高波动性资产障碍期权的有效定价

（7） 为了使SubSim直接适用，我们需要为基础资产价格轨迹和到期预期收益指定合适的函数。让E RNbe是一组向量Z=（Z，…，ZN），导致正收益。换言之，E代表我们问题的目标事件，并由所有向量Z组成，这些向量Z导致资产价格轨迹保持在壁垒内，最终高于执行价格。这如图1所示。设π为payoff函数，π（Z）=序号- K、 如果Z∈ E、 0，如果Z/∈ E、 （8）如果资产价格轨迹保持在壁垒范围内，并最终高于执行价格或为零，则等于普通看涨期权的支付。[图1关于此处。]至于绩效函数，在期权定价的情况下，该数量表示资产价格轨迹S=（S，…，SN）与正收益之间的距离，或等效地，Z=（Z，…，Z）与E之间的距离。我们将其定义如下：g（S）=NXn=1gn（SN），（9）其中术语gn（SN）表示资产价格SNI与壁垒Ln，未达成协议的K，gn（SN）之间的距离=联合国- 序号，如果序号>Un，序号- Ln，如果Sn<Ln，则为0，否则为。对于n=1，N- 1、gN（SN）=联合国- 序号，如果序号>UN，序号- K、 如果Sn<K，则为0，否则为。（10） 对于n=1，…，GN之间的差异，N- 1和Gn源于这样一个事实，即在到期日tN=T时，下限的作用由履约价格k发挥。性能函数g如图2所示。就g而言，根据式（10）中性能函数g（S）的定义，正支付事件E可以写为：E={Z=（Z。

，ZN）：g（S（Z））≥ 0}，（11）其中α现在被零取代，而定义的绩效函数将估算正支付概率的问题纳入Au和Beck（2001）制定的一般补贴框架中。[图2关于此处。]然后，结合方程式（8）和（10），期权价格（在我们的情况下是到期时合同的预期收益）可以改写为：P=E[π（Z）]=E[π（Z）| Z∈ E] P（Z∈ E） +E[π（Z）| Z/∈ E] P（Z/∈ E） =E[π（Z）| Z∈ E] P（Z∈ E） =E[序号- K | Z∈ E] P（E）=P（E）（E[SN | Z∈ E]- K） 。（12） 现在，问题归结为估计执行概率pE=P（E）和到期时的预期收益，由公式（12）的乘积中的第二项给出。3通过子公司执行合同和支付期权的概率我们从计算pEto开始，注意给定顺序（6），罕见事件的小概率PEO可以写成条件概率的乘积：pE=P（EL）=P（EL | EL-1） P（EL-1） =P（EL | EL-1） P（EL-1 |标高-2） P（EL-2) = . . . =LYi=1P（Ei | Ei-1).（13） 通过适当地选择中间阈值αi（在下面描述的子项的实际实现中，αi是根据fly自适应地选择的），我们可以使所有条件概率P（Ei | Ei-1） 足够大，并通过类似MC的模拟方法有效估计主题。事实上，（13）右侧的第一个因子P（E | E）=P（E），可以通过MCS直接估计：P（E）≈mmXi=1IEU（一）, U（1），U（米）~ 傅。

（14） 估算剩余因子P（Ei | Ei-1） 对于i≥ 2更困难，因为这需要从条件分布fU（u | Ei）中采样-1) ∝ fU（u）IEi-1（u），这是一项非常重要的任务，尤其是在更高级别，其中Ei-1这是一个罕见的事件。在SUFIDM中，这是通过使用所谓的改进Metropolis算法（MMA）（Au和Beck，2001；Zuev和Katafygiotis，2011）实现的，该算法属于一大类MCMC算法（Liu，2001；Robert和Casella，2004），用于从复杂概率分布进行采样。MMA算法是对原始Metropolis算法（Metropolis et al.，1953）的组件化修改，该算法特别适合高维采样，而原始算法的性能较差（Katafygiotis和Zuev，2008）。从fU（u | Ei）处取样-1） ，MMA生成一个平稳分布为fU（u | Ei）的马尔可夫链-1). MMA和原始Metropolis算法之间的关键区别在于如何生成马尔可夫链的“候选”状态（附录a中介绍了用于采样的MMA算法）。然后，使用详细的平衡方程，可以显示（详见Au和Beck，2001），如果U（j）是按照目标分布分布的，那么U（j）~ fU（u | Ei-1） ，那么U（j+1）和fU（U | Ei）也是-1） 因此，实际上是由MMA生成的马尔可夫链的平稳分布。现在，为了估计执行PET的小概率，该方法首先生成m个MCS样本U（1），U（米）~ fu并计算相应的系统轨迹（1），S（m）通过（4）和性能值g（i）U=g（S（i））。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设g（1）U≥ g（2）U≥ . . . ≥ g（m）U.（15）实际上，为了实现这种排序，我们可以简单地对样本进行相应的重新编号。由于E是一个罕见的事件，所有U（i）/∈ E的概率很大。

