算法交易中部分信息的平均场对策

由于系统是有限个对象的平均值，因此无法保证该“平均”FBSDE的解将与子种群平均场过程νk完全匹配。我们在定理3.9中表明，（3.11）的解确实为我们提供了平均场过程νkt=limN%∞N（N）kPj∈K（N）Kνjt，其中νjis为FBSDE的溶液（3.10）。现在，我们使用类似于（但与之不同）文献[26]中“四步法”的方法来解决集合FBSDE（3.11）。FBS耦合的线性结构发挥了关键作用，我们将集合重新编写为单个向量值方程。首先，让=νktk∈Kbe每个子总体平均场的ansatzes列向量。将每个平均场FBSDE（3.11）叠加得到向量值方程（3.12）-d（2aaaνИνИνt）=bAt（K×1）+∧∧∧∧∧￠ν￠ννt- 2φφφ▄q▄q▄qtdt公司- dMMMt，2aaa￠ν￠νννT=-2ψψψqqqT，其中aaa、φφφ、ψψψ和∧∧∧均为实值K×K矩阵，定义为aaa=diag（{ak}K∈K） ，φφφ=diag（{φK}K∈K） ，ψψψ=diag（{ψK}K∈K） ，∧∧∧∧=λp。λpK。。。。。。λp。λpK,q▄q▄qt=m+Rt▄ν▄νudu，MMMt=（Mkt）Kk=1是带有Mkt的F-适应鞅的列向量∈ HT，k∈ K、 由于向量值FBSDE（3.12）的线性结构，我们进一步分析了存在两个F适应过程ggg=（ggg1，t）t∈[0，T]和ggg=（ggg2，T）T∈[0，T]，其中ggg1，T∈ RK和ggg2，t∈ RK×K，使得（3.12）的解可以表示为（3.13）2aaaννИννt=ggg1，t+ggg2，tqqqt。将It^o引理应用于上述表达式，将结果插回（3.12）中，并按▄q▄q▄q对术语进行分组，得到（3.14）0=ndggg1，t+（K×1）bAt+（λ∧∧∧+ggg2，t）（2aaa）-1ggg1，tdt公司- dMMMto+ndggg2，t+（λ∧∧+ggg2，t）（2aaa）-1ggg2，t- 2φφφdto▄q▄q▄qt。方程式（3.14）必须在几乎所有▄q▄q▄qt的任何地方都保持P×u，因此，每个圆括号内的项独立消失。

此外，我们可以将相同的参数应用于边界14 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.条件▄νννν，以产生GG和GGG的两个耦合BSDE，这两个BSDE不再依赖于前向过程▄q▄q▄qt。其中第一个是ggg的线性BSDE，（3.15）-dggg1，t=（K×1）bAt+（λ∧∧∧+ggg2，t）（2aaa）-1ggg1，tdt公司- dMMMt，ggg1，T=0（K×1），以及用于ggg值的矩阵值ODE，（3.16）-dggg2，t=（λ∧∧+ggg2，t）（2aaa）-1ggg2，t- 2φφφdt、ggg2、T=-2ΨΨΨ .这些方程中存在单向依赖结构。方程（3.15）是一个依赖于ggg解的线性RBSDE，而方程（3.16）是一个独立于ggg的矩阵值非对称Riccati方程。我们还要注意，方程（3.16）是一个普通的微分方程，它是确定性的，因为它没有鞅项，并且具有确定性边界条件。这种向量值和矩阵值的BSDE让人想起了[4]中出现的BSDE。（3.15）和（3.16）的解在下面的命题中给出。提案3.6。存在一个唯一的解ggg2，tto矩阵值ODE（3.16），它在区间[0，T]上有界。此外，让YYYt：[0，T]→ R2K×Kbe定义为（3.17）YYYt=e（T-t） BBB公司III（K×K），-2 ΨΨΨ|,其中BBB∈ R2K×2k是块矩阵（3.18）BBB=（K×K）-（2aaa）-1.-2φφφ∧∧∧（2aaa）-1.如果我们定义矩阵分区yyyyt=（yyyy1，t，YYY2，t）|，其中YYY1，t，YYY2，t∈ RK×K，然后ggg2，tca可以表示为（3.19）ggg2，t=YYY2，tYYY-此外，BSDE（3.15）允许一个封闭形式的解，（3.20）ggg1，t=ZTt：：：eRut（∧∧+ggg2，s）（2aaa）-1ds：：：1（K×1）E[Au | Ft]du，其中：：：eRut·ds：：：表示时间顺序指数。

