中央交易对手风险的动态模型

，N和Nα=min{k | Pkn=1pin>α}。为此，我们将四个考虑的CDS的默认强度分别取为λ=0.002、λ=0.01、λ=0.015、λ=0.03。需要强调的是，在下文中V@Rα(-（Xitk）+Ftk）和AV@Rα(-（Xitk）+Ftk）是基于在tkall时CDS合同和所有CMs仍然存在的事件计算的。我们首先计算在每个CDS合约中持有多头头寸的CCP风险敞口的数值。在表1中，我们给出了SJTKASUMING的值，即在风险δ的保证金期内没有到期的保费。CDSCDSCDSCDSˇSjtk |φj>tk+δ0.0004 0.0003 0.0002-0.00008pj0.9999 0.9994 0.9988ˇSjtk | tk<φj≤ tk+δ0.4252 0.4162 0.4107 0.391- pj0.0001 0.0004 0.0006 0.0012表1:Sjtk的条件分布。正如人们可能预期的那样，如果参考实体违约，则单个CDS合同的风险敞口（绝对）值会很大，尽管这种情况发生的可能性很小。还请注意，CDS合同中的空头头寸（CCP出售保护）不会显著影响CCP对相应成员的敞口。因此，空头头寸不会显著抵消sameCM多头头寸的敞口。因此，XITK的分布将发生偏差，偏差由CCP与CMi的多头头寸总数决定。投资组合中更多的独立CDS合约也会增加偏度。由于IM的价值仅取决于单个CM位置，因此在本节的其余部分，让我们考虑将分别分析的三个CMs投资组合yh=（10，10，-1.-1） ，H=（10，-100，5，5），H=（1，-100, -100, -100).第一个投资组合和第二个投资组合的总投资额分别为中等偏长和较短。第三个投资组合总体上非常短缺。

在表2-4中，使用（4.1）、（4.3）、（C.1）和（C.3），我们给出了CCP风险的概率分布函数（pdf）-（Xitk）+上述各投资组合。请注意，HH手持有相同数量的多头头寸，而HH手持有的空头头寸明显更大。另一方面，hand HH在8.30左右有类似的最大暴露量。与Hand-His相似的风险敞口的概率分布，因此我们将仅计算H的IM。还请注意，Hexhibits的风险敞口几乎为零，如果使用V@R，如果使用AV@R.14比莱基、夏兰科、冯-（Xtk）+-8.41-8.02-8-7.61-4.25p 3.2×10-83.8 × 10-111.9 × 10-112.2 × 10-147.9 × 10-5.-（Xtk）+4.17-3.86-3.84-3.77-3.76p 4.0×10-49.5 × 10-84.7 × 10-84.7 × 10-72.4 × 10-7.-（Xtk）+-3.45-3.36-0.0065 0p 5.6×10-112.8 × 10-100.998 0.0018表2:-（Xtk）+-（Xtk）+-8.25-6.28-6.20-4.223p 5.6×10-114.7 × 10-89.5 × 10-87.9 × 10-5.-（Xtk）+-4.01-2.03-1.95 0p 7.1×10-76.0 × 10-41.2 × 10-30.998表3:-（Xtk）+-（Xtk）+-0.39 0p 7.93×10-50.999921表4:-（Xtk）+接下来，我们将分析使用V@R和AV@R对于H.图1，leftpanel显示V@R对通常应用的行业风险水平α=0.01或α=0.05不敏感。具体而言，V@Rα(-（Xtk）+=0.0065，对于α∈ [0.00477，0.998）。因此，数值结果表明V@R不是计算theIM的适当风险度量。这一观察结果与使用AV@R相反forV@R在风险管理方面。的值AV@R对于图1右侧面板中给出的H，指出AV@R实际上，它更适合于CCP的风险管理应用程序。请注意，IM=AV@R0.01(-（Xtk）+=0.21，约为20的1%——即H中多头头寸的名义总额。