然而，排序（15）意味着，在性能函数所诱导的度量中，U（1）是与E最接近的样本，U（2）是第二接近的样本，等等。让我们定义第一个中间值resholdα为▄mthand（▄m+1）thsystem轨迹的性能值之间的平均值，其中▄m=βm和β∈ （0，1）：α=g（βm）U+g（βm+1）U，0<β<1。（16） 将α设置为该值有两个重要的推论：（1）由（14）给出的p（E）的MCS估计正好是β，（2）样本U（1），U（βm）是根据条件分布fU（U | E）分布的i.i.d.随机向量。在下一步中，SUFFIM通过MMA从最接近E样本U（1）的▄m开始生成▄m=βm马尔可夫链，U（βm）作为“种子”：U（i）=V（i，1）MMA-→ V（i，2）MMA-→ . . .甲基丙烯酸甲酯-→ V（i，l）。（17） 因为通过构造，所有种子都处于静止状态，U（i）~ fU（u | E），i=1，~m，所有马尔可夫链状态V（i，j）也是如此~ fU（u | E），j=1，l、 每条链的长度为l=1/β，这使得总状态数ml=m。为了简化符号，让我们用简单的V（1）来表示样本V（i，j），V（m）。接下来，第二个中间阈值α类似定义如下：α=g（βm）V+g（βm+1）V，（18），其中g（1）V≥ g（2）V≥ . . . ≥ g（m）表示对应于样本V（1），…，的有序性能值，V（m）。同样，通过构造，P（E | E）≈ β和V（1），V（βm）~fU（u | E）。SubSim方法（如图3所示）通过将马尔可夫链指向罕见事件E，直到到达并进行有效采样，以此方式进行。具体地说，当样本数Meplesin E（先验值为0）时，它停止≤ 我≤ m、 是我≥ βm。除（13）右侧的最后一个因子外，其余所有因子都用β和P（E | EL）近似-1) ≈ mE/m。这将导致以下估计：pE≈ ^pSubSimE=βL-1mEm，（19），其中L是（13）中达到E所需的子集数。

SubSim使用的样本总数为THNM=m |{z}MCS+m（1- β） （L）-1） |{z}MMA。（20） [图3关于此处。]第一个因素，即正支付概率=P（E），可以通过SUBSFIM，P（E）轻松估计≈ ^pSubSimE。（21）此外，可以使用SUFID在最后一级生成的样本估计（12）中对终端资产价格的条件预期。即letZ（1），Z（m）是SUFIDM在其顶部之前生成的最后一批MMA样品，Z（1），Z（米）~ N（z | EL-1） ，EL-1. 埃尔≡ E、 （22）其中N（z | A）∝ N（z）IA（z）表示A上的标准多元正态分布。通过构造（这是子项停止标准），这些样本中至少有▄m=βm在E.LetZ（1），Z（米*)~ N（Z | E），βm≤ m级*< m、 （23）表示这些样品。然后，条件期望可以估计如下：E[SN | Z∈ E]≈bEQSubSim=m*m级*Xi=1SN（Z（i）），（24），其中SN（Z（i））=SN（Z（i），Z（i）N）是从（2）中获得的资产价格的最终价值。（24）中的表达式本质上给出了风险中性度量下标的资产的预期终端价格，作为所有生成的资产价格路径的平均值。结合（21）和（24），我们得到了期权价格的子项估计：P≈bPSubSim=^pSubSimE（bEQSubSim- K） 。（25）如上所述，SUFIDM产生了执行概率pE的估计器，其规模类似于pE对数的幂（Au和Beck，2001）：δ^pSubSimE=s（1+γ）（1- β） Mβ（| lnβ|）d | ln pE | d∝ |ln pE | d/2，（26），其中γ是一个常数，取决于马尔可夫链状态的相关性和2≤ d≤ 3、将（26）与标准MCS方法的CV进行比较（Liu，2001；Robert和Casella，2004）δ^pMCE=qVar^pMCEE^pMCE=r1级- pEMpE公司∝ p-1/2E（27）揭示了MCS的一个严重缺陷：它不能有效估计罕见事件的小概率。实际上，作为pE→ 0，然后是δ^pMCE≈ 1/√MpE。

