高波动性资产障碍期权的有效定价

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英文标题：
《Efficient Pricing of Barrier Options on High Volatility Assets using
  Subset Simulation》
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作者：
Keegan Mendonca, Vasileios E. Kontosakos, Athanasios A. Pantelous, and
  Konstantin M. Zuev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Barrier options are one of the most widely traded exotic options on stock exchanges. In this paper, we develop a new stochastic simulation method for pricing barrier options and estimating the corresponding execution probabilities. We show that the proposed method always outperforms the standard Monte Carlo approach and becomes substantially more efficient when the underlying asset has high volatility, while it performs better than multilevel Monte Carlo for special cases of barrier options and underlying assets. These theoretical findings are confirmed by numerous simulation results.
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中文摘要：
障碍期权是证券交易所交易最广泛的奇异期权之一。在本文中，我们开发了一种新的随机模拟方法来定价障碍期权并估计相应的执行概率。我们表明，所提出的方法总是优于标准蒙特卡罗方法，并且在标的资产具有高波动性时变得更加有效，而在障碍期权和标的资产的特殊情况下，该方法的性能优于多级蒙特卡罗方法。大量仿真结果证实了这些理论结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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关键词：障碍期权 波动性 Applications Quantitative epidemiology

基于子集模拟的高波动率集合上障碍期权的有效定价*Keegan Mendonca+，Vasileios E.Kontosakos，Athanasios A.Pantelous§，Konstantin M.ZuevP2018年3月29日AbstractBarrier期权是证券交易所交易最广泛的奇异期权之一。本文针对pricingbarrier期权提出了一种新的随机模拟方法，并估计了相应的执行概率。我们表明，所提出的方法总是优于标准蒙特卡罗方法，并且在标的资产具有高波动性时变得更加有效，而在障碍期权和标的资产的特殊情况下，它的性能优于多级蒙特卡罗方法。大量仿真结果证实了这些理论发现。JEL分类：G13，C15关键词：模拟；障碍期权定价；路径依赖型衍生工具；蒙特卡罗；离散监控*作者要感谢萧奎（Ivan）Au、James Beck、Damiano Brigo、Gianluca Fusai、Steven Kou、Ioannis Kyriakou、Zili Zhu以及加州理工学院、利物浦大学和莫纳什大学研讨会的与会者提出的有益意见。任何剩余的错误都是我们的。+加利福尼亚理工学院计算与数学科学系，加利福尼亚大道东。，加利福尼亚州帕萨迪纳91125 USA.电子邮件：mendoncakeegan@gmail.com澳大利亚维多利亚州克莱顿威灵顿路莫纳什大学计量经济学和商业统计系，邮编3800。电子邮件：Vasileios。Kontosakos@monash.edu§澳大利亚维多利亚州克莱顿威灵顿路莫纳什大学计量经济学和商业统计系，邮编3800。电子邮件：Athanasios。Pantelous@monash.edu.P通讯作者。加利福尼亚理工学院计算与数学科学系，加利福尼亚大道东。，美国加利福尼亚州帕萨迪纳91125。

电子邮件：kostia@caltech.edu1简介障碍期权是交易最活跃的路径依赖型金融衍生品之一，其收益取决于基础资产在期权合同期限内是否达到或超过预定价格（Hull，2009；Dadachanji，2015）。障碍期权通常被归类为敲入或敲出，这取决于其是否被激活或在基础资产价格超过某一水平时失效（障碍）（Derman和Kani，1996年，1997年；Guardasoni和Sanfelici，2016年）。然后，如果标的资产的价格保持在障碍之上（对于淘汰障碍期权）或为零，则到期时的支付与普通Vanilla欧洲期权的支付相同。障碍期权往往比相应的普通期权更容易到期，也不太可能执行（Jewitt，2015）。据估计，它们约占所有交易的奇异期权交易量的一半（Luenbergerand Luenberger，1999年）。尽管2007-08年信贷紧缩以及随后对路径依赖型工具的需求下降，但当产品的结构和风险可以理解时，障碍期权仍然是一种有用的投资或对冲工具。在金融行业，障碍期权可以出于多种原因进行交易，主要使用外汇、商品和利率作为基础资产。首先，障碍期权比相应的普通期权更准确地代表投资者的信念，因为向下和向外的障碍看涨期权可以达到与普通期权相同的目的，但成本较低，因为有强烈迹象表明基础资产的价格将上涨。