这些结果符合行业惯例，其中合理IM为名义值的1-2%，α=0.01为普遍接受的风险水平。4.2违约基金根据（3.5）中定义的风险敞口指数计算违约基金。我们假设基础CDS合约的默认时间与CMs creditmigration流程无关。我们用蒙特卡罗方法计算DF。CCP 15的数值实验动力学模型表明，为了达到合理的精度并平衡计算成本，对于τi，每个φjan模拟100条路径和10000条路径就足够了。因为我们假设CDS合约的违约强度不变，因此，φjis的模拟减少到绘制i.i.d.单位指数随机变量Ej，并取φj=inf{t>0：λjt≥ Ej}。在本节中，我们将考虑CCP Hb持有的以下两个投资组合=1.-1 1 -1.-1 1 -1 110 -1.-8.-1.-1 2 -2 1-10 5 -5 10-1.-1.-5 720 10 18 -48-18-15 2 31., 胡=1 1 1 110 -1 10 -1.-1 10 -1 10100 -5 100 -5.-110-5.-110-5.-1.-1.-1.-1.-2.-1.-6.-33 2 7 4.投资组合HB在CM头寸中基本一致，我们将其称为平衡投资组合，而HU将被称为不平衡投资组合（有两个“大型”CM）。为了模拟所有CMs的默认时间，我们采用离散时间齐次（强）马尔可夫结构模型进行信用迁移。这尤其意味着所有CMs的信贷迁移过程都是时间齐次马尔可夫链，联合迁移过程也是时间齐次马尔可夫链。有关马尔可夫构造的详细信息，请参见附录B。我们假设8个信用评级级别{1，2，…，7，8}，其中1为最高信用评级，8为违约评级。只能从级别{3，…，7}转换到默认级别8；我们称之为从{3。

，6}跳到默认级别8。为简单起见，我们假设评级只能在相邻值之间更改，除非CM跳转为默认值。最后，我们假设所有CMs的边缘（或单个）迁移过程由相同的转移矩阵控制。我们考虑了CMs信用水平之间的三种依赖结构。第一类，所有成员的边缘（个体）迁移过程相互独立。类型II，其中任何成员跳转到默认值都会禁止其他成员的creditupgrade。第三类，即所有成员的信用评级以相同的方式同时迁移，或者一个成员的信用评级迁移，而其余所有成员的信用评级保持不变。目前，我们仅考虑两种情况下CMs的信用评级：要么所有CMs的最高信用评级为1，要么所有CMs的信用评级为7。我们将这两种情况表示为{1}和{7}。单个DFI和总DF主要由多头寸的大小决定，多头寸决定风险敞口，而不管投资组合是否平衡16 Bielecki、Cialenco、Fengo。我们的模拟结果证实了这一点。因此，我们将仅给出平衡投资组合的数值结果。我们数值研究这一部分的主要目标之一是检验风险水平αi和βDF的各种值对dfi的大小以及总DF的大小的影响。结果示例如图2和图3所示。

前一个显示了αi和βDF不同值以及两种不同信用评级配置的DF/IM比率，后一个显示了αIM=0.01代表值的DF/IM曲线，作为βDF的函数。在图2中，我们只考虑II型依赖结构，因为I型和III型依赖结构的类似结果成立。图3所示的图表进一步证实了这一观察结果。图2很好地说明了一个直观的特性，即DF/IM比率依赖于αIM的方式没有单调性。这也说明了另一个直观特征，即βDF中的该比率降低。为了解释图3中的结果，我们首先注意到，正如预期的那样，两种信用评级初始配置之间的DF/IM（以及DF总额）存在显著差异。对于βDF=0.01，初始状态{1}，我们有IIIDF/IM=0.0026型，而对于初始状态{7}，我们有III型DF/IM=0.5312型。一般来说，初始配置{7}的DF/IM比{1}大200倍以上。我们还注意到，在初始状态{7}时，当βDF=0.05时，CCPs经常报告的值DF/IM=10%。然而，当从{1}开始时，任何βdf都可以实现这一点。我们的模拟结果还表明，正如预期的那样，DFI随着多头头寸的大小而增加。如第3节所述，所谓的覆盖值由CCP计算。使用DF和DFI值的模拟结果，我们计算了这些违约基金覆盖风险敞口的经验概率。具体而言，我们计算了DF覆盖最大暴露的CM暴露的经验概率，DF覆盖最大暴露的两个CM暴露的经验概率，以及DF覆盖所有CM暴露的经验概率。

我们还计算了我们称之为自保的经验概率，即该成员的个人违约基金（自保1）发现最大风险敞口的CM的风险敞口的经验概率，以及类似的自保2的经验概率。结果如图4所示。结果仅用于{7}的初始配置；对于{1}的初始配置，这些经验概率几乎等于1。如图5所示，DF/IM比率与成员数量或成员持有的位置大小没有太大的变化。这表明，随着CMs数量的增加，我们的模型适当地扩展了DF和IM的大小。相反，正如本节开头所述，C1/C2方法无法随着CMs数量的增加适当地扩展DF的大小：本质上，C1/C2方法严重低估了DF的大小。总之，我们的模型证明非常灵活，能够产生与默认瀑布的预期特征一致的结果。CCP 17的动态模型图1:H的IM由V@R和AV@RFigure2：II类DF/IM比率A风险条件平均值我们取的基本概率空间为(Ohm, F，F，P），如前所述。回想一下，静态平均风险值(AV@R)在显著水平α∈ （0，1）已定义asAV@Rα（X）：=αZβV@Rβ（X）dβ，（A.1）对于任何X∈ L(Ohm).