这意味着，达到可接受精度水平所需的样本数量M与pE成反比，因此非常大，M∝ 1/pE 因此，对于概率很小的罕见事件，pE 1，SUFID的CV显著低于MCS的CV，δ^pSubSimE δ^pMCE. 这一特性保证了SUBCIM对小概率的风险事件产生更准确（平均）的估计。如果资产价格S具有高波动性，则离散资产价格轨迹，SN将具有很大的可变性，很有可能会跨越障碍并过期，或者最终在罢工之后结束。这意味着拥有积极的影响力将是一件罕见的事情。这表明——我们通过第5节的模拟证实了这一点——与基于MC的方法相比，SubSim在估计高波动性资产上的障碍期权价格方面应该更加有效。4复杂性定理复杂性定理通过检查其极限行为，将执行概率Pe与均方误差（MSE）以及t=0时期权价格P的子项估计量^P的计算复杂性/成本联系起来。Theorem未对基础SDE或所用解决方案的功能做出任何假设。定理1。给定数据集的解的泛函的SubSim估计量^P具有（i）一个由cδ| log pE从上方限定的MSE|-k、 （ii）计算成本上界为cδ-2 | log pE | r，其中c，care常量，δ是^P的CV，pE是正支付到期的概率，r是依赖于中间执行概率之间相关性的参数。证据

利用结果（26），我们得到执行概率Pe的平方CV等于δ=（1+γ）（1- β） β| logβ| rLm | log pE | r，（28）式中，γ是一个常数，与用于不同级别采样的马尔可夫链状态之间的相关性有关，β是级别概率，L是子集的总数，m表示每个子集的样本数（乘积Lm近似于（26）中的样本总数m）。根据（25），我们看到SUFIDM给出的期权价格估计是执行概率pE、导致非零支付的MMA样本数量和到期支付SN（Z（i））的函数-K、 因此，期权价格P的子项估值器^P的CV等于小部分的CV，可以使用比例因子（t=t时的支付）和（28）中的CV。现在，由每级样本的乘积乘以使用的模拟级数得出的^P的复杂度等于oc=Lm=（1+γ）（1- β） β| logβ| rδ| log pE | r=（1+γ）（1- β） βδ| L | r，（29），注意模拟级别的数量L被选择为L=log pE/logβ。固定β并将γ作为已知常数，我们得到∝ |L | rδ-2.≤ c | L | rδ-2或C≤ cδ-2 | log pE | r，（30），这会产生计算复杂性的上界，给定固定β的L isO（| log pE | r）。此外，考虑到^P变化系数的定义，我们得出Δ^P=qV AR[^P]E[^P]=qMSE[^P]- 偏差[^P，P]E[^P]。（31）将（31）的两侧平方得到Δ^P=MSE[^P]- BIAS[^P，P]E[^P]，（32）可以等效地写为asMSE[^P]=Δ^PE[^P]+BIAS[^P，P]。（33）现在，我们使用命题1和命题2（Au和Beck，2001），它们证明了pEare的偏差和CVδ的平方均以c/m为界。