此外，E【RTggg | 1，tggg1，tdt】<∞.我们定义了矩阵值函数fff的时序指数：[0，T]→ RK×K，ηηt，u=：：：Erutffsds:：，带t≤ u、 是矩阵值常微分方程dηηηt的唯一解，u=ηηt，ufffudu，初始条件为ηηt，u=III（K×K）。带有部分信息的制造商，用于算法交易证明。证据见B.1。上述命题中的过程GG和GGG为我们提供了向量值FBSDE（3.12）的解决方案。我们在下面的命题中总结了结果。提案3.7。确定流程νννν=（ννννν）t∈[0，T]，其中∈ RKand（3.21）￠νИνννt=（2aaa）-1（ggg1，t+ggg2，tqqqt）。其中，ggg1，tand，ggg2，是命题3.6中给出的函数，即方程（3.20）和（3.19）。然后，这是FBSDE的唯一解决方案（3.12）。此外，设￠νkt为向量￠ννννt的第k个元素，然后对于每个k∈ K、 νK∈T∞j=1Ajand{νkt}k∈K将解决方案形成FBSDE集合（3.11）。证据证据见B.2。此外，由于νννtre表示每个子种群平均场的ansatz向量，因此我们可以表示ansatzννννtasνt=Pk所暗示的总平均场效应∈Kpk？νkt。3.4. Agent最优控制的一种算法。现在，我们使用第3.3.1节中推导出的ansatz，在假设νt=￠νt的情况下，推导出每个单独代理的最优控制（我们在下一小节中证明了该解决方案确实是最优的）。考虑子种群k中代理人j的最优交易率的FBSDE（3.10）。用最优性方程（3.10）替换真实平均场νtwi，我们得到FBSDE（3.22）-d（2 akνjt）=bAt+λλλλ|νИνИννt- 2φkqj，νjtdt公司- dMjt，2 akνjT=-2ψkqj，νjT，其中λλ=（λpk）k∈Kand-Mjtis一些平方可积的Fj适应鞅。

通过求解该FBSDE，我们发现每个代理的最优控制，假设平均场过程完全等于第3.3.1节推导的ansatz。我们沿着与我们在求解（3.12）时采用的方法类似的路线求解FBSDE（3.22）。这样做会导致以下主张。提案3.8。出租代理人-如果j是子种群k的一员，那么fBsde（3.22）的解是（3.23）νjt=△νkt+2akhk2，tqj，νjt- qk，￠νkt,式中，命题3.7和hk2中定义了νktis，t:[0，t]→ R定义为（3.24）hk2，t=-2ξkψkcosh(-γk（T- t） （）- ξksinh(-γk（T- t） ）ξkcosh(-γk（T- t） （）- ψksinh(-γk（T- t） （）,式中，常数γk=pφk/Ak和ξk=√φkak。此外，hk2，t≤ 0表示所有t∈ [0，T]和νj∈ Aj。证据证据见B.316 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.3.5。显示解决方案是最优的。此时，我们在平均场ν等于ansatz平均场过程ν的假设下，求解了最优性方程（3.10）。为了证明命题3.8中提供的解决方案确实解决了最优性方程，我们需要证明￠ν是真正的平均场，即￠νt=νt=limN→∞NPNj=1νjt。为此，我们考虑子总体k中的误差∈ Kkt=νkt-νkt并证明它等于零。结果总结在以下定理中。定理3.9。设νjt为命题3.8中定义的过程，而kt为命题3.7中定义的过程。然后对于每个k∈ K（3.25）~νkt=limN→∞N（N）kXj∈K（N）Kνjt，P×u-几乎无处不在。因此，过程（3.26）νj，*t=￠νkt+2akhk2，tqj，νj，*t型- qk，￠νkt是最优性方程（3.10）的解，其中￠νkt=νktP×ua.e.，（3.27）νj，*= arg supν∈AjHj（ν）。证据证据见B.4。该定理保证了平均场过程的ansatz和每个代理的控制确实是正确的。

