用自适应多重分形方法评估48个股票市场

I（X，Y）可以取任何正值，也可以取z。如果变量是独立的（因此没有共同的信息），则为零。这使得互信息成为依赖性的完美度量，因为它不需要0到1之间的绝对值[45]。因此，有必要对其进行标准化，以进行直接比较[46-48]。一种可能的归一化是：λ（X，Y）=p1- e-2I（X，Y）（2）等式（2）确定的依赖性度量可以在0到1之间变化，c可以解释为基于信息理论的相关性，如果变量X和Y是独立的（即如果变量没有共同的信息），则取0值。最大值是在两个变量之间存在完美关系的情况下获得的，即在确定性上下文中。它被用作其他测试的替代品，因为它有几个优点。首先，之前的一些测试有一些局限性。例如，皮尔逊相关系数仅反映了线性相关性的存在，但数据中也可能存在非线性相关性。因此，互信息可以用作整体相关性的度量，而不仅仅是线性相关性的度量。因此，关系的符号是积极的还是消极的都无关紧要。此外，与熵相关的度量需要更少的假设，更灵活。互信息用于测试时间序列的全局相关性。零假设定义为H0:I（X，Y）=0，这意味着变量是独立的（或者给定的时间序列没有记忆）。备选假设由H1给出：I（X，Y）>0。通过将相关值与临界值进行比较来决定是否拒绝无效假设【49】。

该测试的特殊性在于不需要对时间序列的线性、正态性或平稳性进行假设。然而，在平稳时间序列的情况下，结果更可靠，因为当非线性和非平稳同时发生时，没有足够的证据证明该测试的稳健性[50]。我们用等量化方法估计相互信息。C、 自适应多重分形去趋势交叉相关分析（AMF-DFA）当我们要比较金融时间序列的行为时，其中一个问题是不确定性的可能性，这避免了使用一些计量经济学技术。即使对序列进行积分，普通最小二乘法的结果也不能完全解释，即分析序列之间相关性的假设检验。为此，传统方法遇到了不准确的问题。Jun等人提出了一种分析序列互相关特性的方法，方法是将原始信号分解为正、负两个分量【51】。基于将原始信号分解为正负分量的基础上，Podobnik等人最近引入了两个非平稳分量之间的互相关，即所谓的去趋势互相关分析（DCCA）[18]。然后，通过MF-DFA的方法阐述了DCCA的推广形式，即多重分形去趋势互相关分析（MF-DXA）。上述方法最初用于解释自然现象的行为，同时上述两种技术也可应用于经济时间序列，例如金融数据。潜在数据中趋势和非平稳性的存在导致相关性变得不准确和不可靠。

测量中嵌入的趋势和非平稳性通常分为两类：全球趋势和本地趋势。除此之外，从数学角度来看，o Ne还有两个重要的趋势类别：多项式趋势和正弦趋势。在全局去趋势中，假定直线ar、多项式或指数函数ar。在经验模式下，通过使用图确定分解局部极值。1： 在AdaptiveTrending方法中划分典型序列的示意图。在每段中，R+1点与相邻分区重叠。待计算的内在趋势函数【19】。对于接近的局部去趋势，数据的移动平均值为一。在许多情况下，MF-DFA和MF-DXA方法无法消除数据中的叠加趋势，尤其是在正弦趋势存在的情况下【52，53】。作为消除上述趋势傅里叶去趋势波动分析（F-DFA）[54-56]的补充程序，这实际上是一种高通滤波器，建议使用奇异值分解（SVD）[57-60]和自适应去趋势方法[20]。事实上，正弦趋势叠加的最相关特征是MF DFA或MF-DXA的函数中存在交叉（有关更多详细信息，请参阅以下小节）。本文采用自适应去趋势算法去除局部趋势，然后将MF-DXA方法应用于干净数据集。下面，我们将详细介绍自适应MF-DXA（AMF-DXA）作为分析股票数据集的方法。去趋势互相关分析（DCCA）[18，51]是DFA[14，15]方法的推广，其中只分析了一个时间序列。对基础数据集进行自适应趋势消除分析，以消除局部趋势。然后，将干净的数据用作DCCA及其泛化的输入【20】。