因此，MSE的第一项为O（1/m），而第二项为O（1/m），这使得anMSE的上限为1/m，对于m的大值，它支配着O（1/m）项。在（28）中，我们还注意到δ是O（| log pE | rL-1米-1） 从中我们得到m=O（| log pE | rL-1δ-2). 设置L=log pE/logβ=O（| log pE |）和fixingδ，样本数m变为O（| log pE | k），其中k=r- 1.≤ 3是一个新常量。因此，我们最终得到一个从上方以MSE为界的MSE，E[（P-^P）]≤ c | log pE | k。 （34）（i）中的结果非常重要，因为它表明，通过降低合同执行的概率（即产生更罕见的事件），会导致较小的风险，同时，相应的CV会增长（另见表1中的结果）。此外，在（ii）中，我们证明了SUFIDM的计算复杂性与目标CVδ的平方和执行概率pE的自然对数成反比。一方面，随着目标CV变小（即，我们需要更精确的输出），成本会随着方法使用更多子集以及随后使用更多样本而增加。另一方面，随着执行概率的降低，其对数的绝对值增加，导致计算成本更高，因为执行概率越低，对^P的估计要求越高。图4显示了模拟运行（重复100次）的结果，以根据子项理论和实验输出，比较MSE和计算复杂性相对于峰值的比例。[图4关于此处。]5模拟研究5.1障碍期权我们的数值实验侧重于双淘汰障碍看涨期权的定价，但很容易将所提出的方法推广到其他类型的载体期权。假设在相等间隔时间0=T<T<。

<tN=T，带频率t=t/N，如果资产达到U上限或L下限，则该选项过期。让我们用Sn=Stn表示相应的资产价格，用un=u（tn）表示漂移，用σn=σ（tn）表示波动率。利息数量是合同开始时的障碍期权价格（t=0），由（3）给出，只有当资产价格轨迹保持在两个障碍内时，该价格才取非零值。为了便于说明，图5显示了导致期权到期和积极有效的几种资产轨迹。[图5关于此处。]5.2 SubSim与标准MCS的模拟结果在我们的第一次数值实验中，我们考虑了一个双敲出障碍物选项，起始价格（现货）S=100，罢工K=100，以及恒定的上下障碍物L=90和U=110。如果在期权有效期内（[0，T]）资产价格轨迹跨越上下限障碍，则双重淘汰期权将失效。在任何其他情况下，支付到期日计算为普通欧洲看涨期权（即P=（ST-K） +，其中Sti是终端资产价格）。该选项在时间段[0，T]内以等距时间0=T<T<…<tN=1，带频率t=t/N，其中N=250（一个财政年度的大致交易日数）。我们进一步假设基础资产的漂移为常数u=0.1。

为了观察高波动性的影响，我们将σ的值改变为趋势不同的值，其对数间隔在σmin=0.2和σmax=0.4之间。利息数量，合同开始时的公平期权价格（t=0）由P=P exp给出-ZTr（t）dt, （35）式中，P是（3）给出的时间段结束时的期权价值，估计值为（25），e-RTr（t）dt是到期日的贴现因子tN=t tot=0，r（t）是利率，在本例中假设利率为常数，r=0.1。首先，我们使用SUFIDM（每个子集m=50000个样本）来估计期末PEO产生正收益的可能性，即pE≈ ^pSubSimE和期权价格，P≈BPSUFFISM=BPSUFFISME-rT.（36）表1给出了从SUFIDM算法的100次独立运行中计算出的估计值的平均值及其CV。正如预期的那样，随着资产波动率σ的增加，产生正收益的事件变得越来越少（例如，如果σ=0.4，则pE≈ 2 × 10-7） 因此，这种选择变得更加便宜。图6中的右图显示了SubSim使用的样本M的平均总数（基于100次运行）与波动率σ。所获得的趋势再次被预期：随着σ的增加，概率Pe变小，因此，（19）中的子集合数量L增加，从而导致样本总数（20）增加。[关于此处的表1。]接下来，我们使用MCS来估计PEAN和P。为了确保两种方法的公平比较，对于σ的每个值，MCS使用的样本总数与SUFIDM中相同。执行概率^pmcsean和期权价格bpmcs=bPMCSe的蒙特卡罗估计的平均值-rT及其CV如表1所示。^pmcseandbpmcss的平均值与^psubsimeandbpsubime的平均值大致相同，这证实了subim估计值几乎没有偏差。