其次，障碍期权比普通的普通期权具有更具吸引力的风险回报关系，其优势源于较低的价格，反映了现货价格在其整个生命周期中可能永远无法达到（敲入）或穿过（敲出）障碍的额外风险（关于障碍期权的详细讨论见Derman和Kani，1996年、1997年）。具体而言，高波动性基础资产上的障碍期权可以与廉价的深出资金期权类似的方式使用，作为对冲，在金融动荡中提供保险，考虑到其波动性的依赖性（Carr和Chou，2002）。因此，开发一个能够有效处理高波动性基础资产障碍期权的框架，解决了计算金融中的一个实际问题，据我们所知，过去没有明确研究过这个问题。根据Andersen et al.（2001），道琼斯工业平均指数（DJIA）中30只股票的平均年化波动率约为28%（介于22%和42%之间），而波动率水平在33%和40%之间的股票并不少见。因此，障碍期权的定价是一个具有挑战性的问题，因为需要监控标的资产的价格，并在合同期内的多个离散点将其与障碍进行比较（Kou，2007）。事实上，障碍期权定价为金融业所有领域以及所有资产类别的从业者带来了特殊的挑战。特别是，外汇交易行业在这类产品上始终表现出巨大的创新，并投入了大量资源对其进行研究（Dadachanji，2015）。

然而，为离散监控障碍期权定价并不是一项简单的任务，因为本质上我们必须解决正态分布函数的多维积分，其中积分的维数由离散监控点的数量确定（Fusai和Recchioni，2007）。从计算角度来看，某些障碍期权（如向下和向外期权）可以通过标准Black–Scholes–Merton（BSM）（Merton，1973）的论文进行定价。这一想法可以进一步扩展到更复杂的障碍期权，这些障碍期权可以在BSM框架下使用复制的普通期权组合进行定价（CarrandChou，2002）。然而，所有这些方法都得益于BSM模型对许多假设的依赖，而这些假设在现实世界贸易中并未得到满足（Hull，2009）。因此，我们在等价鞅测度（EMM）下获得的期权价格估计往往不准确。虽然有其他具有解析解的障碍选项模型，如跳跃扩散模型（Kou，2002；Kou和Wang，2004），恒定方差弹性（CEV）模型（Boyle和Tian，1999；Davydov和Linetsky，2001），精确分析方法（Fusai et al.，2006），基于希尔伯特变换（Feng和Linetsky，2008），建立在L'evy过程（Jeannin和Pistorius，2010）或基于傅里叶余弦的半分析方法（Lian等人，2017）基础上的拉普拉斯变换方法，所有这些都取决于与BSM定价方程类似的假设。Boyle and Tian（1998）、Zvan et al.（2000）、Zhu and de Hoog（2010）和Golbabai et al.（2014）提出了另一套基于求解偏微分方程（PDE）的障碍期权定价方法。

虽然这些方法通常都很强大，但它们取决于能否用偏微分方程精确地建模期权，并且不能在所有情况下使用（其他用于外部衍生品定价的方法包括直线法（Chiarella et al.，2012），其中希腊人也估计了稳健的优化技术（Bandi和Bertsimas，2014），也适用于美国期权，有限-基于差异的方法（Wade et al.，2007），其中提出了处理障碍期权不连续性的Crank-Nicolson平滑策略，以及制度转换模型（Elliott et al.，2014；Ramberchand Pantelous，2016））。因此，蒙特卡罗模拟（MCS）通常用于期权定价（Schoutens和Symens，2003），尤其是障碍期权（Glasserman和Staum，2001）。与其他定价方法相比，MCS的主要优势在于其无模型性和不依赖于近似方程的维数N。后者是一个重要的属性，因为as N→ ∞ (t型→ 0）时，连续监测屏障期权的价格收敛于连续监测屏障期权的价格（Broadie et al.，1997）。另一方面，MCS有一个严重的缺点：它不能有效地估计高波动性资产上的障碍期权的价格。事实上，高波动性使得资产很难保持在壁垒内，这就使得正回报成为罕见的事件（Glasserman等人，1999）。因此，任何标准MCS方法都将不准确且极不稳定（Geman andYor，1996）。这推动了更先进的随机模拟方法的发展，这些方法继承了MCS的稳健性，但更有效地低估了障碍期权价格。

已经提出了一系列加快收敛速度的随机模拟技术，如恒定单障碍期权的MCS近似修正（Beaglehole et al.，1997），基于大偏差理论的模拟方法（Baldi et al.，1999），以及最近的顺序MCS方法（Shevchenko和Del Moral，2017）。本研究的主要结果总结如下。首先，我们开发了一种新的障碍期权定价随机模拟方法，该方法基于子集模拟（SUFIDM）方法，这是一种基于马尔康链蒙特卡罗（MCMC）的算法，最初引入Au和Beck（2001），用于处理复杂的工程系统，后来由Zuev et al.（2015）扩展到复杂网络（有关更多详细信息，读者请参阅Au和Wang，2014）。与naiveMCS方法相比，MCMC通过从目标分布中取样，为我们提供了一种更有效的方法来模拟感兴趣的数量，并已广泛用于金融统计建模（参见Eraker，2001；Philipov和Glickman，2006；Gerlach等人，2011；Stroud和Johannes，2014，以及其他MCMC的金融相关应用）。在这里，我们应用并进一步扩展了这一思想来计算障碍期权的执行概率和价格。其次，我们计算了高波动率下的双障碍期权的公平价格，以及在标的资产起始价格附近设置的障碍。在我们的框架中，“失败”概率对应于到期时执行障碍期权的概率（即，标的资产保持在障碍内的价格）。