为了考虑高阶矩，DCCA方法被修改，引入了所谓的MF-DXA【36】。自适应去趋势MF-DXA有5个步骤（更多详细信息，请参见[18、20、36）]：（I）：假设k=1。。。，t、 我们对长度th2R+1进行分段。每个相邻分区都有R+1个重叠点。对于大小为2R+1的每个窗口，将拟合任意多项式（Y）。实际上，K阶的最佳多项式l与局部趋势相对应。为了构造连续趋势函数，为第ν段【20】的重叠部分定义了以下加权函数：Yoverlapν（k）=1.-k- 1R级Yν（k+R）+k- 1RYν+1（k）（3），其中k=1，2。。。，R+1。R值和拟合函数的or de R是两个自由参数，应适当确定[20]。在本文中，我们认为分段数等于wadaptive=10、wadaptive=50和wadaptive=100。此外，还选择了二阶拟合多项式。每段中的点数计算公式为：2R+1≡ 2×intht-1 WAdaptive+1 I+1。显然，增加WADAPTIVE的值和拟合多项式的阶数会导致几乎所有的函数都被忽略，因此可能会抑制底层数据集的信息。图1表示自适应去趋势算法中的分割示意图。确定每个分区的趋势函数后，每个分区中对应的自适应去趋势数据由xi=zi给出- Yν（i）。（二） ：两个自适应去趋势系列的性能定义为：X（k）≡kXi=1[xi- hxi]k=1，tY（k）≡kXi=1[易- hyi]k=1。

，t（4）由于通常平均值在最终结果中没有很大作用，并且因为我们将比较两个不同的时间序列，因此，我们构建了具有零均值和单位方差的数据集。（三） ：我们将上述每个文件分为Ns≡int（t/s）没有等长的n个重叠段，s，并且对于每个分段，计算函数。为了防止数据大小不是刻度s的倍数时发生数据泄漏，从另一端执行相同的方法，从而确定2个集合。Fxy（s，m）=ssXi=1{X[（m- 1） s+i]- X fit（i，m）}×{Y[（m- 1） s+i]- Y fit（i，m）}（5）对于m=1。。。，Nsand:Fxy（s，m）=ssXi=1{X[t- （m）- 1） s+i]- X fit（i，m）}×{Y[t- （m）- 1） s+i]- Y fit（i，m）}（6）对于m=Ns+1。。。，2Ns，其中X fit（i，m）和Y fit（i，m））是第m段中的任意拟合多项式。之前的研究证实，通过选择线性拟合函数，可以消除常见趋势。没有趋势意味着应该采用z-eroth顺序拟合函数[61]。（四） ：在所有部分的每个局部函数上，平均值定义为：Fxy（q；s）=（NsNsXm=1 | Fxy（s，m）| q/2）1/q（7）。原则上，q可以取除零以外的任何实值。当q=0时，方程（7）变为：Fxy（0；s）=exp2NsNsXm=1ln | Fxy（s，m）|！（8） 对于q=2，检索标准DCCA。（五） ：最后，我们要求函数表现为幂律函数，Fxy（q；s）ver sus s s的对数曲线图的斜率确定为：Fxy（q；s）~ shxy（q）（9）如果两个基本级数相等，x=y，则hxx（q）=hxy（q），并且除了所谓的广义hurst指数h（q）之外，没有别的。非平稳序列的赫斯特指数（0<H<1）由[62]给出（更多详情请参见[63，64]的附录）H≡ hxx（q=2）- 1.（10）标准多重实际形式表明，多重分形标度指数为[17，65]τxy（q）=qhxy（q）- E