遵循一致性风险度量的一般理论，AV@R添加以下鲁棒性representationAV@Rα（X）=supQ∈量化宽松[-十] ，（A.2），其中Q是概率测度Q相对于P绝对连续的集合，并且使得dQ/dP≤ 1/α.18 Bielecki，Cialenco，Feng图3：α=0.01的不同β的三种类型的DF/IM比率图4：初始状态的I型和III型DF覆盖率{7}图5：CCP 19不同数量CMS动力学模型的I型DF/IM让我们考虑σ-代数G F在下文中，我们将使用以下符号SQG=nQ PQ=运行中的P，QαG=Q∈ QG公司dQdP≤α.虽然条件（一致）动态风险度量理论是一个成熟的领域（c.f.[DS05，BCDK16]），但我们将在这里得出本文中使用的一些具体技术结果。通过类比静态情况（A.2）（另见[DS05，示例1]），我们确定了条件AV@R像followsAV@Rα（X | G）：=ess supQ∈QαGEQ[-X | G]。（A.3）我们将在下面的定理A.7中证明，（A.3）中存在一个最大化子，我们将导出它的显式形式。关于静态情况下的类似结果，请参见【FS04，备注4.48】；有关动态设置中的类似方法，请参见[Che09]。我们从一些定义和辅助结果开始。与无条件情况类似，分位数是条件累积分布函数FX（s）的倒数：=P（X≤ s | G），带s∈ L（G）。关于条件反函数的一般理论，请参考【BCDK16，第a.2节】。请注意，FX（·）：L∞（G）→ L∞（G）是递增的，并且是右连续的，因此G:L∞（G）→ L∞（G）F ifF的isan逆-X（克（s））≤ s≤ F（G（s）），s∈ L∞（G），（A.4），其中F-X（s）：=P（X<s | G）是F的左连续版本。请注意，对于任何s，s∈ L∞（G），使得s<s，我们有f（s）≤ F-（s） 。

（A.5）一般来说，函数F可能有很多逆，特别是如果随机变量X具有离散分量，则可能会出现这种情况。另一方面，如果X是一个连续的随机变量，则逆G是唯一的。在F的所有逆函数中，我们将主要关注其中的两个，即F分别给出的左逆和右逆-1.-X（u）：=ess inf{s∈ L（G）| FX（s）≥ u} （A.6）=ess sup{s∈ L（G）| FX（s）<u}，（A.7）F-1，+X（u）：=ess inf{s∈ L（G）| FX（s）>u}（A.8）=ess sup{s∈ L（G）| FX（s）≤ u} 。（A.9）可以显示（见【BCDK16，第A.2节】）F-1，±Xare确实是F的倒数。此外，对于FF的任何逆函数G-1.-≤ G≤ F-1,+. （A.10）20 Bielecki、Cialenco、Fengand F-1.-分别为左连续版本G和F-1，+是G的右连续版本。如上所述，随机变量X的条件α-分位数定义为值G（α），其中G是条件累积函数FX的反函数。函数F-1.-（α） 和F-1、+（α）分别称为X的下分位数和上分位数。为了简化符号，我们将用qα（X | G）表示条件分位数，用q表示下分位数-α（X | G），上分位数为q+α（X | G）。有时，如果没有混淆，我们只需写q±α（X）。为了表明分位数是相对于度量值P取的，我们将添加上标P，并写入qPα。引理A.1。以下表达式适用于上下条件分位数q-α（X | G）=ess sup{s∈ L（G）| P（X<s | G）<α}，（A.11）q+α（X | G）=ess sup{s∈ L（G）| P（X<s | G）≤ α}. （A.12）证明。我们将只展示（A.12），并且（A.11）也得到了类似的证明。设a和b分别表示（a.12）和（a.9）的右侧。

