高波动性资产障碍期权的有效定价

然而，CV的差异很大。即，δ（^pSubSimE）和δ（bPSubSim）分别大大小于δ（^pMCSE）和δ（bPMCS）。波动性越大，这种影响越明显。例如，如果σ=0.4，那么SUFIDM的效率大约是MCS的20倍，即SUFIDM平均生成的估计值是MCS的20倍，其中精度由CV衡量。如第3节末尾所述，这一结果源于这样一个事实，即SubSim比MCS更能有效地估计稀有事件的小概率，如果波动性较大，则具有正回报的事件很少见。为了直观地看到，随着波动性的增加，SubSim的表现如何优于MCS，在图6的左图中，我们绘制了CVδ（^pMCSE）/δ（^pSubSimE）和δ（bPMCS）/δ（bpsubim）与σ的比率。由于SUFIDM和MCS估计的平均值大致相同，CV的比率大致为相应标准误差的比率。从图形上看，SUFIDM在估计执行概率和期权价格方面优于MCS的情况是，对应的δ（^pMCSE）/δ（^pSubSimE）或δ（bPMCS）/δ（bpsubfim）值位于水平线y=1上方（图6中的虚线）。在这个水平上，这两种方法将显示CV测量的相同精度水平，因为δMCSwould等于δSubSim。我们注意到，由于Bothline（对于^Pand^pE）位于y=1水平以上，SubSim在所有检查案例中都优于MCS。[图6关于此处。]在第二次模拟测试中，我们使用不同的水平增加了样本数tom=200000，用于上下势垒。我们考虑更多样本的原因是，不仅要将SUFIDM与MCS进行比较，还要与多级蒙特卡罗进行比较（见第5.3小节），其中m=200000是在原始屏障选项数值实验中考虑的。

为了保持公平的比较，我们使用与SUFIDM相同数量的样本进行MCS测试。图7的上图绘制了四个级别的上下载波，SubSim和标准MCS之间的CV与基础资产波动率的比率。值得注意的是，对于波动率值高达0.25的情况，这两种方法具有可比的CV（SUFIDM优于表3中报告的标准MCS，但并不显著），这提供了证据表明，对于低波动率资产，这两种方法产生了非常准确的结果。这一结果并不令人惊讶，因为SubSim是由construction设计的，用于处理执行概率极低的问题。[图7关于此处。]然而，随着波动性的增加，SubSim在所有障碍水平上都优于原始MCS，尤其是在L=90和U=110（接近S的障碍）和σ的情况下≥ 0.40（高波动性资产），SUFFIM的效率是标准MC的50倍；对于较低的σ水平，SubSim仍优于MCS。5.3 SUFIM与MLMC的模拟结果在本节中，我们将SUFIM与多级蒙特卡罗方法（Giles，2008b，a）的性能进行比较，这两种方法都用于定价双淘汰障碍物选项，其中两个固定障碍物设置在四个不同的水平，而所有其他参数与第5.2小节中的相同。最初的多级MCSmethod是为单淘汰障碍期权以及其他奇异衍生品定价而开发的，因此我们为第二障碍添加了一个组件，以便同时容纳双障碍期权（见附录B和C）。资产t=0时的价格为S=100，执行价格为K=100，时间-增量为t=h=t/n，其中n表示屏障选项的离散监测点数量。

在MLMC的情况下，n在级别之间变化，因为它是常数M和级别l的函数，其中l=0，1，2，五十、 屏障在60到90（下）和110到140（上）之间以10的增量取四个不同的值。扩散方程的漂移等于u=0.10，而波动率（扩散系数）在0.05和0.45之间变化，取在此间隔内线性间隔的九个混凝土值。最后，我们对终端支付进行贴现的无风险利率是已知的，并确定为r=0.10。图7底部的图表绘制了针对资产波动性的四个级别障碍的SubSim和MLMC之间的CV比率。对于t=0时远离资产价格的障碍（即分别由实线和虚线表示的[60，140]和[70，130]），MLMC产生的结果比SubSim更准确。然而，我们注意到，随着资产波动性的增加，子公司的业绩有所改善，接近MLMC的业绩，但没有超过它。当L=90和U=110（虚线/虚线）以及当L=80和U=120（虚线）且标的资产的波动率高于0.25时，SubSim的表现优于SMLMC。在这两种情况下，t=t时非零支付的概率非常小（表1），因此，与标准MCS或MLMC相比，SUFIDM的使用提供了更准确的结果。我们在这里获得的证据进一步支持了第5.2节中的发现，即补贴是对高波动性资产的障碍期权进行定价的有效技术，尤其是当障碍接近基础资产的初始价格时。附录D中的表2和表3分别给出了^P{MCS，M LM C，SubSim}（三种方法中每种方法的t=0时的期权价格）和CV{MCS，M LM C，SubSim}的精确值。

