把握市场冲击中的不对称信息

我们将加权价格响应与加权因子定义为alinearly插值wt=wijRijst+（1- wij）Rijmt.（9）因此，任何一种情况的频繁发生都将在很大程度上影响加权响应。Ris——所有股票对（i，j）的N×N响应矩阵，在我们的案例中，N=96。在响应矩阵中，对角元素是自我响应，对角元素是交叉响应。我们计算出所有交易、单笔交易、多笔交易和加权交易案例的经验响应矩阵R，如图2所示。如图所示，市场对单笔交易的反应强烈，但对多笔交易的反应要弱得多。介于两者之间的是所有交易情况和加权情况。把握市场中的不对称信息会影响8-2-620 40 60 8020 40 60 8020 40 60 80-0.01-0.0050.0050.01图2。（a）所有交易的情况，（b）单一交易的情况，（c）多重交易的情况，（d）加权交易的情况，以及（e）随机情况下的市场响应矩阵R。表1：。不对称性测量Alltradessingletradesmultipletradesweig htedtradesRandomp（Ro ffij）模式/右移（×10-6） 1.965 2.710 0.217 2.234 84.500平均值（×10-6） 1.873 3.348 0.793 2.473 26.923地中海（×10-6） 1.775 3.168 0.508 2.354 21.304偏度1.585 1.461 1.893 1.587-0.018h∧（R）总体不对称性0.360 0.334 0.628 0.317 0.716H（Im（λ））香农熵2.018 1.884 2.120 1.816 3.189表2。稳定分布响应的拟合参数αβγ（×10）-6) u(×10-6） 交叉反应所有交易1.749 0.512 0.748 1.725单笔交易1.737 0.496 1.230 3.107多笔交易1.246 0.663 0.480 0.425加权交易1.792 0.607 0.915 2.298自我反应单笔交易1.493 1 28.798 116.119交叉反应随机1.999-1 2208.170 31.333把握市场中的不对称信息影响9-5 0 5 5 10-62 4 10-4-0.01-0.005 0.005 0.01图3。

（a） 价格交叉响应对所有、单个、多个和加权交易的概率分布p（Roffij）；（b） 单个交易价格自我反应的概率分布p（Rdiagij）；（c） 随机响应矩阵r | r中o fff-对角线元素的概率分布p（Roffij | r）。所有分布均符合稳定分布，用实线表示。为了进行比较，我们还考虑了随机响应矩阵R | R，R | R=LA sgn（BT），（10），其中a和B是不相关的N×L随机矩阵，具有零均值和单位方差，L是时间序列的长度。符号函数sgn（·）用于从一系列随机数中获得随机符号，因此，sgn（BT）是BT符号的L×N矩阵。上标T表示伴随。与其他情况不同，图2（e）中的随机响应矩阵R | rin显示出均匀分布，没有任何显著特征。3.2. 分布不对称为了量化整个市场的响应结构，我们计算出四种类型响应的概率分布，见图3。交叉反应是反应矩阵R的对角元素，自我反应是对角元素。随机响应矩阵的o f-对角线元素s的分布抓住市场中的不对称信息也会影响图3所示的10R | ris。表1列出了交叉响应分布的模式、平均值、中间值和偏度。每一个非随机的经验分布都会在零处移到垂直轴的右侧。这种对称性揭示了积极和消极反应之间的平衡。这意味着一只股票的买入（卖出）更有可能使另一只股票的价格上涨（下跌）。