然后，由于P（X<s | G）≤ P（X≤x | G）≤ α、 我们有s∈ L（G）| P（X<s | G）<αs∈ L（G）| P（X<s | G）≤ α,因此≥ b、 假设集合a上的a>b∈ G使得P（A）>0。然后，根据ess sup的定义，存在∈ L∞（G），使得b<子A，和p（X<s | G）≤ α. 因此，存在∈ L∞（G）使得b<s<子A。鉴于（A.5），我们有thatAP（X≤ s | G）≤ 1AP（X<s | G）≤ 1Aα。因此，1Ab≥ 1As，导致矛盾。备注A.2。值得注意的是，根据（A.4），0≤ P（q-α（X | G）<X<q+α（X | G）| G）≤ α - α=0，thusPq-α（X | G）<X<q+α（X | G）| G= 0，（A.13）表示X∈ L∞（F）。引理A.3。对于任何a，m∈ L∞（G），使a<0，使X/a∈ L∞（F）我们有AQ1.-α（X/a | G）=q±（X | G），（a.14）q±（X- m | G）=q±α（X | G）- m、 （A.15）证明。到（A.11），我们有了-1.-α（X/a | G）=ess inf{as | P（X≥ 作为| G）>α}，（A.16）CCP 21的动态模型，根据该模型，使用（A.8），对应于左侧较低分位数的恒等式（A.14）立即出现。现在，左上分位数的恒等式（A.8）清楚地显示出来了。恒等式（A.15）直接来自条件上分位数的定义。证据到此结束。引理A.4。假设Q∈ QG，theni）E[dQ/dP | G]=1。ii）对于任何Y∈ L（F）等式[Y | G]=EYdQdPG, （A.17）andE[Y | G]=E[NY | G]+EQ[ДY | G]，（A.18），其中N={dQ/dP=0}，Д=dP/dQ，具有约定∞ 如果dQ/dP=0，且0·∞ = 0.证明。为简单起见，我们假设G由可数分区D.i）let D生成∈ D

然后，P（D）=Q（D），因此[dQ/dP | D]=E[dQ/dP·D]P（D）=E[dQ/dP·D]Q（D）=EQ[dQ/dP·dP/dQ·D]Q（D）=EQ[D]Q（D）=1。ii）等式（A.17）后面紧跟着i）和抽象贝叶斯理论eMQ[Y | G]=EhdQdP | GiEYdQdPG.对于D∈ D、 我们有E[Y | D]=E[YD]P（D）=E[YDN]P（D）+E[YD∩Nc]P（D）=E[YN | D]+RD∩NcYхdQQ（D）=E[YN | D]+RDYхdQQ（D），其中在上一个等式中，我们使用Q（N）=0。因此，（A.18）得到证明。在以下内容中，我们确定了一个问题∈ QG，并将N={dQ/dP=0}，Д：=dP/dQ，与约定的Д=∞ 在N上。22 Bielecki，Cialenco，FengLet我们用A表示所有F-可测随机变量的集合，其值在[0，1]中。我们用所有随机变量ψ的集合表示∈ A存在c∈ L（G），c≥ 0和ψ=（1，在{Д>c}0，在{Д<c}上。（A.19）引理A.5。Letα∈ L（G），使得α∈ （0，1）和定义]：=qQ1-α（Д| G），ψ]：=Д>c]+κД=c]，其中κ：=（0，如果Q（Д=c]| G）=0，α-Q（Д>c]| G）Q（Д=c]| G），否则。然后，ψ]∈ Aand EQ[ψ]| G]=α。证据等式[ψ]| G]=α直接来自ψ的定义]。这表明κ∈ [0, 1]. 事实上，由于c]是一个条件分位数，通过（a.4）我们推导出q（Д=c]| G）=FД（c]）- F-^1（c]）≥ FД（c））+α- 1= α- Q（Д>c）| G），因此κ≤ 1、另一方面，通过（A.4），Q（Д>c）| G）=1- FД（c）≤ 1.- (1 - α） =α，因此为κ≥ 0。这就完成了证明。引理A.6。a） 对于任何ψ∈ A、 和ψ∈ A、 公式[ψ| G]≤ 公式[ψ| G]=> EP[ψ| G]≤ EP[ψ| G]。（A.20）b）如果ψ∈ 每个ψ的满意度（A.20）∈ A、 然后ψ∈ A、 证明。a） Letψ∈ Aandψ∈ A、 那么，ψ- ψ ≥ N为0，且（ψ- ψ)(φ - c）≥ 因此，根据引理A.4。（ii），我们有Ephψ- ψGi=E[（ψ- ψ） 1N | G]+等式Д（ψ- ψ)Gi公司≥ cEQhψ- ψGi公司≥ 0，这证明了蕴涵（A.20）。b） 假设ψ*∈ A是这样的，对于任何ψ∈ AEQ[ψ| G]≤ 公式[ψ*| G]=> EP[ψ| G]≤ EP[ψ*| G）]。（A.21）CCP 23Let的动态模型α：=等式[ψ*| G）]。