因此，对于随机博弈的MFG版本，我们有每个个体代理、子种群平均场和总体种群平均场的最优策略的封闭式解。3.6. 代理最优控制的属性。根据命题3.7（和定理3.9），子群体内的平均油田交易率可以写成（3.28）νννt=（2aaa）-1（ggg1，t+ggg2，t'q'q'qt），其中'q'qt=uu+Rtνννtdt。这种平均场策略的一般结构与[11]中单因素潜在阿尔法模型的结构密切相关。子总体内平均场可分解为两部分。第一部分，（2aaa）-1ggg1，t表示平均油田交易率中可归因于阿尔法交易的部分。这从gggin方程（3.20）的表示中可以明显看出，gggis是资产预期未来漂移的加权平均数。此外，该预期未来漂移仅通过代理的可见过滤条件计算，这意味着代理根据其拥有的信息获得资产α的最佳估计。第二部分，（2aaa）-1ggg2，t'q'q'qt，由确定性函数乘以“平均油田库存”向量组成。它承认这样一种解释，即具有算法交易部分信息的子种群平均场制造17交易率每一个都会导致子种群平均库存趋于零（从而使最终清算惩罚最小化），同时意识到所有其他子种群的“平均场库存”。根据定理3.9的结果，子种群k中的agent j遵循策略（3.29）νj，*t=νkt+2akhk2，tqj，νj，*t型- \'\'qkt.因此，每个代理都以子群体平均现场率加上一个校正项进行交易。

由于HK2严格为负，该修正项倾向于将代理人的库存推向亚群体的平均场库存。为了正式证明这一点，回想一下dqj，对于任何νj，νjt=νjtdt∈ Aj。因此，从（3.29）中，我们得到了（3.30）dqj，νj，*t型- \'\'qkt=2akhk2，tqj，νjt- \'\'qktdt。这允许解决方案（3.31）qj，νj，*t型- \'\'qkt=qj公司- (R)qke2akRthk2，udu。由于hk2，t<0，很明显| qj，νj，*t型- “qkt”是时间的单调递减函数。4、项目-纳什均衡性质。在上一节中，我们明确构建了有限人口限制下所有代理的唯一最优交易行为——制造中的最优行为。在本节中，我们探讨了将FG最优控制应用于有限玩家游戏所产生的属性。更具体地说，我们表明控制满足-纳什均衡性质。定义4.1。一组控件ωj∈ Aj:j∈ N形成-目标泛函集合{Jj（·，·）：j的纳什均衡∈ N}，如果存在 > 0，s.t.（4.1）Jj（ωj，ω-j）≤ supω∈AJj（ω，ω-j）≤ Jj（ωj，ω-j） + , j∈ N、 定义-纳什均衡描述了一组偏离不超过 从目标函数集合的纳什均衡出发。我们将证明，第3节中获得的最佳制造控制满足-人口规模足够大的任何有限博弈的Nash性质。特别地，我们证明了对于任何给定的 > 0，存在人口大小N因此-Nash属性适用于大小为N>N的任何填充.定理4.2(-纳什均衡）。考虑目标函数的集合{Hj:j∈ N} 方程（2.11）和最佳平均场控制集{νj，*}∞j=方程式（3.29）中定义的1。假设存在一个序列{δN}∞N=1等于δN→ 0和（4.2）N（N）kN- 主键= o（δN）18 CASGRAIN，P。

和JAIMUNGAL，S.for all k∈ K、 然后（4.3）Hj（νj，*, ν*,-j）≤ supν∈AHj（ν，ν*,-j）≤ Hj（νj，*, ν*,-j） 每个j的+o（N）+o（δN）∈ N、 证明。证据见附录C.1。定理4.2暗示，对于, 我们可以确定最小人口规模，N, 因此-Nash属性适用于所有N>N. 更具体地说，该理论指出，数量N的大小将增长为 → 在超线性速率下为0，该速率是序列δN的函数当o（δN）时，正是linearoccurs≤ o（N）。从更直观的角度来看，定理4.2简单地告诉我们，如果种群规模足够大，平均场最优控制总是“足够好”替代最优有限博弈控制。值得注意的是，在最终付款人博弈中，代理人不能在其个人策略中使用经验平均值，因为它无法衡量每个代理人的可见过滤。相反，它们生成了一个“有效”的平均现场库存流程（“q”q“qt）∈[0，T]的速率为（νννT）T∈【0，T】根据（3.28）。这些有效的平均场库存然后输入到单个代理的交易策略νj中，*根据定理3.9.5的结果。数值实验。在本节中，我们通过模拟有限人游戏来研究平均场最优控制的行为。我们考虑一个模型，其中资产价格过程是一个均值回复纯跳跃过程，其中一个潜在（不可观察）过程驱动着动态。代理人必须从资产价格的观测路径中过滤潜在过程的价值，并使用此过滤器对资产价格过程的未来（预期）价值进行预测。