虽然对单个交易的交叉反应最大，右移为2.71×10-6在这四种类型中，与自我反应相比，它非常弱，偏移了1.23×10-4、我们将所有经验分布都定义为稳定分布，这是一类模拟偏度和重尾的概率分布[28]。arandom变量x的稳定分布p（x）最好通过其特征函数ν（κ）来描述=+∞Z-∞exp（iκx）p（x）dx，（11），其形式为[28]Д（κ）=经验值-γα|κ|αh1+iβsgn（κ）tanπα（（γ|κ|）1-α- 1） i+iuκ对于α6=1，exp-γ|κ| h1+iβπsgn（κ）log（γ|κ|）i+iμκ对于α=1。（12） 稳定性参数α∈ （0，2），强烈影响分布的尾部。当α=2时，分布不具有平均u和方差2γ，即N（u，2γ）。当0<α<2时，分布为非正态分布，带有重尾。形状参数β∈ [-1，1]描述了分布的偏度，这与s=h（x）定义的经典偏度不同- u）i/σ，其中u是x的平均值，σ是x的标准偏差。如果β=0，则分布是对称的。如果β>0（β<0），则分布向右（左）倾斜。此外，比例参数γ限制为γ>0，位置参数u限制为u∈ R.表2中列出了适当稳定分布的Fit参数。α和β的值揭示了分布的非正态性和不对称性。这些稳定分布将用于计算第节中给定交叉响应的概率。5.2.3.3. 市场结构的不对称考虑到整个市场结构，我们进一步量化了沿每个响应矩阵对角线的不对称性。

对于N×N平方矩阵X，X的不对称性可以通过∧（X）∧（X）=| | X来量化- XT | | 2 | | | Y | |，（13），其中方阵Y由Yij=Xij（1）定义- δij），其中| | X | |是欧几里德范数| | X | |=VuTnxi=1NXj=1Xij。（14） 掌握市场中的不对称信息会影响11 Kronecker deltaδij用于从X中排除对角元素。特别是，∧（X）=0表示矩阵X沿对角线对称，而∧（X）=1表示X沿对角线对称。当X不对称时，0<∧（X）<1的值升高，其中∧（X）的大值表示高度不对称。为了稳定测量，我们引入以下平均程序。设k是1的整数≤ k≤ N和letΞ（k | N）=Xnn···Xn（n+k-1).........X（n+k-1） n···X（n+k-1） （n+k-1)（15） 是由X构造的对角线上的k×k子矩阵，1≤ n≤ N- k+1，则h∧（k（n））i=n- k+1N-k+1Xn=1∧Ξ（k | n）. （16） 是X中所有k×k子矩阵的平均不对称性。在固定维数k下，公式（16）中指数n的平均值排除了元素对X结构不对称性的影响。通过进一步的平均值h∧（X）i=NNXk=1h∧（Ξ（k | n））i，（17）我们可以获得X的稳定整体不对称性，由于指数kin公式（17）的平均值消除了维数对X的结构不对称性的影响。重要的是，子矩阵Ξ（k | n）的对角线位于X的对角线上。因此，每个xiji与相应的Xji进行比较。在我们的研究中，矩阵X是响应矩阵R。R相对于矩阵维数k的平均不对称性如图所示。我们发现，如果k大于10左右，agiven响应矩阵的不对称性接近于常数，与维数k无关。表1列出了稳定的总体不对称h∧（R）i的值。在所有情况下，响应矩阵的对称性都不存在。

因此，股票j对股票i的价格影响不等于股票i对股票j的价格影响，即在模型设置中，Gij6=GJII。例如，单笔交易的非等价性偏差为33.4%，暗示如果忽略买卖价差，就有可能进行套利。反应结构中的强烈不对称性与经验交叉冲击违反“无动力滴定”对称条件的发现一致【15】。4、非对称市场结构的特征值谱随机矩阵已用于分析金融数据互相关的谱特性【29–34】。众所周知，随机相关矩阵的特征值谱由Marcenko Pastur分布给出[35–37]。这些随机相关矩阵是对称的，相应的特征值抓住了市场影响中的不对称信息120 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.20.30.40.50.60.70.8图4。四种情况下响应矩阵R的不对称性和随机矩阵R的不对称性取决于矩阵的维数k o。真实的然而，对于非对称Random矩阵，特征值是复杂的，用Marcenko Pastur分布描述是不合适的。为了分析非对称矩阵X的特征值谱，我们将矩阵int分解为非对称部分XS和非对称部分XA，X=XS+XA，（18），其中XS=（X+XT）/2，XA=（X- XT）/2。（19） 因此，X的不对称性完全由XA来解释。由于xa是反对称的，非零特征值λkof xa是纯虚的，由xaψk=λkψk，（20）给出，其中ψkis是相应的特征向量。Commers等人计算了随机不对称矩阵的特征值分布。

