17所示的改进BIC标准表明，再处理暴露使M1和M5模型能够更好地捕捉HMD表中嵌入的死亡率动态。BIC标准未显示M3的可测量变化。最后，对于意大利女性表中的几个群体，重新暴露使M1达到比M3模型更高的BIC水平。23如前一节所强调的，暴露的再处理减少了与队列效应相关的成分的波动。因此，不考虑队列效应的模型提高了拟合历史死亡率数据的效率；捕获队列效应的模型也受益于稳定性的提高（波动较小）。

图17–模型校准的BIC标准3.5。偿付能力资本要求寿命SCR的趋势组成部分段落）作为未来死亡率改善的变化。前面描述的模型按性别、年龄和年份给出了死亡率改善率的完整分布。最不利的情景对应于寿命改善分布的0.5个百分位数，表示为.  为了获得SCR计算的最终死亡率表，对最佳估计假设的改进  , 从估价年度t0起的所有年份，均替换为从上述模型中获得的值。年度趋势SCR组成部分的初始死亡率  不要改变同年的最佳估计死亡率。未来几年  , 为了获得最佳估计，死亡率定义如下() 和SCR() 分别为：          我们在图18中描述了数据源变化对死亡率情景的影响（带有HFD校正的HMD数据）。随着数据修正，改善分布发生了变化，我们在图18中观察到，由于队列效应较低，对死亡率的影响较小，如之前在死亡率模型校准期间所述。请注意        HMD HMD+HFD Abs。差异HMD HMD+HFD Abs。差异M1-13 585-11 907-12%M1-16 767-15 128-10%M3-12 625-12 625 0%M3-13 627-13 627 0%M5-160 771-159 199-1%M5-72 421-70 805-2%HMD HMD+HFD%di ff。

HMD HMD+HFD%di ff。M1-14 217-12 427-13%M1-18 117-16 216-10%M3-13 596-13 596 0%M3-15 026-15 026 0%M5-65 430-63 734-3%M5-29 882-27 939-7%HMD HMD+HFD%di ff。HMD HMD+HFD%di ff。M1-16 410-13 360-19%M1-16 363-14 318-13%M3-13 478-13 478 0%M3-12 959-12 959 0%M5-99 971-96 901-3%M5-28 060-25 971-7%Germany MalesBIC Criterion France MalesBIC Criterion y Femalesic Criterion y MalesBIC Criterion Ermany Femalesic Criterion France Femalesic Criterion y y MalesBIC criterion24图18-1955年出生的法国女性的基线和寿命趋势SCR未来死亡率如上所述，使用HFD校正时，死亡率假设的波动性较小。然而，死亡率水平并未受到影响。所使用的最佳估计值已经没有这种过度的波动性，因此在下面的分析中，我们将只关注使用HFD校正数据更改HMD数据对SCR的影响，同时保持相同的最佳估计假设。对于不同的队列，可以看到SCR情景中捕获的波动性的减少。这可以用寿命趋势SCR对队列预期寿命演变的影响来说明。包括未来死亡率改善在内的队列预期寿命定义如下： :      用SCR改进取代最佳估计改进对队列预期寿命的影响定义如下：  图19显示了2015年出生于1925年至1975年之间的法国女性的影响，一方面，在改善保持不变的情况下，具有最佳估计假设，另一方面，使用寿命SCR改善对死亡率的影响。