（11） 其中，E是几何支撑的分形维数，对于一维数据集，E=1【17】。通过多重分形标度指数的勒让德变换，给出了数据的广义奇异性谱fxy（αxy），即fxy（αxy）=qαxy- τxy（q），其中αxy=τxy（q）q称为H¨older指数。对于多重分形序列，αxy有一个谱而不是一个值。H¨older谱的区间，αxy∈ 【αminxy，αmaxxy】，可通过【66–68】αminxy=limq确定→+∞τxy（q）q、 （12）αmaxxy=limq→-∞τxy（q）q、 （13）根据基因化Hurst指数的值，确定hxy（q），确定相关性和功率谱标度指数。非平稳过程的相关函数为：Cxy（T，T）≡ hx（t）y（t）i~ [t-γxy+t-γxy- |t型- t型|-γxy]（14）和γxy=-2Hxy=2- 2hxy（q=2）。功率谱指数也由βxy=2Hxy+1=2Hxy（q=2）给出- 在表II中，我们总结了随机过程的最相关标度指数。无法保证所有基础标度中的每个q都有唯一的标度指数hxy（q）。在某种情况下，我们应该注意范围标度，即指数1D fGn 1D fBm 2D Cascade 2D fbmhxy（q=2）hxy（q=2）- 1 hxy（q=2）hxy（q=2）- 1γxy2- 2Hxy-2Hxy1- 2Hxy-1.- 2Hxyβxy2Hxy- 1 2Hxy+1 2Hxy2Hxy+2表II：关于一维和二维随机过程的一些标度指数。必须指出的是，对于2D情况，Hurstexponent的值尚在讨论中，例如参见[69,70]。ITALYAUSTRALIAUSAPOLANDMALAYSIAkx（k）500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000501001502002503003504004505005506000700Indiajan。1995年2014年2月图。2： 一些月度股票市场指数的时间演化。研究了基础数据集。因此，在所有缩放范围内，基础数据集有多个统计行为。

换言之，存在短期互相关或不存在任何cros s相关。HXY的q依赖性表明，交叉函数具有多重分形性质。必须指出的是，趋势调查的重要性至少基于以下两个目的：首先，某些类型的趋势的存在，如嵌入数据集的正弦趋势，导致数据集出现交叉【52、53、55、57-59、71-73】。为了使上述趋势的影响最小化，并找到更可靠的统计推断，使用了一些额外的去趋势程序，例如F-DFA（54-56）、奇异值分解滤波（SVD）（5 7-59）、经验模式分解（19）和自适应去趋势算法（20）。在去除全球和局部趋势后，我们通过应用MF-DXA获得了膨胀指数。已经证明，为了根据DFA或DCCAMETHOD找到最可靠的缩放指数值，我们应该设置≤ （t/2），即Ns≥ 2 [17].为了确定函数对尺度的对数-对数plo t曲线斜率（方程（9）），我们使用似然统计如下：L（数据| hxy（q））~ 经验值-χ（hxy（q））（15） 式中：χ（hxy（q））=Xs[离岸价（q；s））- F fit（s；hxy（q））]σobs。（q；s）（16）此处为F（s；hxy（q））和FOB。（q；s）是由方程（9）确定的函数，分别使用DFA或DCCA从数据集直接计算得出。此外，σobs。（q；s）是与FOB相关的平均标准偏差。（q；s）。最大似然函数将ponds与hxy（q）最佳值的χ最小化相关联。根据以下条件，通过似然函数计算hxy（q）1σ置信区间的误差条值：68.3%=Z+σ+（q）-σ-（q） L（数据| hxy（q））dhxy（q）（17）将根据hxy（q）+σ+（q）报告标度指数a t 1σ浓度区间的最佳t值-σ-（q） 每时每刻都是q。