对于N×N随机非对称矩阵M的集合，其中元素Mijare正态分布，平均值为零，相关系数为Hmiji=1，hMijMjii=c（21），对于i 6=j和-1.≤ c≤ 1，特征值ωk=xk+iyk的平均密度p（ωk）=（（πab）-1，如果（xk/a）+（yk/b）≤ 1，0，否则，（22），其中a=1+c，b=1- c、 情况c=1和c=0分别对应于Mijandmjia独立的对称矩阵和完全非对称矩阵的n个符号。当c=-1，矩阵是反对称的，即Mij=-Mji，具有非零虚本征值±iyk。p（ωk）在虚轴上的投影产生了一个广义半圆定律，它描述了概率密度分布p（yk）=Zdxkp（ωk）=πb（b- yk）1/2，| yk |≤ b（23）在点yk=±b处，概率密度等于零。使用公式（19），我们计算所有响应矩阵r对应的对称矩阵RA。我们计算Ra的特征值o，并计算出概率密度分布p（Im（λk）），如图5所示。图5中的直方图归一化为1。将所有这些分布和从式（23）中得出的随机矩阵的分布进行比较。这里，由于RA的反对称性，c=-1，使得b=2。然而，Im（λk）的概率密度需要重新缩放以匹配归一化的历史记录。一种方便的方法是用f因子（πp（0））来标度b-1，因为对于归一化直方图，等式（23）a t点yk=0导致inb=2/（πp（0））。正如预期的那样，公式（23）得出的分布与随机情况下的分布很好地匹配。相反，对于四种类型的反应，它偏离了每种分布。在特征值最大虚部所在的分布尾部，差异显著。

在之前的研究中【32，39】，互相关矩阵的最大特征值被解释为整个市场对刺激的市场模式或集体“反应”，如经济增长、利率增长或政治事件。由于最大特征值对应的特征向量到处都有非零分量，因此最大特征值所代表的影响对所有股票都是共同的。在我们的例子中，对应于特征值最大虚部的特征向量是复数的。除了难以处理复杂的特征向量外，缺乏相关数据也使得无法识别此类市场或部门模式。然而，IGENVALUE谱的非随机分布表明响应矩阵包含不对称信息。如果市场有效，价格应该完美地反映出可用的信息[40]。因此，资产之间的即时反应是对称的，即Rij=Rjian，市场上没有套利机会。然而，我们发现的不对称信息表明，市场并不完全有效，可能会出现套利机会。如果没有这样的机会，交易者就不会有获取信息的动机，金融的价格发现方面掌握市场中的不对称信息会影响14图5。特征值虚部的概率密度分布，（a）所有交易的情况，（b）单个交易的情况，（c）多个交易的情况，（d）加权交易的情况，（e）随机情况。为了进行比较，分布（23）显示为红线。市场将不复存在[41，42]。因此，不对称信息在维持自然市场生态方面发挥了作用，在这种生态中，可能的套利机会为交易者留在市场提供了动力。5.

不对称市场结构的熵我们引入香农熵来量化特征值谱的随机性。5.1. 利用稳定分布，我们将响应矩阵映射为概率矩阵，并计算第节中价格影响的熵。5.2 . 对于给定的opy矩阵，我们构建了有向网络以产生影响，并进一步探讨了网络如何随节中的熵演化。5.3. 由于单笔交易的价格影响是通过即时反应来估计的，因此为了方便起见，我们使用反应来表示以下价格影响。5.1. 特征值谱熵我们使用特征值谱来确定不对称价格影响的非随机性，但我们尚未量化随机性。为此，我们求助于信息论中的熵，也称为香农熵[25]，它能够分析系统的随机性和不可预测性。香农熵抓住了市场影响中的不对称信息15defined asH（Z）=-nXk=1P（zk）logξP（zk）。（24）这里，Z是一个离散随机变量，可能值为{Z，···，zn}，P（zk）是值zk的概率。我们注意到，在离散环境中，P（zk）是概率，而不是概率密度。所用对数的底为ξ。香农熵测量数据中的平均信息量。如果熵很高，可以测量的信息量就很小，因为许多有用的信息隐藏在随机噪声中。让随机性来估计系统中随机噪声的强度。为了隐藏有用的信息，系统的随机性必须很大。为了量化特征值谱的随机性，我们将zk替换为Im（λk），并将基ξ设置为欧拉数e。我们注意到，零的概率P（Im（λk））导致等式中的零贡献。