在一个简单的MCS设置中，这种设置会导致资产价格轨迹跨越障碍，从而导致障碍期权在到期前失效，概率极大。第三，我们通过测量变异系数（CV）和均方误差（MSE）表明，拟议的基于子项的算法是此类衍生品定价的有效技术。特别是，SubSim估计器的CV为O（| log pE | d/2），其中pE是执行概率，d≤ 3是一个常数。将其与CV为O（p-1/2E），对于非常小的pE值，我们可以很容易地看到，与SUFIDM估计值相比，后者以更快的速度增长。此外，创建的SubSim估计器的均方误差为O（| log pE|-k） –其中k≤ 3是一个常数–，随pE增加而减小。最后，我们将我们的结果与多层蒙特卡罗（MLMC）（Giles，2008b，a）方法进行了比较，结果表明，对于非常小的期权生存概率值，在观测到的CV中，SubSim估计优于MLMC估计。因此，我们的方法可以被视为价格路径依赖型期权的替代方法，该方法还补充了基础资产特殊情况下的MLMC。本文首先介绍了障碍期权定价问题，并对补贴方法进行了修改，以适应它。在第3节中，我们展示了子基金如何专门用于估计执行概率和到期时的期权支付。第4节随后介绍了主要定理及其证明。

这确立了MSE的极限行为和广泛应用程序的计算复杂性。最后，给出了数值结果，并与标准MCS和mlmc方法进行了比较，为理论分析提供了支持，最后给出了一些结论。2补贴障碍期权定价2.1几何布朗运动（GBM）期权定价的出发点是对标的资产的价格进行建模。鉴于本文的重点更多地是该方法的模拟和统计方面，而较少关注基础价格过程的建模，我们使用标准GBM，而不是更复杂的跳跃过程或具有随机波动性的模型，后者通常用于奇异衍生品的定价（见Kou，2002；Kouand Wang，2004；Chiarella et al.，2012等）。假设Stfollowsthe随机微分方程（SDE）dSt=Stu（t）dt+Stσ（t）dWt，（1）风险中性过程，其中u（t）是漂移，σ（t）是波动，wt是公共概率空间上定义的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。（1）的离散化解可以写成如下Sn=Sn-1expun-σnt+σn√tZn公司, （2） 其中Z，锌~ N（0，1）是i.i.d.标准正态随机变量。2.2障碍期权补贴我们首先考虑如何将补贴专门用于障碍期权定价，以及为什么它对高波动性资产的期权特别有效。

估计障碍期权价格P的目标，由以下风险中性度量Q下的贴现指数给出：P=E“h（SN）NYn=1I[Ln，Un]（SN）#，（3）其中h（SN）是合同到期时的支付（t=t），h（SN）=max{SN-K、 0}，K是履约价格，I[A，B]（x）代表指标函数：I[A，B]（x）=1如果A≤ x个≤ B、 其中A和B分别为上下势垒，否则为零。为了使用SubSim方法，我们需要将问题引入（3）中，以适合用作该方法输入的形式。假设所研究动态系统的时间演化（例如资产价格的演化）由以下离散模型建模：Sn=F（Sn-1，Un），n=1，N、 （4）其中sni是标的资产在时间tn时的价格，S=（S，…，SN）是标的资产的范围，Unis是时间tn时的随机输入，F是控制S演化的某个函数（即我们的案例中的GBM（1））。Letg（S）是绩效函数–与利息数量S相关的函数–（例如，资产价格的最大值g（S）=maxn=1，。。。，NSn）。我们说，如果g（S）超过临界阈值α：E={U=（U，…，UN）：g（S（U）），则会发生目标事件E≥ α}  注册护士。（5） SubSim背后的核心思想是将罕见事件分解为一系列“不太罕见”的事件，这些事件更容易计算概率。这个想法是通过考虑从整个输入空间RN开始到目标罕见事件RN=E结束的嵌套子集集合来实现的 E . . .  埃尔≡ E、 （6）中间事件EIC可以通过简单地重复放宽（5）中临界阈值α的值来定义，Ei={U=（U，…，UN）：g（S（U））≥ αi}，α<α<…<αL≡ α.