为了可视化，我们还将这些结果绘制在图8和图9.6中。结论在本文中，我们开发了一种新的随机模拟方法，用于定价障碍期权。该方法基于子集模拟（SUFIDM），这是一种非常有效的算法，用于估计罕见事件的小概率。利用SUFIDM效率的关键观察是，障碍期权价格可以写为期权执行概率和特定条件预期的函数，这两者都可以由SUFIDM有效估计。对于高波动性资产上的贝利尔期权，SubSim尤其有利，因为合同在到期前保持有效的可能性很小。我们首先将提出的SUFIDM方法与标准蒙特卡罗模拟（MCS）进行比较，以表明SUFIDM总是优于MCS，并通过一系列数值示例证实了这一点。此外，我们还表明，标的资产的波动性越高（即期权执行的概率越小），SubSim相对于MCS的优势就越大。接下来，我们将我们提出的方法与Giles（2008b）中介绍的多层蒙特卡罗（MLMC）模拟进行比较。尽管MLMC总体表现优于SUBSFIM，但我们发现SUBSFIM仍然比MLMC更有效，在基础资产波动率较高且门槛设置接近资产起始价格的情况下，MLMC的效率是通过变异系数（CV）来衡量的。因此，我们提出的方法是对MLMC的补充，可以更有效地处理障碍选项设置的特殊情况。参考ST。G、 Andersen、T.Bollerslev、F.X.Diebold和H.Ebens。股票收益率波动率的分布。《金融经济学杂志》，61（1）：43–762001。一、 Au和J.Beck。通过子集模拟估计高维小故障概率。

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，N，生成ψk~ q（ψ| U（j）k），其中q是对称的，q（ψ| U）=q（U |ψ），单变量建议分布，例如，以U（j）k为k分量的高斯分布。（b） 计算接受概率：ak=min（1，fk（ψk）fk（U（j）k）），（37），其中fk是Uk的边际PDF，fU（U）=QNk=1fk（Uk），U，不被认为是独立的。（c） 设置Υk=ψk，概率为ak，U（j）k，概率为1- ak。(38)2. 接受或拒绝候选国：U（j+1）=Υ，如果Υ∈ 工程安装-1，U（j），ifΥ/∈ 工程安装-1.（39）B障碍期权的生存概率障碍期权的定价是一个首次通过时间问题，我们对基础资产的价格轨迹首次跨越预先规定的障碍感兴趣。现在，假设U>沙L<分别是上下屏障，则可以通过其离散形式来近似（3）中屏障选项的存活指示函数-1Yi=0I{μMi≤U∧ ^mi≥五十} （40）式中，^Miand^mi分别为（2）in[0，nh]的最大值和最小值，T=nh或h=T/n是离散网格上的时间步长大小。方程（40）的值为1，当且仅当每次都满足^Miand^mi的条件，即离散问题的步骤，否则乘积（40）变为零，期权到期无价值。遵循Glasserman（2013）（特别参见第6.4节和示例2.2.3）的规定，我们通过公式化以下问题来采样S的最小值和最大值：M（t）=max0≤u≤tS（u）（41），其中^Mh（n）=max{S（0），S（h），S（2h），…，S（nh）}（42）S在[0，nh]上近似的最大值，m（t）=min0≤u≤tS（u）（43），其中^mh（n）=min{S（0），S（h），S（2h）。

，S（nh）}（44）S在[0，nh]上的离散时间近似的最小值。在最大值的采样中，对端点（0）和S（T）进行调节，过程{S（T），0≤ t型≤ T}变成了布朗桥，因此我们从布朗桥的最大值的分布中取样，即瑞利分布，其结果是m（T）=S（T）+pS（T）- 2T log X，（45），其中X是[0，1]中的均匀分布随机变量。现在，让^Sihbe对（1）中S的解进行离散时间近似，其中i=0，1，n、 h=T/n。为了获得^Mh（即插值布朗桥的最大值）的良好估计，并减少离散化引起的误差（即，两个网格点之间的U或l交叉的情况），我们在[ih，（i+1）h]上插值，给出了终点Si和Si+1结果inMi=S（i）+S（i+1）+p（i+1）-S（i）]- 2bh对数X（46）带X~ Unif[0，1]。给定障碍U，路径估计中期权的生存概率（标的资产保持在U以下的最大价格）由^pi，U=P（^Mi）给出≤ U | Si，^Si+1）=1-经验值-2（U-^Si）（U-^Si+1）bh, （47）其中，b是标的资产价格的固定标准差，h是离散化过程中的时间步长。粗路径的相应估计值等于^pi，U=P（^Mi≤ U | Si，^Si+1）=1.-经验值-2（U-^Si）（U-^Si+1/2）bh×1.-经验值-2（U-^Si+1/2）（U-^Si+1）bh. （48）C布朗桥最小值我们现在通过计算最小值^S穿过下载波L的概率，从分析上推导出路径估计中双屏障期权的生存概率。在端点^sia和^Si+1条件下，布朗桥最小值的分布（在[i，（i+1）h上插值）由mi=S（i）+S（i+1）给出-p[S（i+1）-S（i）]- 2bh对数X，（49），其中X~ Unif[0，1]。