（24），当P（Im（λk））·lo gξP（Im（λk））在这种情况下也消失。表1列出了四种响应类型和随机情况下本征值谱的熵。在这四种类型的回答中，加权交易的熵最低，这意味着私人信息量更大。单笔交易的情况仅次于加权交易的情况。相比之下，随机案例呈现出最高的熵，显然缺乏有用的信息。5.2. 价格影响熵通过股票价格反应的概率，我们可以衡量整个市场的影响熵。利用我们计算出的昆虫的稳定分布。3，我们计算交叉反应给定值的概率P（Rij），RijbyP（Rij）=P[Ek≤ Rij<Ek+1]=Ek+1Xx=Ekp（x）x，（25），其中[Ek，Ek+1）是包含Rij的区间。如果数据分组在k个箱子中，索引k取值1，···，k。最后一个箱子还包括最右边的箱子边缘，即Ek≤ 里杰≤ 瑞典克朗+1。料仓宽度，即Ek+1- Ek，对于所有箱子都是一样的。因此，对于固定对（i，j），通过对Rij的所有离散值求和，我们得到了PRIjp（Rij）=1。然后，我们将响应矩阵映射到概率矩阵，其中entriesP（Rij）=P（Rij）NPk=1NPl=1，l6=kP（Rkl）。（26）在这里，我们通过将自我反应的概率设置为P（Rii）=1来忽略自我反应的情况，从而使贡献P（Rii）logξP（Rii）=0消失。方程式（26）定义了所有离散值Rij在所有对（k，l）上运行的概率，其中k 6=l。掌握市场中的不对称信息会影响160.020.040.060.080.10.120.02 0.04 0.06 0.08 0.10.020.040.060.080.10.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120.02 0.04 0.06 0.08 0.10.020.060.080.10.120 5000 10000 150000.020.040.060.080.10.12图6是的。

位于位置（H（~ ui），H（~ vi））的股票散点图，包括（a）所有交易的情况，（b）单个交易的情况，（c）多个交易的情况，（d）加权交易的情况，以及（e）随机情况。（f） 四种类型的反应对股票i的影响熵Iii（R）与股票本身的每日交易次数。虚线指示（a）–（e）中的hH（~ ui）i和hH（~ vi）i的位置，以及（f）中的hIiii的位置；点划线表示（a）–（e）中0.75hH（~ ui）i和0.75hH（~ vi）i的位置，以及（f）中0.75hIiii的位置。每个标记附近的数字是a中所列股票的一个n指数。为了衡量某个股票影响的随机性，我们按照其行uTi，i=1，····，n和列vj，j=1，···，n编写响应矩阵，其中r=~uT ~ uT~uTN公司R=[~ v ~ v····~ vN]。（27）在这里，~ ui捕获了影响的目标反应，即价格变化，以及~ vjthetriggering effect，即交易信息。通过掌握市场影响中的不对称信息，可以量化其随机性170.050.060.070.080.090.10.110.1220 40 60 8020 40 8020 40 60 800.050.060.070.080.090.10.110.12图7。在（a）所有交易的情况下，（b）单个交易的情况，（c）多个交易的情况，（d）加权交易的情况，以及（e）随机情况下，影响I的熵矩阵。行向量ui和列向量vj的熵分别为H（~ui）=-NXj=1P（Rij）logξP（Rij），（28）H（~ vj）=-NXi=1P（Rij）logξP（Rij）。（29）在下文中，我们使用自然对数hm，ξ=e。价格变化和交易信息的随机性影响价格影响。因此，我们确定影响熵Asij=[H（~ui）H（~vj）]1/2（30）来衡量股票i和j之间影响的随机性。大熵表示影响的随机性高，小熵表示影响的随机性低。在图中。