最后，我们通过解释模拟结果来探索agent跨域决策的一些属性。我们首先确定未受影响的资产价格过程F=（Ft）t∈[0，T]。过程fti定义为（5.1）Ft=αL+t- L-t型,式中，L±=（L±t）t∈[0，T]是计数过程，每个过程具有各自的随机强度过程γ±=（γ±T）T∈[0，T]，常数α>0表示资产价格的刻度大小。对过程F进行了定义，以便在任何小的时间内，它只能跳上或跳下一个滴答声。如前所述，我们希望资产价格过程是均值回复过程，并在其动态中包含一些潜在成分。为了实现这一点，我们定义了每个强度过程，以便（5.2）γ±t=σ+κ（Θt- Ft）±，带有算法交易部分信息的制造商19，其中（·）±表示其参数的正或负部分，且Θ=（Θt）t∈[0，T]是一个潜在的过程。该规范导致未受影响的资产价格F恢复为Θ。最后，我们将过程Θ定义为具有生成器矩阵xccc的M状态连续时间马尔可夫链，取集合{θi}Mi=1中的值。我们还假设潜在过程的初始值Θ具有先验分布πππ={πm}Mm=1，其中πm=P（Θ=θm）。未受影响的资产价格过程可以看作是OrnsteinUhlenbeck过程的纯跳跃模拟。参数κ控制F向Θ的平均反转强度，而参数σ控制F路径中噪声的基本水平。我们将读者引向【11，第6节】，以进一步阐述该模型。如前所述，我们假设总人口为N个参与者，分为K个子群体，所有参与者交易相同的资产S。资产价格过程S假设由（5.3）Sν（N）t=Ft+λ'q（N）t给出，也可以在半鞅表示中重新计算，如方程（2.5）所示。

各公司根据第3节中的平均场最优控制选择其交易策略。此控件需要计算的每个项都可以从包含到逆的形式以及逆、矩阵指数和有序指数的计算中获得。我们将所有代理的初始库存值设置为i.i.d.高斯随机变量。更具体地说，对于子种群k中的代理j，我们假设（5.4）Qk~ 对于常数{mk}Kk=1和{σk}Kk=1，N（mk，σk）。参与游戏的每个代理必须计算{νk}Kk=1和{qk}Kk=1的值，才能确定自己的交易策略。代理商通过使用命题3.6和3.8的结果来计算ννν并进化“实际”平均油田库存过程“q”q“qt的值来实现这一点。要计算ggg1，t，每个代理必须计算条件期望值E澳大利亚英尺, 其中At=κ（Ft- Θt）。为了实现这一点，代理使用Sν（N）直到时间t的观测路径来计算潜在过程Θt当前值的后验分布，他们使用后验分布来计算资产价格的预期未来回报。对于该latentalpha模型，可以以闭合形式计算期望值，其解在【11，第6节】中给出并详细讨论。我们模拟了一个游戏，其中K=2个不同（不相等）的子种群，N=30个代理。我们允许代理商在atT=1结束的有限时间间隔内进行交易，代表一个完整交易日的长度。下表1列出了库存开始分布的参数和每个子种群的目标函数。发电机矩阵CCC∈ RM×Mof一个M态连续时间马尔可夫链Θ具有非对角中心cci，j≥ 0如果i 6=j，对角线条目CCCi，i=-Pj6=iCCCi，j。

CCC定义为P（Θt=θj |Θ=θi）=et CCCi、 j，其中et CCCi、 t CCC的矩阵指数的jis元素（i，j）。20 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.k mk'σkNkψkφkak1 100 50 20 100 10-2.-42 0 50 10 100 10-3.-4表1：两个子群体代理的模拟参数。在游戏开始时，我们将第一个子群体的代理平均长期持有资产，而第二个子群体的代理平均不持有库存。我们还使亚群2的φ参数（控制其风险偏好）大大小于亚群1，从而使亚群2更倾向于交易α。两个子种群都有相同的瞬时交易成本参数ak，我们将子种群2的大小设置为子种群1的两倍。最后，我们将ψkparameter设置为非常大的值，以强制代理按t=t完全清算其库存。在模拟中，我们假设潜在过程可以取M=2个可能的状态，且为Θt∈ {4.95, 5.05}. 这导致价格根据Θt的状态向上或向下平均回复。剩余的资产价格过程参数见下表2。F=5美元，α=0.01美元πππ=（0.50.5）CCC=-1 11 -1.,κ = 360, σ = 120.24, λ = $10-表2：用于资产价格动态和潜在过程的参数。资产价格设定为5美元，这意味着在交易期间，资产价格将恢复到4.95美元或5.05美元。在这个模型中，我们将滴答值α设置为1美分，这样受影响的资产价格可能只会以这种规模的增量上涨。ππ的值是经过特殊选择的，因此代理对最新进程的起始值没有特别的偏好。此外，由于选择了生成器矩阵CCC，代理预计潜在过程将在交易期间（平均）切换一次状态∈ [0, 1].