在高斯情况下，σ-（q） =σ+（q）。为了使我们的结果更具意义和完整性，我们遵循G.F.Zebende【24】提出的所谓互相关系数的方法：σDCCA（s）≡Fxy（s）Fxx（s）Fyy（s）（18），其中Fxy（s）≡NsNsXm=1Fxy（s，m）（19）和Fxy（s，m）由等式给出。（5） 和（6）。最后，我们计算σDCCA=hσDCCA（s）为。σDCCA=+1表示完全互相关，σDCCA=0表示基础数据集之间没有交叉相关，而σDCCA=-1表示完全反互相关。同时，Kwapie\'n等人提出了一种基于公式（18）量化互相关的改进版本，即q独立互相关系数。我们发现，我们仅在q=2的情况下使用上述度量，而在另一项研究中，我们将考虑更多的q.III值。数据描述本文使用的数据包括48个发达和新兴市场的调整后市场资本化股票市场指数，由摩根士丹利资本国际（MSCI）构建，并从图中下载。3： 股票市场之间的长期重要关系（虚线表示双边关系，实线表示单边关系）。数据流。我们使用1995年1月至2014年2月期间的每日指数价格，相当于每个指数4995个观察值。摩根士丹利资本国际的分类取决于三个标准：经济发展、规模、流动性和市场准入，并将市场划分为发达市场、新兴市场和前沿市场（更多详细信息，请参阅http://www.msci.com）。我们的数据库包括2个3个分类为发达市场、21个分类为新兴市场和4个前沿市场。

发达市场包括：加拿大、美国（来自美国）、奥地利、比利时、丹麦、芬兰、法国、德国、爱尔兰、以色列、意大利、荷兰、挪威、葡萄牙、新加坡、西班牙、瑞典、瑞士、英国（来自欧洲）、澳大利亚、香港、日本、新西兰和新加坡（来自太平洋）。新兴市场包括巴西、智利、哥伦比亚、墨西哥、秘鲁（来自美洲）、捷克共和国、埃及、希腊、匈牙利、波兰、俄罗斯、南非、土耳其（欧洲、中东和非洲）、中国、印度、印尼、科雷亚、马来西亚、菲律宾、台湾和泰国（亚洲）。前沿市场为阿根廷（美洲）、摩洛哥（非洲）、约旦（中东）和巴基斯坦（亚洲）。这些数据是这些市场的相对价格指数，其中基数100是在第一次观察中设定的。为了说明这些市场的行为，我们在图2中预发了一些市场的时间演化。以一种非常简单的方式，我们可以观察到一些股票市场之间除了规模差异之外的一些相似行为。例如，在发达的市场集团中，欧洲表现出一些“同步”，例如亚洲的一些市场，即新加坡和日本。新兴市场似乎也表现出高度的“同步”或类似行为，尤其是在欧洲和南美洲。

重要的是要注意土耳其股市的高价值，这可能导致该市场在unG C-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1国家指数G C C2 4 6 8 10 12 16 20 22 24 26 28 30 32 36 38 40 42 44 46 48 500.920.930.940.950.960.970.980.99国家/地区期间强劲增长NameIndexArgentinaaAustraliaustriabelgiumbrazilcanadachilechinacolombia捷克共和国ENMARKEGYPTFINLANDEGERLECEGermanyHong KongHungaryIndianesairlandIsraelandMexicomorocconetherlandsNewZealandNorwayPakistanperupolandPortugalrussingapore South AFRICASPAINSRI LankaswitzerlandTaiwanthailandTurkeyukusafg。4： 顶部面板：每个国家的平均全球相关系数（GCC）。底部面板：缩放每个国家的全球平均相关性。der分析。当然，这种分析是微不足道的。为了评估这些市场之间的关系，重要的是在线性和非线性条件下使用稳健技术。四、 股票市场共同运动的结果在上一节中，已经解释了根据基础数据提取可靠信息的数学和计算工具。在本节中，我们将在序列上应用上述方法。A、 协整和因果关系检验的证据通过将时间序列回归到一个非显著常数来证明其稳定性。结果表明，所有变量都存在结构性中断，其中一些结构性中断似乎与股市崩盘和金融危机的存在有关。鉴于所有变量都是非平稳的，我们考虑了估计所有这些变量之间长期关系的可能性。